Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza






GEOMETRIE

Matematica









loading...


ALTE DOCUMENTE

NOŢIUNI DE BAZĂ - Algebra
MODELARE MATEMATICĂ. CONCEPTUL DE MODEL MATEMATIC. EXEMPLE
PROBLEME SIMPLE
Functii hiperbolice
Importanta repartitiei normale
Figuri geometrice
FORME LINIARE, FORME BILINIARE SI FORME PATRATICE
NUMERE RATIONALE
Cel mai mare divizor comun Fisa de lucru


GEOMETRIE

Elemente de geometrie sintetica plana

Fie  cu laturile  si  înaltimea din vârful .  Avem urmatoarele:

Teorema sinusurilor , unde  este raza cercului circumscris .

§     Teorema cosinusului   

        

        

§     Formule pentru arie    

                                         

Formula lui Heron:              , unde  (semiperimetrul)      

                                          , unde  este raza cercului înscris în .

§     , , ;

§     , , ;

§     , , , unde  este lungimea bisectoarei unghiului .

§     , , , unde  este lungimea medianei din .

Elemente de geometrie vectoriala

Spunem ca vectorii legati  si  au acelasi sens (sau sunt la fel orientati) d 454d35e aca au aceeasi directie, iar extremitatile lor  se afla în acelasi semiplan fata de dreapta , determinata de originile lor (fig. 1). Spunem ca vectorii legati  si  au sensuri opuse (sau sunt orientati diferit) daca au aceeasi directie, iar extremitatile lor  se afla în semiplane diferite determinate de dreapata  (fig. 2).

Operatii elementare cu vectori

1.Adunarea vectorilor

a) Dupa regula paralelogramului

Fie vectorii liberi ,  si . Vectorul  de reprezentant  (care porneste din originea comuna) reprezinta prin definitie suma vectorilor ,  si scriem .

b) Dupa regula triunghiului

Fie ca mai sus vectorii liberi , . Consideram , reprezentanti ai vectorilor  si respectiv . Atunci vectorul suma a vectorilor ,  este vectorul  de reprezentant .

Observatie. Pentru adunarea a trei sau mai multi vectori se plica succesiv regula triunghiului sau regula poligonului.

2.Scaderea vectorilor

Fie  doi vectori. Atunci diferenta lor este vectorul  definit prin . Vectorul diferenta  se construieste unind extremitatea vectorului scazator cu extremitatea vectorului descazut.

3.Înmultirea unui vector cu un scalar

Definitie. Fie  un numar real si  un vector. Produsul dintre numarul real  si vectorul liber  este vectorul notat  având :

§     aceeasi directie cu ;

§     acelasi sens cu  daca ; sens contrar lui  daca ;

§     modulul egal cu produsul dintre  si modulul vectorului , adica .

Observatie. Doi vectori liberi nenuli se numesc coliniari daca au aceeasi directie. În caz contrar vectorii se numesc necoliniari.

Doi vectori nenuli ,  sunt coliniari daca si numai daca exista  astfel încât .

Se numeste vector director al unei drepte , orice vector liber nenul , având directia dreptei . Daca vectorul  are lungimea egala cu unu, atunci acesta se numeste versor director.

Vectorii necoliniari nenuli ,  ale caror directii sunt paralele cu planul P  se numesc vectorii directori ai planului P . (În acest caz orice vector  al planului P  se scrie ca o combinatie liniara de vectorii directori, , cu .

Un vector nenul  se numeste vector normal la planul P  daca un reprezentant al sau are dreapta suport perpendiculara pe planul P .

Fie în planul P  reperul , iar  P  . Atunci vectorul  îl numim vector legat (de punctul ) sau vector de pozitie. (Vectorul  îl notam ).

Mai mult daca , atunci , adica coordonatele punctului  sunt coordonatele vectorului de pozitie , adica .

Teorema. Fie  un punct pe segmentul  astfel încât , atunci pentru orice punct  din plan are loc relatia:

.

Operatii cu vectori legati

Fie ,  doi vectori legati. Atunci  .

Adunarea. Suma a doi vectori legati ,  este vectorul notat  având coordonatele .

Înmultirea unui vector cu un scalar. Înmultirea vectorului legat  cu scalarul  este vectorul notat  având coordonatele .

Modulul vectorului  este egal cu :


§     Doi vectori ,  sunt coliniari daca au coordonatele proportionale : .

§     Coordonatele punctului  care împarte segmentul  în raportul , ,  sunt :  ,  . În particular, daca  este mijlocul segmentului , atunci  , .

Produsul scalar a doi vectori

Fie în plan sau în spatiu o axa  cu versorul  si un vector arbitrar . Proiectia ortogonala (sau simpu proiectia) vectorului  pe axa  este un numar egal cu produsul lungimii lungimii vectorului  cu cosinusul unghiului dintre vectorii  si .

Produsul scalar al vectorilor ,  este numarul notat , unde  este unghiul facut de vectorii  si .

Proprietati :

§     Doi vectori nenuli sunt perpendiculari daca si numai daca produsul lor scalar este egal cu 0.

§     Produsul scalar a doi vectori de acelasi sens este egal cu produsul modulelor lor.

§    

Produsul scalar în plan :

§     Fie ,  doi vectori în plan. Atunci .

§     Modulul unui vector : Fie . Atunci .

§     Calculul unghiului a doi vectori : Fie ,  doi vectori nenuli în plan, iar  unghiul dintre ei. Atunci :  .

§     Vectorii ,  sunt perpendiculari daca si numai daca .

Produsul scalar în spatiu :

§     Fie ,  doi vectori în spatiu. Atunci .

§     Modulul unui vector : .

§     Cosinusul unghiului a doi vectori : .

Elemente de geometrie analitica plana

Fie  o dreapta oblica din plan. Numarul real ,  unde   este unghiul facut de dreapta cu sensul pozitiv al axei , se numeste panta dreptei .

§     Panta unei directii determinate de vectorul ,  este egala cu .

§     Consideram punctele distincte ,  cu . Panta dreptei ce trece prin punctele  este : .

§     Doua drepte oblice sunt paralele daca si numai daca au pantele egale si sunt perpendiculare daca si numai daca produsul pantelor lor este egal cu -1.

Forme ale ecuatiei dreptei în plan :

§     Consideram punctul  si vectorul . Ecuatiile  se numesc ecuatiile parametrice ale dreptei .

§     Ecuatia dreptei ce trece prin punctul  si are panta  este : .

§     Ecuatia dreptei determinata de doua puncte distincte , ,  este: . Daca , atunci ecuatia dreptei este .

§     Daca punctele  sunt situate pe axele de coordonate adica daca , , cu  atunci ecuatia dreptei are forma , numita ecuatia dreptei prin taieturi.

§     Ecuatia carteziana generala a unei drepte : . Panta dreptei date în forma generala este  , daca . Daca , atunci dreapta este verticala, deci nu are panta.

Observatii. Punctul  apartine dreptei (se afla pe dreapta) , daca coordonatele sale verifica ecuatia dreptei, adica daca .

§     Conditia de coliniaritate a trei puncte , ,  este .

§     Punctul de intersectie a doua drepte se obtine rezolvând sistemul format din ecuatiile dreptelor.

§     Doua drepte ,  coincid daca si numai daca au coeficientii proportionali, adca : .

Conditia de concurenta a trei drepte , unde  si , .

 si exista un minor de ordinul 2 nenul.

Unghiul a doua drepte

Fie dreptele , , niciuna paralela cu axa . Avem :

,  si , atunci:

       .

Distanta de la un punct la o dreapta

Distanta de la punctul  la dreapta  de ecuatie  este data de formula

 .

Aria unui triunghi

Fie , ,  vârfurile triunghiului . Aria triunghiului  este data de formula , unde .

Coordonatele centrului de greutate  al unui triunghi cu vârfurile , unde  sunt

, .

Elemente de geometrie analitica în spatiu

Distanta dintre doua puncte  si  este .

Ecuatii ale planului în spatiu

Fie vectorul . Numerele  se numesc parametrii directori ai directiei dreptei  (sau simplu parametrii directori ai dreptei ).

§     Ecuatia vectoriala a planului care trece prin  si care este perpendicular pe  este : unde  este vectorul de pozitie al unui punct curent al planului,  este vectorul de pozitie al punctului .

§     Ecuatia planului determinat de trei puncte necoliniare  este:

.

§     Conditia ca de trei puncte  sa fie coliniare este: .

§     Conditia ca patru puncte  sa fie coplanare este:

.

§     Ecuatia generala a planului : , unde  si .

Observatie. Vectorul  este perpendicular pe planul de ecuatie  si se numeste normal la plan.

§     Ecuatia normala a planului ce trece prin  este: .

§     Ecuatia unui plan care trece prin origine este: , unde  si .

§     Planul paralel cu axa  are ecuatia : , unde  si .

§     Planul paralel cu axa  are ecuatia : , unde  si .

§     Planul paralel cu axa  are ecuatia : , unde  si .

§     Planul paralel cu  are ecuatia : , etc, unde  si .

§     Planele  si  sunt :

  1. Perpendiculare daca si numai daca : .
  2. Paralele daca si numai daca  :   ( pot fi simultan nule, la fel analoagele).
  3. Se intersecteaza (se obtine o dreapta de intersectie), daca  sau  sau , aceasta se obtine rezolvând sistemul format cu ecuatiile celor doua plane.
  4. Coincid daca si numai daca :  .

Forme ale ecuatiei dreptei în spatiu

§    Ecuatiile parametrice ale dreptei ce trece prin  si are vectorul director :

 , .

§    Ecuatiile dreptei trece prin  si are vectorul director  în forma canonica:

.

§    Ecuatia vectoriala a dreptei determinata de doua puncte : .

§    Ecuatiile parametrice ale dreptei determinate de doua puncte  si :

, .

§     Ecuatiile canonice ale dreptei determinate de doua puncte  si :

, .

§     Ecuatia dreptei ca intersectie a doua plane  si :

, daca .

Exemplu: Daca , atunci obtinem  , notam ,  si avem

,  (adica ecuatiile parametrice ale dreptei).

Pozitiile a doua drepte în spatiu Fie  si  doua drepte cu vectorii directori  si respectiv , atunci:

  1. , unde . Pentru determinarea coordonatelor punctului , punem conditia ca  sa se gaseasca pe cele doua drepte, adica  astfel încât  si respectiv  si rezolvam sistemul .
  2.  sunt coliniari astfel încât .
  3. dreptele sunt necoplanare, adica nici paralele, nici concurente.

Unghiul  dintre doua drepte  si  este dat de formula:  (se formeaza doua unghiuri, îl alegem pe cel ascutit).

Pozitia unei drepte fata de un plan Fie dreapta  si planul , atunci:

  1. Daca , atunci dreapta intersecteza planul într-un punct.
  2. Daca  si , atunci .
  3. Daca  si , atunci .

Observatie. Pentru a determina punctul de intersectie dintre dreapta si plan în cazul a). Scriem ecuatia dreptei sub forma parametrica si înlocuim în ecuatia planului, de unde se determina parametrul , cu acesta ne întoarcem la ecuatiile parametrice ale dreptei si gasim coordonatele punctului de intersectie.

Unghiul format de o dreapta cu un plan Fie dreapta , planul  si  unghiul format de dreapta  cu planul , atunci:

.

Unghiul dintre doua plane Fie ,  doua plane si  unghiul format de cele doua plane, atunci

Distanta de la un punct  la planul  este data de formula:

.

Aria triunghiului cu vârfurile ,  este dat de formula: , unde , , .

Coordonatele centrului de greutate  al unui triunghi cu vârfurile ,  sunt:

.

Volumul unui tetraedru cu vârfurile , este dat de formula : , unde

 .

Curbe Plane

1. Cercul

 Definitie. Cercul  de centru  si raza  este multimea punctelor  din plan cu propriettea ca  (fig. 2).

  Ecuatii ale cercului

1. Ecuatia implicita

       

2. Ecuatiile parametrice

        ,  parametru.

3. Ecuatiile explicite

 (ecuatia semicercului superior)

 (ecuatia semicercului inferior).

 Daca notam , , atunci:

·        Interiorul cercului:

·        Cercul:

·        Exteriorul cercului: .

        (vezi fig. 3)

  1. Ecuatia tangentei la cercul  în punctul :

        . (vezi fig. 4).

2. Ecuatiile tangentelor de directie data  la cercul  :

                 

Se pune apoi conditia ca  sa apartina tangentei si se determina :

. (vezi fig. 4).

 Ecuatia normalei la cercul  în punctul :

        . (vezi fig. 4).

2. Elipsa

 Definitie. Fie ,  si  doua puncte fixate din plan astfel încât . Fie . Multimea  a punctelor  cu proprietatea ca  se numeste elipsa. (vezi fig. 5).

Elementele elipsei:

1).  si  se numesc focarele elipsei;

2).  se numeste axa focala;

3).  distanta focala;

4).  si  se numesc razele focale ale punctului M;

5). (mediatoarea segmentului ) si  se numesc axe de simetrie;

6).  se numeste centru de simetrie.

7). , , ,  se numesc vârfurile elipsei;

8).  se numeste axa mare iar  se numeste axa mica;

9).  se numesc semiaxe.

  Ecuatiile elipsei:

1). Ecuatia implicita: , unde .

2). Ecuatiile parametrice: , (parametru)

3). Ecuatiile explicite: , unde  corespunde portiunii din  din semiplanul superior, iar  corespunde portiunii din  din semiplanul inferior.

 Daca notam , , atunci:

·        Interiorul elipsei:

·        Elipsa:

·        Exteriorul elipsei:  (vezi fig. 6).

 1. Ecuatia tangentei la elipsa într-un punct dat :

         (vezi fig. 7)

2. Ecutia tangentelor de directie data  la :

        .

Se pune conditia ca  si se determina . .

 Ecuatia normalei la elipsa   în punctul :

         (vezi fig. 7).

3. Hiperbola

 Definitie. Fie  si  si  doua puncte fixate din plan astfel încât . Fie . Multimea   punctelor  cu proprietatea  se numeste hiperbola. (vezi fig. 9).

Elementele hiperbolei:

1).  si  se numesc focarele hiperbolei;

2).  se numeste axa focala;

3).  distanta focala;

4).  si  se numesc razele focale ale punctului M;

5).  si mediatoarea segmentului  se numesc axe de simetrie;

6). Punctele ,  se numesc vârfurile hiperbolei;

7). - axa transversala, - axa netransversala.

  Ecuatiile hiperbolei:

1). Ecuatia implicita: , unde .

2). Ecuatiile parmetrice:

Ramura : , cu  are ecuatiile parametrice: , .

Ramura , cu  are ecuatiile parametrice: , , unde , .

3). Ecuatiile explicite: , . ( portiunea de  din semiplanul ,  portiune de H din semiplanul ).

 Daca notam , , atunci:

·        Interiorul hiperbolei:

·        Hiperbola:

·        Exteriorul hiperbolei: .

 1. Ecuatia tangentei la hiperbola într-un punct dat :

         (vezi fig. 10)

 2. Ecuatia tangentelor de directie  data la :

        . (vezi fig. 11)

se pune conditia ca  si se determina .

.

 Ecuatia normalei la hiperbola   în punctul :   (vezi fig. 10).

  Asimptotele hiperbolei:   si .

4. Parabola

 Definitie. Fie  o dreapta din plan si  un punct exterior dreptei. Multimea  a punctelor  cu proprietatea  se numeste parabola. (vezi fig. 12)

        Elementele parabolei:

1).  se numeste focarul parabolei;

2).  se numeste directoarea parabolei;

3).  se numeste raza focala a     punctului ;

4). ,  axa de simetrie a parabolei;

5). ,  parametrul parabolei;

6).  vârful parabolei;

7). - axa transversala, - axa netransversala.

  Ecuatiile parabolei:

1). Ecuatia implicita: .

2). Ecuatiile parametrice:  parametru.

3). Ecuatiile explicite:

 portiunea de  din cadranul I ,  portiunea de  din cadranul IV .

 Daca notam , , atunci:

·        Interiorul parabolei:

·        Parabola:

·        Exteriorul parabolei:

 1. Ecuatia tangentei la parabola într-un punct dat :  (vezi fig. 13)

2. Ecutiile tangentelor de directie data  la : . (vezi fig. 14)

Se pune conditia ca punctul  sa se afle pe parabola si se determina .

.

 Ecuatia normalei la parbola   în punctul :  .


Document Info


Accesari: 43856
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.

 


Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2014 )