Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza
upload
Upload






























OPERATORI LINIARI PE SPATII VECTORIALE

Matematica


OPERATORI LINIARI PE SPAŢII VECTORIALE

Nucleul si imaginea unui operator liniar

Fie spatii vectoriale peste acelasi corp K.



Definitie O functie se numeste operator liniar daca satisface:

Observatie Proprietatile 1 si 2 din definitie se pot înlocui cu:

Exemple: 1. operator identitate pe X
2. operatorul de derivare

3.

Propozitie Operatorul liniar are proprietatile:
a)
b)
c)

Notam L multimea operatorilor liniari din spatiul X în spatiul Y.

Pe aceasta multime introducem operatiile:

- adunarea operatorilor (operatie bine definita, i.e. este operator liniar)

L L

- înmultirea operatorilor cu scalari (op bine def, i.e. este operator liniar)

L L

Observatie (L) estespatiu vectorial peste corpul K.

- compunerea operatorilor (op bine def: U ○ T operator liniar)

L

U ○ T L

L

- inversarea operatorilor (op bine definita: T-1 operator liniar)
L, T functie bijectiva L a.î.

Definitie Se numeste nucleul operatorului liniar T, multimea notata:

Definitie Se numeste imaginea operatorului liniar T multimea notata:

Propozitie ker T este subspatiu vectorial al lui X, iar ImT este subspatiu liniar al lui U

Definitie Se numeste defectul lui T , dimensiunea subspatiului kerT, iar rangul lui T, dimensiunea subspatiului ImT

Propozitie , X spatiu de dimensiune finita

Observatie

X finit dimensional

T bijectie

Matricea atasata unui operator, modificarea matricei unui operator la schimbarea bazelor.

Fie o baza în X, o baza în Y.

Fie cu coordonate în G :

Definitie Matricea

se numeste matricea operatorului T în bazele E si G. Notam A sau AT

Se obtine astfel o corespondenta între mai precis un izomorfism

F:, si

Scrierea operatorului T cu ajutorul matricii atasate AT



Adunarea operatorilor:

; E, G baze în X si Y ; matricile atasate.

,

i.e.

Înmultirea operatorilor cu scalari:

, a K

Modificarea matricii unui operator la schimbarea bazelor.

cu A matricea atasata în bazele E si G. În spatiul X trecem de la baza E la baza F

unde

În spatiul Y trecem de la baza G la baza H: unde

A = matricea atasata lui T în baza E si facem o schimbare de baza de la E la F.

Rezulta ca noua matrice atasata lui T în baza F este:

Vectori si valori proprii, diagonalizarea unui operator

Fie

Definitie Se numeste vector propriu al lui T, un vector x≠0 pentru care

( l K a.i. T(x)=lx

l se numeste valoare proprie corespunzatoare vectorului propriu x.

Definitie Multimea se numeste subspatiu propriu corespunzator lui l K

Propozitie Xl este subspatiu liniar al lui X , Xl X.

Algoritmul de determinare a valorilor si vectorilor proprii unui operator liniar sau matricii asociate lui.

Fie dimX=n si E= baza în X.

AT=matricea operatorului T în baza E.

este un sistem liniar omogen de ,,n" ecuatii cu,,n"necunoscute xi , si admite solutii nenule det(A-lI)=0 care se numeste ecuatia caracteristica a operatorului T

Solutiile acestei ecuatii sunt valorile proprii ale operatorului T.

P(l)=det(A-lI) se numeste polinomul caracteristic lui T. Acesta e un polinom de grad ,,n" cu coeficienti în K , iar daca K C P(l) are ,,n" radacini(C este corp algebric închis).

Propozitie Vectorii proprii corespunzatori la valori proprii distincte doua câte doua sunt liniar indepedenti.

Consecinta Daca operatorul T are n valori proprii distincte, atunci exista o baza în care matricea sa are forma diagonala si pe diagonala se gasesc valorile proprii.

Definitie O matrice patratica are forma diagonala daca aij=0 (") i j

Definitie Un operator liniar este diagonalizabil daca exista o baza în care matricea sa are forma diagonala. Atunci o matrice patratica A este diagonalizabila daca exista o matrice C nesingulara, astfel încât C-1AC sa fie o matrice diagonala.





Document Info


Accesari: 9382
Apreciat: hand-up

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site


in pagina web a site-ului tau.




eCoduri.com - coduri postale, contabile, CAEN sau bancare

Politica de confidentialitate | Termenii si conditii de utilizare




Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2024 )