Calcul simbolic

Calcul simbolic

Un obiect simbolic este o structura de date ce contine un string reprezentand simbolul. Symbolic Math Toolbox utilizeaza obiecte simbolice pentru reprezentarea variabilelor, expresiilor si matricilor simbolice.

Exemplu pentru ilustrarea diferentei dintre un tip de data standard a Matlabului (double) si obiectul simbolic corespunzator:

Pentru a obtine valoarea numerica a obiectului simbolic se foloseste comanda:

Constructia fractiilor folosind obiecte simbolice.

Crearea variabilelor si expresiilor simbolice.

Pentru constructia variabileleor sau a expresiilor simbolice se utilizeza comanda sym:

Pentru a crea o variabile simbolica reprezentand ratia

se utilizeaza comanda:

In continuare se pot efectua diferite operatii folosind variabile simbolica creata:

Rezultatul obtinut se poate simplifica utilizand comanda:

Sa presupunem ca dorim sa studiem functia de gradul 2

O metoda ar putea fi

prin care ii asociem variabilei f expresia simbolica , insa in acest caz nu sunt create automat variabile corespunzatoare termeniilor expresiei: a, b, c, x. pentru a putea trece la efectuarea operatiilor matematice asupra acestei expresii (integrare, derivare, etc.), trebuie sa cream fiecare variabila in parte:

sau, mai simplu

si apoi sa introducem expresia

Determinarea variabilelor simbolice din cadrul expresiilor: comanda findsym

Exemplu:

Substituirea unei variabile simbolice cu o valoare numerica: comanda subs

va returna valoarea functiei f in punctual x=2.

In cazul in care expresia contine mai mult de o variabila, se poate specifica variabila care se doreste a fi substituita:

Crearea matricilor simbolice.

Pentru a inlocui elementul (2,3) cu beta iar elemntul b cu alpha:

Crearea de functii matematice simbolice: utilizand expresii simbolice.

Conversia simbolica si numerica.

Consideram in Matlab instructiunea t = 0.1 . functia sym are 4 optiuni pentru a returna reprezentarea simbolica a valorii numerice stocata in t:

Conversia unei matrici din numeric in simbolic.

Fie matricea A = hilb(3), adica matricea de tip Hilbert (3,3):

Pentru a obtine matricea simbolica corespunzatoare:

Construirea variabilelor reale si complexe.

Se utilizeaza optiunea “real” astfel:

sau

vom utilize aceste variabile pentru a construi:

unde z este o variabila complexa care poate fi manipulata ca atare:

In cazul in care se doreste schimbarea proprietatii ca x este numar real se foloseste instructiunea:

Crearea de functii abstracte.

1. Crearea unei  functii abstracte f(x):

pentru aceasta functie se poate calcula derivate de ordin I astfel:

sau

2. Crearea functiei factorial:

Utilizarea obiectelor simbolice.

1. Derivare.

Derivata de ordin I

Derivata de ordinal II

  sau

In cazul functiilor de mai multe variabile:

Exemple pentru diff

iar pentru a simplifica rezultatul:

2. Limite.

Pornind de la definitia derivatie I ca si limita:

avem

sau

In cazul limitelor laterale avem:

3. Integrale.

Operatia matematica Instructiunea in Matlab

Exemplu:

Creand variabilele simbolice

avem

In cazul integralei definite:

Integrarea in cazul parametrilor reali.

In cazul in care a este un numar real pozitiv, expresia tinde la 0 atunci cand x tinde la

Pentru a calcula

Determinarea punctelor de minim/maxim si a punctelor sa.

Fie functia :

Se observa ca functia este continua pe

Determinam punctele de forma (x,y) obtinute din egalarea cu 0 a ambelor derivate partiale :

Se vor obtine punctele critice:

Testul folosind derivata a 2-a.

Seminficatie pentru fiecare punct critic in parte:

In cazul exemplului de mai sus avem:

Cod matlab:

Metoda 1.

Comanda :

 

returneaza solutiile sistemului:

Metoda 2

iar apoi comanda solve(fx).

Vizualizarea rezultatelor:

Pentru vizualizarea punctelor de extrem, se utilizeaza comanda pentru desenarea liniilor de contur:

Pentru a fi afisate mai multe linii de contur :

Urmatoarele comenzi deseneaza liniile de nivel la diferite inaltimi (-14,-13,-12,…,-4), afisand valorile:

Observatii:

1. Apropiindu-ne de punctul (-2,0), din orice directie, se observa o crestere a valorilor, traversand contururi la inaltimile -7, -6, -5 si 4.  in consecinta punctual (-2,0) este un punct de maxim local.
2. Apropiindu-ne de punctul (0,2), din orice directie, se observa o descrestere a valorilor, traversand contururi la inaltimile -9, -10 si -11.  in consecinta punctual (-2,0) este un punct de minim local.
3. In cazul punctului (0 ), dinspre nord spre sud, nivelul liniilor de contur descreste, iar dinspre est spre vest nivelul liniilor de contur creste. In conseciinta punctul (0 ) este punct sa.
4. In cazul punctului (-2,2), dinspre nord spre sud, nivelul liniilor de contur creste, iar dinspre est spre vest nivelul liniilor de contur descreste. In consecinta punctul (0 ) este punct sa.