ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR

Experiment. Eveniment

Experiment (proba) - orice realizare a unui complex de conditii bine precizate.

In teoria statistica, dupa natura conditiilor in care se desfasoara experimentul, deosebim:

- experimente deterministe, caz in care conditiile definesc in mod ce 727e48h rt rezultatele posibile;

- experimente aleatoare, cand conditiile nu genereaza, in mod cert, rezultatele.

Un experiment aleator se caracterizeaza prin aceea ca:

- nu are caracter determinist, adica in conditii identice de realizare, rezultatele experimentului pot fi diferite;

- are un caracter statistic, adica exista o stabilitate a frecventelor rezultatelor - cu cat numarul repetarilor experimentului creste, frecvanta cu care se produce un anume rezultat se gaseste in jurul unei valori, valoare ce reprezinta sansa de realizare a sa.

Eveniment - orice situatie legata de o experienta aleatoare, despre care se poate spune cu certitudine ca s-a realizat sau nu.

Eveniment simplu (elementar) - evenimentul care se poate realiza dintr-o singura proba.

Eveniment compus - formeaza partitii cu cel putin doua elemente simple.

Fiecarei experiente aleatoare i se asociaza, intodeauna, doua evenimente:

evenimentul sigur (evenimentul care se realizeaza prin fiecare din probele experientei), notat cu Ω;

evenimentul imposibil (evenimentul care nu se realizeaza, oricare ar fi proba experientei), notat cu Ф.

Alte clase de evenimente legate de o experienta aleatoare:

- evenimente contrare (complementare) - daca nerealizarea unuia implica realizarea celuilalt.

Notatie: A (sau CA)

- evenimente incompatibile (disjuncte) - daca nu exista cazuri (probe) favorabile realizarii lor simultane.

- evenimente compatibile - daca exista cazuri (probe) prin care se realizeaza simultan.

Evenimente independente

Definitie: Doua evenimente A,B se numesc independente daca realizarea unuia nu este conditionata de realizarea celuilalt, adica

P(A|B)=P(A), daca P(B)0 si

P(B|A)=P(B), daca P(A) 0.

In caz contrar ele se numesc dependente.

Observatie: Din formulele P(A|B) si P(B|A) rezulta:

P(AB) P(A) P(B) A, B independente. Relatia devine valabila si pentru cazul general cu evenimentele , independente doua cate doua , , astfel:

Camp de evenimente

Definitie: O familie () de submultimi ale lui (P()) cu:

i)

ii) , I cel mult numarabila se numeste:

- corp de parti  - daca I este finita

- -corp de parti (corp borelian) - daca I este infinita

Perechea () se numeste camp (-camp) de evenimente sau spatiu probabilizabil.

Observatie: Orice -corp de parti este un corp de parti.

Definitie: Un sistem de evenimente se numeste sistem complet de evenimente daca S este o partitie din .

Operatii cu evenimente

a)     Reuniunea a doua evenimente A si B (notat A B)

Reprezinta evenimentul a carei realizare consta in realizarea a cel putin uneia dintre evenimentele A, B.

b)     Intersectia a doua evenimente A si B (notat cu AB).

Presupune realizarea simultana a celor doua evenimente.

Observatie :

Cele doua operatii de mai sus se pot extinde la cazul unei familii de evenimente _iєI , I cel mult numarabila. Deci, putem considera si cu semnificatia:

- este evenimentul care consta in realizarea cel putin a unuia dintre evenimentele A_i , i I;

- este evenimentul care consta in realizarea simultana a tuturor evenimentelor A_i , iI;

c)     Diferenta a doua evenimente A si B (notat AB).

Este evenimentul a carui realizare consta in realizarea evenimentului A si nerealizarea evenimentului B.

d)     Operatia "non".

Evenimentul non A (notat si A) este evenimentul realizat de orice proba a experientei, care nu realizeaza evenimentul A. A se mai numeste si contrarul lui A sau opusul lui A. Doua evenimente A si B cu A∩B = Ø sunt incompatibile si disjuncte, iar daca AB ≠ Ø sunt compatibile.

Probabilitate

5.1.Definitia statistica a probabilitatii

Fie E o experienta aleatoare careia i se asociaza campul de evenimente () si . Daca experienta E se repeta de n ori, raportul

f_n(A) (nr. de realizari ale evenimentului A)/n

se numeste frecventa relativa a lui A.

Cand n creste, tinde sa se stabilizeze catre un numar, numit probabilitatea lui A, adica P(A). Deci P(A)

5.2. Definitia clasica a probabilitatii

Se presupune ca () este un camp finit de evenimente. Pentru avem:

P(A)(numarul cazurilor favorabile evenimentului A)/(numarul cazurilor posibile)

5.3Definitia axiomatica a probabilitatii (Kolmogorov, 1933)

Definitie: Fiind dat () un camp de evenimente, o functie ce are proprietatile:

i)            P()=1

ii)           P, I cel mult numarabila, cu , , se numeste probabilitate pe .

6. Camp de probabilitate

Definitie: Un triplet (), in care:

i) este o multime abstracta reprezentand multimea evenimentelor elementare ale unui experiment;

ii) este un corp borelian pe ();

iii) P este o probabilitate pe , unde P(A) reprezinta sansa de realizare a evenimentului ,

se numeste camp (sau -camp) de probabilitate, dupa cum () este camp sau -camp de evenimente.

Nota: -camp de probabilitate se mai numeste camp borelian de probabilitate.

Probabilitati conditionate

Fie (P) si A,B cu P(B).

Definitie: Numarul P(A|B) sau definit prin P(A|B) se numeste probabilitatea evenimentului A conditionata de B (sau probabilitatea lui A in ipoteza ca a avut loc B).

Observatia 1: P(B|A) sau

P(A|B) P(B|A)

Din P(AB) (1)

Relatia (1) se poate generaliza pentru n evenimente astfel:

Observatia 2: Daca A_i, sunt evenimente incompatibile doua cate doua, atunci pentru orice eveniment B avem:

8. Formule clasice de probabilitate

Fie ( K, P) un camp de probabilitate.

Propozitia 1. (Probabilitatea reuniunii de evenimente)

Fie K, i=

se numeste formula lui Poicaré.

Observatie. Daca evenimentele sunt incompatibile, formula lui Poicaré se scrie:

Propozitia 2. (Probabilitatea unei intersectii de evenimente)

Daca evenimentele K, i= sunt astfel incat

atunci:

Observatie. Daca evenimentele K, i= sunt independente, atunci:

se numeste formula de inmultire a probabilitatilor.

Propozitia 3. (Inegalitatea lui Boole)

Fie K. Atunci are loc inegalitatea:

Propozitia 4. (Formula probabilitatii totale)

Fie K este un sistem complet de evenimente pe K), atunci pentru A K avem:

Propozitia 5. (Formula lui Bayes sau Probabilitatea ipotezelor)

Pentru aceleasi date ca la Propozitia 4 avem:

Observatie. Probabilitatile P(), i= se numesc probabilitati apriori.

Probabilitatile P() se numesc probabilitati a posteriori.

Formula lui Bayes permite gasirea P() conditionata de realizarea evenimentului A, adica a probabilitatii cauzei (ipotezei) ce a dus la aparitia evenimentului A.

9. VARIABILE ALEATOARE

Variabila aleatoare reprezinta o marime care - drept rezultat al unui experiment - poate lua o valoare oarecare, fara sa se poata preciza dinainte care anume.

Dupa numarul de valori ale variabilei X, distingem:

variabile aleatoare cu un numar finit de valori: X=;

variabile aleatoare cu un numar infinit de valori discrete

X

variabile aleatoare cu un numar infinit nenumarabil de valori

X=[a,b] R.

discreta , daca X are un numar finit

sau numarabil de evenimente

Variabila aleatoare

continua, daca X are un numar infinit

si nenumarabil de elemente

Repartitia unei variabile aleatoare discrete

X : pe scurt X : _i

Se observa ca o variabila aleatoare discreta X se da prezentand valorile sale , si odata cu acestea probabilitatile , , corespunzatoare ( este probabilitatea ca variabila aleatoare X sa ia valori , adica =P(X=), i.

Functia de repartitie a variabilei aleatoare X se defineste prin

F(x)=P(X<x)

si indica probabilitatea ca valoarea variabilei X sa fie inferioara unei valori date.

Din punct de vedere probabilistic, functia de repartitie caracterizeaza, in general, complet o variabila aleatoare, indiferent daca este vorba de o variabila aleatoare discreta sau continua.

Se cunoaste ca:

daca atunci F(x)F(x)

F() =0

F() =0

0F(x)

Graficul functiei de repartitie

a)     cazul variabilei aleatoare discreta

y

y=

----- ----- ----------------(----- ----- -----

( ]

( ]

x

Se observa ca graficul este format din segmente paralele cu

b)     cazul variabilei aleatoare continua

y

y=1

-------- ----- ------ ---------

x

Densitatea de repartitie (de probabilitate) a variabilei aleatoare X

f(x)=F'(x)

Functia f(x), prima derivata a functiei de repartitie, are semnificatia unei caracteristici a densitatii cu care se repartizeaza valorile variabilei aleatoare in punctul dat.

Exprimarea functiei de repartitie prin densitatea de repartitie:

F(x)=

Se cunoaste ca:

f(x)

, adica probabilitatea ca variabila aleatoare continua X sa ia valoare in intervalul (a,b) este egala cu integrala densitatii de repartitie pe intervalul (a,b).

Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare

Daca variabila aleatoare X este discreta consideram X :_iI, iar daca X este continua cu densitatea de repartitie f consideram

X: _{x R.}

Media - M(X)

Pentru orice variabila aleatoare X avem:

, in cazul discret

M(X)=

, in cazul continuu

Proprietatile mediei:

M(a) = a, () aR

M(aX)= a M(X)

M(X+Y)=M(X)+M(Y)

M(XY)=M(X) M(Y)

. Momentul (initial) de ordin k , k -

M_k (X) = M(X^k)

, in cazul discret

, in cazul continuu

Obs. Media variabilei aleatoare X reprezinta momentul (initial) de ordin 1 al variabilei aleatoare X.

Momentul centrat de ordin k, k -

= = M(X-M(X))^k

, in cazul discret

, in cazul continuu

Dispersia -

== M(X-M(X))²

, in cazul discret

, in cazul continuu

Proprietatile dispersiei:

- , () a R

-

-

Abaterea medie patratica - D(X)

D(X)=

Covarianta si coeficientul de corelatie a doua variabile aleatoare

Proprietatile covariantei :

cov (X,Y)= cov(Y,X)

cov(X,Y)=cov(X,Y)

cov (X,Y)= M(XY) -

Coeficientul de corelatie al variabilelor X si Y - r(X,Y):

r (X,Y)=

Observatii:

1. intre X si Y exista o relatie liniara

2. Daca cov (X,Y)=0 variabilele aleatoare X si Y se numesc necorelate.

2.5 LEGI DE PROBABILITATE CLASICE

O lege de probabilitate se caracterizeaza prin faptul ca oricarei valori pe care o ia o variabila aleatoare i se asociaza o probabilitate corespunzatoare si numai una.

1. Repartitia normala

Reprezinta legea de repartitie cea mai importanta din teoria probabilitatilor, fiind denumita si legea lui Gauss.

Fie X o variabila aleatoare continua care urmeaza o repartitie normala de medie m si abaterea standard atunci densitatea de probabilitate este :

f: R, f(x)=

Caracteristici:

M(X)=m

Graficul functiei f(x) x R, are forma unui clopot (clopotul lui Gauss) si este simetric fata de dreapta x=m.

Punctul este punctul de maxim, f(m)=, iar punctele = si = sunt puncte de inflexiune pentru graficul functiei f(x).

f(x)

------------

x

m- m m+

Toate curbele normale au forma de clopot, avand convexitatea indreptata in sus, in apropierea punctului de maxim. In punctele m-si m+ ele isi schimba convexitatea si cu cat este mai mic cu atat clopotul este mai ascutit, iar cu cat este mai mare cu atat clopotul este mai turtit.

f(x)

III

II

I

x

In figura de mai sus sunt ilustrate trei curbe normale (I, II, III), avand m=0 si dispersii diferite. Curba I corespunde celui mai mare iar curba III, celui mai mic. Asadar, cei doi parametrii care definesc curba de repartitie N (m, au o semnificatie bine precizata: m defineste pozitia curbei fata de axa , iar caracterizeaza dispersia unitatilor populatiei, determinand deschiderea clopotului.

Obs. Daca X, atunci X se numeste normal distribuita si normata (sau variabila aleatoare normala standard).

Pentru m=0 si =1 se obtine o forma particulara a repartitiei normale numita repartitia normala normata. Densitatea de repartitie a unei variabile aleatoare X N(0,1) este:

f(x)= , x R

Repartitia hi-patrat ()

Este utilizata, in general, la construirea testelor statistice. Fie variabile independente, distribuite dupa o lege normala standard. Atunci variabila obtinuta prin insumarea patratelor lor = urmeaza o distributie cu v grade de libertate, simbolizata cu(v) .

Densitatea de repartitie (de probabilitate) are forma:

x>0

f:R[0,1] , f(x) =

, x

unde , a>0 este integrala Gamma a lui Euler.

Caracteristicile repartitiei hi-patrat cu v grade de libertate:

Forma acestei repartitii depinde de numarul de grade de libertate, in sensul ca, pe masura ce v creste , alura curbei repartitiei se apropie de alura repartitiei normale, ca in figura de mai jos:

(3)

(5)

(10)

(20)

Repartitia se utilizeaza in principal pentru urmatoarele:

construirea testelor de concordanta in ajustarea unei distributii empirice prin una teoretica;

testarea semnificatiei parametrilor functiei de regresie;

testarea independentei a doua caracteristici calitative;

in construirea intervalelor de incredere pentru parametrii unui model;

testele de comparare a mediilor pentru diverse populatii etc.

Repartitia Fisher - Snedecor

Fie X si Y doua variabile aleatoare independente care urmeaza distributiile de probabilitate (v) , respectiv (v).

Se defineste prin:

o variabila aleatoare ce urmeaza o lege Fisher-Snedecor cu si grade de liberate.

Densitatea de probabilitate are forma:

f:R , f(x)=  , x

,x <0

Caracteristici principale:

, daca

, daca

Legea se utilizeaza cel mai adesea pentru construirea testelor statistice pentru analiza variantei si a covariantei.

Repartitia Student

Distributia Student, cunoscuta si sub denumirea de "repartitia t", afost descoperita de statisticianul englez Gosset (cunoscut sub pseudonimul "Student").

Fie doua variabile aleatoare X si Y . Daca X este distribuita dupa o distributie hi-patrat cu v grade de libertate, iar Y are o distributie normala standard , atunci variabila definita astfel:

are o distributie Student (sau t) cu v grade libertate. Densitatea de probabilitate a acestei repartitii este:

f:R , f(x)=

unde , a>0 este integrala Gamma a lui Enler.

Caracteristicile variabilei t:

, daca v>2

Densitatea de probabilitate are graficul sub forma unui clopot simetric, forma graficului fiind determinata de numarul gradelor de libertate. Cu cat v este mai mic, cu atat curba este mai aplatizata, iar daca v graficul curbei Student tinde catre graficul repartitiei normale.

f(x)

v

v=5

v=1

x

-2 -1 0 1 2 3

Tabelele repartitiei t dau valori pentru v. Plecand de la v>30, repartitia t devine foarte apropiata de repartitia normala centrata redusa.

Repartitia Student este folosita in descrierea distributiilor de selectie in cazul esantioanelor de volum mic (n<30) si indeosebi, in verificarea ipotezelor statistice cu privire la media unei populatii normale, cand parametrul este necunoscut.