Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza






FORME LINIARE, FORME BILINIARE SI FORME PATRATICE

Matematica











ALTE DOCUMENTE

Formule matematice
FIsĂ DE LUCRU - impartirea exacta
DIVIZIBILITATE
FJ - Logica Bilete de examen. Modalitate
Multimi
Obiective cadru/ Obiective de referinta
Siruri de numere
MATLAB - Reprezentarea liniilor de contur
REPREZENTAREA SUPRAFETELOR
FORME LINIARE, FORME BILINIARE SI FORME PATRATICE


FORME LINIARE, FORME BILINIARE sI FORME PĂTRATICE

Parcurgând aceasta lectie veti dobândi cunostinte referitoare la:

§        Definitia formei liniare, a spatiilor dual si bidual ale unui spatiu vectorial;

§        Forme biliniare, matricea asociata unei forme biliniare într-o baza data si transformarea sa la schimbarea bazei;

§        Forme biliniare simetrice si forme patratice;

§        Metode de aducere a unei forme patratice la o suma de patrate (Gauss, Jacobi), forme patratice pozitiv definite.

Timpul minim pe care trebuie sa-l acordati acestei lectii este de 4 ore.

L.VI.1.1  Spatiul dual

Forme liniare

          Se numeste forma liniara a spatiului V peste corpul K o functie  având urmatoarele proprietati:

1.     .

2.     .

          Considerând pe corpul K structura de spatiu vectorial a lui  pentru , se vede ca o forma liniara este o aplicatie liniara de la V la K. De aceea se numeste forma liniara.

Exemple

1. Fie  o baza a spatiului V si  o matrice linie având n scalari. Pentru orice vector x al spatiului V sa notam  matricea coloana alcatuita din coordonatele  ale vectorului x. Din proprietatile operatiilor cu matrice rezulta ca functia: este o forma liniara a spatiului V.

Deci orice matrice linie A determina o forma liniara pe V. În particular, notând  matricea linie având n elemente, obtinem forma liniara  definita prin:. Asadar, functia care asociaza fiecarui vector x prima sa coordonata în baza fixata  este o forma liniara. Analog se definesc celelalte forme liniare  corespunzatoare celorlalte coordonate ale vectorului variabil x.

2. Fie  si sa notam A o matrice linie având m scalari si B o matrice coloana având n scalari. Tot din proprietatile operatiilor cu matrice rezulta ca asociind fiecarei matrice X de tip  scalarul  obtinem o forma liniara pe spatiul V.

În particular, luând în loc de A matricea linie cu m elemente toate nule în afara de cel de pe locul i care este egal cu unu si în loc de B matricea coloana având n elemente toate nule în afara de cel de pe locul j care este egal cu unu, obtinem faptul evident ca asociind fiecarei matrice X de tip  elementul sau de pe linia i si coloana j obtinem o forma liniara.

3. Fie  si pentru orice vector  asociem numarul real . Din proprietatile de calcul ale integralelor definite rezulta ca functia φ este o forma liniara.

4. Fie  multimea tuturor functiilor reale definite pe intervalul  si  un numar cuprins între a si b. Din definitia operatiilor cu functii reale, si anume adunarea functiilor si înmultirea acestora cu numere reale, rezulta ca functia:  este o forma liniara pe V.

Dualul unui spatiu vectorial

În capitolul anterior am aratat ca pentru orice doua spatii vectoriale V si V' peste corpul K, multimea  a aplicatiilor liniare definite pe V cu valori în  are o structura evidenta de spatiu vectorial peste corpul K.

Daca spatiile V si  sunt finit generate si se fixeaza o baza în V având n vectori si alta în  având m vectori, atunci asociind fiecarei aplicatii liniare matricea sa în raport cu aceste baze, se obtine un izomorfism al spatiului  pe spatiul al matricelor de tip .

Luând în locul lui V' spatiul K, (adica spatiul  pentru ) obtinem spatiul vectorial  numit dualul spatiului V. Deci dualul spatiului V este alcatuit din formele liniare ale lui V.

Din cele mentionate anterior rezulta ca daca V este finit generat, atunci fixând o baza  în V se obtine un izomorfism al spatiului dual  pe spatiul  al matricelor linie având n elemente. Acest spatiu are aceeasi dimensiune ca si V, deci este izomorf cu V. Am obtinut astfel urmatoarea.

Propozitie

          Daca spatiul V este finit dimensional atunci dualul sau, , este izomorf cu V.

          De altfel, acest izomorfism este explicitat în exemplul (1) prezentat mai înainte, unde se asociaza fiecarui vector  al bazei lui V forma , care este tocmai coordonata de indice i.

În fond, matricele linie  ale spatiului  formeaza tocmai baza canonica a acestui spatiu izomorf cu . Izomorfismul dintre  este tocmai cel care asociaza vectorului forma  matricea linie .

          Baza  a spatiului  asociata bazei  a lui V se numeste duala bazei . Vectorii (forme)  ai bazei duale sunt definiti de relatiile: , adica simbolul lui Kronecker, elementul generic al matricei unitate de ordinul n.

Formula de transformare a bazei duale

          Fie  o noua baza în V, notam  noile coordonate ale vectorului variabil x din V si  matricea de trecere de la baza  la noua baza. Vectorii bazei duale bazei  îi notam, fireste, . Ei satisfac conditia: . Pe de alta parte, notând  elementul generic al matricei , obtinem:

,

.

          Asadar, daca T este matricea de trecere de la baza  la baza , atunci matricea de trecere de la baza  la baza este .

          Totusi trebuie sa observam ca desi matricea de trecere de la baza duala celei vechi la baza duala celei noi este aceeasi ca matricea de trecere de la baza noua la baza veche, adica  totusi formulele nu sunt identice. Deosebirea se poate releva daca scriem forma matriceala a acestor formule:

;

.

          Bazele din  se schimba exact la fel cum se schimba coordonatele din V, ceea ce este normal, pentru ca formele bazei duale sunt tocmai coordonatele.

Bidualul unui spatiu vectorial

          Dualul dualului unui spatiu vectorial V se numeste bidualul lui V si se noteaza . Elementele sale sunt forme liniare definite pe spatiul  al formelor lui V.

          Daca V este finit generat atunci, asa cum  are aceeasi dimensiune cu V, si este deci izomorf cu V, tot asa dualul  al lui  este izomorf cu . Asadar bidualul  al lui V este izomorf cu V.

          Un izomorfism al lui V pe  se obtine compunând izomorfismul h al lui V pe  definit de baza duala, cu izomorfismul  analog, k,  al lui  pe .

          Interesant este faptul ca în timp ce izomorfismele h si k depind de baza aleasa în V si, în general, se modifica odata cu schimbarea acestei baze (daca se schimba baza lui V, atunci izomorfismele h si k nu vor mai fi aceleasi), compunerea lor, k×h, este un izomorfism intrinsec, adica nu depinde de baza aleasa în V.

Propozitie

          Izomorfismul k h al lui V  pe  se defineste prin: .

Demonstratie

Sa consideram o baza  a lui V , sa notam  baza duala din  si  baza lui  duala bazei .

Izomorfismul h este definit prin:  adica matricea lui h în raport cu cele doua baze, baza aleasa în V si duala sa din , este matricea unitate. În consecinta, daca vectorul x din V are coordonatele , atunci vectorul  va avea aceleasi coordonate în baza  a lui  si la fel si vectorul  în baza  a lui , adica:

.

Pe de alta parte, forma  a spatiului V , se defineste prin:  si, analog, forma a lui  se defineste prin: . Ca urmare, fixând vectorul x si notând  coordonatele unui vector oarecare din V, atunci:

si, analog,

.

Asadar, considerând în locul vectorului arbitrar  vectorul obtinem: . Q.E.D.

Observatie

          Pot exista transformari de baza pentru care izomorfismul h ramâne invariant. Dar iata o transformare de baza care schimba acest izomorfism.

Consideram schimbarea de baza pentru care matricea de trecere este , cu . Cum coordonatele se transforma cu matricea  înseamna ca noile coordonate ale lui x si y vor fi , respectiv  astfel ca în timp ce în vechea baza , în noua baza vom avea .

L.VI.1.2  Matricea unei forme biliniare

Forme biliniare

          Fie V un spatiu vectorial peste corpul comutativ K. Se numeste forma biliniara pe spatiul V o functie  având urmatoarele proprietati:

1.     ;

2.     ;

3.      ;

4.     .

          Ca si forma liniara, forma biliniara este o functie scalara, adica ia valori scalare. Dar spre deosebire de forma liniara, cea biliniara depinde de doua variabile vectoriale.

Primele doua proprietati exprima faptul ca daca se fixeaza variabila (vectoriala) x, se obtine o forma liniara în y. Din urmatoarele doua rezulta ca daca se fixeaza y, se obtine o forma liniara în variabila x. Tocmai pentru ca este liniara în ambele variabile se numeste biliniara.

Exemple

1. Fie  si A o matrice patratica de ordinul n. Daca x si y sunt vectori, adica matrice coloana, atunci notând  transpusa matricei x, aceasta va fi o matrice linie, iar produsul de matrice  va fi o matrice având o singura linie si o singura coloana, adica va fi un scalar. Din proprietatile operatiilor cu matrice rezulta ca sunt îndeplinite proprietatile din definitia formei biliniare. Asadar orice matrice patratica de ordinul n defineste o forma biliniara pe spatiul .

2. Fie V =  spatiul vectorial real al functiilor reale continnue definite pe intervalul  si, pentru orice pereche f si g de vectori din V ,. Din proprietatile de calcul ale integralelor definite rezulta ca sunt îndeplinite proprietatile din definitia formei biliniare.

Matricea unei forme biliniare într-o baza data

          Fie o baza a spatiului V si  o forma biliniara pe spatiul V. Matricea A care are pe linia i si coloana j scalarul  se numeste matricea formei biliniare φ în baza .

          Folosind aceasta matrice se poate exprima valoarea lui  în functie de coordonatele vectorilor x si y. Într-adevar, fie   coordonatele lui x si  coordonatele lui y în baza . Biliniaritatea lui φ înseamna ca φ se distribuie fata de suma, adica poate comuta cu operatia de sumare si, în cadrul fiecarui termen, scalarii pot trece în fata lui φ. Deci:

          Putem folosi si scrierea concentrata:  unde, amintim, .

          Observam ca daca , pentru orice x si y, atunci . Într-adevar, înlocuind în relatia  pe x cu xi si y cu , toti  sunt nuli în afara de  care este egal cu 1 si toti  sunt nuli în afara de  care este egal cu 1. Ca urmare în suma  un singur termen este nenul si anume cel care corespunde perechii de indici i si j, astfel ca

Formula de transformare a matricei unei forme biliniare
la schimbarea bazei

          Fie  o noua baza a lui V,  coordonatele lui x si  coordonatele lui y în aceasta baza. Notam  matricea de trecere de la baza  la baza .

          Ne propunem sa calculam matricea  a formei biliniare φ în noua baza în functie de matricele A si T. Pentru aceasta este suficient sa exprimam  în functie de coordonatele noi  si . Ţinând seama ca: si  rezulta:

 adica

          Reamintim în acest context ca formula de transformare a matricei unui operator liniar la schimbarea bazei este .

L.VI.1.3  Forme biliniare simetrice; forme patratice

          Forma biliniara  se numeste simetrica daca, pentru orice pereche de vectori x si y, se îndeplineste conditia: .

Propozitie

          Forma biliniara φ este simetrica daca si numai daca matricea sa într-o baza oarecare este simetrica.

Demonstratie

Fie matricea formei  în baza .

          Presupunem ca forma  este simetrica. Atunci, cum pentru orice pereche de vectori x si y se îndeplineste conditia: , rezulta în particular ca:

,

adica matricea A este simetrica.

Sa mai observam ca daca matricea A a unei forme biliniare  într-o baza oarecare este simetrica, adica  atunci ea este simetrica în orice alta baza. Într-adevar, daca matricea de trecere la o noua baza este T, atunci matricea formei  în noua baza este :

.

          Reciproc, sa presupunem ca matricea A este simetrica, adica  si sa notam , respectiv coordonatele a doi vectori oarecare x si y. Remarcând ca orice matrice patratica de ordinul unu este simetrica si ca  se obtine:

Forme patratice

          Daca în expresia unei forme biliniare:  înlocuim pe y cu x obtinem: , adica un polinom omogen de gradul doi în coordonatele  ale vectorului variabil x, care se numeste forma patratica.

          Ne punem problema daca din expresia unei forme patratice (un polinom omogen de gradul doi în ) putem sa recuperam forma biliniara din care a provenit, mai precis matricea formei biliniare. Este suficient de relevant sa efectuam aceasta analiza pentru cazul . Expresia formei biliniare este:
, iar forma patratica dedusa din aceasta este .

          Presupunem cunoscuta expresia formei patratice:

,

adica presupunem cunoscuti coeficientii si ne propunem sa determinam elementele matricei formei biliniare. Pentru aceasta dispunem de trei ecuatii:

 .

          Se vede ca elementele de pe diagonala matricei sunt determinate: ele sunt coeficientii patratelor. Pentru  este cunoscuta numai suma lor.

Deci exista o infinitate de forme biliniare care determina aceeasi forma patratica.

Dar daca forma biliniara este simetrica, atunci ea este determinata: .

          Acest lucru este valabil si pe cazul general, adica pentru n oarecare: exista o infinitate de forme biliniare care determina aceeasi forma patratica, dar dintre acestea numai una este simetrica. Când vorbim de matricea unei forme patratice întelegem matricea formei biliniare simetrice atasate. Ea se alcatuieste astfel: elementele de pe diagonala sunt coeficientii patratelor; elementul de pe linia i si coloana j este egal cu elementul de pe linia j si coloana i si este egal cu jumatatea coeficientului lui .

          La fel ca si în cazul operatorilor liniari, pornind de la faptul ca matricea unei forme biliniare depinde de baza, ne propunem sa gasim o baza în care aceasta matrice sa aiba forma diagonala.

Spre deosebire de cazul operatorilor liniari, de asta data problema are întotdeauna solutie. Ne vom ocupa însa de rezolvarea acestei probleme numai pentru cazul formelor simetrice, adica de fapt al formelor patratice. Solutia acestei probleme pentru cazul formelor patratice este utila în dezvoltarea ulterioara.

          Sa observam mai întâi ca, data fiind semnificatia matricei unei forme patratice, gasirea unei baze în care aceasta matrice sa fie o matrice diagonala echivaleaza prin rescrierea formei patratice, astfel încât ea sa apara ca suma numai de patrate cu diversi coeficienti, adica sa nu mai aiba nici un termen mixt, cum ar fi .

În consecinta în loc de "gasirea unei baze în care matricea formei patratice sa fie o matrice diagonala" putem spune "aducerea formei patratice la o suma de patrate".

L.VI.1.4  Metoda lui Gauss pentru aducerea unei forme patratice la o suma de patrate

          Consideram forma patratica ; în care variabilele  sunt coordonatele vectorului variabil x în baza a spatiului vectorial V peste corpul comutativ K. Presupunem ca , coeficientul lui  este nenul si îl vom numi în continuare pivot.

Prelucram din suma  partea constituita din termenii care contin variabila  tinând seama ca

-

Rezulta:

Sa calculam coeficientii  ai noii forme în care nu mai apare:

.

          Observam ca numaratorul din expresia lui  se calculeaza dupa "regula dreptunghiului". Asadar, în ipoteza ca  am scris forma patratica sub forma de patrat al unei forme liniare înmultita cu un scalar, la care se adauga o forma patrata cu mai putine variabile: dintre ele lipseste . Forma liniara din paranteza are drept coeficienti elementele de pe prima linie a matricei A.

Coeficientii formei patratice ramase (din care lipseste ) se calculeaza dupa regula dreptunghiului însotita de împartirea la pivot.

          Ceea ce s-a facut cu forma patratica initiala se poate face cu forma patratica obtinuta: în ipoteza ca , alegându-l pe acesta drept pivot, se scrie sub forma urmatoare: inversul pivotului înmultit cu patratului formei liniare având drept coeficienti elementele primei linii a matricei formei patratice la care se adauga o forma patratica în care nu mai apare nici  nici . Se transforma în continuare noua forma patratica obtinuta si asa mai departe.

          Asadar,  dupa n transformari (iteratii), în ipoteza ca de fiecare data elementul de pe prima linie si prima coloana a matricei formei patratice obtinute este nenul, forma patratica devine o suma de patrate de forme liniare, aceste patrate fiind înmultite cu diversi coeficienti:

,

în care:

 .

          Deoarece  sunt expresii liniare depinzând de , ele constituie coordonatele vectorului variabil x într-o noua baza, . Notând, ca de obicei, cu T matricea de trecere de la baza  la baza  putem scrie:

 ,

din care, calculând matricea T putem obtine noua baza .

          Sa revenim acum asupra ipotezei . Daca  înseamna ca lipseste termenul care contine monomul . Presupunem ca în expresia formei patratice exista un patrat având coeficientul nenul, altfel spus, diagonala matricei are cel putin un element nenul, fie acesta .

Înlocuind:  ( vor fi coor-donatele vectorului variabil x într-o noua baza, si anume ), matricea formei patratice va avea pe locul de pe prima linie si prima coloana elementul  coeficientul lui  coeficientul lui . Luându-l pe acesta drept pivot se poate efectua transformarea descrisa.

          Presupunem ca forma patratica nu contine nici un patrat, adica toate elementele de pe diagonala matricei sunt nule. Presupunem totusi ca matricea are cel putin un element nenul în afara diagonalei, fie acesta .

Trecând la noile coordonate , definite de:

,

matricea formei patratice în noile coordonate va avea elementul de pe prima linie si prima coloana nenul.

          Este posibil ca, dupa  iteratii, forma patratica ramasa sa fie nula. Atunci forma patratica va avea, fireste, numai r patrate. Primele r dintre coordonatele  se definesc prin formulele de mai sus, iar celelalte se pot lua egale cu coordonatele corespunzatoare . Numarul r se numeste rangul formei patratice. El este egal cu rangul matricei A a formei, deoarece pe de o parte matricea B a formei în noua baza va avea primele r elemente de pe diagonala egale cu cei r coeficienti nenuli, iar celelalte elemente ale matricei sunt nule astfel ca . Pe de alta parte, notând cu T matricea de trecere la noua baza, acesta este inversabila si , astfel ca .

Exemple

          1. Sa se aduca la o suma de patrate forma patratica:

,

în care  sunt coordonatele vectorului variabil  în baza canonica.

Rezolvare

Scriem matricea A a formei patratice careia-i aplicam transformarile (iteratiile) corespunzatoare:

.

          De fiecare data se transforma blocul obtinut prin excluderea primei linii si coloane, în care se afla pivotul. Elementele blocului se transforma cu regula dreptunghiului urmata de împartirea la pivot. De exemplu, primul element al blocului se transforma astfel:

.

          Se obtine urmatoarea expresie a formei patratice:

,

în care:

,

din care se poate scrie matricea de transformare a coordonateelor:

 si deci .

          Coloanele matricei T constituie vectorii noii baze.

          2. Aducem la o suma de patrate prin metoda lui Gauss urmatoarea forma patratica din :

          Dupa prima iteratie matricea obtinuta are elementul de pe prima linie si prima coloana egal cu zero, deci acest element nu poate juca rolul pivotului.

Forma patratica a devenit:

,

adica patratul formei liniare având drept coeficienti elementele primei linii a matricei A plus o forma patratica în  a carei matrice este .

Efectuam urmatoarea transformare de coordonate:
. Înlocuind  în functie de  forma patratica devine:

.

          Matricea B a formei în  are primul element nenul si deci ei i se pot aplica transformarile respective:

          Deci:

,

unde:

.

          3. Aducem la o suma de patrate forma patratica:

.

Forma nu contine nici un patrat, matricea formei are toate elementele de pe diagonala egale cu zero.

Efectuam urmatoarea transformare: . Înlocuind în forma patratica, aceasta devine:

.

          Matricei B a formei i se pot aplica transformarile respective:

          Asadar,

unde:

L.VI.1.5  Metoda lui Iacobi

          În anumite conditii se poate aplica si o alta metoda care cu aspect mai sintetic.

Teorema

          Fie  matricea unei forme patratice în baza  a spatiului vectorial V si pentru orice  sa notam  minorul matricei A format cu primele r linii si coloane; .

Daca toti acesti minori sunt nenuli, atunci exista o baza  în care expresia formei patratice este:

.

Demonstratie

Pentru fiecare r vectorul  îl cautam de forma:   . Determinam coeficientii  astfel ca vectorul  sa înde-plineasca urmatoarele conditii:   .,  .

Ţinând seama de linearitatea formei  în prima variabila si de faptul ca  conditiile impuse vectorului  revin la sistemul liniar:

 .

          Sistemul are r ecuatii cu tot r necunoscute, iar determinantul matricei coeficientilor este tocmai  despre care stim prin ipoteza ca este nenul.

Prin urmare sistemul este compatibil si chiar determinat. Observam în plus ca, potrivit regulii lui Cramer, .

          Ramâne sa demonstram ca vectorii  formeaza o baza si ca aceasta baza îndeplineste conditia din enuntul teoremei.

          Matricea coordonatelor vectorilor  este triunghiulara având pe diagonala elementele  care sunt nenule. Prin urmare determinantul acestei matrici este nenul, de unde rezulta ca vectorii  constituie o baza.

          Sa notam  matricea formei patratice în baza .

Pentru

deoarece

.

Din cauza simetriei matricei B deducem ca si pentru  avem , adica matricea B este o matrice diagonala.

          Elementele de pe diagonala sunt:

          Din definitia matricei unei forme patratice rezulta ca expresia formei
patratice este cea din enunt. Q.E.D.

Exemplu

Vom folosi metoda rezultata din teorema lui Iacobi pentru a aduce la o suma de patrate forma patratica:

,

în care  sunt coordonatele vectorului variabil  în baza canonica.

Matricea formei este:

,

din care rezulta:  toti nenuli, astfel încât se poate aplica metoda Iacobi. Expresia formei patratice este:

,

în care  sunt coordonatele vectorului variabil x într-o noua baza,

.

Vectorii  constituie baza canonica, iar coeficientii  se determina din sistemele:

.

          Rezolvând sistemele se obtine:

.

L.VI.1.6  Teorema inertiei (Sylvester)

          Cunoscând faptul ca exista mai multe metode de aducere a unei forme patratice la o suma de patrate se pune problema în ce masura pot sa difere rezultatele daca aceeasi forma patratica este adusa la o suma de patrate prin doua metode diferite.

          Am remarcat deja ca numarul coeficientilor nenuli nu poate sa depinda de metoda. Acest numar a fost numit rangul formei. El este rangul matricei formei într-o baza oarecare, care rang nu se schimba daca se schimba baza.

          Pentru a gasi alti invarianti ai formelor patratice trebuie sa facem o restrictie asupra corpului de scalari. Mai precis, obiectul teoremei care urmeaza este cel al spatiilor vectoriale reale, adica acelea în care corpul de scalari este corpul numerelor reale.

Teorema

          Fie V un spatiu vectorial real finit generat si  o forma patratica definita pe acest spatiu. Daca forma este adusa la o suma de patrate prin doua metode diferite, atunci numarul coeficientilor pozitivi, negativi si nuli, în cele doua rezultate, este acelasi.

Demonstratie

Folosind una din metode, se ajunge la o baza  în care expresia formei patratice este:

în care  sunt coordonatele vectorului variabil x în baza , iar  sunt numere reale strict pozitive si . Asadar forma are r coeficienti strict pozitivi, s sunt strict negativi, iar restul, pâna la n, sunt nuli.

          Folosind o alta metoda, se ajunge la baza  în care expresia aceleiasi forme patratice este:

în care  sunt noile coordonate ale lui x, iar  sunt numere reale strict pozitive si, fireste, . Altfel spus, prin aceasta metoda s-au obtinut p coeficienti strict pozitivi, q strict negativi, iar restul pâna la n sunt nuli.

          Vrem sa demonstram ca  .

Presupunem, prin reducere la absurd, ca . Sunt atunci posibile doua situatii: sau . Alegem prima varianta, adica .

Consideram sirul de vectori:. Numarul lor este  care este strict mai mare decât dimensiunea n a spatiului V în ipoteza ca . Prin urmare acesti vectori nu pot fi liniar independenti.

Exista deci scalarii:  nu toti nuli, astfel încât:

.

          Cel putin unul dintre scalarii  este nenul. În caz contrar am avea o combinatie liniara nula a vectorilor , care constituie o baza, de unde ar rezulta ca toti coeficientii acestei combinatii liniare ar fi nuli, deci odata cu coeficientii  devin nuli si coeficientii .

          Notam . Din relatia de mai sus rezulta: . Am obtinut aici scrierea lui  atât ca o combinatie liniara de , cât si ca o combinatie liniara de . Mai precis, pentru vectorul  avem, pe de o parte:

,

iar pe de alta parte:

.

          Folosind prima expresie a lui φ obtinem:

deoarece toti coeficientii  sunt strict pozitivi si cel putin unul dintre coeficientii  este nenul.

          Folosind a doua expresie a lui φ obtinem:

deoarece toti coeficientii  sunt strict pozitivi.

          Am ajuns astfel la o contradictie care provine din ipoteza ca . La fel se înlatura si ipoteza ca. Asadar. Analog se demonstreaza ca . Q.E.D.

Forme patratice pozitiv definite

          O forma patratica  definita pe un spatiu vectorial real se numeste pozitiv definita daca fiind adusa la o suma de patrate, toti coeficientii patratelor sunt strict pozitivi.

          Teorema anterioara ne asigura ca nu întâlnim ambiguitati în a decide daca o forma este sau nu pozitiv definita (altfel spus ca definitia este "consistenta"). Într-adevar, daca folosind o metoda de aducere la o suma de patrate forma obtinuta are n coeficienti strict pozitivi, atunci la fel se va întâmpla daca folosim orice alta metoda.

Propozitie

          O forma patratica  a unui spatiu real V de dimensiune n este pozitiv definita daca si numai daca exista o baza în care matricea formei este matricea unitate .

Demonstratie

          Evident ca daca matricea lui  într-o baza este matricea unitate, atunci  este pozitiv definita. Reciproc, sa presupunem ca forma  este pozitiv definita. Exista atunci o baza  în care expresia formei patratice este  cu toti coeficientii  strict pozitivi. Notând  expresia formei patratice devine:

.

Matricea formelor liniare  este o matrice diagonala cu elementele de pe diagonala, deci o matrice inversabila. Asadar  reprezinta coordonatele vectorului variabil x într-o alta baza. În aceasta noua baza matricea formei  este matricea . Q.E.D.

L.VI.1.7  PROBLEME PROPUSE

PP.VI.1.7.1  Fie  spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult  cu coeficienti reali, de variabila reala ,  un numar real fixat si aplicatia:  definita prin: .

a)     Sa se arate ca  este forma liniara pe ;

b) Sa se afle care sunt formele liniare pe  pentru care exista un un numar  astfel încât valoarea formei liniare în  sa fie .

PP.VI.1.7.2 Se considera forma biliniara: , definita prin: . Sa se scrie matricea sa asociata:

a) în baza canonica;

b) în baza , unde: , , , .

PP.VI.1.7.3  Sa se precizeze care din urmatoarele functii sunt forme biliniare si în caz afirmativ sa se gaseasca matricea si rangul formei si spatiul nul relativ la al doilea argument. (Fie  este o forma biliniara. Multimea vectorilor  formeaza un subspatiu liniar al lui  numit spatiul nul al lui  relativ la al doilea argument.):

a) , ;

b) , .

PP.VI.1.7.4 Se da forma patratica: , .

a)     Sa se scrie matriceal si sa se determine rangul formei;

b) Sa se gaseasca expresia canonica prin metoda Gauss si sa se stabileasca matricea de trecere.

PP.VI.1.7.5  Se considera forma patratica:   , ;

          a) Sa se reduca la forma canonica prin metoda lui Gauss si sa se determine si baza în care are loc forma canonica;

b) Sa se reduca la forma canonica prin metoda lui Jacobi si sa se determine baza si formulele de schimbare a coordonatelor.

L.VI.1.8  TEST DE AUTOEVALUARE

          TAev.VI.1.8.1  Fie  vectori din .

a) Sa se arate ca exista o singura forma liniara , astfel încât: ;

b) Sa se determine dimensiunea si o baza a subspatiului .

          TAev.VI.1.8.2  Fie  spatiul vectorial al functiilor polinomiale reale care au cel mult gradul trei si fie  aplicatia definita prin: .

a) Sa se arate ca  este o forma biliniara;

b) Sa se determine matricea sa în baza canonica a spatiului si apoi matricea sa în baza .

TAev.VI.1.8.3  Sa se precizeze care din urmatoarele functii sunt forme biliniare si în caz afirmativ sa se gaseasca matricea si rangul formei si spatiul nul relativ la al doilea argument (a se vedea problema nr. PP.VI.1.7.3):

a) , ;

b),  .

          TAev.VI.1.8.4  Se considera formele patratice:

          1) , ;

          2) , .

          a) Sa se reduca la forma canonica prin metoda lui Gauss si sa se determine si baza în care are loc forma canonica;

          b) Sa se reduca la forma canonica prin metoda lui Jacobi si sa se determine baza si formulele de schimbare a coordonatelor.

TAev.VI.1.8.5  Se dau urmatoarele forme patratice:

          1) , ;

          2) , ;

3), .

Sa se gaseasca pentru fiecare o baza ortonormata fata de care forma patratica are o expresie canonica.


Document Info


Accesari: 4720
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.

 


Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2014 )