Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza

Matematica

Matematica











ALTE DOCUMENTE

Matematica distractiva
Viata si opera lui Aristotel
Logaritmi
PROBLEME CU SIRURI DE NUMERE
FUNCTII
Formule de integrale si reguli de derivare
Test 2 Matematica
Aspecte matematice si computationale
Datele si reprezentarea lor - Reprezentarea numerelor
ELEMENTE DE STRATEGIE A ANALIZEI STATISTICE


Matematică

Cifre romane:

1=I;4=IV;5=V;6=VI;9=IX;10=X;11=XI;14=XIV;15=XV;16=XVI;19=IXX;20=XXD;50=L;100=C;500=D;1000=M.

Fracții:

¾:3=numărător(câte părți egale au fost luate din întreg);4=numitor(în câte părți egale a fost înpărțit

întregul);/=liniuța de fracție.

-Fracțiile care reprezintă aceeaș parte din întregi identici sunt fracții egale:2/3;4/6.

-Fracția echivalentă este fracția care are numărătorul egal cu numitorul:4/4=1.

-Fracția subunitară este fracția care are numărătorul naimic decât numitorul:3/8;3<8.

-Fracția supraunitară este fracția care are numărătorul mai mare decât numitorulȘ8-3ș8:3.

-Dintre două fracții cu numitorii egali este mia mare fracția care are numârâtorul mai mare:6/8>3/8.

-Dintre două fracții cu numărătorii egali este mai mare fracția care are numitorul mai mic:3/8>3/10.

-Pt. a afla cât reprezintă o fracție dintrun nr. nat. împărțim nr. la numitorul fracției și înmulțim rezultatul cu numărătorul:7/9din36è36:9x7=28è7/9din36=28

                                            Unități de măsură

1)Metrul:

Lungimile se măsoară cu metrul,multiplii și submultiplii lui care cresc și descresc din  10 în 10.

1m=10dm

1dm=10cm

1cm=10mm

1m=10dm=100cm=1000mm

1dam=10m

1hm=10 dam

1km=10hm

1km=10hm=100dam=1000m

2Kilogramul:

a)submultiplii:hectogramul(hg.);decagramul(dag.);gramul(g.);

decigramul(dg.);centigramul(cg.);miligramul(mg.)

b)multiplii:quntalul(q.);tona(t.)

1kg=10hg=100dag=1000g

1g=10dg=100cg=1000mg

1t=10q=1000kg

1q=100kg

3Litrul:

a)submultiplii:decilitrul(dl.);centilitrul(dl.);mililitrul(ml.)

b)multipli:decalitrul(dal.);hectolitrul(hl.);kilolitrul(kl.)

1l=10dl=100cl=1000ml

1kl=10hl=100dl=1000l

Numere naturale

De multe ori nr. nat. se notează cu ajutorul literelor supraliniate.

Reprezentarea nr. nat. pe axă

Axa nr. este o linie dreaptă pe care s-a fixat un punct O numit origine, în sens de parcurgere pozitiv(sopre dreapta) și o unitate de măsură(segment de dreapă).

Numărul care este asociat(corespunde)literei se numește abscisă(coordonată).

Ori care ar fidouă nr. nat.,,a" și ,,b" poate avea una din următoarele situații:

1)a<b

2)a=b

3)a>b

Compararea nr. nat.

Spunem că nr. nat. a este mai mic decât nr. nat. b dacă există un nr. nat. diferit de 0,c astfel încât a+c=b și se notează a<b.

Dacă a<b sau a=b scriem scurtèa mai mic sau egal cu b, ,,d" este mai mic sau cel mult egal cu ,,b".

Spunem că nr. nat. ,,n" este mai mare decât nr. nat. m dacă există nr. nat diferit de 0 c astfel încât n=m+c

                          Adunarea nr. nat.

Adunarea este operația care face ca două sau mai multe nr. nat. să corespundă unui singur nr.nat. numit sumă sau total.

Dacă schimbăm locul termenilor adunării suma rămâne constantă(nu se schimbă).

(A)Într-o expresie(ex.)termenii pot fi grupați,asociați astfel încât timpul necesar efectuării să fie foarte mic,a asocia=a grupa canvaeabil.

(N)Dacă adunăm orice nr. nat. cu 0 suma este acel nr.

Nr. 0 este element neutru la operația de adunare.

Dacă trebuie să efectuăm o sumă de nr. nat. consecucive și nr. termenilor este par asociem pe primul cu ultimul,al doilea cu primul s.a.m.d.

Când nr. termenilor sumei este impar îl neglijem pe ultimul și grupăm ceilalți termeniconvenabil.

Scăderea nr. nat.

D-S=RèS+R=D

D>sau=S

abc=a x b x c

___

abc=100 x a+10 x b+c

a+b

(C) a+b=b+a

(A) (a+b)+c=a+(b+c)

(N) a+0=0+a=a

(=;R;S;T) rel. de echivalență

(R) a=a

(S) a=bèb=a

(T) a=b și b=cèa=c

(< sau = R;A;T)=rel. de ordine

(R) a< sau =a

(A) a<sau=b și b<sau=aèa=b

(T) a<sau=b și b<sau=cèa<sau=c

Deoarece 1 este element neutru la operația de înmulțire,când 1 este factor al produsului el nu se scrie ci se subînțelege.

                     Împărțirea nr. naturale

Ori care ar fi două nr. nat. a și b există două nr. nat. q și r unic determinate astfel încât a=bxq+r unde q nu =0 și r<b.

a:b=q rest r ó a=bxq+r,q nu =0 și r<b

D:I=C rest R ó CxI+R=D

                 Teorema împărțiri cu rest

Ori care ar fi nr. nat. a și b există două nr. nat. q și r unic determinate astfel încât bxq+r=a și b diferit de 0;r<b

a:b=q rest r ó bxq=r=a;b nu=0;r<b

Distributivitatea reduce nr.înmulțtrilor dintr-o expresie prin scoaterea factorului comun.

Divizibilitatea

Spunem că nr. nat. ,,a" este divizibil cu nr. nat. ,,b" dacă există nr. nat. c diferit de 0 și bxc=a

b|a se citește ,,b divide pe a"

,,a este divizibil cu b"

,,b este divizor al lui a"

,,a este multiplu de b"

Pt. a vedea dacă 2 nr. sunt divizibile împărțim nr. mare la cel mic și observăm restul.

-Dacă restul împărțiri este 0 atunci nr. sunt divizibile.

-Dacă restul împărțiri este diferit de 0 atunci nr. nu sunt divizibile.

Dacă restul îmaărțirii este 0 atunci câtul și împărțitorul sunt diviyori ai deîmpărțitului.

D:I=C rest 0

CxI=DèC|D

è I|D

Divizor

Divizorul unui nr. nat. este nr. nat. diferit de 0 care divide nr. dat.

d|n c nu =0 și cxd=n

Dacă ,,d" divide pe ,,n" spunem că ,,d" este divizor al lui ,,n".

1 este divizor al orcărui nr. nat.

Nr. care are numai divizori improprii se numește nr. prim.

Criterii de divizibilitate

C10: Un nr. nat. este divizibil cu 10 dacă cifra unităților este 0.

10|abcóc=0

C5: Un nr. nat. este divizibil cu 5 dacă cifra unităților este 0 sau 5.

5|abcóc=0;c=5

C2: Un nr. nat. este divizibil cu 2 dacă cifra unităților este pară.

2|abcóc=0;2;4;6;8

Dacă un nr. nat. este divizibil cu 10 atunci el este divizibil și cu 2 și cu 5.

Când trebuie să scădem dintr-un nr. o difrerență neefectuată adunăm nr. cu scăzătorul iar din sumă scădem descăzutul.

Rezolvarea pb. cu ajutorul ecuaței

 

Când rezolvăm o pb. cu ajutorul ecuaței parcurgem urm. etape:

1)     Însușirea enunțului pb.;

2)     Stabilirea necunoscutei;

3)     Stabilirea unor relații între datele pb. și  necunoscută;

4)     Punerea pb. în ecuațe;

5)     Rezolvarea ecuației;

6)     Interpretarea soluței.

                                                         Puteri

Puterea care are exponenentul nr. nat este o înmulțirerepetată în care baza figurează ca factor de câte ori indică exponentul.

Orice putere care are exponentul 0 și baza diferită de 0 este egală cu 1.

Dacă putreile au și bazele și exponenții diferiți atunci pt. a le compara trebuie să la educem la aceeași bază sau exponenet.Când nu este posibil la comparăm cu același nr.

   

Tabla puterilor

1la n=1

2la0=1

2la1=2

2la2=4

2la3=8

2la4=16

2la5=32

2la6=64

2la7=128

2la8=256

2la9=512

2la10=1024

3la0=1

3la1=3

3la2=9

3la3=27

3la4=81

3la5=243

4la0=1

4la1=4

4la2=16

4la3=64

4la4=256

4la5=1024

5la0=1

5la1=5

5la2=25

5la3=125

5la4=625

5la5=3125

6la0=1

6la1=6

6la2=36

6la3=216

6la4=1296

6la5=7776

7la0=1

7la1=7

7la2=49

7la3=343

7la4=2401

7la5=16807

8la0=1

8la1=8

8la2=64

8la3=512

8la4=4096

8la5=32768

9la0=1

9la1=9

9la2=81

9la3=729

9la4=6561

9la5=59049

10la0=1

10la1=10

10la2=100

10la3=1000

10la4=10000

10la5=100000

Pătratul unui nr.

 

a la 2=axa

Puterea de ordinul 2 a unui nr. se numește pătratul acelui nr.

Când trebuie să calculăm pătratul unui nr.,înmulțim nr. cu el însuși.

Tabla pătratelor mai mare ca 10

11=121;12=144;13=169;14=196;15=225;16=256;17=289;18=324;19=361;20=400;

21=441;22=484;23=529;24=576;25=625.

Cubul unui nr.

 

a la 3=axaxa

Cubul unui nr. este o înmulțire repetată în care baza figurează ca factor de 3 ori.

Un nr. este pătrat perfect dacă există un alt nr. nat. care are puterea de ordinul 2 egală cu el.

Tabla cuburilor până la 10

1=1;2=8;3=27;4=64;5=125;6=216;7=343;8=512;9=729;10=1000.

                        Înmulțirea puterilor care au aceeași bază

Când înmulțim două sau mai multe puteri care au aceeași bază,scriem o dată baza și adunăn exponenții.

                                      Puterea unei alte puteri

Când calculăm puterea unei alte puteri scriem o dată baza și înmulțim exponenții.

Când trebuie să calculăm puterea unei alte puteri și nu există nici o paranteză efectuăm puterile de sus în jos.

a la -n=1/a la n.Toate prop.     

                                      Puterea unui produs

 

Când calculăm puterea unui produs de mai mulți factori,calculăm pe rând puterea fiecărui factor și înmulțim rezultatele.

                              Împărțiera puterilor care au bazele egale

Când împărțim două puteri care au bazele egale scriem o dată baza și scădem exponenții.

Sisteme de numerație

 

Baza sistemului de numerație indică câte cifre se folosesc pt. a scrie un nr. în această bază. Baza sistemului de numerație mai indică din cât cresc și descresc unitățile de un anumit ordin în această bază.

Comparea puterilor

 

1)Dacă 2 puteri au bazele egale șiexponenții sunt nr. nat. diferite de 0 atunci este mai mare puterea care are exponentul mai mare.

2)Toate puterile cu bazele egalecu 1 și exponenții nr. nat. sunt egale cu 1.

3)Dacă 2 puteri au exponenții egali cu nr. nat. diferite de 0 și bazele nr. nat. diferite este mai mare puterea care are baza mai mare.

4)Dacă puterile au și bazele și exponenții diferiți atuncipt. A le compara trebuie să le aducem la aceiași bază sau exponent. Când nu este posibil le comparăm cu același nr.

Ultima cifră a unui număr natural

Toate puterile lui 5 cu exponent nat. au ultima cifră 5.

Toate puterile lui 6 cu exponent nat. au ultima cifră 6.

Toate puterile lui 10 cu exponent nat. au ultima cifră 0.

Toate puterile lui 1 cu exponent nat. au ultima cifră 1.

Puterile lui 9 cu exponentul par au ultima cifră 1.

Puterile lui 9 cu exponent impar au ulitma cifră 9.

Observăm că ulima cifră a puterilor lui 2 cu exponent nat. se repetă din 4 în 4.

Prop. matematice compuse

 

,,/\"=ȘI

,,\/"=SAU

O prop. compusă din 2 prop. legate între ele prin ,,și" este adevărată dacă ambele prop. sunt adevărate.

O prop. compusă  din 2 prop. legate prin cuv. ,,sau" este falsă numai atunci când anbele prop. sunt false.

Negația

 

Prin negarea unei prop. obț. o nouă prop. care este adevărată dacă prop. inițială este falsă.

Mulțimi

Mulțimi:A,B,C,D,...........

Elemente:a,b,c,d,.............

                                                     Mulțimi de nmere

Formule:

*            =100a10b+c

*            =abc

1/n(n+1)=1/n-1/n+1;nN*

Proprietați:

-n|aàn|abc

-n|a |     | n|(a+b)

       |è|  

 n|b |     | n|(a-b)

-produsul a două numere consecutive este par

-produsul a trei numere consecutive este divizibil cu trei

-oricare ar fi un produs de trei numere pot fi scrise sub forma

3|(3K-1)3K(3K+1)

NUMĂR CARDINAL

 

Nr. care indicădincă din câte elemente este formată o mulțime se numește cardinalul acelui nr. și se notează card.M=25.

1)Într-o mulțime un element poate fi scris o singură dată.

2)Într-o mulțime nu contează ordinea în care sunt scrise elementele.

3)Într-o mulțime nu contează nat. elementelor.

Proprietatea pe care o au toatele elemantele nuei mulțimi se numește proprietate caracteristică.

Spunem că între 2 mulțimi finite există o corespondență biunivocă dacă fiecărui element din prima mulțime îi corespunde nu element din prima mulțime și invers.

Submulțimi

 

Submulțmea este o parte a mulțimii.Submulțimea este o mulțime mai mică sau egală cu mulțimea dată.

Dacă o mulțime are ,,n"elemente atunci ea are 2 la n submulțimi.

Proproetăți:

1)Dacă A intersecat cu B egal cu mulțimea vidă(sunt disjuncte)èAUB=card.A+card.B

2)Dacă A intersectat cu B nu este egal cu mulțimea vidă èAUB=card.A+card.B=card.A intersectat cu card.B      

    

Egalitatea mulțimilor

Două mulțimi sunt egale dacă sunt formate din aceleași elemente.

Opreații cu mulțimi

1)Reuniunea

2)Intersecția

3)Diferența

4)Produs cartezian

1)Reuniunea a două sau mai multe mulțimi este o altă mulțime formată din toate elementele mulțimilor luate o singură dată.

Proprietăți:

a)element neutru

b)comutativitatea

c)asociativitatea

d)reflexvitatea

2)Intersecția a două sau mai multe mulțimi este o altă mulțime formată din elementele comune tuturor mulțimilor.

Proprietăți:

a)reflexivitatea

b)element neutru

c)comutativitatea

d)asociativitatea

e)distributivitatea

3)Diferența a două sau mai multe mulțimi formată din elementele primei mulțimi care nu se găsesc in a II-a.

4)Produl cartezian a două mulțimi A și B este mulțimeaperechilor ordonate de forma (x;y)care au proprietatea că x este din prima mulțime și y din mulțimea

a II-a.

Incluziunea

1)Spunem că mulțimea A este inclusă strict în mulțimea B dacă elementele lui A se găsesc în B și cardinalul lui A este mai mic decât card.B.

2)Sspunem că mulțimea C este inclusă în mulțimea D dacă toate elementele lui C se găsesc în D și card.C este egal cu card.D.

Reuniunea și intersecția-proprietăți

Dacă A intersectat cu B èA și B sunt disjuncte.

P1: Dacă două mulțimi sunt disjuncte atunci card. reuniunii este egal cu suma card. mulțimilor.

P2: Dacă două mulțimi nu sunt disjuncte atunci card. reuniunii este egal cu diferența dintre suma card. mulțimilor și card intersecției nulțimilor.

Numere negative

Nr. care are scris în stînga semnul minus se numește nr. negativ.

Mărimi care pot fi măsurate în 2 sensuri

1)Temperatura

2)Timpul

3)Altitudinea

4)Latitudinea

5)Longitudinea

6)Deplasarea pe axă

Numere pozitive

Nr. care are scris în stînga senmul ,,+" se numește nr. pozitiv.

Orice nr. care nu are scris în stânga nici un semn este nr. pozitiv.

Compararea nr. întregi

1)Dacă 2 nr. întregi sunt reprezentate pe axă atunci cel mare este situat în dreapta.    -5 și -1

-1>-5

2)Orice nr. negativ este mai mic ca',0".

-6<0

3)Orice nr. pozitiv este mai mare ca,,0".

+2>0

4)Orice nr. pozitiv este mai mare ca orice nr. negativ.

+1>-4

                           Valoarea absolută(modulul) unui nr. întreg

Distanța de la origine la punctul care are abscisa egală cu nr. dat se numește valoarea absolută (modulul).Se notează între două bare.

Dintre 2 nr. negative este mai mare cel care are val. absolută mai mică.

Dacă o sumă de termeni nenegativi este zero atunci fiecare termen este zero.

Proprietăți:

1)|x|0(modulul este nenegativ)

2)|x|=0óx=0

3)|xy|=|x||y|

4)|Kx|=K|x|

KN*

5)|x/y|=|x|/|y|

6)|x-y|=|y-x|

7)=|x|

8)|x+y||x|+|y|

9)Dacă x>0à|x|=x

10) Dacă x<0à|x|=-x

                                                 Numere opuse

Două nr. întregi care au val. absolute egale și semne diferite se numesc nr. opuse.

                                            Adunarea nr. întregi

Oricare ar fi 2 nr. ăntregi,suma lor este tot nr. întreg.

Proprietăți:

1)Suma a două nr. opuse este 0

2)Ori care ar fi nr. întregi a și b,a adunat cu b egal cu b adunat cu a

3)Ori care ar fi nr. întregi a,b,c avem: a+(b+c)=(a+b)+c

4)Oricare ar fi nr. întreg ,,n" există nr. întreg 0 astfel încât n+0=0+n=n

                                         Regula semnelor

R1:Când adunăm două nr. întregi care au semnele identice,adunăm val. absolute ale nr. și punem rezultatului semnul comun.

R1:Când adunăm 2 nr. întregi care au semne diferite scădem din val. absolută mai mare val. absolută mai mică și punem rezultatului semnul nr. care are val. absolută mai mare.

                                        Scăderea nr. întregi

Oricare ar fi 2 nr. întregi,diferența lor este tot nr. întreg.

                                          Regula semnelor

R1:Când scădem 2 nr. întregi,determinăm un nr. întreg care adunat cu scăzătorul să dea descăzutul.

R2:Când scădem 2 nr. întregi adunăm descăzutul cu opusul scăzătorului.

R3:Semnul minus din fața unei paranteze schimbă semnele tuturor nr. din paranteză.

                                          Înmulțirea nr. întregi

Oricare ar fi 2 nr. întregi,produsul lor este tot nr. întreg.

Proprietăți:

1)Dacă un factor este 0 atunci produsul este egal cu 0.

2)Ori care ar fi 2 nr. întregi a și b,axb=bxa.

3)Oricaere ar fi 3 nr. întregi a,b,c,a(bxc)=(axb)c

4)Ori care ar fi nr. întregi a;b;c, a(b+c)=axb+axc și a(b-c)=axb-axc.

5)Nr. 1 este element neutru la înmulțirea nr. întregi.

                                             Regula semnelor

R1:Produsul a 2 nr. întregi care au acelați semn este pozitiv.(+)  

R2:Produsul a 2 nr. întregi care au semn diferite este negativ.(-)

                                      Divizibilitatea nr. întregi

Nr. ,,d" este divizor întreg al lui ,,n" dacă există nr. întreg ,,c" care înmulțit cu ,,d" să dea ,,n".

                                           Împărțirea nr. întregi

Câtul a 2 nr. întregi este nr. întreg numai atunci când împărțitorul este divizor al deâmpărțitului.

  

                                             Regula semnelor

R1:Câtul a 2 nr. întregi care au acelați semn este pozitiv.(+) 

R2:Câtul a 2 nr. întregi care au semn diferite este negativ.(-)

                                  Puterea unui nr. întreg cu exponent nat.

Dacă baza puterii este nr. întreg diferit de 0 și exponentul este 0 atunci puterea este egală cu 1.

Dacă baza puterii este nr. întreg 0,iar exponentul orice nr. întreg diferit de 0 atunci puterea este egală cu 0.

                                         Regula semnelor

R1:Puterea care are exponentul nr. par are semnul plus.

R2:Puterea care are exponentul nr. impar are semnul minus.

                                    Divizibilitatea în mulțimea nr. întregi

Pt. a calcula nr. divizorilor nat. unui nr. ,,mare" procedăm astfel:

1)Descompunem mr. în factori primi

2)Mărim cu o unitate ficare exponent după care efectuăm produsul sumelor obținute  

                                            Numere prime

Nr. care are numai divizori improprii se numește nr. prim: D7=.

În afară de 2 toate nr. prime sunt impare.

Nr. care are cel puțin un divizor propriu se numește nr. compus.

Dacă c.m.m.d.c. a două nr. este 1 atunci nr. sunt prime între ele.

Dacă un nr. nat. este divizibil cu două nr. prime între ele atunci el este divizibil și cu produsul acestora.Dacă un nr. nat. are la sfărșit ,,n" zerouri atunci el are ca factori pe 2 la n și 5 la n.

                                 Descompunerea unui nr. compus în factori

Cînd trebuie să calculăm c.m.m.d.c. a două sau mai multe nr. procedăm astfel:

-descompunem nr. în factori       

-scriem nr. descompuse unul sub altul

-luăm factorii comuni cu exponentul cel mai mic

-facem produsul puterilor obșinute

                                           Multiplii comuni

 

Cel mai mic nultiplu comun a două sau mai multe nr. este cel mai mic nr. nat. diferit de 0 care este divizibil cu toate nr. date.

Dacă nr. sunt mari atinci pt. a determina c.m.m.d.c. procedăm astfel:

1)Descompunem nr. în factori care au bazele nr. prime

2)Luăm factorii com. si necom. o dată cu exponentul cel mai mare și facem produsul.

                                         Fracții ordinare

Scrierea de forma a/b unde a aparține N și b aparține N* se numește fracție ordinară.

Numărătorul este nr. nat. așezat deasupra liniuței de fracție.

Numitorul este nr. diferit de 0 așezat sub liniuța de fracție.

Numitorul indică în câte părți egale a fost împărțit întregul.

Numărătorul ne arată câte părți egale s-au luat dintr-un întreg sau mai mulți întregi care au fost împărțiți în părți egale.

O fracție ordinară există dacă numitorul ei este diferit de 0.

                                   Compararea fracției cu întregul

1)Fracția care are numărătorul egal cu numitorul se numește fracție echivalentă.

2)Fracția care are numărătorul mai mic decât numitorul se numește fracție subunitară.

3)Fracția care are numărătorul nai mare decât numitorul se numește fracție supraunitară.

                                     Fracții echivalente

Fracțiile a/b și c/d care au proprietatea că a înmulțit cu d egal cu b înmulțit cu c se numesc fracții echivalente.

Fracțiile echivalente reprezintă aceeași parte din întreg.

Zicem echivalente și punem semnul egal deoarece egalitatea este:

-reflexivă: a/b =a/b

-simetrică: Dacă a/b=c/d è c/d=a/b

-tranzitivă

Deci este relație de echivalență.Dacă a/b=c/d și c/d=e/f èa/b=e/f

(,,=" R,S,T)= rel. de echvalență

                                      Amplificarea fracțiilor ordinare

Procedeul prin care se obț. fracții echivalente înmulțind numărătorul și  numitorul cu același nr. dif. de 0 se numește amplificare.

1)Fracția dată este echivalentă cu fracția amplifiactă.

                                           Simplificarea f.o.

Procedeul prin care se obțin fr. echivalente împărțind numărătorul și numitorul la același nr. dif. de 0 se numește simplificare.

Numim fr. ireductibilă  fr. ordinară care are numărătorul și numitorul nr. prime între ele.

                                            Compararea fr.o.

1)Dacă 2 fr. ordinare au numitorii egali atunci este mai mare fr. care are numărătorul mai mare.           

2)Dacă 2 fr. ordinare au numărătorii egali atunci este mai mare fr. care are numitorul mai mic.

Când este posibil simplificăm fr. înainte de a le compara.

                                   Șir de fr. egale. Nr. rațional pozitiv.

Fr. echivalente se obț. amplificând o fr. dată cu un nr. nat.

Dacă amplificăm o fr. dată,pe rând cu nr. nat. obț. un șir de fr. echivalente (egale).

Fr. echivalente reprezintă aceeași parte dintr-un întreg sau întregi de același tip.î

Numim nr. rațional pozitiv mulțimea fr. ordinare echivalentecu o fr. dată.

Când efectuăm operații cu nr. raționale efectuăm operații cu reprezentanții lor care sunt fracții ordinare.

                               Scoaterea întregilor dintr-o fr. o. supraunitară

 

Când trebuie să scoatem întregii dintr-o fracție,împărțim numărătorul la numitor,scriem câtul,iar la numărător restul împărțirii(numitorul rămâne neschimbat).

Nr. format dintr-un întreg și o fr. se numește nr. mixt.

                                   Introducerea întregilor în fr.

Când introducem îmtregii în fr. înmulțim numitorul cu întregii,adunăm cu numărătorul și scriem rezultatul la numărător(numitorul rămâne nechimbat).

                                   Adunarea nr. raționale pozitive

Când trebuie să adunăm 2 sau mai multe fr. ordinare care au numitorii egali,scriem o singură dată numitorul și adunăm numărătorii.

Proprietățile adunării

(C)Comutativitatea: a/b+c/d=c/d+a/b        

(A)Asociativitatea: (a/b+c/d)+m/n=a/b+(c/d+m/n)

(N)Elenent neutru

Mulțimea nr. raționale se notează cu litera Q.

                                   Scăderea nr. raționale

Când trebuie să scădem 2 nr. raționale scădem reprezentanții lor care sunt fr. ordinare.

1)Când fr. au numitorii egali scriem o singură dată numitorul și scădem numărătorii.

2)Dacă numitorii diferiți atunci le aducem la același numitor anplificându-le sau simplificându-le când este posibil.

3)Când trebuie să scădem 2 nr. mixte scădem întregii între ei și fr. între ele după ce au fost aduse la același numitor.

                                        Înmulțirea fr. ordinare

Când trebuie să înmulțim 2 sau mai multe fr. ordinare,înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei după ce am făcut simplificările posibile.

                                       Aflarea unei fr. dintr-un nr.

Când trebuie să aflăm cât reprezintă o fr. dintr-um nr. înmulțin fr. cu nr.

                                          Împărțirea fr. ordinare

Când trebuie să împărțim 2 fr. ordinare înmulțim deîmpărțitul cu inversul împărțitorului.

                                  Putrera unei fr.o. cu exponent nat.

 

Orice fr. ordinară cu numărătorul 1 și numitorul produsul a 2 nr. nat. consecutive poate fi scris ca diferență de 2 fr. cu numărătorii egali cu 1 și numitorii factorii produsului.

I)Puterea care are exponentul 0 este egală cu 1 dacă baza este diferită de 0.

II)Puterea care are baza 0 este egală cu 0 dacă exponentul este diferit de 0.

III)Orice putere care are baza egală cu 1 și exponentul nr. întreg este egală cu 1.

                                     Puteri cu exponent întreg pozitiv

Putrerea cu exponent întreg pozitiv este o înmulțire repetată în care baza figurează ca factor de câte ori indică exponentul.

                                   Puterea cu exponent întreg negativ

a la -n=1/a la n. Toate prop. de mai sus sunt valabile și aici.     

                                               Fracții zecimale

Scrierea de forma a,b este fracție zecimală.

Cifrele situate în dreapta virgulei se numesc zecimale.

                                  Transformarea fr. ordinare în fr. zcimale

Când trebuia să transformăm o fr. ordinară în fr. zecimală împărțim numărătorul la numitor.

Dacă numitorul fr. ordinare este o putere a lui 10 atunci împărțirea nu se efectuează ci sescrie direct rezultatul mutând virgula de la dreapta spre stânga peste atâtea cifre câte zerouri are împărțitorul.

Fr. ordinară care are numitorul o putere a lui 10 se transformă în fr. zecimală finită.

R1:Dacă numitorul unei fr. conține numai puteri ale lui 2,umai puteri ale lui 5 sau puteriale lui 2 și 5 atunci fr. ordinară se trandformă în fr. zecimală finită.         

R2:Dacă numitorul nu este putere a lui 10 încercăm să amplificăm convenabil fr. pt. a obține o putere a lui 10.

                                    Transformarea fr. ordinare în fr. periodice

R1:Dacă numitorul unei fr. ordinare conține ca factori puteri care au baza diferită de 2 și 5 atunci se transformă în fr. zecimală periodică.

R2:Dacă numitorul unei fracții conține pe lîngă puterile lui 2 și 5 și alte puteri atunci se transformă în fr. zecimală periodică mixtă.

                              Transformarea fr. zecimale finite în fr. ordinare

 

Când transformăm o fr. zecimală finită în fr. ordinară procedăm astfel:

-Scriem la numărător nr. nat. format cu cifrele fr. zecimale;

-Scriem la numitor cifra 1 urmată de atâtea zerouri câte zecimale are fracția;

-Facem simplificările posibile până se ajunge la fr. ireductibilă.

                                    Adunarea fr. zecimale finite

 

Așezăm fracțiile una sub alta astfel încât să avem virgulă sub virgulă,zecimi sub zecimi etc. și efectuăm adunarea la fel ca la nr. nat.

                                   Transformarea f.z.p.s. în fr. ordinare

Când transformăm o f.z.p.s. în fr. ordinară procedămastfel:

-Scriem întâi întregii;

-Scriem la numărător nr. nat. format cu cifrele perioadei;

-Scriem la numitor atâția de 9 câte cifre are perioada;

-Se efectuează simplificările posibile.

                                    Transformarea f.z.p.m. în fr. ordinare

Când transformăm o f.z.p.m. în fr. ordinară procedăm astfel:

-Scriem întregii;

-Scriem la numărător dif. dintre nr. nat. format cu toate cifrele și nr. nat. format cu cifrele părții neperiodice;

-La numitor se scrie nr. nat. format din atâția de 9 câte cifre are perioada urm. de atâția de 0 câte cifre are partea neperiodică.

                                             Operații cu f.z.f.

Dacă la sfârșitul unei f.z.f. punem unul sau mai multe zerouri atunci valoarea fracției nu se modifică.

(R)Când adunăm 2 sau mai multe f.z.f. le așezăm una sub alta astfel încât virgulele să corespundă,întregi sub întregi,zecimi sub zecimi,sutimi sub sutimi.

                                               Înmulțirea f.z.f.

Când trebuie să înmulțim 2 f.z.f. la așezăm una sub alta.întâi cea care are cifre mai multe apoi cea care are cifre mai puține.

-Efectuăm produsul ca la nr. nat.,iar la produsul final despărțim de la dreapta spre stânag atâtea zecimale câte au la un loc ambele fracții.î

                                               Împărțirea f.z.f.

R1:Când împărțitorul este f.z. înmulțim deîmpărțitul ți împărțitorul cu o putere a lui 10 pt. a dispărea virgula de la împărțitor.

R2:Când trebuie să împărțim 2 f.z.f. le putem transforma în f.o. după care efectuăm împărțirea f.o.

R3:Când împărțim o f.z.f. la 10;100;1000 mutăm virgula de la dreapta spre stânga peste cifre câte zerouri are împărțitorul.

                                           Medie aritmetică

Media aritmetică a 2 sau mai multe nr. este nr. ce reprezintă câtul dintre suma numerelor și nr. lor(câte sunt).

Dacă cunoaștem Ma. a mai multor nr. atunci putem afla suma lor înmulțind Ma. cu nr. lor(câte sunt).

                                      Medie aritmetică ponderată

Maxp=XxPx+YxPy+ZxPz/Px+Py+Pz

                                       Unități de măsură pt. timp

 

Unitatea de măsură pt. timp este minutul.

1h=60min.=3600s

1zi=24h=1440min.=76400s.

                                                Procente

Scrierea de forma p/100 se numește raport procentual.

Pt. a afla cât reprezintă p% dintr-un nr. înmulțim nr. cu raportul pricentual.

                                               Probalități

Raportul dintre nr. cazurilor favorabile apariției unui eveniment și nr. cazurilor egal posibile apariției acelui eveniment se numește probabilitate.

m=nr. cazurilor fav.

n=nr. cazurilor egal pos.

p=m/n

                                                       Ecuații     

Etapele rezolvării ecuației

1)stabil. mulș. de def.a ec.(dacă nu este dată în pb.)

2)eliminarea numit.(dacă ec. conț. rapoarte,fracții)

3)desfințarea parant.(daca ec. are parant)

4)separarea termenilor care conț. variabila de termenii liberi

5)reducerea termenilor asemenea

6)calculul val. variabilei

7)intepreterea soluției

O ecuație care are gradul mai mare sau cel pitin egal cu doi se reazolvă astfel:

-se trec toți termenii în stînga egalului,iar îb dreapza rămâne zero

-se reduc termenii asemenea

-se descompun în factori exprisiile din membrul stâng

-se egalează cu zero fiecare expresie din paranteză

-se rezolva ecuația

-se scrie mulțimea soluțiilor

  

                                          Ecuații de tipul x**=a

Orice ecuație care are gradul mai mic sau egal cu 2 se rezolva astfel:

1)Se trec toate expr. în membrul stâng și îndreapta rămâne zero

2)Se descompune în factori expr. din M.S

3)Se ia fiecare expresie din paranteză și se egalează cu zero după care sa rezovă separat fiecare ecuație

4)Proba

5)Scrierea mulț. de soluție

                                                   Ecuații în Q

P1:Când ecuația conține f.o.,pt. a elimina numitorii înmulțim ecuația cu numit. Com.

P2:Când o ecuație conține f.z.f.,eliminarea virgulei se face prin înmulțirea ecuației cu o putere a lui 10.

AxX=b este forma redusă(standard).

I)Dacă a nu=0èec. compatibilă determinată

II)Dacă a=0 și b=0èec. compatibilă nedeterminată

III)Dcaă a=0 și b nu=0èec. incompatibilă(fără soluție)

                                     Ecuații de gradul I cu o necunoscută

Propoziția matematică care afirmă că două expresii au valori numerice egale pentru un element din mulțimea de definiție se numește ecuație.

O mulțime de nr. cu care putem înlocui variabila ,,x" se numeșe mulțime de definiție.

Numim soluție a ecuației elementuldin mulțimea de def. care face prop. adevărată.

Prima etapă a rezolvării este scrierea mulțimi de def. a ec.,iar ultima etapă a rezolvării este scrierea mulțimii de soluții.

Două ec. se numesc echivalente dacă au aceeași soluție.

P1:Dacă adunăm sau scădem în ambii termeni ai ec. același nr. obț. o ec. echivalentă cu cea dată.

P2: Dacă înmulțim sau împărțim o ec. cu același nr. dif. de 0 obț. o ec. echivalentă cu cea dată.

Etapele rezolvarii:

-stabilirea mulțimii de definiție

-eliminarea numitorilor(se înmulțește ecuația cu numitorul comun)

-deființarea parantezelor

-separarea termenilor ce conțin variabila de termenii liberi

-reducerea termenilor asemenea

-calculul valorii variabilei(se împarte numărul din membrul drept la coeficientul variabilei)

-interpretarea soluției(se verifică dacă valorea găsită aparține mulțimii de definție după care se probează în eciație)

-secrierea mulțimii soluțiilor

                                                Tipuri de ecuații

1)a0èecuație compatibilă determinată

2)a=0 și b=0èecuație compatibilă nedeterminată

3)a=0 și b0èecuație incompatibilă

                                   Ecuații de gradul I cu 2 necunoscute

ax+by+c =0 este forma redusa(standard)

Ecuația este de gr. I daca după efect. calculelor și red. termenilor asemenea variabilele rămân cu exp. 1.

Mulțimea de definiție a ecuației de gradul I cu 2 necunoscute este produsul cartezian a 2 mulțimi de numere reale.Soluția ei este perechea de numere reale care satisface ecuația.Soluția este de 2 tipuri:

1)generală

2)particulară

Toate solșuțiile particulare ale ecuației sunt cordonatele unor puncte coliniare(situate pe aceeași dreaptă).

                         Sisteme de două ecuații de gradul I cu 2 necunoscute

Mulț. ale caror elemente sunt ec. se numește sist de ee.:

a=nr. din care se extrage radicalul

                         Extragerea radicalului din nr. pătrate perfecte

A extrage răd. pătrată(rad. de ordinul 2) dintr-un nr. înseamnă a determina prin dif. proc. nr. care are pătratul egal cu nr. se sub semnul radical.

Metode:

1)Algoritmul extragerii răd. pătrate

2)Descomp. nr. în factori care au bazele nr. prime după care scoatem de sub semnul radical puterile care au exponenții nr. pare.

                                          Reguli de calcul cu radicali

Rădăcina pătrată a numărului nenegativ a este numărul nenegativ b dacă b**=a.

Proprietăți:

1)=x

2)=|x|

3)

4)

5)

6)

7)

 

                                              Medie geometrică 

Media geometrică a ,,n" nr. este radicatul de ordinul n a prod. nr. date.Media geometrica (proporțională) a 2 nr. nenegative este rădăcina pătrată a prod. celor 2 nr.

                                   Nr. reale reprezentate prin litere

Literele sunt de două feluri:

1)parametri: a;b;c;m;n;p

2)variabile: x;y;z;u;;v;t

Nr. reale sunt repr. NUMAI PRIN LTIERE MICI

x=literă mică("de mână") x aparține R

X=nedeterminata

Parametrul este nr. notat cu o literă de la începutul sau mijlocul alfabetului.Ia o val. neprecizată.

Variabila este nr. real notat printr-oliteră mică "de mână" da le sfârșitul alfabetului.Ia un nr. nedeterminat de val.Poate fi înlocuită cu orice element din mulțimea de soluție.

Expr. algrbrică este o înșiruire de cifre și litere egale între ele prin semne de operații.Val. numerica a expr. algebrice este nr. obț. prin înlocuirea variabilei cu o val. dupa efect. tuturor operațiilor.

                                                Numere irationale   

Mulțimea nr. iraționale este diferită de mulțimea nr. reale și de mulțimea nr. raționale.

                                        Formule de calcul prescurtat

 

1)Produsul sumei prin diferență: (A+B)(A-B)=A**-B**

2)Pătratul binomului sumă: (A+B)=A**+2AB+B**

3)Pătratul binomului difernță: (A-B)=A**-2AB+B**

4)Pătratul unui trinom: (A+B+C)**=A**+B**+C**+2AB+2AC+2BC

Aplicații:

1)Calcul mintal

2)Relații metrice

3)Simplficări de rapoarte

4)Calcule de arii ale supr. poligonale

5)Calculul expr. algebrice

6)Demonstrații ale identitaților etc.

                        Descompunerea expr. algebrice în factori

A descompune în factori înseamnă a deter. prin dif. metode două sau mai multe expr. care au prod. egal cu expr. dată.

Metode de descompunere:

1)Metoda factorului comun

2)Metoda grupării termenilor

3)Metoda combinată(mixtă)

4)Fol. f.d.c.p.

                                            Metoda factorului comun

F.C. este expr. de gradul cel mai mare coținuta ca factor îm fiecare termen al expr.

                                            Desompunerea în factori

Factor comun este litera cu exponentul cel mai mic.Deoarece dif. nu este comutativa,cînd invesăm locul desc. cu scăz. scoatem "factor comun foțat"pe -1

A-B=(-1)(B-A)

                                          Metoda gruparii termenilor

Constă în asocierea convenabilă a termenilor cu scopul de a obț. factor comun după care se scoate f.c.

                                         Formule de calcul prescurtat

A**-B**=(A-B)(A+B)

A**+2AB+B**=(A+B)

                                           Sist. de axe ortogonale

Mulț. ale cărei elemente sunt axe se numește sist. de axe.Axa este o dr. orintată.

În plan orice pct. este carac prin 2 nr.:

1)abscisa

2)ordonata

                                      Dst. dintre două pct. din plan

Dst. dintre 2 pct. este nr. nenegativ ce repr. lung. seg. de dr. ale cărui capete sunt pct. date.Dst. dintre 2 pct. din plan se calc. cu formula:

AB= radical din (Xb-Xa)**+(Yb-Ya)**

                                      Coordonatele mij. seg. de dr.

Punctul interior segmentului egal depărtat de capete se numește mijlocul segmentului de dreaptă. Mij. este unic.

                                    Partea întreagă și partea fracțonară

[x]=partea întreagă a lui x

=partea fracționară a lui x

[x]+=x

=x-[x]

Partea întreagă a unui număr real este cel mai mic număr întreg apropriat de numărul dat.

Când numărul real are minus se adună o unitate la întreg.

                                        Compararea numerelor reale

Oricare ar fi două numere reale a și b avem:

1)a<b

2)a=b

3)a>b

Dacă a<b sau a=bàab

(R)aa(reflexivitatea)

(A)ab și baàa=b(antisimetrie)

(T)Dacă ab și bcàac(tranzitivitatea)

""fiind reflexivă,antisimetrică și tranzitivă este relație de ordine în R.

Mulțimea numerelor reale este bine ordonată.

În N spunem că a<b dacă  c  N* și a+c=b

În Z spunem că a<b dacă  c  Z* și a+c=b

Două sau ma multe inegalități de același tip se pot înmulți membru cu membru.

                                                         Intervale   

Intervalul este o submulțime a mulțimii numerelor reale.

Întervalul este o mulțime infinită de numere reale.

Mulțimea numerelor reale poate fi scrisă ca interval astfel: R=(-;+)

Intervalul care are ambele numere finite se numește înterval mărginit.

Intervalul care are cel puțin un capăt nemărginit se numește interval nemărginit.

Notații:

[a;b]=interval închis de capete a și b

(a;b)=interval deschis de capete a și b

[a;b)=interval închis la stânga și deschis la dreapta de capete a și b

                                   Reprezentarea pe axă a intervalelor

Când reprezentăm pe axă un interval nu este necesară unitatea de măsură.

Dificultatea reprezentării constă în ordonarea cerscătoare a capetelor intervalalului.

Când se reprezintă pe axă două intervale la primul interval trasăm linia deasuprsa axei iar la al doilea sub axă.

Dacă inegalitatea este strictă se pune paranteză rotundă.

Dacă inegalitatea este nestrictă(și =) se pune paranteză pătrată.

Operații cu intervale:

Intervalele fiind mulțimi infinite de numere  reale putem efectua operații de:

-reuniune

-intersecție

-diferență

                                        Adunarea numerelor reale

Oricare ar fi numerele reale a și b suma lor este tot număr real.

(C) a+b=b+a

(A) (a+b)+c=a+(b+c)

(N) x+0=0+x=x

                                                   Monoame

Expresia algebrică în care există numai înmulțiri sau înmulțiri repetate(puteri) se numește monom.

Monoamele care au aceeași parte laterală aflată la același exponent se numesc monoame asemenea.

Monoamele asemenea care au ceficienții numerici numere opuse se numesc monoame opuse.

Adunarea și scăderea se poate efectua numai cu monoame asemenea.

Când adunăm sau scădem monoame asemenea adunăm sau scădem coeficientul numeric,iar partea laiterarăse scrie o singură dată.

                                             Diferența monoamelor

Diferența monoamelor asemenea este un monom asemenea cu ele care are coeficientul numeric egal cu diferența coeficienților monoamelor.

                                            Înmulțirea monoamelor

Produsul monoamelor se poate efevtua indiferent de tipul monoamelor.

                               Descompunerea în factori a unei expresii

A descompune o expresie în factori înseamnă a determina prin diferite metode niște espresii(două sau mai multe) al căror produs este egal cu expresia dată.

Metode de descompunere:

-metoda factorului comun

-metoda grupării termenilor

-folosirea formulelor de calcul prescurtat

                                           Metoda factorului comun

Factorul comun este expresia de gradul cel mai mare continută ca factor în fiecare termen.

Distribitivitatea îmulțirii ajută la scoaterea factorului comun.

Pentru că scăderea nu este comutativă cănd schimbăm descăzutul cu scăzătorul iese factor forțat -1.

A-B=-1(B-A)

                                          Metoda grupării termenilor

A grupa înseamnă a asocia convenabil.Când espresia nu are factor comun se grupează convenabil termenii cu scopul de a obține factor comun.

                                                         Funcții

Funcția este un triplet de forma(A;f;B) unde:

-A este mulțimea de definiție a funcției(domeniu)

-B este mulțimea în care funcția ia valori(codomeniu)

-f este o lege de corespondență care face ca fiecărui element din domeniu să îi corespundă un element din codomeniu.

Orice funcție are 3 părți:

1)domeniu

2)codomeniu

3)legea de corespondență

Notații:

Funcțiile se notează de obicei cu litere mici f;g;h

f:AàB (Funția f este definită pe mulțimea A cu valori în mulțimea B)

Elemnetele domeniului se notează de obicei cu x și se numesc variabile independente,iar elementele codomeniului se notează  de obicei cu y și se numesc variabile dependente(depind de x prin legea f).

Funcțiile pot fi definite în mai multe moduri:

1)cu ajutorul tabelului de valori

2)cu ajutorul diagramelor Venn-Euler

3)cu ajutorul unei formule

4)cu ajutorul a două formule

5)cu ajutorul a trei sau mai multe formule

Dacă domeniul și codomeniul sunt mulțimi finite de numere atunci numărul funcțiilor este egal cu cardinalul dodomeniului la cardinalul domeniului.

                                              Grafice de funcții

Gf=

Graficul funcției este o mulțime de puncte care au proprietatea că y=f(x)(ordonata punctului depinde de abscisă prin legea de corespodență f).

Reguli:

1)Dacă domeniul este mulțime de numere reale atunci graficul funcței este linie dreaptă.

2)Dacă domeniul este interval mărginit atunci graficul funcței este segment de dreaptă.

3)Dacă domeniul este interval nemărginit atunci graficul funcției e semidreaptă inchisă când intervalul es inchis și deschisă cand intervalul este deschis.

4)Dacă domeniul este o mulțime de numere atunci graficul funcției este o mulțime de puncte distincte două câte două.

Etapele trasării:

-se scrie domeniul funcției

-se stabilește natura funcției

-se calculează valoarea funcției în capetele intervalului(chiar dacă sunt deschise)

-se întocmește tabelul de vlori al funcției

-se trasează sistemul de axe ortogonale

-se reprezintă în plan punctele

-se trasează graficul funcției(se pun în capetele segmentului aceleași paranteze ca la domeniul funcției)

                                                   Funcția liniară

Două funcții f:AàB;f(x)=ax+b și g:CàD;g(x)=cx+d sunt egale dacă sunt îndeplinite trei condiții:

-domeniile sunt egale

-codomeniile sunt egale

-f(x)=g(x) pentru orice element din domeniu

Un punct aparține graficului funcței dacă indeplinește două condiții:

-abscisa punctului aparține domeniului

-valoarea funcției când variabila independentă se inlocuie cu abscisa este egală cu ordonata punctului.

                                           Graficul funcției liniare

F:RàR;f(x)=x-2

Etapele:

-se scire mulțimea de definitie(domeniul)

-se scrie natura graficului(ce este)

-se stabliesc cordonatele punctului în care graficul fincției taie axa oy

-se stabliesc cordonatele punctului în care graficul fincției taie axa ox

-se întocmește tabelul de valori al funcției

-se trasează sestemul de axe ortogonale

-se reprezintă punctul în acest sistem

-se trasează graficul funcției  

                                        Determinarea funcției liniare

Când trebuie să determinăm o funcșie trebuie să determinăm domeniul,codomeniul și legea de corespondență.

Dacă funcția este liniară atuncu D=R;C=R

                                      Realții între coeficienți și rădăcini

Cuvântul rădăcină nu e sinonim al cuvântului soluție.

Polinoamele au rădăcini iar ecuațiile au soluții.

Formule:

x1+x2=-b/a

x1x2=c/a

x1-x2=/a

                                                      Inecuații

Prpozoția matematică care afirmă că două expresii au valori numerice inegale se numește inecuație.

Proprietăți:

-dacă inmulțim o inecuație cu un număr begativ se modifică semnul de inegalitate

-mulțimea soluțiilor unei inecuații e intersecția dintre mulțimea de definiție și valorile care satisfac inegalitatea.

                                             Sisteme de inecuații

Mulțimea ale cărei elemente sunt inecuații se numește sistem de inecuații.

Când variabila e situată la numitor nu se îmulțește inecuția cu numitorul comun și rezolvarea se face astfel:

-se trec toate expresiile în membrul stâng,în dreapta rămâne zero

-se aduce la același numitor

-se efectuează calculele până se pbține un raport dincare rezultă două sisteme care se rezolvă S=S1S2

  

 

                                    

                                  

  

 

                                                                                                                                                                         

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

                                                                                                                                                                                                                                                             

  

                                   

                                    

                                      


Document Info


Accesari: 62198
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.

 


Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2014 )