MATRICI

Definitie  Fie M=,N= multimea primelor m respectiv n, numere naturale nenule.Se numeste matrice de tip (m,n) functia A:MxNàC  definita prin tabloul A= notata prescurtat  A=(a_ij) unde a_ij C(multimea numerelor complexe).Multimea tuturor matricelor de tip (m,n)se noteaza cu M_mn(C) unde m reprezinta numarul de linii si n numarul de coloane .

 Daca m=n, o matrice [n care numarul de linii este egal cu numarul de coloane se numeste matrice patratica de ordin n.

 Matrici egale   Fie AM_mn(C), A=(aij) si BM_mn(C), B=(bij) Atunci A=B ó a_ij= b_ij oricare ar fi  i= ,  j= .

 Adunarea matricelor  A+B=C unde C=(c_ij) unde c_ij=a_ij+b_ij  oricare ar fi i=,j= de numeste suma dintre matricele A si B.

  Proprietati:  1)Adunarea este asociativa :(A+B)+C=A+(B+C) A,B,C M_mn(C)

  2)Adunarea este comutativa: A+B=B+A ,A,BM_mn(C)

  3)Matricea cu toate elementele 0(zero),notata cu O ,OM_mn(C),este elementul neutru pentru adunare.

  4)Orice matrice AM_mn(C) are un opus notat -AM_mn(C) astfel [ncat  A+(-A)=(-A)+A=0.

 Observatie: Se aduna numai matrici de acelasi tip.

 Inmultirea matricilor

    Se [nmultesc doua matrici AÎMmn(C) si BÎMnp(C) numai daca numarul de coloane ale lui A este egal cu numarul de linii ale lui B si AB=C unde CM_mp(C) si daca A=(a_ij) ,B=(b_jk) atunci  C=(c_ik).

 Pe scurt "se [nmultesc liniile cu coloanele "

                     c_ik=a_i1b_1k+a_i2b_2k+...+a_inb_nk=

 Proprietati  1)Inmultirea matricilor este asociativa: (AB)C=A(BC) daca A M_mn(C),B M_np(C),C M_pq(C)

2)Inmultirea matricilor nu este comutativa,[nmultirea este asemanatoare cu compunerea functiilor.

3)Inmultirea este distributiva fata de adunare :

   Daca AM_mn(C);B,CM_np(C) atunci A(B+C)=AB+AC

   Daca A,B M_mn(C) si CM_np(C) atunci (A+B)C=AC+BC

4)In multimea M_n(C) matricilor patratice exista matricea I_n=

patratica de ordinul n ce reprezinta elementul neutru fata de [nmultire,adica AI_n=I_nA=A   A M_n(C).

 Inmultirea cu scalari a matricilor:

      Fie AM_mn(C),A=(a_ij)  si aC atunci  aA=B, B=(b_ij) unde b_ij=a a_ij

 Proprietati: 1)Daca AM_mn(C) atunci 1 A=A

                      2) Daca AM_mn(C)si a,bC atunci (a+b)A=aA+bA         

                      3) Daca AM_mn(C) si a,bC atunci (ab)A=a(bA)

                      4) Daca A,BM_mn(C)si aC atunci a(A+B)=aA+aB

                      5) Daca AM_mn(C),BM_np si aC atunci  a(AB)=(aA)B

Matricea transpusa notata cu A^t -se schimba [n A liniile [n coloane.

  Exercitii rezolvate :

1)   Fie A=M₃(Q).Daca f(x)=X²+3x+I₃,sa se calculeze f(A).

REZOLVARE: f(A)=A²+3A+I₃=+3+=++  => f(A)= 

2)Fie matricea A=  .Sa se calculeze (I+A)ⁿ,nN* iar I= .

REZOLVARE:   Se poate aplica binomul lui Newton.

 (I+A)ⁿ=C Iⁿ+C I^n-1A+C I^n-2A²+....+C Aⁿ

 Dar  A² =A A==

        A³=A² A===0

Deci Aⁿ=0 n3 nN si (I+A)ⁿ=+n++..+0

In final (I+A)ⁿ=

Observatie:In general daca A=,a,b,cR atunci A=+  sau A=I+B unde B=.Se constata ca B³ =0 si deci Bⁿ=0 n3 nN si atunci Aⁿ=(I+B)ⁿ.

3)   Fie matricea A=   .Sa se calculeze B=   unde nN*.

 REZOLVARE:     A=I+B sau =+ deci  B=  => B²=  B³=0  B³= deci Bⁿ=0 n3 nN si Aⁿ=(I+B)ⁿ=CIⁿ+CI^n-1B+CI^n-2B²+....+CBⁿ= =+n++...+

Aⁿ=

Cum  =n; =; = .Avem B==

Observatie:  AM_n(C) se poate calcula Aⁿ,nN*   si prin alta metode,

ca: 1)prin inductie matematica

 Exemplu:   Fie  A=M₂(Z) pentru a calcula Aⁿ observam ca A²=,A³= cea ce ne face sa presupunem ca Aⁿ=,.

  Demonstram aceasta propozitie folosind metoda inductiei matematice:

1.    etapa de verificare  n=1 => A=

2.    presupunem  A^k=  si sa demonstram ca A^k+1=;                                                                                      Dar  A^k+1=A^k A 

deci Aⁿ=,.

2)Se poate calcula Aⁿ, nN *,si folosind sirurile recurente:

Exemplu:  Fie matricea A=.Sa se calculeze Aⁿ, nN.

REZOLVARE:  Notam Aⁿ= .Substituind pe n cu n+1 obtinem: Aⁿ⁺¹=.

Pe de alta parte calculand Aⁿ⁺¹=Aⁿ A avem

Aⁿ⁺¹=  = deci se obtin relatiile    =>a_n=n si b_n= si deci Aⁿ=,n

4)  Fie  H=

a)       Sa se arate ca (H,) este grup abelian(operatia "",este operatia de [nmultire a matricilor).

b)      Sa se arate ca (H,)este izomorf cu grupul aditiv al numerelor reale (R,+).

REZOLVARE: 1.Fie A_xH si A_yH sa aratam ca operatia este bine definita ,sau ca (H, ) stabila:

 

dar A_xA_y=   deci A_xA_y=A_x+yH  pentru ca xR,yR si x+yR.

2.Asociativitatea : (A_xA_y)A_z=A_x(A_yA_z;A_x,A_y,A_zH  evident pentru ca A_(x+y)+z=A_x+(y+z)

3.Comutativitatea A_xA_y=A_yA_x , A_x,A_yH  evident pentru ca A_x+y=A_y+x

Elementul neutru   A_eA_x=A_xA_e=A dar A_xA_e=A_x ó A_x+e=A_xóx+e=x =>e=0 deci A_e=A₀=

Simetricul: A_xH, AH astfel [ncat A_x A= AA_x=A₀  dar

   A_x  A=A₀ =>A=A₀ =>x+x¹=0  =>x¹=-x  => A=H

Deci (H,) este grup abelian.

c)       Se considera f:RàH, x--->f(x)  

  1)Se  verifica f bijectiva

  2) iar relatia f(x)f(y)=f(x+y)  evident pentru ca f(x)=A_x, f(y)=A_y ,A_xA_y=A_x+y  deci f(x)f(y)=A_xA_y=A_x+y=f(x+y).

Exercitii propuse:

  1.Sa se determine parametri  astfel [ncat matricea A  sa verifice relatia A²-A+I₂=O₂ unde O₂= si I₂=.

 2.Fie A=   calculati Aⁿ, .

 3.Se considera multimea de matrici G  .Sa se demnstreze ca G este parte stabila a lui M₂(Z) [n raport cu adunarea ,respectiv [nmultirea matricelor.

Sa se arate ca (G,+,) formeza o structura de inel comutativ fara divizori a lui zero.

                                             DETERMINAN|I

      Determinantul este un numar real atasat unei matrice patratice;Exemplu:A=  detA==a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁

A= atunci det A= care se calculeaza cu regula lui Sarrus sau a triunghiului.

Obs.  Determinantii de ordin mai mare dec[t 3 se calculeza pe baza proprietatilor acestora.

Proprietati:

   1.Daca AM_n(C) atunci  detA=detA^t.

   2.Daca toate elementele unei linii(sau coloane) dintr-o matrice sunt nule,atunci determinantul matricii este nul.

   3.Daca [ntr-o matrice schimbam doua linii(sau coloane) [ntre ele obtinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei initiale.

  4.Daca o matrice are doua linii(sau coloane)identice,atunci determinantul sau este nul.

  5.Daca toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei matrici sunt [nmultite cu un numar ,obtinem o matrice al carei determinant este egal cu  [nmultit cu determinantul matricei initiale.

  6.Daca elementele unei linii(sau coloane) ale unei matrici sunt proportionale ,atunci determinantul matricei este nul.

  7.Daca o linie(sau coloana)a unei matrici patratice este o combinatie 

liniara cu celelalte linii (sau colone) atunci determinantul matricei este zero.

  8.Daca la o linie(sau coloana) a matricei A adunam elementele altei linii (sau coloana) [nmultite cu acelasi numar,atunci aceasta matrice are acelasi determinant ca matricea A.

Calculul determinantilor:   d=  determinantului de ordinul 3 se obtine suprimand linia i si coloana j,,  din determinantul d se numeste minusul elementului a_ij si se noteaza d_ij iar  =(-1)^i+jd_ij se numeste complement algebric al elementului a_ij [n determinantul d.

Teorema: Fie determinantul d= atunci d=a_i1i1+a_i2i2+a_i3i3+a_i4i4  reprezinta dezvoltarea determinantului d dupa linia i.

Exemplu:1) Sa se calculeze determinantul d==(-3)*77+4* 67=-231+268=37

      2)Determinantul Vanderman de ordin 3.

=  =(a-c)(b-c)(b+c-a-c)=(a-c)(b-c)(b-a)=(a-b)(b-c)(c-a)

3.Sa se rezolve ecuatia:

=5

Rezolvare: ==

Ecuatia devine  -4x³+2x²+1=5 sau 2x³-x²+2=0 se observa ca -1 este radacina,se aplica schemalui Horner          2   -1    0    3    x₁=-1   si 

 2x²-3x+3=0   x₂₃=                      -1  2   -3     3    0

Rangul unei matrice

Definitie :Fie A M_mn(C) o matrice nenula.Spunem ca matricea A are rangul r si scriem rangA=r,daca A are un minor nenul de ordin r , iar toti minorii lui A de ordin mai mare decat r (daca exista)sunt nuli.

 Exercitiu rezolvat:   Fie matricea A=  .Sa se calculeze rangul matrice A.

Rezolvare: Cum A M₃₄(R)  minori de ordinul doi d=0 deci rang A 2.Se calculaza minorii de ordinul trei care sunt C₄³=4

d₁==3(-6), d₂==3(2-2)sau doar pe cei obtinuti prin bordarea lui d.

caz 1:d₂=0 d₃=0 adica =1, =6  =>  rangA=2

caz 2:d₂0 sau d₃0  adica  1 sau 6  =>   rangA=3

  Matrici inversabile:

Definitie: O matrice patratica se numeste nesingulara daca determinantul sau este nenul.

Definitie:Fie o matrice patratica de ordin n.Se spune ca A este inversabila,daca exista o matrice B patratica de ordin n,astfel [ncat :

AB=BA=I_n; B se numeste inversa matricei A.

Teorema: AM_n(C).matricea A este inversabila daca si numai daca det A 0 sau este nensingulara si A^-1=A*  unde A* se numeste matrice adjuncta formata din complementii algebrici din matricea transpusa.

Exemplu 1: Fie A=.Sa se arate ca este inversabila si  [n caz afirmativ calculati A^-1.

Rezolvare:  d=deci este inversabila si A^-1=A* dar

A^t=   A₁₁=+=-3, A₁₂=-=4, etc...  ,  A*= deci A^-1=A* sau A^-1=()   verificarea:A A^-1=A^-1 A=I₃ unde I₃=

2.Fie A=  a)Sa se arate ca A este inversabila si sa se calculeze A^-1.

b)Determinati X astfel [ncat A X=B unde B=.

Rezolvare:

a)    A este inversabila pentru ca det A=4 deci d0 deci A^-1=A*.Se observa ca A^t=A.

  avem A*=,A^-1=.

b)ecuatia AX=B are solutia X=A^-1B si prin calcul direct obtinem:X=  =>  X=  sau altfel  AX=B ó =  ó   cu =4.Prin regula lui cramer x_i=  => 

Exercitii de rezolvat:

1)    Sa se determine matricea X care satisface egalitatea X=

Indicatie: ecuatia este de forma XA=B si solutia care este unica are forma X=BA^-1(a nu se uita ca [nmultirea matricelor nu este comutativa).

2)    Se considera matricea X cu proprietatea X=

  Precizati tipul matricei x si apoi determinati aceasta matrice.

3)Se considera matricea A=M₃(C)

a)pentru ce valori complexe ale lui m matricea A este inversabila.

b)pentru m=2 sa se determine inversa matricei A.

4)Fie ecuatia x³-(2m-1)x²+(1+2m)x-m=0; mR.Sa se determine m astfel [ncat matricea: A= sa fie inversabila unde x₁,x₂,x₃ sunt radacinile ecuatiei date.  

5)Se considera multimea M=.Sa se demonstreze ca [nmultirea matricelor este lege de compozitie interna pe M si ca (M,) este grup abelian.

6)Se considera polinomul P(x)= Sa se determine parametrul real a pentru care polinomul admite radacina dubla [ntreaga.