Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza






Polinomul Taylor asociat unei functii

Matematica











ALTE DOCUMENTE

ELEMENTE DE STATISTICA MATEMATICA
ECUATIILE UNUI CERC IN COORDONATE RECTANGULARE
MATEMATICA SI ARHITECTURA
Test de verificare a APTITUDINILOR LOGICO-MATEMATICE
TEST INITIAL - Clasa a VI-a
Formula integrala a divergentei
Problema cu camila
Cel mai mare divizor comun Fisa de lucru
CALEIDOSCOP MATEMATIC
CORPURI


Polinomul Taylor asociat unei functii

5.1 Consideram functia  si , oarecare, dar fixat. Presupunem ca  functia este de clasa  intr-o vecinatate . Atunci polinomul (functia polinomiala)

          ,  .                (1)

se numeste polinomul Taylor[1] de grad  asociat functiei  in punctul .

De exemplu, daca  este un polinom de gradul  si  este functia polinomiala asociata, atunci polinomul Taylor asociat functiei  are gradul  si reprezinta dezvoltarea functiei  dupa puterile lui . Avem

                     .                       (2)

Vom observa ca  si .

Formula lui Taylor in care dezvoltarea se face dupa puterile lui  (), adica are loc reprezentarea

                                    ,                                     (3)

este numita  formula lui MacLaurin[2].

In particular, consideram polinomul . Se cere sa se dezvolte dupa puterile lui . Fie , , functia polinomiala asociata lui . Avem

 ;

;

;

.

Polinomul Taylor de gradul al treilea asociat functiei polinomiale  are forma

                                         .                                          (4)

Exercitii:

(1). Fie . Sa se dezvolte dupa puterile lui .

(2). Sa se scrie polinomul Taylor de gradul al treilea asociat lui , in punctul .

(3). Sa se scrie polinomul Taylor de gradul al patrulea asociat functiei, in .

(4). Fie . Sa se scrie polinomul Taylor de gradul  asociat functiei  in .

(5).  Sa se scrie polinomul Taylor de gradul  asociat functiei , in punctul .

(6). Sa se calculeze  si  stiind ca  este functie polinomiala de gradul al patrulea determinata de conditiile: ; ;  si .

5.2. Formula lui Taylor pentru functii de o variabila reala. Fie  un interval inchis, nedegenerat din  si functia  care verifica conditiile:

1).  (exista derivatele pana la ordinul  inclusiv si acestea 747b16h sunt functii continue pe );

2).  exista  (derivata de ordinul  a lui ), finita sau infinita, in orice punct din ;

Atunci exista  astfel incat

           ,             (5)

unde  reprezinta restul care se obtine, in punctul , cand inlocuim valoarea  cu valoarea  a  polinomului Taylor de grad  asociat lui .

Mai mult, restul poate fi scris sub una din formele:

a). restul sub forma lui Lagrange,

                                .                                           (6)

b).   restul sub forma lui Cauchy,

                                                  (7)

c).   restul sub forma integrala,

                                              .                                               (8)

Demonstratie. Alegem restul sub forma , unde  este o constanta care depinde de alegerea lui , iar  oarecare. Atunci problema se reduce la determinarea constantei  a.i.

                                          .                                         

Consideram functia , definita pentru orice  prin relatia

           .

Vom observa ca functia  este continua pe  deoarece functia initiala  a fost presupusa de clasa   pe . In plus, pentru  din formula () obtinem  si pentru  deducem . Functia  este derivabila pe intervalul deschis  deoarece  a fost presupusa de clasa pe . In consecinta, functia  satisface conditiile teoremei lui Rolle pe intervalul . Asadar, exista un punct , a.i. . Alegem cu .

 Avem

.

Dupa reducerea termenilor asemenea, rezulta

.

Deoarece , din ultima relatie, pentru , obtinem

.

Deci,  si atunci gasim urmatoarea expresie a restului[3]

                  ,   cu  .                    (9)

Vom observa ca restul obtinut depinde de , unde  este un numar natural oarecare.

Daca alegem  atunci, din ultima relatie, obtinem restul sub forma lui Lagrange (6), iar pentru  obtinem restul sub forma lui Cauchy (7).

5.3. Observatie. Presupunand ca , atunci restul sub forma lui Lagrange devine

,

unde

,  cand .

Aici am folosit faptul ca  este functie continua pe  si atunci

,  cand .

In consecinta, daca  atunci

                            , cand .                            (10)

Formula (10) este cunoscuta sub numele de formula lui Taylor corespunzatoare functiei  in punctul  cu restul sub forma lui Peano[4].

In continuare vom arata ca restul formulei lui Taylor poate fi scris sub forma integrala (8), adica are loc formula

                                 .                              

Pentra aceasta folosim inductia matematica dupa natural.

Pentru  putem scrie relatia ,  care evident, arata ca formula lui Taylor este adevarata cand .

Presupunem ca formula este adevarata pentru , atunci putem scrie

                         .

Integrand prin parti expresia restului, obtinem

.

Asadar, avem

                              ,

de unde deducem ca formula ramane adevarata si pentru pasul , deci relatia  este adevarata pentru orice .

5.4. Observatie. Formula lui Taylor ramane adevarata daca ,  un interval nedegenerat si  este de derivabila intr-un punct  deoarece prin aceasta conditie intelegem ca  este de derivabila intr-o vecinatate  a punctului  si   si exista derivata de ordinul  a lui  in .

5.5. Observatie. Formula lui Taylor cu restul sub forma integrala are numeroase aplicatii. De exemplu, in cazul functiilor suficient de netede, aceasta formula serveste la evaluarea restului in formulele de cuadratura numerica (integrare numerica).

5.6. Aplicatii ale formulei lui Taylor la dezvoltarea unor functii elementare.

1.      Fie . Deoarece  putem scrie

unde .

In consecinta, formula lui Taylor scrisa dupa puterile lui  (dezvoltarea are loc in jurul punctului ), corespunzatoare functiei , cu restul lui Lagrange se scrie

                                  ,                                  (11)

unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia

                                        .                                             (12)

Mai mult, au loc extimarile:

a)  pentru orice , avem .

b)  pentru orice , avem .

2.      Fie , . In acest caz  si avem

,

In consecinta, formula lui Taylor dupa puterile lui  (in polinomul Taylor apar numai puterile pare ale lui ) poate fi scrisa astfel

           ,           (13)

unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia

                         .                              (14)

Putem scrie extimarea.

3.      Fie , . Atunci  si avem

,  

Atunci putem scrie formula lui Taylor dupa puterile lui  (in dezvoltare apar numai puterile impare ale lui )

      ,      (15)

unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia

                          .                               (16)

Din formula (16) deducem evaluarea.

4.      Fie . Atunci  si pentru orice , avem

.

Atunci formula lui Taylor dupa puterile lui , devine

         ,             (17)

unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia

                              .                                       (18)

Daca  din formula (18) obtinem . Daca  atunci nu putem trage concluzii despre modul cum restul tinde catre zero deoarece alegerea lui  depinde atat de  cat si de . Folosind restul sub forma lui Cauchy,

                               ,                                    (19)

pe baza inegalitatilor , respectiv , putem scrie evaluarea

                         .

Daca , atunci formula lui Taylor poate fi scrisa dar restul nu tinde catre zero cand .

5.7. Observatie. Daca in formula (17)  schimbam  cu  si cerem ca , atunci obtinem dezvoltarea functiei  dupa puterile lui :

                  ,                 (17')

5.      Fie functia .

a)      Analizam cazul cand . Atunci functia  este bine definita pentru orice

 si admite derivate de orice ordin pe . Cum derivata de ordinul  a lui  este identic nula, deducem ca  si avem

Atunci pentru dezvoltarea functiei  folosim binomul lui Newton

                 ,  pentru orice ,                (20)

unde , reprezinta combinari de  elemente luate cate , .

b)      Pentru cazul cand  nu este numar natural, atunci functia  este bine definita,

impreuna cu toate derivatele sale de orice ordin, pentru orice . Asadar, pentru  putem scrie formulele

si formula lui Taylor, scrisa in jurul punctului , devine

   ,        (7.21)

unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia

                    .                         (22)

Daca  si  atunci restul tinde la zero cand . In cazul cand , folosind restul sub forma lui Cauchy

             ,                  (23)

deducem ca restul tinde la zero cand . Pentru  restul nu tinde catre zero cand .

Serii Taylor

5.8. Fie functia  si , oarecare, dar fixat. Presupunem ca functia  este indefinit derivabila intr-o vecinatate  (adica, functia  admite derivate de orice ordin intr-o vecinatatea a punctului ). Atunci putem scrie formal seria Taylor asociata  functiei  in punctul

          ,  .               (1)

sau seria de puteri a lui  dupa puterile lui . Pentru valori fixate ale lui  si  seria poate fi convergenta sau divergenta. In cazul cand seria Taylor asociata functiei  este convergenta atunci suma seriei este egala cu .

Seria Taylor este convergenta catre functia  daca si numai daca restul , al formulei lui Taylor

                                   ,  ,                                     (2)

tinde la zero cand . Altfel spus, daca , atunci din (2) rezulta ca sirul sumelor partiale

                                                                                                         (3)

converge uniform catre  pentru  orice si reciproc (vezi, siruri de functii).

In acest caz vom spune ca seria Taylor este convergenta avand suma egala cu  si scriem

               .                 (4)

5.9. Observatie. Toate functiile analizate in exemplele  sunt dezvoltabile in serie Taylor dupa puterile lui  (dezvoltabile in serie de puteri in jurul punctului ) si avem:

                                    .                                     (5)

                          .                            (6)

                        .                          (7)

                        .                          (8)

         ,.           (9)

Exercitiul 1. Sa se dezvolte in serie Taylor in jurul punctului  functia .

Indicatie. Fie . Pentru calculul derivatelor de ordin superior ale lui  se poate folosi

identitatea: . Deducem ca  si ,

In consecinta, obtinem seria Taylor

.

5.10. Formula lui Taylor poate fi utilizata la calculul "elegant" al unor limite de functii, in cazurile de nedeterminare de tipul etc..

Exemple:    1). .

2).

3).            .

4). Calculati integrala  cu o precizie mai mica decat . Avem

5). .

6). Calculati limitele:   (i).               (ii)..

                                  (iii). ;          (iv).  .

5.11. Observatie. Exista functii de clasa  pe  care nu sunt dezvoltabile in serie Taylor.

De exemplu, functia , definita prin unde  sunt polinoame, , este de clasa pe , insa nu este dezvoltabila in serie Taylor in jurul punctului .

Demonstratie. Aratam ca este functie continua pe . Intr-adevar, prin definitie, functia  este continua pentru . In punctul  putem scrie

  si  .

Deci  este continua pe  si .

Aratam ca  si  Intr-adevar, pentru  avem

,

unde  sunt polinoame,  si .

Daca  atunci . Asadar, derivata in  exista si este egala cu zero. Rezulta ca  este diferentiabila pe  si derivata  are aceeasi forma cu . Prin recurenta deducem ca  este diferentiabila si are aceeasi forma cu , deci  si avem .

Analog se arata ca functia   este de clasa  pe  si nu este dezvoltabila in serie Taylor in jurul punctului .

Extreme libere. Maxime si minime relative

5.12. Definitie. Fie  un spatiu metric si . Punctul  se numeste punct de maxim relativ pentru  (sau, functia  are in punctul  un maxim relativ) daca si numai daca exista o vecinatate ,  a.i. .

In aceleasi conditii ca mai sus, punctul  se numeste punct de minim relativ pentru  (sau, functia  are in punctul   un minim relativ) daca si numai daca exista o vecinatate ,  a.i. .

Daca proprietatile din definitie au loc pentru orice , atunci punctul  se numeste extrem absolut (global) care poate fi un maxim absolut, respectiv un minim absolut.

5.13. Teorema lui Fermat[5]. Fie  un interval deschis si , . Daca  este punct de extrem local pentru  (maxim sau minim local) si  este diferentiabila in , atunci .

Demonstratie. Vom presupune ca  este punct de maxim local. Atunci exista o vecinatate  in , a.i. pentru orice . Deoarece  este diferentiabila in , rezulta ca exista  si deci,

 si   .

Cum        si       atunci, datorita

egalitatii anterioare, deducem .

5.14. Observatie. Conditia  este o conditie necesara ca  sa fie un punct de extrem local, dar in general nu este si suficienta. De exemplu, fie functia . Atunci  derivabila pe  si  desi  nu este punct de extrem local.

5.15. Teorema. Fie  si . Presupunem ca exista intervalul  a.i. ,  diferentiabila pe  si  iar . Atunci  este punct de maxim local pentru .

 (Enuntati teorema in cazul cand punctul  este minim local).

Demonstratie. Deoarece  pe , atunci . Din relatia  pe , rezulta ca .

 In concluzie, avem  care arata ca  este un maxim local pentru .

5.16. Teorema lui Cauchy. Fie  un interval oarecare (nu se precizeaza natura intervalului),  si , avand proprietatile:

i)            functiile  sunt diferentiabile in ;

ii)           ;

iii)         ;

atunci exista o vecinatate ,  continuta in , a.i.  si avem

.

Demonstratie. Fie  si  (in cazul cand , atunci luam). Daca  si , atunci putem scrie , deci exista o vecinatate  a lui  continuta in  a.i. pentru orice  sa avem . Cum , rezulta ca . Avem

.

Exemplu. Consideram functile   si   .

Atunci ,  este functie diferentiabila pe  si , iar  este diferentiabila in  si . Asadar, conditiile teoremei lui Cauchy sunt verificate si avem

.

5.17. Lema. Fie  un interval oarecare (nu se precizeaza natura intervalului), ,  o functie de  diferentiabila in , . Atunci exista  a.i. functia  este continua in ,  si sa avem egalitatea:

      ,         (9.1)

pentru orice .

Demonstratie. Definim functia

Aratam ca  este functie continua in , adica .

Pentru  avem . Aplicand teorema lui Cauchy, deducem, pentru , ca .

Pentru  avem     .

Se verifica, relativ usor, ca functiile care apar in acest raport satisfac conditiile teoremei lui l'Hospital si deci, exista limita  si avem  .

Pentru calculul acestei limite vom observa ca sunt indeplinite conditiile teoremei lui Cauchy. Atunci, deducem

.

In cazul general, aplicand de  teorema lui l´Hospital, deducem

.

Apoi, aplicand teorema lui Cauchy, obtinem , deci functia  este continua in .

5.18. Teorema. Fie  un interval deschis, ,  o functie de  diferentiabila in ,  si , iar . Atunci

1). Daca  este numar par, atunci  este punct de extrem local  pentru  si avem:

                       i). daca , atunci  este punct de maxim local;

                       ii). daca , atunci  este punct de minim local.

2). Daca  este numar impar si , atunci  nu este punct de extrem local pentru .

Demonstratie. Conform lemei, exista ,  functie continua in , , a.i.

oricare ar fi .

Consideram functia , . Din felul cum a fost definita functia  este continua in  si . Presupunem , atunci exista o vecinatate  care este continuta in , a.i. .

Fie  numar par. Atunci , deci  pentru orice  si  este punct de minim local pentru .

Fie  numar impar. Deoarece s-a admis ca , atunci avem   si din relatia , rezulta ca diferenta  nu pastreaza semn constant. In adevar, deoarece  pentru  putem considera situatia  si atunci avem , iar pentru  si , avem .

Exerctiul 1. Aratati ca functia  are un minim local in punctul .

Solutie. Determinam punctele critice ale lui (acestea sunt radacinile ecuatiei ). Avem  si deci,  este singurul punct critic. Incercam sa vedem, cu ajutorul derivatei de ordinul al doilea, daca acest punct critic este un extrem local. Avem  si deci .

In acest caz nu putem preciza natura punctului critic  si de aceea, studiem semnul derivatei de ordin minim, care nu se anuleaza in acest punct. Asadar, calculam derivatele de ordin superior. Obtinem  . Prin urmare, in punctul critic  avem:

 si ,

deci,  punctul critic  este un punct de minim local.

Exerctiul 2. Determinati punctele de extrem local si valorile extreme ale functiei

.

Solutie.  Punctele critice ale lui  sunt radacinile ecuatiei . Avem . Deci, si  sunt singurele puncte critice. Fie . Deoarece  rezulta ca  este punct de minim local si valoarea minima a lui  este . In punctul critic avem  si nu putem decide natura acestui punct critic. Observam ca , deci punctul  nu este extrem local. Acesta este punct de inflexiune (vezi fig. 1)

Figura 1.



[1] Brook Taylor  (1685-1731), matematician englez, membru al Royal Society din Londra. In lucrarea "Methodus incrementorum directa et inversa" (1715), expune metoda dezvoltarii in serie a unei functii. A pus, pentru prima data, problema coardei vibrante, de la care ulterior Fourier a ajuns la seriile trigonometrice.

[2]  Colin  MacLaurin (1698-1746), matematician scotian. Numele sau este legat de calculul infinitesimal si in special de dezvoltarea functilor in serii de puteri.

[3]  Aceasta expresie se numeste restul sub forma lui Schlömilch . Schlömilch O.X. (1823-1901), matematician german.

[4]  Giuseppe Peano (1858-1932), logician si matematician italian. Profesor la Academia regala de artilerie si geniu si la Universitatea din Torino. In lucrarile sale a dat o prezentare axiomatica si deductiva a aritmeticii, geometriei proiective, teoriei multimilor etc.. Considera primul exemplu de curba continua, in sensul lui Jordan, care trece prin toate punctele interioare unui patrat.

[5]  Pierre Fermat (1601-1665), matematician francez (autodidact). A facut studii de drept, a fost Consilier al Parlamentului din Toulouse. Creator al geometriei analitice (ca si Descartes) si al calculului probabilitatilor (alaturi de Pascal). A enuntat in 1637 formula celebra: ecuatia  nu are solutii intregi pentru  (cunoscuta sub numele de " Marea Teorema a lui Fermat"). Demonstratia acestei celebre teoreme a fost data in 1995 de matematicianul englez Andrew Wiles, profesor la Universitatea din Princeton.


Document Info


Accesari: 5544
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.

 


Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2014 )