Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza






INTRODUCERE IN TEORIA PROBABILITATII

Matematica











ALTE DOCUMENTE

Operatii - inmultirea, adunarea, scaderea, impartirea
Semiplane
Datele si reprezentarea lor - Reprezentarea numerelor
Axiomele Geometriei in spatiu
MATEMATICA pentru profilurile: matematica-fizica, informatica, metrologie - Manualele valabile
Fisa de lucru Inmultirea cand unul dintre factori este 3
AGERIMEA MINTII
Obiective cadru/ Obiective de referinta
Aurel Angelescu (1886-1938)
CREAREA DE EXECUTABILE DIRECT DIN MATLAB. EXEMPLE


INTRODUCERE   ÎN   TEORIA   PROBABILITĂŢII

 

 

8.1 : Câmp de evenimente : câmp de probabilitate

 

Fie E - o multime nevida : fie   - o multime nevida de parti ale lui E.

 Definitie :  perechea ( E , K ) este numita câmp de evenimente daca au loc

                   proprietatile :

                                 - 1:  ;

                                 - 2:   .

Aici prin am notat complementara multimii A .

Nota : elementele multimii K vor fi numite evenimente .

Consecinte : - 1 : însasi multimea E este un eveniment , numit evenimentul sigur .

                            Demonstratie :

                    - 2: multimea vida este un eveniment , numit evenimentul imposibil

                        Demonstratie :

                                               

                   - 3 : intersectia a doua evenimente este tot un eveniment

                        Demonstratie :

                                               

                                                            == // ==

Categorii de evenimente :  - evenimentele A , B se numesc compatibile , daca

                                                             ;

                                           - evenimentele A , B se numesc incompatibile , daca

                                                             .

Exemplu : consideram experienta : aruncarea unui zar omogen , cu înregistrarea

                  punctajului obtinut. Fie evenimentele

                          .

Consideram    si fie K = multimea partilor lui E : atunci cuplul

( E , K ) este câmpul de evenimente asociat experientei în cauza.

            De exemplu , în acest câmp ,  - pentru evenimentul "

                                    A = " punctaj numar impar "

            este valabila scrierea :

                                                A = .

                                                           -  pentru evenimentul

                                               B = " punctaj 3 "

            este valabila scrierea :

                                                B = .

Atunci avem :

                                

Precizare importanta :  - evenimentele de forma Ek , ce corespund la situatiile fizic

                                      posibile ce apar în cursul experientei , vor fi numite

                                     evenimente elementare ;

                                     - multimea tuturor evenimentelor elementare va fi numita

                                       uneori multimea de cazuri posibile asociata experientei ;

                                     - multimea evenimentelor elementare implicata într-un

                                       eveniment se mai numeste si multime de cazuri favorabile

                                       pentru avel eveniment .

                                       De exemplu , evenimentul de mai înainte , are drept

                                      multime de cazuri favorabile , pe :  .

 

 

 

 

 

Definitie : fie ( E , K )  un câmp de evenimente : o functie P : K →  R se numeste functie

                                       de probabilitate pe câmpul ( E , K ) , daca

                                              

                                                ==  //  ==

Consecinte :

            - 1 : probabilitatea oricarui eveniment A verifica relatia : 0 P ( A ) 1

Demonstratie : fie un eveniment A ; avem

                        

            -2 : probabilitatea evenimentului imposibil este zero

                     

                                            

           

- 3: pentru orice evenimente A , B avem

Text Box:                      

        Demonstratie : 

      

                                                 == // ==

Observare : In cazul unui câmp finit de evenimente , drept functie de probabilitate

                   se poate lua functia elementara de probabilitate , data de :

Text Box:                     

De exemplu : pentru experienta cu aruncarea unui zar si înregistrarea punctelor :

                      pentru X = " punctaj 4 " , avem drept cazuri favorabile

, deci :

                                              .

In cazuri în care numarul de cazuri favorabile nu poate fi utilizat , se ia în considerare

o definitie mai generala , anume :

Text Box:

Aici prin " masura " vom întelege " arie , greutate , volum , lungime , valoare , etc.

            Exemplu : într-un patrat de latura 2 cm .  este înscris un cerc .Se arunca la întîmplare un punct , în asa fel încât sa nimereasca în interiorul patratului.

Se cere probabilitatea ca punctul sa nimereasca în cercul înscris.

            Rezolvare . drept " masura " vom folosi aria '

            - multimea cazurilor posibile este multimea punctelor patratului , de arie 4 ;

            - cercul înscris are raza 1 , deci aria sa este π∙12 = π ;

            - fie evenimentul : X = " punctul aruncat la întâmplare nimereste

                                                     în cerc "

            - avem :

                                 .

                                               

 

Definitie :   - doua evenimente X , Y apartinând unui câmp de probabilitate dat

                    sunt independente , daca :

                                                 ;

                  - doua evenimente X , Y apartinând unui câmp de probabilitate dat

                     sunt dependente , daca :

                                               

                                                == // ==

Exemplu : In intervalul  [ 0 ; 10 ] , se considera intervalele A = [ 1 ; 5 ] si B = [ 3 ; 9 ].

                  Se arunca la întîmplare un punct , astfel încât sa fie sigur ca nimereste în intervalul [ 0 ; 10 ].

                  Fie evenimentele : X = " punctul nimereste în intervalul A " ;

                                                 Y = " punctul nimereste în intervalul B " ;

Consideram  , ca masura , lungimea .

            Sa se stabileasca daca evenimentele X , Y sunt dependente sau independente.

Rezolvare :

                   avem

Cum

Relatia de control a independentei , , devine :

                                                 ;

cum aceasta relatie este falsa , deducem ca evenimentele X , Y sunt dependente .

Definitie : evenimente conditionate ; câmp de probabilitate conditionat

 

            Fie ( E , K , P ) - un câmp de probabilitate : fie B - un eveniment din K ,

                                         pentru care P ( B ) ≠ 0 ;

Câmpul de evenimente conditionat de catre evenimentul B , notat

                 prin ( E , K , PB ) , are acelasi eveniment sigur E si aceeasi

                 multime de evenimente K , iar functia de probabilitate PB

                 este data de :

                                        .

Se verifica usor ca  ( E , K , PB ) verifica axiomele câmpului de evenimente .

            In cazul unui câmp finit de evenimente , aceasta definitie revine la

            urmatoarele :

                       

Text Box: pentru evenimentul X , conditionat de catre evenimentul B ,
  notat cu ( X | B ) ,
- cazurile favorabile : sunt cazurile favorabile lui   
- cazurile posibile : sunt cazurile favorabile lui B .

 

 

 

 

 

 

 

Observare : definitia probabilitatii conditionate furnizeaza o formula de calcul

                   pentru probabilitatea intersectiei de evenimente dependente :

                                                         .

                                                         == // ==

                       

Exemplu : într-o urna sunt 5 bile albe si 4 bile negre . Se extrag 3 bile , prin extrageri succesive : dupa fiecare extragere , bila nu se reintroduce în urna.

            Se cere probabilitatea ca bilele sa fie ,în ordine : alba , neagra si alba.

Rezolvare : vom considera evenimentele :

                        - An = " la extragerea numarul " n " apare bila alba "

                        - Bk = " la extragerea numarul " k " apare bila neagra "

                        - X = " bilele extrase sunt , în ordine : alba , neagra si alba"

Avem evident :

                                       ,

deci :                     

Avem : - pentru A1 , avem : 5 cazuri favorabile si 9 cazuri posibile , deci

                                  ;

            - pentru  , înseamna ca  evenimentul s-a produs , deci urna va

                                           fi acum o urna cu 4 bile albe si 4 bile negre .

                                    A calcula , înseamna de fapt , a calcula probabilitatea

de a extrage o bila neagra din aceasta noua urna .

            Deci ,  ;

            - pentru , înseamna ca evenimentul s-a

              produs deja , deci urna devine o urna cu 4 bile albe si 3 bile negre .

A calcula , înseamna de fapt , a calcula probabilitatea

de a extrage o bila alba din aceasta noua urna .

Pentru evenimentul  avem 4 cazuri favorabile si 7 cazuri posibile , deci

                         .

Text Box:              In final ,  .

                                                            == // ==

REZUMAT DE FORMULE :

 

 

 

 

 

 

 

 

Exemplu : pentru evenimentele A , B , C prezentate în figura , se cere ,

              

                      

Rezolvare : avem ,deci formula ( 6 ) devine :

                  

 

                                                            == // ==

                        8.2 : Formula probabilitatii totale ; formula lui Bayes

 

 

            Fie ( E , K , P ) - un câmp de probabilitate : fie evenimentele

                                                 .

Atunci : pentru orice eveniment X din K , avem :

                 (1)               ( formula probabilitatii

                                                                                                             totale ) ;

               (2)               

                                                                                       ( formula lui Bayes ) .

Demonstratie :

          (1) :        

   

        (2) :

Aplicatie : se cultiva grâu de trei calitati , conform tabelului

            

                        

calitatea

cantitate

cultivata

putere

de

germinare

 I

85 tone

92 %

 II

10 tone

76 %

 III

 5  tone

65 %

Din cantitatea totala de 100 tone ,se alege la întâmplare un bob si se cultiva .

           

                     - a: se cere probabilitatea ca bobul sa germineze ;

                     - b : se cere probabilitatea ca un bob germinat sa fie de caliattea II .

Rezolvare : vom utiliza urmatorul sistem de evenimente:

                    

Conform tabelului de date , avem : P (A1) = 0 , 85  ; P (A2) = 0 , 10 ;  P (A3) = 0 , 05  .

Evident ca avem :   

Text Box:

Puterile de germinare revin la urmatoarele :

 .

Atunci :

- aplicând formula probabilitatii totale :

 

deci din amestecul de 100 tone , germineaza 89 , 05 % dintre boabe .

                                                            == // ==

           

                                 9.3 : Scheme probabilistice clasice

       9.3.1: Schema  lui Bernoulli :

 

 

Se considera o urna cu bile albe si negre : presupunem ca se cunoaste

                        - p = procentul de bile albe din urna ;

                        - q = procentul de bile negre din urna ;

avem evident : p , q > 0 ; p + q =1 .

            Experienta efectuata este urmatoarea :

                       - se fac " n " extrageri ; dupa fiecare extragere , bila extrasa

                          se reintroduce în urna ( " extrageri cu revenire " sau

                         " prin probe independente" ).

                        Observare : extragerile " cu revenire " au ca efect faptul ca

                                           dupa fiecare extragere , urna revine la starea

                                            initiala ;

                     - în urma extragerilor , se înregistreaza valoarea indicatorului'

                                      .

Text Box: x = numar de bile albe aflate printre cele

 

 

 

 

Evenimentele fundamentale asociate experientei  vor fi :

Text Box:

                                   

Evenimentele  au proprietatile urmatoare ;

                        - sunt doua câte doua incompatibile : ;

                        - reuniunea lor este evenimentul sigur :

                                                                  ;

                       - probabilitatea lor se calculeaza cu formula :

Text Box:                                     

                                                 == // ==

Aplicatie : într-o urna sunt : 75 % bile albe si 25 % bile negre . Din urna se extrag ,

                  cu revenire , 12 bile .

Se cere probabilitatea ca :

            - a: printre cele 12 bile extrase sa fie 9 bile albe ;

            - b: printre cele 12 bile extrase sa fie cel mult 6 bile albe ;

            - c: printre cele 12 bile extrase sa fie cel putin  8 bile albe ;

            - d: numarul de bile albe aflate printre cele 12 bile extrase sa fie

                  cuprins între 5 si 11 ;

Rezolvare : comparând datele problemei cu notatiile modelului , gasim :

                    n = 12 ; p = 0,75 ; q = 0,25.

         

          

      

  

                                                == // ==

 

 

 

 

Problema : în legatura cu aplicatia precedenta , se considera evenimentele

                  A = " numarul de bile extrase este 8 "

                  B = " numarul de bile extrase este 6 " .

Stabiliti daca evenimentele A , B sunt dependente sau independente .

Rezolvare :

                      

Relatia de control a independentei , anume : , devine

                                 0, 3512 ∙0,9857 = 0,337 ,

adica :                                    0, 3462 = 0 , 337 .

                            

            Fiind falsa , deducem ca evenimentele A , B sunt dependente .

             

Problema : dintr-o urna cu 68% bile albe si 32% bile negre se fac extrageri , cu revenire,

                  de câte 15 bile . Se cere numarul cel mai probabil de bile albe aflate printre cele 15 bile extrase .

Rezolvare : notam : x = numarul de bile albe aflate printre cele 15 bile extrase ;

avem :  .

Problema noastra revine la urmatoarea :

Text Box: k = ? , pentru care P(x=k) este maxim .

Deoarece  variabila " k ' este numar întreg , vom folosi principiul combinatorial , pentru probleme de maxim , anume :

                       

Text Box:                               .

Relatia ( a) :

                 

Relatia ( b ) :

                       

In final , din :

               .

Raspuns : cel mai frecvent , printre cele 15 bile extrase vor fi 10 bile albe .

                                                == // ==

            Problema : dintr- o urna cu bile albe si negre se fac extrageri , cu revenire ,

                               de câte 20 de bile . Se constata ca varianta : " printre cele 20 de bile extrase se afla 17 bile albe " apare mai frecvent decât orice alta varianta.

            Ce se poate spune despre procentul de bile albe din acea urna?

Rezolvare : cu notatiile deja cunoscute , avem ;

                      .

Se stie ca :

                                    

ceeace , în conformitate cu principiul combinatorial , revine la :

                       

 

 

Relatia (a) :

                  

Relatia (b) :

                  

In final , din :

                         .

Raspuns :

Text Box: procentul de bile albe este cuprins între 81% si 85,7% .

                                                            == // ==

            9.3.2 : Schema urnei cu bile albe si negre : extrageri fara revenire

Datele problemei sunt urmatoarele : avem o urna pentru care se cunoaste :

                        - a = numarul de bile albe din urna ;

                        - b = numarul de bile negre din urna .

Din urna se extrag " n " bile; dupa fiecare extragere , bila extrasa nu se reintroduce în urna , astfel ca la fiecare extragere , compozitia urnei se modifica.

Observare : acest mod de extragere este echivalent cu extragerea simultana a întregului lot de " n " bile.

Text Box: x = In urma experientei se consemneaza valoarea indicatorului :

                       

Evenimentele fundamentale asociate experientei sunt :

                        .

Evenimentele  au proprietatile urmatoare ;

                        - sunt doua câte doua incompatibile : ;

                        - reuniunea lor este evenimentul sigur :

                                                                  ;

                       - probabilitatea lor se calculeaza cu formula :

Text Box:                                     

                                                == // ==

Aplicatie : într-o urna sunt 20 de bile albe si 15 bile negre : se extrag 10 bile ; extragerile sunt fara revenire . In urma extragerii se consemneaza valoarea indicatorului

                           x = numar de bile albe aflate printre cele 10 bile extrase

Se cere probabilitatea ca :

            - 1: numarul de bile albe sa fie de cel mult 7 ;

            - 2: numarul de bile albe sa fie de cel putin 3 ;

            - 3: numarul de bile albe sa fie cuprins între 2 si 8.

Rezolvare : identificând parametrii problemei , constatam ca avem :

                                    a = 20 ; b = 15 ; n = 10

                 -1: se cere  

                               

            - 2 : se cere :

                             

            - 3 : se cere :

                                

            Aplicatie  : în legatura cu problema precedenta : sa se determine numarul cel mai probabil de bile albe aflate printre cele 10 bile extrase , adica valoarea lui " k " ,

 este maxima.

            Conform principiului combinatorial , avem:

- Relatia (1) :

- Relatia (2) :

In final , din relatiile :         .

Raspuns : printre cele 10 bile extrase , cel mai frecvent apar 6 bile albe.

Aplicatie :  Intr-o urna sunt 50 de bile , albe si negre . Se fac extrageri , fara revenire , de câte 15 bile   si se înregistreaza valorile indicatorului:

                     x= numar de bile albe aflate printre cele 15 bile extrase .

Se constata ca varianta care apare cel mai frecvent este : ( x = 12 ).

Ce se poate spune despre numarul de bile albe din urna ?

                 Rezolvare :  sa notam cu a = numarul de bile albe din urna .

Notam                      f(k ) = P( x= k ) , deci :

                                  .

Avem conditia : f (12) f(k) ,  pentru orice k = ; conform principiului combinatorial , aceasta revine la conditiile

                      

adica :

                   

In final :  .

                                                                        == // ==

                                 9.3.3 : Schema urnei cu bile de mai multe culori :

                                             \extrageri cu revenire .

 

Datele problemei sunt urmatoarele :

culoarea

C1

.

Ci

.

Cn

% de bile

p1

.

pi

.

pn

                 unde sunt valabile conditiile :

                                        

                                   .

 

Din urna se extrag , cu revenire , " m " bile , înregistrându-se culorile acestora.

Evenimentele fundamentale corespunzatoare au aspectul:

Text Box: A =

                                               

Evident ca avem :

                                     .

Formula :

                    

                      

                                                            == // // ==

                          9.3.4 : Schema urnei cu bile de mai multe culori :

                                             \extrageri cu revenire .

 

           Datele problemei sunt urmatoarele :

culoarea

C1

.

Ci

.

Cn

numar de bile

corespunzator

k1

.

ki

.

kn

                                           .

 

Din urna se extrag , fara revenire , " m " bile , înregistrându-se culorile acestora.

           Evenimentele fundamentale corespunzatoare au aspectul:

             A = " printre cele "m" bile extrase , sunt : x1 bile de culoare C1 ;

                     x2 bile de culoare C2,. , xn bile de culoare Cn " ,

Evident ca avem : =m .

Formula :

                   .

                                                                        == // ==

                                 9.4 : VARIABILE  ALEATOARE

 

                                 Fie ( E , K , P ) - un câmp de probabilitati ;

Functia f : E R se numeste variabila aleatoare , daca are loc proprietatea :

Text Box:                                  

Clasificarea variabilelor aleatoare :

                                   

                                 - daca imaginea functiei f este formata numai din puncte

                                   izolate , f se numeste variabila aleatoare discreta ( pres-

                                    curtat : VAD ) ;

                                 - daca imaginea functiei f este un inteval ,

                                    f se numeste variabila aleatoare continua .

                                

                                 9.4.1: Variabile aleatoare  discrete :

Fiind formata numai din puncte izolate , imaginea lui f are aspectul
                                

                                 ;

vom considera  pentru simplificarea notatiilor , ca :

                                 .

Precizare : -numerele vor fi numite argumentele variabilei aleatoare " f " .

                 - multimile :

                                    

                  vor fi numite evenimentele fundamentale asociate variabilei aleatoare " f " .

                -  sistemul de evenimente are proprietatea :

                                          ;

              = pentru  vom  nota : pi = P(Ai) . Sistemul de probabilitati

                 are proprietatea :

                                               

             - forma redusa a variabilei aleatoare " f " : pentru aplicatiile practice ,

               variabila aleatoare discreta " f " va fi notata :

                                          .

                                                            == // ==

                                 9.4.2 : Vector aleator : variabile aleatoare independente

 

 

 

          Pe un câmp de probabilitate se definesc simultan doua variabile aleatoare discrete ,

" f " si " g " : presupunem ca aceste variabile au forma redusa precizata mai jos :

                                 ;

reamintim ca au loc proprietatile :

                                 .

Probabilitatile repartitiei comune a variabilelor f , g :

                pentru notam : ;

                valorile  vor fi numite probabilitatile repartitiei comune a variabilelor f , g .

Acestea au  proprietatile evidente :

                                   ;

Demonstratii :

                                 - a: evident , orice probabilitate este o ;

                                 - b: avem :

adica , în final ,  .

                                

                                 - c: avem  urmatoarele :

                                 - d: avem  urmatoarele :

                                                                        == // ==

         Definitie : - variabilele aleatoare discrete f , g sunt independente , daca

Text Box:                                  

: - variabilele aleatoare discrete f , g sunt dependente , daca

                        

                                                            == // ==

Exemplu :  variabilele aleatoare discrete f , g de mai jos sunt independente :

                   sa se scrie repartitia lor comuna.

                      .

Rezolvare :

                      

   b1=- 1

    b2= 4

a1=1

r11= 0,2 ∙0,6

r12= 0,2∙0,4

p1= 0,2

a2=2

r21= 0,5∙0,6

r21= 0,5∙0,4

p2= 0,5

a3=3

r31= 0,3∙0,6

r31= 0,3∙0,4

p3= 0,3

 q1= 0,6

  q2= 0,4

Precizare : - o pereche de variabile aleatoare ( f , g ) formeaza un vector aleator ;

                  - componentele f , g ale vectorului aleator ( f , g) se numesc

                     variabile marginale ale lui ( f , g) ; argumentele variabilelor marginale se

                     numesc argumente marginale ; probabilitatile variabilelor marginale se

                     numesc probabilitati  marginale ;

Problema : un vector aleator are repartitia :

          

   b1=- 1

    b2= 4

a1=1

r11= 0,2 ∙0,6

r12= 0,2∙0,4

p1= 0,2

a2=2

r21= 0,5∙0,6

r21= 0,5∙0,4

p2= 0,5

a3=3

r31= 0,3∙0,6

r31= 0,3∙0,4

p3= 0,3

 q1= 0,6

  q2= 0,4

b1 = 2

b2 = 5

a1=1

r11= 0,25

r12= 0,15

a2= 3

r21= 0,40

r21= 0,20

                          

                                 - se cer variabilele aleatoare marginale , norare A si B ;

                                - sunt variabilele aleatoare A , B independente ?

          Rezolvare :

                            

Controlul independentei :

                                      

deci A , B sunt variabile aleatoare dependente .

                            

                                 9.4.3 : Operatii cu variabile aleatoare :

 

 

Functii de o variabila aleatoare discreta

 

                                 Fiind data variabila aleatoare f : E R si o functie G: R R,

avem : (G° f ) : E R , în sensul compunerii obisnuite de functii .

    Aceasta definitie revine la urmatoarele :

                                 .

Exemple :  fie   ;

                                 - avem :

                               

Operatii cu doua sau mai multe variabile aleatoare discrete :

                Fie vectorul aleator ( X ,Y )  , unde :

Fie o functie F: RxR R ; atunci variabila F( X , Y ) este data de :

                                    .

De exemplu : fie vectorul aleator ( X , Y ) , cu repartitia

 

  y1=1

  y2=3

 

x1= 2

r11=0,2

r12 = 0,3

p1=0,5

x2= 4

r21=0,4

r22 = 0,1

p2=0,5

 

q1=0,6

q2=0,4

 

 

Se cere  repartitia variabilei aleatoare Z = 3∙X + 2∙Y .

Rezolvare
 - tabelul argumentelor lui Z :

                                                

 

  y1=1

  y2=3

 

x1= 2

3∙2+2∙1=8

3∙2+2∙3=12

p1=0,5

x2= 4

3∙4+2∙1=14

3∙4+2∙3=18

p2=0,5

 

q1=0,6

q2=0,4

 

Asadar , repartitia variabilei Z este :

                       

                                  .

                                                            == // ==

Exemplu:  fie vectorul aleator

                                             

 

  y1=1

  y2=2

 

x1= 1

r11=0,2

r12 = 0,3

p1=0,5

x2= 2

r21=0,4

r22 = 0,1

p2=0,5

 

q1=0,6

q2=0,4

 

Se cere repartitia variabilei aleatoare T = | X - Y | .

Rezolvare : avem tabelul de argumente ale lui T :

                               

 

  y1=1

  y2=2

 

x1= 1

| 1-1 |=0

| 1-2 | = 1

p1=0,5

x2= 2

| 2-1 | = 1

| 2 - 2| = 0

p2=0,5

 

q1=0,6

q2=0,4

 

Asadar , repartitia lui T este :

                                 .

                                                            == // ==

                                 9.4.4 : Momentele unei variabile aleatoare discrete

 

 

                                 Definitie :  fie variabila aleatoare

                                                            

definim : - media variabilei aleatoare X :

                                                             ;

            

                Observare : daca nu sunt posibile confuzii ,  vom nota media cu " m " ;

             

            - dispersia variabilei aleatoare X ;

                                                            ;

                      Observare : cantitatea  se numeste abaterea medie

                                         standard ( sau : abaterea medie patratica) a variabilei X .

                   - momentul initial de ordin k al variabilei X este definit prin :

                                       ;

                    Observare : media lui X este chiar momentul initial de ordin 1 al lui X .

                 

                - momentul centrat de ordin k al variabilei X este definit prin :

                                      ;

               

                 Observare : dispersia lui X  este chiar momentul  centrat de ordin 2

                                      al lui X .

                                                            == // ==

                                             Proprietatile mediei :

            

                                                   - a: fie k - o constanta reala : atunci  

                                                           

Text Box: M(k) = k 

Observare : constanta " k " se identifica cu variabila aleatoare

                                                 

                                                ,

                  deci M(k) = x1∙p1 = k .

      

                   -  b: fie  k - o constanta reala si X o variabila aleatoare : atunci

Text Box: M ( k∙X ) = k∙M (X)                                              

In adevar , fie :

                            atunci 

                        .

           

                 - c : fie X , Y - variabile aleatoare oarecare ( dependente sau independente )

                   avem :               

Text Box: M( X +Y ) = M(X) + M(Y)                                               

In adevar, avem ;

                                            

                                           

deci :

                     

                        

                                   

           - d : fie X , Y - variabile aleatoare independente : atunci

                                                  

Text Box: M( X∙Y ) = M( X )∙M( Y )                                

In adevar , deoarece X , Y sunt independente , repartitia lor comuna este :

                        

                                   

                 atunci ,

                                      

         

  Observare importanta : relatia : M(X∙Y)  = M(X)∙M(Y) poate fi adevarata

                                                  si pentru variabile aleatoare X , Y - dependente.

Text Box:         Variabile aleatoare X , Y pentru care avem
        
               M(X∙Y)  = M(X)∙M(Y)
        
       vor fi numite    

                                                                            

Deci : unele dintre variabilele aleatoare necorelate sunt independente , altele sunt

           dependente.

 

 

                                    PROPRIETATILE  DISPERSIEI :

 

 

 

      - a : expresia dispersiei în functie de momente initiale :

Text Box:                                                  

 

 

 

 

     In adevar :

                  

 

           - b : dispersia unei constante este zero :

 

în adevar , avem ;

                             

 

Observare importanta : pentru variabile aleatoare discrete , este adevarata si afirmatia

                                      reciproca , anume : daca dispersia unei variabile aleatoare este

                                      zero , atunci acea variabila este ( de fapt ) o constanta ;

                                      mai mult , cu cât dispersia unei variabile aleatoare este mai mica ,

                                      cu atât acea variabila este mai aproape de o constanta.

                     - c : dispersia sumei sau diferentei de variabile aleatoare independente

                            este egala cu suma dispersiilor :

Text Box:                                    

In adevar : sa tratam numai cazul diferentei de variabile ; avem

                                

                        

Asadar , am aratat ca :

                                    

 

Text Box:

 

 

Stim ca :  M(X-Y) = M(X) - M(Y) , deci :

                 

 

 

 

         

                - d : pentru k = constanta si X - variabila aleatoare , avem :

 

Text Box:                                                        

 

 

 

Demonstratia este imediata .

 

 

                                                            == // ==

 

 

 

                                 9.4.5 : INDICATORI   DE  DEPENDENTA

 

 

Definitie : covarianta variabilelor aleatoare X , Y este definita prin :

                                

Text Box: cov( X , Y ) = M [ ( X-M(X))∙(Y-M(Y))]

Observare : se arata usor ca :

                                             

Text Box: cov( X,Y) = M( X∙Y ) - M(X)∙M(Y)       

Observare : - dupa cum s-a aratat , avem :

                          X , Y - independente M( X∙Y ) = M(X)∙M(Y) ,

                     deci : X , Y - independente cov ( X , Y ) = 0 .

                  - reciproca nu este însa adevarata : este deci posibil sa avem

                    cov ( X , Y ) = 0 , dar X ,Y sa fie dependente .

Definitie : variabilele X , Y pentru care avem  cov ( X , Y ) = 0 , se

                 numesc variabile necorelate .

                                       

                                   Proprietatile covariantei :

Avem :

Text Box: cov ( a∙X + b∙Y ; Z ) = a∙cov ( X , Z) +b∙ cov ( Y , Z) .              

   Demonstratie :   avem

                      

 Definitie :  coeficientul de corelatie al variabilelor X , Y este definit de

                   relatia :

Text Box:                                      

Coeficientul de corelatie are aproximativ aceleasi proprietati ca si covarianta , adica

Text Box: - X , Y - independente  →  ρ ( X , Y ) = 0
- X , Y - necorelate       ↔  ρ ( X , Y ) ≠ 0
             

          

Proprietatea speciala , care confera coeficientului de corelatie un rol special ,

este urmatoarea :

Text Box:      - 1 ≤ ρ( X,Y ) ≤ 1

 

 

 

Nota :  variabila normata corespunzatoare variabilei aleatoare X este :

                                                  ;

O variabila normata are proprietatea : 

                                       .

In adevar ,

                 

Observare : coeficientul de corelatie are caracter liniar , lucru ce este ilustrat

                    si de catre urmatoarele studii :

        - a : fie X , Y variabile aleatoare ; fie a ,b - numere reale , a ≠ 0 :

               sa calculam ρ ( Y ; a∙X+ b) ;

Rezolvare :

        

           

                             In final :

Text Box:                               

        - b : fie X - variabila aleatoare , si a , b - numere reale , a ≠ 0 ;

               avem

Text Box:                                 

                              

Relatia rezulta din formula precedenta , cu considerarea faptului ca  ρ(X ; X ) = 1.

      - c :  fie X , Y - variabile aleatoare , si a ,b , c , d - numere reale ; a ≠ 0 ; c ≠ 0 :

              avem :

                                  

Text Box:                                         

      

                           

Si aceasta relatie rezulta din punctul (1) .

                                                                        == // ==

                                 9.4.6 : Variabile discrete clasice

 

 

- a : Variabila discreta cu repartitie uniforma ;

                                 Prin definitie , variabila discreta cu repartitie uniforma , care

                                 are ca multime de argumente , multimea

este variabila :

                                  

                                              

Observare : - media variabilei uniforme :

                                    

                                           - chiar media aritmetica a

                                                                                            argumentelor variabilei .

              

                  

                - momentul initial de ordin 2 al variabilei uniforme ;

                                  

                                  ;

               

               - dispersia variabilei uniforme :

                                      

                                       

                     - b : Variabila aleatoare cu repartitie binomiala :

             

          Variabila aleatoare cu repartitie binomiala are repartitia :

                  

   

Vom demonstra urmatoarele :

                                  - 1 : f(x ) - este într-adevar o functie de probabilitate ,

                                                   adica :

                                                             ;

                                

                               - 2 :media  variabilei X este : M(X) =  n∙p ;

                              

                               - 3 :dispersia  variabilei X este : D2(X) =  n∙p∙( 1- p ) ;

                               - 4 :modul variabilei X este numarul întreg " k " , pt.

                                     care avem :

                                                     .

Demonstratii :

                        fie functia auxiliara  g( t ) = [ p∙t + ( 1-p) ] n  , unde " t " este un parametru

                        real fara nici o semnificatie .

     

         Observare : folosind dezvoltarea lui g(t) , cu ajutorul binomului Nuwton , gasim

                                        

                                     

 

- 1: avem evident  f(x) 0 , pentru orice x ;

      în plus ,

                                       

   Deci :  .

 - 2: avem

                          

 -3 :  avem

asadar :

Dar stim ca : D2(X) = M2(X) - (M(X))2 , deci :

                                 

                            

- 4 : modul k al variabilei X este argumentul " x " al variabilei , pentru care functia de probabilitate f(x) ia valoarea maxima : folosind principiul combinatorial , gasim :

                         

                                  

 

Conditiile de maxim devin :

                  

                           

                                 9.5 : VARIABILE  ALEATOARE  CONTINUE

 

 

                                 Reamintim ca , în cazul unei variabile aleatoare continue , X , data de o functie f definita pe evenimentul sigur al câmpului de probabilitate ,  Im(f) este un interval ( a ; b ) .

Aceasta conditie nu este suficienta pentru lucrul cu variabile aleatoare continue ;

dintre alte conditii importante , dar care depasesc mult nivelul acestei expuneri ,

vom folosi una , anume :

                       

                                      

- Forma generala a unei variabile aleatoare continue ;

                                

                                     

Densitatea de probabilitate are proprietatile :

                                  .

- Calculul probabilitatii unor evenimente , folosind densitatea de probabilitate :

Text Box:     avem :

 

De exemplu :

                                 

Majoritatea definitiilor reproduc acum definitiile date în cazul variabilelor discrete , înlocuind " "    ,  prin  "" .

De exemplu :

                                 - fie variabila aleatoare continua

                    

                                   

 - media variabilei X :  

                                          

- momentul initial de ordin 2 :

                                               

- momentul centrat de ordin 2 ( adica dispersia variabilei X ) :

                          

                                            

Observare importanta : pentru variabila aleatoare X ,

                                                

                                                

                                     consideram ca : P ( X a ) = 0 ; P ( X b ) = 0

-  din cauza proprietatii : P( X = k ) = 0 , pentru orice " k " din ( a ; b ) ,

   nu se face deosebire între interval închis si interval deschis , adica

                

            P ( u < X < v ) = P ( u X < v ) = P ( u < X v ) = P ( u X v ) ;

            P ( X > k ) = P ( X k ) , etc .

                                                                        == // ==

                                 Functia de repartitie a unei variabile aleatoare continue .

Fie variabila aleatoare :

                                         

Functia de repartitie a variabilei X  este o functie F : R R , data de

                                     ;

Cu ajutorul functiei de repartitie , se pot calcula probabilitati de evenimente în care este implicat X , de exemplu :

Text Box: P ( X < k ) = F ( k )  ; P ( X > h ) = 1 - F ( h )
                                         P ( u < X < v ) = F ( v ) - F ( u ) ;
                                        

Dar proprietatea fundamentala a functiei de repartitie este urmatoarea :

Text Box: densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare
este derivata functiei de repartitie a acelei variabile ,
                     adica : f ( x ) = F' ( x )
                             

Aplicatie : fie variabila aleatoare

                              ;

se cere repartitia variabilei aleatoare Y = X2 .

                                 Vom folosi functiile de repartitie : astfel , fie

Avem urmatoarele etape :

  

   

                                

In final ,

                                                 

                                                                        == // ==

              Interval de încredere pentru o variabila aleatoare continua :

Fie variabila aleatoare X , pepartizata în intervalul ( a ; b ) ; fie .

Atunci : intervalul de încredere pentru variabila X , cu coeficientul de încredere " p "

              este intervalul ( u ; v )  ( a ; b ) , pentru care "

                                                ;

Observare :

                 -  din relatiile :

                                        

rezulta :

                                               

                                ;

Asadar , notând cu F - functia de repartitie a variabilei X , avem :

             - capatul din stânga al intervalului de încredere , cu coeficientul de

               încredere " p " , este solutia ecuatiei

                                                       ;

             - capatul din dreapta al intervalului de încredere , cu coeficientul de

               încredere " p " , este solutia ecuatiei

                                                       .

                                

                               9.6 : Variabila aleatoare cu repartitie normala

 

 

 

Variabila aleatoare cu repartitie normala este data de :

                ,

unde  m , σ - sunt parametri , σ > 0 .

        In mod curent , variabila aleatoare normala de parametri  m , σ este notata

        prin  N (m , σ ) .

In legatura cu aceasta variabila prezentam pe scurt o serie de rezultate :

- 1 : media variabilei aleatoare  N (m , σ ) este egala cu " m " ;

- 2 : dispersia  variabilei aleatoare  N (m , σ ) este egala cu "σ " ;

- 3:  daca X = N (m , σ ) , atunci , pentru Y = a∙X + b avem :

                              

                                        

Text Box: Y = N (a∙m + b ; a∙ σ )

 

 

 

 

 

Observare :  variabila aleatoare normala de parametri m = 0 ; σ = 1 ,

                    

                    se numeste variabila aleatoare normala normata ;

             

                    

                         avem rezultatul :

Text Box: X = N (m , σ )

                                  

- 4 : pentru n > 30 , variabila binomiala Bin ( n ; p ) are o repartitie aproximativ

       egala cu  

                                   

                                              .

- 5:  - intervalul de încredere , cu coeficientul de încredere p = 0 , 95 , pentru

          variabila aleatoare N ( 0 ; 1 ) , este : ( - 1, 96 ; 1, 96 ) ;

      - intervalul de încredere , cu coeficientul de încredere p = 0 , 95 , pentru

          variabila aleatoare N ( 0 ; 1 ) , este : ( - 2, 58 ; 2, 58) .

    

             

   


Document Info


Accesari: 2017
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.

 


Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2014 )