Corp. Subcorp. Morfisme de corpuri. Exemple.

Corp. Subcorp. Morfisme de corpuri. Exemple.

Definitie: Un inel unitar K se numeste corp daca 0 1 si orice element x K , x 0 este inversabil (in raport cu inmultirea ), adica " x K , x x K, astfel incit xx=xx=1.

Conditia 0 1 este echivalenta cu faptul ca inelul K contine cel putin doua elemente distincte: un element neutru fata de adunare si un alt element neutru fata de inmultire.

Din definitie se observa ca multimea elementelor nenule din K, K*=K-, formeaza grup fata de inmultire. Atunci, definitia corpului poate fi formulata astfel:

C1: (K, +) este grup abelian;

C2: (K*, ) este grup;

C3: inmultirea este distributiva bilateral fata de adunare. Daca in plus, inmu 23423u2010x ltirea este comutativa, corpul se numeste comutativ.

Observatie

Pe orice multime formata din doua elemente distincte exista o singura structura de corp. Daca notam cu 0 si 1 aceste elemente, atunci adunarea si inmultirea nu pot fi definite decit in modul urmator:

0 1 0 1

0 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 1

Propozitia 2.1. Un corp nu are divizori ai lui zero.

Demonstratie.

Intr-adevar, daca x,y K, x 0 si y 0, atunci xy 0, caci daca xy=0 , deducem : y=1 y=(xx)y=x(xy)=x0=0, contradictie.

De fapt, conform unei propozitii demonstrata anterior, intr-un corp orice element nenul fiind inversabil, nu poate fi divizor al lui zero.

Exemple de corpuri

(Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) sunt corpuri comutative.

Corpurile de numere patratice Q(). Fie d un intreg liber de patrate si Q() =. Daca z1=a1+b1 si z2=a2+b2, a1,a2,b1,b2 Q,atunci :

z1+z2=( a1+b1)+a2+b2)=(a1+a2)+(b1+b2) z1+z2 Q(), iar z1z2=a1a2+db1b2+(a1b2+a2b1) z1 z2 Q().

Deci Q() este parte stabila a lui C in raport cu adunarea si inmultirea. Observam ca 0=0+0 Q(), 1+0 Q() si deducem ca Q() este inel comutativ in raport cu operatiile induse pe Q() de adunarea si inmultirea pe C. pentru a dovedi ca Q() este corp, mai ramine sa aratam ca pentru orice element z Q(), z=a+b, z 0, exista z' Q() a.i. zz'=z'z=1. Deoarece z 0, atunci a 0 sau b (daca si b=0, deducem a=0, iar daca si b 0 atunci =|a/b| si deducem ca Q, contradictie).

Apoi, zz'=1 (a+b)z'=1 z'=1/(a+b)=(ab)/()=a/()+(-b)/() Q(). Deci Q()este corp comutativ. Astfel, Q( ) si Q( ) sunt corpuri comutative.

Corpul Z al claselor de resturi modulo p, cu p prim. Daca p 0 este un numar natural prim, atunci din Propozitia 1.3. rezulta ca Z este corp.

Definitie. Daca K este un corp, o submultime nevida F a lui A este un subcorp al lui K daca operatiile algebrice de pe K induc pe F operatii algebrice fata de care F este un corp. Daca F este un subcorp al lui K, atunci K se numeste extindere a lui F.

Propozitia 2.2. Fie K un corp si F K o submultime a sa. Atunci F este un subcorp al lui K daca si numai daca:

x-y F, " x,y F .

xy F, " x,y F, y

Echivalenta celor doua afirmatii din propozitie este imediata. Observam ca elementul unitate din K este element unitate si pentru F.

Exemple

Fie K un corp. Atunci K este evident subcorp al lui K.

Q este un subcorp al lui R cu adunarea si inmultirea numerelor reale.

Q( ) este un subcorp al corpului R al numerelor reale.

Z si Q nu au alte subcorpuri in afara de ele insele.

Definitie

Fie (A,+, ) si (B,+, ) doua inele. Aplicatia f: A B se numeste omomorfism de inele daca:

f(x+y)=f(x)+f(y), " x,y A;

f(xy)=f(x)f(y) , " x,y A.

Daca A si B sunt inele unitare si f are proprietatea ca f(1)=1, atunci f se numeste omomorfism unitar de inele. Ca si la grupuri, se intilnesc si la inele notiunile de omomorfism injectiv, surjectiv, izomorfism.

Definitie

Daca K si K' sunt doua corpuri, atunci un izomorfism de corpuri de la K la K' este o aplicatie f: K K' , astfel incit :

f(x+y)=f(x)+f(y), " x,y K;

f(xy)=f(x)f(y) , " x,y K;

f(1)=1' , unde 1' este elementul unitar din K.

Deci f: K K' este un omomorfism de corpuri daca este un omomorfism unitar de inele.

Propozitia 2.3. Orice morfism de corpuri este injectiv.

Demonstratie

Intr-adevar fie f: K K' morfism de corpuri si x,y K a.i. x y. Atunci x-y 0 si deci exista z K a.i. (x-y)z=1, de unde f((x-y)z)=f(1) sau

f(x-y)f(z)=1', iar 1' 0' (0' este elementul nul din K').

Prin urmare, f(x-y) 0' , adica f(x)-f(y) 0' sau f(x) f(y).

Corpul fractiilor unui domeniu de integritate.

Fie A un domeniu de integritate si A* multimea elementelor nenule ale lui A. Consideram produsul cartezian A A*=.

Pe AxA* vom introduce o reletie de echivalenta , R, definita astfel:

(a,b)R(c,d) ad=bc . Sa verificam ca R este o relatie de echivalenta:

reflexivitatea: (a,b)R(a,b) , deoarece ab=ba.

tranzitivitatea: daca (a,b)R(c,d) si (c,d)R(e,f) , vom arata ca (a,b)R(e,f).

Din (a,b)R(c,d) si (c,d)R(e,f) rezulta ad=bc si cf=de , deci adf=bcf=bde si cum d 0 si A este domeniu de integritate, avem af=be , adica (a,b)R(e,f). Deci R este o relatie de echivalenta.

Clasa de echivalenta a perechii (a,b) se numeste fractie rationala si se noteaza prin a/b. Atunci a/b=c/d ad=bc.

Fie a/b si c/d doua fractii. Cum b 0 si d 0 , atunci bd 0 si , deci , are sens fractia (ad+bc)/bd. Daca a/b=a'/b' si c/d=c'/d' , atunci:

(ad+bc)/bd=(a'd'+b'c')/b'd'. Intr-adevar, avem ab'=ba' si cd'=dc'.

Deci ab'dd'=ba'dd' si cd'bb'=dc'bb', de unde ab'dd'+cd'bb'=ba'dd'+dc'bb', sau, inca, (ad+bc)b'd'=(a'd'+b'c')bd, ceea ce trebuia demonstrat.

Acum, definim adunarea prin : a/b + c/d= (ad+bc)/bd, operatia care nu depinde de alegerea reprezentantilor, dupa cum s-a vazut, iar inmultirea o definim prin: a/b c/d=ac/bd, operatie care deasemenea nu depinde de reprezentanti, deci este bine definita.

Punem 0=0/1 si 1=1/1.

Se arata usor ca (K,+, ) este un inel unitar. Fie a/b 0 din K, atunci a 0. Deci are sens fractia b/a, care este din K si a/b b/a=ab/ba=1/1=1. Deci orice element a/b 0 din K are un invers si anume (a/b) =b/a. deci K este corp comutativ.

Fie aplicatia f:A K , definita prin f(a)=a/1. Atunci f(a+b)=(a+b)/1=a/1+b/1=f(a)+f(b) si f(ab)= ab/1=a/1 b/1=f(a) f(b).

Deci f este omomorfism de inele. Daca f(a )=f(b), adica a/1=b/1, atunci a b, adica a=b. Prin urmare, f este omomorfism injectiv. Acest omomorfism injectiv permite identificarea lui A cu un subinel al lui K, mai precis, a=a/1. Atunci, daca a/b K, putem scrie a/b=a/1 1/b=a/1 (b/1) =ab . Corpul K se numeste corpul fractiilor (sau corpul de fractii ) al lui A.

Exemplu:

Pentru A=Z, prin procedeul descris se obtine corpul Q al fractiilor rationale.