Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza
Upload



















































GEOMETRIE ANALITICA

Matematica


GEOMETRIE ANALITICA




1.    PUNTUL }I DREAPTA

2.    CERCUL,ELIPSA,HIPERBOLA, ]i PARABOLA

3.     SUBIECTE DE BACALAUREAT

 

§ 1  PUNCTUL }[r1] I DREAPTA

              10   Distanta d dintre doua puncte M1(x1,y1) ]i M2(x2,y2) din plan este:

 d=

       20 Coordonatele punctului P(x,y) care [mpart segmentul M1M2 [n raportul k : M1P=k*PM2 sunt               x=, y= . Daca  P este mijlocul segmentului M1M2 este P.

30  Coordonatele centrului de greutate G al triunghiului format de punctele Pi(xI,yI)  I sunt G

x=  , y=.

40    Ecuatiile unor drepte particulare din plan:    x=0  (axa y'oy)   y=x(prima bisectoare)

                                                                              y=0  (axa x'ox)   y=-x(adoua bisectoare)

                                                                              x=a  (dreapta   y'oy)  y=m*x(trece prin O(0,0) )

                                                                              y=b  (dreapta    x'ox)

50    Ecuatia generala a dreptei :  Ax+By+C=0, A2+B20

Ecuatia redusa a dreptei  y=mx+n

60    Panta dreptei ce trece prin punctele M1(x1,y1), M2(x2,y2)  m=

    y                       ( C )                 m =tg=f'(x)=lim

f(x)                                                                     xx0

                     q                               Daca f'(x)=+(-) atunci tangenta este úú  y'0y        

        0                     x0                             x

    70   Ecuatia dreptei care taie axele de coordonate [n A(a,0) si B(0,b) sau ecua\ia dreptei prin t`ieturi         

    80   Ecuatia normala a dreptei : x  cos a+y sin a - p=0                             

    90   Ecuatia dreptei care trece prin P0(x0,y0) ]i care are coeficientul unghiurilor m este :y-y0=m(x-x0)

100 Ecuatia dreptei care trece prin doua puncte P1(x1,y1) si P2(x2,y2): sau sub forma de determinant:                            x   y     1

                                                x1  y1   1    =0

                                                                                x1  y2     1 

110   O condi\ie necesar` ca  dreptele D1 si D2 s` fie parabole este mD=mD

120   O condi\ie necesar` ca dreptele D1 si D2 s` fie perpendiculare este ca mD= -   

130   Unghiul  al dreptelor D1 si D2 de cceficienti unghiulari m1, m2 este dat de tg=

140   Distanta d de la punctul P0(x0,y0) la dreapta D : Ax+By+C=0 este d=

150   Aria triunghiului determinat de MI (xI,yI)  I=1,2,3  este  S=  ,unde

D=   x1    y1    1

         x2   y2    1

         x3   y3    1  

                                                                                                                                    

   PROBLEME:

Este util ca rezolvarea oricarei probleme de geometrie s` inceap` cu desenarea figurilor corespunz`toare.

1)        Un triunghi are varfurile :A(-2,-1), B(1,2), C(3,0)

a)  S` se calculeze perimetrul triunghiului, aria triunghiului ,raza cercului inscris triunghiului,reza cercului circumscris triunghiului;

b)       S` se calculeze simetricul punctului B fat` de mijlocul segmentului AC.

R: a)  Deoarece AC2=AB2+BC2   conform reciprocei teoremei lui Pitagora mABC=900

           P=AB+AC+BC=2p,   S=      ,   r=,  R=

b)       Fie B1 simetricul lui B fat` de M , unde M mijlocul segmentului AC , M

                        xM=

                               yM= -

2)        Coordonatele a dou` varfuri ale unui triunghi echilateral sunt (1,0) si (-1,0). S` se determine

coordonatele celui de-al treilea farf.

R: (0,)  si (0,-)

3)       Sa se caracterizeze patrulaterul de varfuri A(-5,4),  B(3,5),  C(7,-2),  D(-1,-3);

R: mAB=mCD=,  mBC=mAD= - ABCD paralelogram.

4)    Dreapta d are panta 2 si contine punctul A(1,1) . S` se determine punctele lui d care se afl` la distanta  1  fat` de A

        R:  M1(1+),   M2()

5)     Fiind dat` func\ia prin rela\ia f(x)=x2+x-3  s` se determine ÎR astfel [ncat tangenta  functiei [n        punctul (2,f(2))  s` fie paralel` cu prima bisectoare .

R: Calcul`m f'(2)=lim =lim=lim

                             x2                  x2                                 x2

         Tangenta la graficul func\iei este paralel` cu prima bisectoare  m=f'(2)=1 =-3ecuatia tangentei in (2, f(2) ) este: y-f(2)=f'(2)(x-2) y-(-5)=1(x-2) x-y-7=0

6)          Fiind date fuc\iile f(x)=x2+x+2 ,  g(x)=s` se determine  astfel [nc@t graficele celor  dou`  fuc\ii s` aib` o tangent` comun`  in punctul de abcis` 1

     R:  Se impun conditiile : f(1)=g(1)=0 si m=f'(1)=g'(1)sistemul obtinut este    +2=0

                  

              =3,  =-5                                                                                        2=1  

7)          Se d` triunghiul de v@rfuri A(-1,3),  B(2,-1). S` se g`seasc`:

a)       Ecua\ia dreptei AC

b)       Ecua\ia parabolei prin Bla AC

c)       Ecua\ia mediatoarei  segmentului [BC]



d)       Ecua\ia medianei din C

e)        Ecua\ia [n`ltimii din C

R:   a)  mAC=y-yA=mAC(x-xAC)y=

b)       d1|| AC   md=mAC=d1:  y=

c)       M mijlocul segmentului BC,  M()  d2 ,   d2^BC md=-=-

d2: y=-

d)     N mijlocul segmentului [AB], N()   mNC=2y-yC=mNC(x-xc)y=2x

d)       CC1 ^ABmCC=-  coliniare CAB  dreptunghic [n  A ecua\ia [n`l\imii din C este chiar AC: y=    

8)          a)  }tiind c` A(1,2)  este piciorul perpendicularei duse din origine pe dreapta d, s` se scrie ecua\ia dreptei d

b)       S` se g`seasc`  proiec\ia punctului B(-2,1) pe dreapta d: 2x+y+1=0

c)       S` se scrie ecua\ia dreptei ce trece prin  C(1,3) ]i este echidistant de punctele M1(-1,0), M2(1,-1)

d)       S` se determine coordonatele simetricelor puntului D[-1,2) fa\` de dreapta d: x+y+1=0 ]i fa\` de E(-1,-4)

R:  a)  y=               b)   B1=()

      c)  y=              d)    D'=(-3, 0)   D''=(-1, -10)

 9)      S` se determine ecuatiile simetricelor dreptei d1: -x+2y-1=0 fa\` de dreapta d2: x-y=0 ]i fa\` de

A(-2, 5)

R:  d':  2x-4-1=0;  d3:  5x-10y+5=0

10)          S` se scrie ecua\iile medianelor triungiului format de A(1,4) , B(3,-1) , C(8,-2). S` se demonstreze     

          c`  centrul de greutate se afl` pe fiecare dintre ele.

          R:  3x+y-7=0 ;  y-1=0;  x+2y-4=0  G(2,1)

 11)          Se dau punctele A(2,1) si (D)  2x-3y+1=0 , (D')  x+2y-7=0. S` se determine punctul M de pe (D)     

          ]tiind ca mijlocul segmentului AM se afl` pe (D')

R: M(4,3)

 12)           Dreptele d1: x-3y+4=0  ]i d2:  2x-y-5=0  determin` patru unghiuri .S` ae g`seasc` m`sura        

           unghiului al carui intereior con\ine 0(0,0)

           R:  m1=,  m2=2, (0,)tg ==1

13)           S`  se calculeze lungimile [naltimilor   ABC cu A(2,1), B(6,-1), C(4,4)

           R:  Scriem ecuatiile laturilor si calcul`m  d(A,BC)==, d(B,AC)=

14)                       S` se calculeze aria ABCD , A(-2,2), B(-3,-1), C(-2,-3), D(2,0)

             R: ABCD=ABC+ACD=

 

§ 2

           2.1  CERCUL   =M/  CM=r , C(a,b) 

10             Ecua\ia cercului C cu centrul in origine s] raza r este :  ( 1 ) x2+y2-r2 =0                

                Ecua\iile parametrice : x=r cos q, y=r sin q, q[0,2p)

20             Ecua\ia cu paratele str@nse este:  ( 2 )  (x-a)2 +(y-b)2-r2=0, (a,b) centrul, r raza

                Ecua\iile parametrice : x=a+r cos q, q[0,2p)

30             Ecu\tia normal` a cercului este : x2 + y2 + mx + ny + p=0, a=, b=, si r2=

40             Ecua\ia general` a cercului este : A0,  A (x2+y2) + Dx+ F=0

50             Ecua\ia patratic` a tangentelor la cercul ( 1 ) duse din punctul exterior P0(x0,y0) este (r2-y02)( x-                    

       x0)2+2x0y0(x-x0)(y-y0)+(r2-x02)(y-y02)=0

60             Puterea a punctului P0(x0,y0) fa\` de cercul ( 2 ) este = (x0-a)2 + (y0-b)2 - r2

70             Cercurile C1 si C2  de ecua\ii:   x2+ y2 + mIx + niy +pI=0 , i=1,2  sunt ortogonale m1m2+n1n2 -

       -2(p1+p2)=0 .

80              Ecua\ia cercului care trece prin trei puncte necoliniare date , PI(xI,yI) , I=1,23  este:

                             x2 + y2       x       y       1

                             x12 + y12    x1      y1      1

                             x22 + y22    x2      y2      1    =0

                             x32+y32      x3      y3      1  

                 

 90              Ecua\ia tangentei la cercul ( 1 ) respectiv cercul ( 2 ) in P0(x0,y0) este  :  xx0 + yy0 - r2=0 si                     

          respectiv  xx0 + yy0 +   

100               Ecua\`iile tangentelor la cercurile ( 1 ) si ( 2 ) cu o direc\ie dat` m sunt: y=mxrc@nd        

          centrul cercului  se afl` in origine , respectiv  y-b=m(x-a) r c`nd centul este (a,b).

2.2              ELIPSA  =M/  MF+MF' = 2a,  F(c,0),  F(-c,0) 

10               Elipsa E [n raporta la axe au ecua\ia canonic]` ( 1 )   ,  a,b lungimile       

           semiaxelor C= distant`\a  de la centru la focare F si F'

                                                                      

                                          B(0,b)      y  

            

                                                                        

        A'(-a,0)                                       0                                A(a,0)                                           

                                                                                          

                                                                                                    x                          

                                                   x

                                         B'(0,-b) 

                                        

 20            Elipsa cu centrul O'(p,q) raportat la reperul  x0y  si av@nd axele paralele cu axele sistemului de    

          coordonate :  ( 2 )   +-1 =0

 30             Ecua\iile  parametrice ale elipsei sunt x=a cos ,  y=b sin  ,   [0,2p)

 40         Ecuatia canonic` a tangentei la elipsa E in P0(x0,y0) E  este :

 50            Ecua\iile tangente la elips` paralele cu o directie dat` m  sunt : y=mx       




 60            Ecua\ia                   a tangentelor la E care se pot duce din punctul P0(x0,y0) exterior  elipsei este:

          (a2-x02)(y-y0)2 +2x0y0(x- x0)(y-y0) + (b2-y02)(x-x0)2 =0

 70            Locul punctelor  de unde se pot duce tangente perpendiculare la elipsa  este centrul lui Monge :

          x2 + y2 = a2 + b2

 80            Ecuat\a normalei  la elipsa  [n P0 (x0, y0) E este : y - y0 =(x - x0 )

 90            Excentricitatea elipsei este e=1

 100          Aria elipsei este S=p a b

                2.3  HIPERBOLA   =

  

                                                           y                  

                               


                  F'( -c, 0)                      


                                                    0

                                                 

10           Hiperbola la axe are ecuatia canonic` ( 1 ) H:   , a,b sunt lungimile semiaxelor

 c=  este  distan\a de la centrul 0 la focarele F, F'

 20           Hiperbola cu centrul O'( p, q ) raportate la reperul  x0y si av@nd axele sale paralele cu axele reperului are ecua\ia ( 2 ) : 

 30           Ecua\iile parametrice ale hiperbolei sunt : x= )  ;  y=),  R

 40           Ecua\ia hiperbolei conjugate cu ( 1 ) este :

 50           Ecuatia hiperbolei                   este :  x2 - y2  = a2

 60           Ecua\ia tangentei la hiperbola H in P0( x0, y0 ) H este 

 70           Ecua\iile tangentelor la hiperbola paralele cu o directie data m sunt: y=mx

 80           Ecua\ia patratica a tangentelor la hiperbola care se pot duce din P0(x0 , y0 ) exterior hiperbolei este:

( a2 - x02 )( y - y0 )2 + 2x0y0( x - x0 ) - ( b2+ y02 )( x - x0 )2=0

 90            Locul punctelor de unde se pot duce tangente perpendiculare la hiperbola este cercul lui Monge :

x2 + y2 = a2 - b2 ,cand a b   

 100             Ecua\ia normalei la hiperbola [n P0 (x0 , y0) este  y -y 0 = -                                                 

 110             Raportul distan\elor de la un punct al hiperbolei la focar si la directoarea corespunzatoare este constant ]i egal cu  . Acest raport se nume]te excentritate si este supraunitar.

         

2.4.    PARABOLA =

                                

                                   y


     (D)     N                         M    

                                                                                             p  -  parametrul parabolei 

      

                                                        x                                    F -  focarul parabolei

                           0                                                                 D -  directoarea parabolei      

     -                                F(, 0 )  (D):  x= -

10                 Ecua\ia canonic` a parabolei  P raportat la axa ei de simetrie 0x  si tangenta la 0y [n v@rful sau 0 este : y2 - 2px = 0

20                  Parabola cu varful O' ) raportat la reperul x0y ]i av@nd axa si tangenta la v@rf paralele cu axale reperului , este : (y - )2 - 2p (x - ) = 0

30                  Ecua\ia x = ay2 + by + c  reprezint` o paralela cu p =  ,  

40                  Ecua\iile parametrice ale parabolei sunt :    x =

                                                                                          y = R

50                  Ecua\ia tangentei la parabola  P  in P0( x0 , y0 ) R  este yy0=p( x + x0)

60                  Ecua\ia tangentei la parabola , paralel` cu o directie data m este : y = mx +   

70                  Ecua\ia  patratic` a tangentelor la parabola care se pot duce dintr-un punct P0 (x0 , y0) exterior parabolei este : 2x0( y - y0 )2 - 2y0(x - x0)(y - y0) + p(x - x0)2 = 0

80                   Ecua\ia normalei la parabol` [n P0(x0 , y0 ) P este:  y - y0 = -  

90                   Excentritatea parabolei este e= 1

                      PROBLEME  :

1)                         a) S` se afle centrul ]i raza cercului a c`rei ecuatie  este : 3( x2 + y2 ) - 4x +6y +3 = 0

                        b) Originea axelor exterioare cercului?

              c) S` se scrie ecua\ia tangentei la cerc [n punctul A(0, -1 )

                         d) S` se scrie ecuat\a tangentei la cerc paralel` cu a doua bisectoare

                        e) S` se calculeze aria cercului

            R:        a) Se [mparte ecua\ia la 3 ]i se ob\ine ecuatia normal` , de unde rezult`: a=, b=-1, r2=   (C)  (x- =0

                        b) p=3   originea O( 0, 0 ) este exterioar` cercului

                        c)  Deoarece coordonatele punctului A verific` ecua\ia cercului ( C ) ]i se ob\ine ecua\ia : ecua\ia axei y'0y

                        d) Ecua\ia celei de-a doua bisectoare este y=-x, m =-1 ecua\ia tangentei  y+1=( -1 )(x - ) 

           e)A=p r2=

2.                 a) S` se determine v@rfurile ]i semiaxele elipsei 2x2+ 4y2 - 5 =0

b) S` se scrie ecua\ia tangentei la ( E ) [n punctul C( )

                          c) S` se scrie ecua\iile tangentelor  la ( E ) perpendiculare pe prima bisectoare

                          d) S` se calculeze aria elipsei

R:           a) Ecua\ia se scrie : din care se deduce : a2=, b2=.  V@rfurile sunt

  A(), A' (- ,  B(0,), B'(0,-)

               b) Coordonatele punctului C verific` ecua\ia elipsei :ecua\ia tangentei la

( E ) [n C este ecua\ia :

                c) x=y , m =1panta tangentelor este m=-1

                d) A=pab=

 

2)                         a) S` se determine varfurile , focarele si asinptotele  hiperbolei : 2x2 -5y2 - 8 =0

b) S` se scrie ecuat`\ia tangentei la hiperbol` [n punctul C(2,0)

                         c) S` se scrie ecua\iile tangentelor la hiperbol` paralele cu dreptele care fac cu axa x'Ox un unghi ( ) =  



                         d) S` se reprezinte hiperbola                          rapoartelor la ssimptotele de ecuatie : xy=1

             R:            a)   S` se scrie hiperbola sub forma :   ( forma gasita prin impar\irea ecua\iei ini\iale la 8 )

                              a=4 ,b2=V@rfurile sunt A( 2 , 0 ) , A' (-2, 0 ), focarele F ( 2 F' (-2.      Ecua\iile asimptotelor se deduc astfel : y=

                    b)  Coordonatele  punctului C( 2,0) verific` ecua\ia hiperbolei ecua\ia                               tangentei la hiperbola [n punctul C este :  

3.                      a)  Se consider` parabolele fixate respectiv prin :

i)                     varful O(0,0) ]i focarul F(2,0)

ii)                   focarul  F(1,1) ]i directoarea x=2               

b)       S` se gaseasc` v@rful , focarul ]i directoarea perabolelor P1: y2=2x, P2: x2=- 5y

           R:            a)   i)  O( 0 , 0 ) ,F( 2 , 0 )  

                                (D) : x=-2 directoarea

                                     ii)  axa de simetrie :y=1; Conform defini\iei : d(M,F) =d(M,D)     x2-2x+1+(y-1)2 =4x2-4x+4 . Pentru y=1 se ob\ine v@rful V(

parabola intersecteaz` Oy in punctele de ordonate 1 si Oy in (1,0)

                                                                                                                               y

                 (D)          y       

     x=-2                                                                                                                      (0,1+)

                                                                                                                                

                                                                                                                               F          V     y=1

                        0         F(2,0)                x                                                            0    (0,1-)      x      

                       b) P1: are p=1 , directoarea de ecuaite 2x+1 =0 , focarul F(, varful O(0,0) ]i axa de simetrie Ox

                              P2: are p=-  focarul F(0,) directoarea y= , v@rful (0,0) axa de simetrie Oy

5                      a) Se da parabola y2=2px. Sa se determine inclinarea tangentei pe care axale de coordonate taie un segment egal cu p     

                       b) Fiind data parabola P:y2=6x ]i punctul M(5,8) s` se gaseasc` normalele parabolei care trec prin M.

R:                   a) Tangenta y=mx + taie axele [n M()  

                           b) Un punct       al  parabolei date este N(.Normala [n N are ecua\ia y - a=- . Normala trece  prin M a3-12a=114 (a-6)(a2 +6x+24)=0 a1=6R ,a2,a3C- R

ecua\a normalei              : 2x+y=18

c)       tg=m ecua\ia tangentelor la hiperbol` de directie m sunt :

y=x

                              d)                    y 

                                                                                                      V@rfurile au coordonatele :A1(1,1), A2(-1,-1)       

                                                                                                       Focarele au coordonatele :F1()    

                                                                      F1                                                                           F2(- 

                                                                  A1 

                                                                               

                                                                                                        Axa trasat` este prima bisectoare y=x

                                                 0        450  

                                                                        

                                   A2                                                 x     

                                     

                              F2 

Observatie : Pentru a calcula aria f,g sunt exerci\ii [n care trebuie s` reprezentam : cercuri , parabole elipse , hiperbole , s` calcul`m intersec\ia dintre ele pentru a determina limetele de integrare ]i [n final s` calcul`m aria cuprins` [ntre graficele func\iilor f,g ]i dreptele x=a , x=b : Aria (f,g)=

         Exemplu: S` se calceluze aria cuprins` [ntre curbele (c1): x2+y2=8, (c2): y2=2x

        R: Rezolv@nd sistemul      x2 +y2=2x

                                                  Y2=2x

  Ob\inem  abcisa punctului de intersec\ie dintre cerc ]i parabola x=2


                                                                                  y   

                                                               (D)

                                                                 

                                                                                          I (2,2)

                                             y=                            y=

                                                   

                                                                                                                       x

                                                                           0     

                                              B(- ,0)                                   B(2,0)                                                    

      

                  Cercul are centrul [n origine si raza  r=2 ,paralela are varful [n origine ,p=1, focarul are coordonate F(,0) si directoarea de ecuatie (D): x= -

                  Aria cautat` este suma celor doua arii hasurate    A(f,g)=A1+A2

                                         A1=2   =

                                         A2=2  =8 arcsin 1 - 8 arcsin

BACALAUREAT 1998

                      CLASE CU PROFIL MATAMATIC^ , FIZIC^, INFORMATIC^

        VARIANTA 1

(1p)    Se consider` punctele A(1,1), B(2,3) ]i dreapta d: x-4y+7=0 . S` se determine coordonatele puctului Cd astfel [ncat ABC s` fie isoscel cu baza (AB) .S` se scrie ecua\ia [nal\imii din C.

           VARIANTA 2

(1p)    Se consider` cercul de ecua\ie : x2+y2-6x+3y-5=0 .S` se determine coordonatele centrului ]i raza acestui cerc .S` se scrie ecuat\a tangentei la cerc [n punctul A(-1,-2).S` se precizeze pozit\a punctului

B(0,-4) fa\` de cerc.

            VARIANTA 3

(1,5p)  Se consider` ABC determinat de dreptele urmatoare : (AC): x-3y-4=0,  (AB): x+2y-4=0,  (BC): 3x+y--2=0.  S` se determine coordonatele punctului A. S` se scrie ecua\ia inal\imii din A. S` se afle aria ABC .

             VARIANTA 4

(1,25)  S` se determine simetricul punctului A(1,2) fat` de dreapta 2x=y+4

             VARIASNTA 5

(1p)     S` se determine ecua\ia cercului ce trece prin A(-1,5), B(-2,-2) si C(5,5) preciz@nd centrul ]i raza

              VARIANTA  6

(1,5)   Se consider` A(3,0) , B(0,2) , M(3,-3) ]i N (-2,2). S` se demonstreze c` AN ,BM si perpendiculara din O pe AB sunt concurunte.

                                 CLASE CU PROFIL ECONOMIC

            VARIANTA 1

 (1,5)      S` se afle coordonatele de intersec\ie ale cercului de ecuatie x2+y2=16 cu parabola de ecua\ie y2=6x. Sa se afle aria fiecarei regiuni determinat`  de parabol` [n interiorul cercului.

                VARIANTA 2

(1p)         S` se calculeze aria ABC cu A(0,1), B(4,2),.C(2,3).

                 VARIANTA 3

(1p)         S` se determine centrul ]i raza cercului de ecua\ie : x2+y2-4x+6y-12=0 ]i s` se scrie ecu\ia tangentei [n punctele cercului care au ordonata nul`.

                  VARIANTA 4

(1,5)         Se consider`  f: RR ,f(x)=ax2+bx2+cx+d.S` se precizeze dac` exist` ]i sunt unici coeficien\ii a,b,c,d astfel [nc@t graficul s` treac` prin O(0,0) ,A(1,0), B(-1,-6) iar tangenta la grafic in punctul A s` aib` panta - 5.

 (1p)         Se consider` A(2,3) , B(- 5,1) , C(1,-3) S` se scrie ecuatia perpendicularei din C pe AB ]i s` se afle coordonatele punctului de intersec\ie dintre  AB si perpendiculara dus` din C pe AB.

                  VARIANTA 5

(1p)          S` se determine coordonatale ortocentrului triunghiului format de A(1,4), B(3,- 1), C(8,- 2)

                   VARIANTA 6

(1p)          S` se scrie ecua\ia cecului care trece prin A(1,2), B(2,0) ]i are centrul pe dreapta y=x - 3.

                VARIANTA 7

(1p)          S` se determine coordonatele punctului de intersec\ie a mediatoarelor segmentelor (AB) ]I (AC) unde A(2,5), C(5,1), C(-2,2)

(1,5p)        Se d` hiperbola (H) . S` se afle ecua\ia tangentei la (H) in T(2,3). S` se calculeze aria triunghiului format de asimptotele hiperbolei ]i dreapta :9x-2y-24=0.


 [r1]












Document Info


Accesari: 12667
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.




Coduri - Postale, caen, cor

Politica de confidentialitate

Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2018 )