Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza

Elemente de combinatorica

Matematica











ALTE DOCUMENTE

Modelul matematic general al problemelor de tip transport
Vectori si operatii
PLANIFICARE SEMESTRIALĂ algebra
FORMULE DE DERIVARE
Operatii - inmultirea, adunarea, scaderea, impartirea
Spirala logaritmica
FIsĂ DE LUCRU - impartirea exacta
Reciproca teoremei lui Stolz-Cessaro
Probleme matematica
Teza cu subiect unic la matematica


Elemente de combinatorica

1. Reguli generale ale combinatoricii


@ O multime împreuna cu o ordine bine determinata de dispunere a elementelor sale este o combinatie sau o multime ordonata.

@ Regula sumei

Daca  un anumit obiect A poate fi ales în m moduri, iar alt obiect B poate fi ales în n moduri, atunci alegerea lui A sau B poate fi realizata în (m + n) moduri.

@ Regula produsului

Daca  un anumit obiect A poate fi ales în m moduri s 151v2124b i daca dupa fiecare astfel de alegere, un obiect B se poate alege în n moduri, atunci alegerea perechii ( A;B ) în aceasta ordine poate fi realizata în (m · n) moduri.

2. Permutari. Aranjamente. Combinari

1. Permutari

@ Se considera o multime A cu n elemente, n Î N*. Orice functie injectiva 

f: ź A se numeste permutare a multimii A.

L Notam numarul tuturor permutarilor multimi A cu Pn.

L Permutariile unei multimi cu n elemente pot fi gândite ca grupari de n elemente ale acestei multimi, astfel încât doua grupari difera una de cealalta prin ordinea elementelor.

L Notam  n! = 1·2·3·...·n =  si citim "n factorial"

L Prin conventie  P0 = 0! = 1.

L  Fie propozitia P(n): "Numarul tuturor permutarilor multimii A cu n elemente este Pn = n! Pentru n = 1, propozitia este adevarata. Dorim sa aratam ca P(n) implica P(n+1). Fie A o multime cu n+1 elemente si fie f: ź A o functie injectiva. Observam ca f(n+1) poate fi ales oricare dintre cele n+1 elemente ale multimii A si o data fixat, celelalte elemente pot fi alese în n! moduri diferite, conform ipotezei. Astfel, stabilind pe rând pe fiecare element pentru f(n+1) vom obtine Pn+1 = ( n + 1 ) Pn Ț

Pn = n!

LProprietati ale factorialului

  1. Pn = n (n - 1) ( n - 2 ) ... ( n - k + 1) Pn-k , " k Î N, k ≤ n
  2. Pn+1 = ( n + 1) Pn
  3. k! · k = ( k + 1)! - k!
  4.  - 1

2. Aranjamente

 

@  Fie A o multime cu n elemente, n Î N*, si fie k Î N*, k ≤ n. Numin aranjament de n elemente luate câte k, k ≥ 1, ale multimii A, orice submultime ordonata de k elemente.

LO submultime ordonata a multimii A, formata din k elemente se descrie printr-o functie injectiva f: ź A.

 

LNotam cu  numarul tuturor aranjamentelor de n elemente luate câte k.

LAranjamentele de n elemente luate câte k ( ale unei multimi de k elemente ) sunt grupari de k elemente astfel încât doua grupari difera fie prin natura elementelor, fie prin ordinea lor.

LFie A o multime cu n elemente, n Î N*, si fie k Î N, k ≤ n, fixat. Numarul tuturor aranjamentelor din A, de n elemente luate câte k, este: 

LProprietati ale aranjamentelor:

1)     

2)     

3)     

 

 

3. Combinari

 

@  Fie A o multime cu n elemente, n Î N*, si fie k Î N, k ≤ n. Numim combinare de n elemente luate câte k orice submultime cu k elemente a multimii A.

L  Numarul tuturor combinarilor de n elemente luate câte k se noateaza cu .

L  Combinarile de n elemente luate de k, ale unei multimi cu n elemente, pot fi gândite ca grupari de k elemente, dintre cele n elemente ale multimii initiale, astfel încât doua grupari difera numai prin natura elementelor.

L   Fie A o multime cu n elemente, n Î N*, fie kÎ N, k ≤ n, fixat. Atunci, numarul tuturor combinatiilor de n elemente luate câte k este:


LCombinarile le putem gasi în triunghiul lui Pascal:

LProprietati ale combinarilor

1)     

2)     

3)     

4)     

5)     

6)     

7)     

 

3. Binomul lui Newton

@ Fie a si b doua numere reale si n Î N*. Atunci este adevarata egalitatea:

                                            

                                   

LAstfel, putem redefini combinarile ca fiind coeficientii binomului lui Newton! Totusi, ei pot fi diferiti de coeficientii dezvoltarii. De exemplu pentru ( 2a + b )2 = 4a2 + 4ab + b2, 4,4,1 sunt coeficientii dezvoltarii, iar 1,2,1 sunt coeficientii binomiali. Coeficientii binomiali se regasesc pe rândul n + 1 in triunghiul lui Pascal.

LTermenul general al dezvoltarii este:  , unde 0 ≤ k ≤ n

4. Calculul unor sume cu combinari

1)      Suma:

Principiu de rezolvare:

        

                 

                         

                                

 Ț


          

                      

                                                      

     Ț Ț    

     Ț

2)      Suma:

            Principiu de rezolvare: 

              Ț  Ț  Ț

            Ț

3)      Suma: , m, n Î N, k  ≤ n, k ≤ m

Principiu de rezolvare:

Observam ca suma este coeficientul binamiol a lui xk din dezvoltarea ( 1 + x )n · ( 1 + x )m

= ( 1 + x )m+n Ț  Ț

particularizare Ț 

4)      Suma

Principiu de rezolvare:

notam cu   si    )

Ț

Ț

Ț


Document Info


Accesari: 22798
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.

 


Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2014 )