Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza
Upload







loading...

Elemente de combinatorica

Matematica










ALTE DOCUMENTE

Modelul matematic general al problemelor de tip transport
Vectori si operatii
PLANIFICARE SEMESTRIALĂ algebra
FORMULE DE DERIVARE
Operatii - inmultirea, adunarea, scaderea, impartirea
Spirala logaritmica
FIsĂ DE LUCRU - impartirea exacta
Reciproca teoremei lui Stolz-Cessaro
Probleme matematica
Teza cu subiect unic la matematica

Elemente de combinatorica

1. Reguli generale ale combinatoricii


@ O multime împreuna cu o ordine bine determinata de dispunere a elementelor sale este o combinatie sau o multime ordonata.

@ Regula sumei

Daca  un anumit obiect A poate fi ales în m moduri, iar alt obiect B poate fi ales în n moduri, atunci alegerea lui A sau B poate fi realizata în (m + n) moduri.

@ Regula produsului

Daca  un anumit obiect A poate fi ales în m moduri s 151v2124b i daca dupa fiecare astfel de alegere, un obiect B se poate alege în n moduri, atunci alegerea perechii ( A;B ) în aceasta ordine poate fi realizata în (m · n) moduri.

2. Permutari. Aranjamente. Combinari

1. Permutari

@ Se considera o multime A cu n elemente, n Î N*. Orice functie injectiva 

f: ź A se numeste permutare a multimii A.

L Notam numarul tuturor permutarilor multimi A cu Pn.

L Permutariile unei multimi cu n elemente pot fi gândite ca grupari de n elemente ale acestei multimi, astfel încât doua grupari difera una de cealalta prin ordinea elementelor.

L Notam  n! = 1·2·3·...·n =  si citim "n factorial"

L Prin conventie  P0 = 0! = 1.

L  Fie propozitia P(n): "Numarul tuturor permutarilor multimii A cu n elemente este Pn = n! Pentru n = 1, propozitia este adevarata. Dorim sa aratam ca P(n) implica P(n+1). Fie A o multime cu n+1 elemente si fie f: ź A o functie injectiva. Observam ca f(n+1) poate fi ales oricare dintre cele n+1 elemente ale multimii A si o data fixat, celelalte elemente pot fi alese în n! moduri diferite, conform ipotezei. Astfel, stabilind pe rând pe fiecare element pentru f(n+1) vom obtine Pn+1 = ( n + 1 ) Pn Ț

Pn = n!

LProprietati ale factorialului

  1. Pn = n (n - 1) ( n - 2 ) ... ( n - k + 1) Pn-k , " k Î N, k ≤ n
  2. Pn+1 = ( n + 1) Pn
  3. k! · k = ( k + 1)! - k!
  4.  - 1

2. Aranjamente

 

@  Fie A o multime cu n elemente, n Î N*, si fie k Î N*, k ≤ n. Numin aranjament de n elemente luate câte k, k ≥ 1, ale multimii A, orice submultime ordonata de k elemente.

LO submultime ordonata a multimii A, formata din k elemente se descrie printr-o functie injectiva f: ź A.

 

LNotam cu  numarul tuturor aranjamentelor de n elemente luate câte k.

LAranjamentele de n elemente luate câte k ( ale unei multimi de k elemente ) sunt grupari de k elemente astfel încât doua grupari difera fie prin natura elementelor, fie prin ordinea lor.

LFie A o multime cu n elemente, n Î N*, si fie k Î N, k ≤ n, fixat. Numarul tuturor aranjamentelor din A, de n elemente luate câte k, este: 

LProprietati ale aranjamentelor:

1)     

2)     

3)     

 

 

3. Combinari

 

@  Fie A o multime cu n elemente, n Î N*, si fie k Î N, k ≤ n. Numim combinare de n elemente luate câte k orice submultime cu k elemente a multimii A.

L  Numarul tuturor combinarilor de n elemente luate câte k se noateaza cu .

L  Combinarile de n elemente luate de k, ale unei multimi cu n elemente, pot fi gândite ca grupari de k elemente, dintre cele n elemente ale multimii initiale, astfel încât doua grupari difera numai prin natura elementelor.

L   Fie A o multime cu n elemente, n Î N*, fie kÎ N, k ≤ n, fixat. Atunci, numarul tuturor combinatiilor de n elemente luate câte k este:



LCombinarile le putem gasi în triunghiul lui Pascal:

LProprietati ale combinarilor

1)     

2)     

3)     

4)     

5)     

6)     

7)     

 

3. Binomul lui Newton

@ Fie a si b doua numere reale si n Î N*. Atunci este adevarata egalitatea:

                                            

                                   

LAstfel, putem redefini combinarile ca fiind coeficientii binomului lui Newton! Totusi, ei pot fi diferiti de coeficientii dezvoltarii. De exemplu pentru ( 2a + b )2 = 4a2 + 4ab + b2, 4,4,1 sunt coeficientii dezvoltarii, iar 1,2,1 sunt coeficientii binomiali. Coeficientii binomiali se regasesc pe rândul n + 1 in triunghiul lui Pascal.

LTermenul general al dezvoltarii este:  , unde 0 ≤ k ≤ n

4. Calculul unor sume cu combinari

1)      Suma:

Principiu de rezolvare:

        

                 

                         

                                

 Ț


          

                      

                                                      

     Ț Ț    

     Ț

2)      Suma:

            Principiu de rezolvare: 

              Ț  Ț  Ț

            Ț

3)      Suma: , m, n Î N, k  ≤ n, k ≤ m

Principiu de rezolvare:

Observam ca suma este coeficientul binamiol a lui xk din dezvoltarea ( 1 + x )n · ( 1 + x )m

= ( 1 + x )m+n Ț  Ț

particularizare Ț 

4)      Suma

Principiu de rezolvare:

notam cu   si    )

Ț

Ț

Ț


loading...


Document Info


Accesari: 32891
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.




Coduri - Postale, caen, cor

Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2016 )