Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza

Primitive

Matematica











ALTE DOCUMENTE

UNITATEA DE NVĂŢARE
ECUATIA CURBEI PROGRESIVE DEDUCEREA ECUATIE
Matematica si stiinte ale naturii - PROIECT DE LECTIE
Rezolva corect - FIsĂ DE LUCRU
Fisa de lucru Aplicatii ale determinantului de ordin 3
Arbori partiali
Analiza matriceala
Polinoame
MATLAB IN INGINERIE
REZOLVAREA UNEI ECUATII INTEGRALE SINGULARE CU NUCLEU DE TIP CAUCHY-ABEL


Primitive

Definitie: Fie f:IR, unde IR este un interval. Spunem ca f admite primitiva pe I daca exista o functie F:IR a..

1.     F este derivabila pe I

2.     F'(x)=f(x), (")xI.

Functia F se numeste primitiva a functiei f.

Propozitie: Fie f:IR, IR. Daca F1, F2:IR sunt doua primitive ale lui f pe I atunci exista o constanta cR a.. F2(x)=F1(x)+c.

Definitie: Daca f:IR admite primitive, mul 636l1119g 55;imea primitivelor lui f se numeste integrala nedefinita a functiei f si se noteaza prin. Operatia de calculare a primitivelor unei functii (care admite primitive) se numeste integrare.

Proprietati:

1 Orice functie continua f:IR admite primitive pe I.

Exemplu: Sa se arate ca f:RR, admite primitive pe R. Sa se determine o astfel de primitiva.

Daca x[0, +), f(x)=ex continua pe R.

Daca x(-, 0), f(x)=x+1 continua pe R.

Studiem continuitatea n x=0:

; ; f(0)=1 f continua n x=0 f continua pe R f admite primitive pe R.

Daca x[0, +): =ex+c1.

Daca x(-, 0): =+x+c2.

Deci F:RR, derivabila n x=0F continua n x=0: c2=1+c1.

F(0)=1+c1

2 O functie care admite primitive are proprietatea lui Darboux.

3 O functie f:IR care nu are proprietatea lui Darboux nu admite primitive pe I.

4 Daca f:IR si f(I)= nu este interval, atunci f nu admite primitive.

Exemplu: f:RR, f(x)=sgn x (functia semn), , f(R)= nu este interval f nu admite primitive.

5 Exista functii care admit primitive si nu sunt continue.

6 Exista functii care au proprietatea lui Darboux si nu au primitive.

Operatii cu functii care admit primitive

Fie f, g :IR functii care admit primitive pe I si lR*, atunci f+g si lf admit primitive si

si

.

Exemplu: +2-2=x+x2-x3+c, xR.

Integrarea prin parti

Daca f, g:IR sunt functii derivabile cu derivate continue, atunci functiile fg, f'g si fg' admit primitive si are loc egalitatea:

(formula de integrare prin parti).

Exemplu:

=-xcosx+sinx+c.

Prima metoda de schimbare de variabila

Fie I, J intervale din R si j:IJ, f:JR functii cu proprietatile

1 j derivabila pe I

2 f admite primitive pe J (fie F o primitiva a sa).

Atunci functia (fj).j' admite primitive pe I, iar functia Fj este o primitiva a lui (fj).j', adica: =F (j(x))+c.

Integrarea functiilor rationale

a) Primitivele functiilor rationale simple (f:IR, I interval).

1 =lnx-a+c , I(-a,+) sau I(-, a)

2 =, n2, I(a,+) sau I(-, a)

3 =, a0

4 =, a0

5 =

6 In===-=

=

b) Descompunerea functiilor rationale n functii rationale simple

Teorema: Fie f:IR o functie rationala f(x)= (Q(x)0, (")xI), unde P si Q sunt polinoame prime ntre ele. Presupunem ca descompunerea lui Q n factori primi are forma:

Q(x)=.

Atunci f se descompune n mod unic:

f(x)=L(x)++

+

unde L este un polinom cu coeficienti reali, iar ak, bk, ck, Aki, Bki , Cki sunt numere reale,

bk2-4ck<0.

Aplicatii

1 Se considera functia f:RR, f(x)=.

a)     Sa se arate ca f admite primitive.

b)    Sa se calculeze o primitiva a functiei f. (Bacalaureat 1985)

a)     Vom folosi proprietatea: "Orice functie continua pe I admite primitive pe I."

x(-,0] f(x)=x.ex continua (produs de functii continue)

x(0,+) f(x)= continua pe (0,+).

Studiem continuitatea n x=0.

f(0)=0.1=0f continua n x=0.

Deci f continua pe R f admite primitive pe R.

b)    x(-,0]: --

=-+c1=ex(x-1)+c1

x(0,+): =

Notam =tx=t2, dx=2tdt.

Integrala asociata este : =2=2-2 = =2-2=2-2=

=2-2ln(t+1)+c2=t3-t2+2t-2ln(t+1)+c2.

O primitiva a functiei f este:

F(x)=

=.

Aceasta functie trebuie sa fie continua:

-1+c1

c2=-1+c1.

F(0)= -1 + c1

Fie c1=c si c2=-1+c. Atunci functia devine:

F(x)= .

Se pot verifica conditiile: a) F derivabila,

b) F'(x)=f(x), (")x.

2 Sa se determine constantele reale a si b astfel nct functia F:RR, F(x) =(ax2+b-2)e-x sa fie o primitiva a functiei f(x)=x2e-x.

F este o primitiva a functiei f daca : a) F derivabila pe R

b) F'(x)=f(x), (")xR.

F'(x) =[(ax2+bx-2)e-x ]'=(ax2+bx-2)'e-x+(ax2+bx-2)(e-x)'=(2ax+b)e-x+(ax2+bx-2)(e-x)=

=e-x(2ax+b-ax2-bx+2)

F'(x)=f(x), (")xR -ax2+x(2a-b)+b+2=x2 -a=1 a=-1

2a-b=0, b+2=0 b=-2

2(-1)-(-2)=0 (A) a=-1, b=-2, F(x)=(-x2-2x-2)e-x.

3 Sa se calculeze primitivele functiei f:(1, +)R, f(x)=.

Sa se determine primitiva F cu proprietatea F(ee-1)=2.

= = =lnln x+1+c

F(ee-1)=ln(ln ee-1+1)+c=ln[(e-1)ln e+1]+c=ln(e-1+1)+c=ln e+c=1+c.

1+c=2 c=1.

Deci F(x)=lnln x +1+1.

(Varianta nr.6 Bacalaureat 1998)

4 Fie functia f:RR, f=x-2ex.

Sa se arate ca f admite primitive si sa se afle primitiva al carei grafic trece prin origine.

(Subiect propus Bacalaureat 1984)

x

0 2

x-2

x

- - - - - - - - 0 + + + + + +

- - - - 0 + + + + + + + + +

f(x)=

f(x)=

Daca x(-,0) f(x)=(2-x)e-x continua (produs de functii continue)

x[0,2) f(x)= (2-x)ex continua

x[2,+) f(x)= (x-2)ex continua.

Studiem continuitatea n x=0 si x=2.

f(0)=2 f continua n x=0.

f(2)=0 f continua n x=2.

Deci f continua pe R f admite primitive pe R.

Daca x(-,0): =-=-(2-x)e-x+

+=-(2-x)e-x+=

=-(2-x).e-x+e-x +c1=e-x(x-1)+c1;

x[0, 2): ==(2-x)ex-

-=(2-x).ex+ex +c2= ex(3-x)+c2;

x[2, +): ==(x-2) .ex-

-=(x-2).e-x- =(x-2) .ex-ex +c3=

=ex(x-3)+c3.

F(x)= F trebuie sa fie continua n x=0 si x=2

F(0)=3+c2

-1+c1=3+ c2 c2= c1-4.

F(2)= -e2+c3

e2+c2= -e2+c3 c3= 2e2+c2= 2e2+c1-4.

F(x)=

Impunem conditia: graficul lui F trece prin origine F(0)=0

F(0) = 3+c-4 = c-1 c = 1

F(x)= .

Integrarea prin parti

1)     f(x) = xn ln x, x(0,+), nN.

==-=-=

=- + c = +c.

2)     f(x) = arcsin x, x[-1, 1]

== x.arcsin x - =

= x.arcsin x += x.arcsin x +=

= x.arcsin x += x.arcsin x +=

= x.arcsin x ++ c = x.arcsin x ++ c

3)     f(x) = ln (x2 +1), xR

== x. ln (x2 +1) - =

= x. ln (x2 +1) - = x. ln (x2 +1) - +=

= x. ln (x2 +1) - 2+ 2 arctg x + c.

4)     f(x) = e2x .sin 3x, xR

= = - =

= - = -+ +=- +.

Deci I =--I,

I = -+c

I = +c

I = - + c.

5)    f(x) = , xR

==+ 4=

=+= x. -+

I = x. - I + + c

I =+ c.

Schimbarea de variabila

1)     f(x)=, xR

=

x2+1 = t, 2xdx = dt I'== + c

= + c = + c.

2)     f(x) = , x(-3, 3)

= -

9-x2 = t, -2xdx = dt I'== + c = + c

= .

6)     3) f(x) =, x(0,+) = ?

ln x = t, = dt I'== + c

= + c.

7)     f(x) = sin2x.cos x, xR

=

sin x = t , cos x dx = dt I'== + c =+ c.

5) f(x) = cos3x.sin x, xR

= -

cos x = t , -sin x dx = dt I'== + c =+ c.

6) f(x) = , x(0, 1)

=

x2 = t, 2xdx = dt I'==+ c

=+ c.

Integrarea functiilor rationale

1) , x < -1 = +c = ln(-x-1) + c.

2) , x> = =+ c =+ c.

            3) , x > 1, ==+ c=+ c

4) , x>

3x+1=t, 3dx=dt I'===+ c

=+ c

5) , xR ==

6) , xR ===

==

===

=

Deci: =

=

7) ; x2+x+1= x2+2==

=

.

8)

==

=

9) , x > 1

=

=.


10) , x < 0

=

11) , x > 0

=

=

Exercitii propuse

1.     Se considera functia f:R, f(x)=. Sa se determine Numerele a, b, c astfel nct functia F: R, F(x)=sa fie primitiva a functiei f.

BAC '98 varianta 2

2.     Sa se arate ca functia f:RR, f(x)=admite primitive si sa se determine o astfel de primitiva.

BAC '98 varianta 2

3.     Se considera functia f:RR, f(x)=. Sa se demonstreze ca functia f are primitive pe R si sa se afle o primitiva a sa.

BAC '98 varianta 4

(august)

4.     Fie functia f:RR, f(x)=R. Pentru m=-2 calculati .

5.     Fie functia f:DR, f(x)=, unde D este domeniul maxim de definitie al functiei f. Sa se determine primitivele functiei f pe intervalul (0,2).

6.     Se considera functia f:RR, f(x)=.

Sa se arate ca f admite primitive pe R si sa se calculeze o primitiva a sa.

BAC '84 (iunie)

7.     Fie f:RR, f(x)=, lR.

Aflati pentru ce valori ale lui l functia data admite primitive pe R si n acest caz determinati familia lor.

8.     Sa se arate ca functia f(x)=min, xR admite primitive.

9.     Fie f:RR, f(x)= a, b, c R, a0.

a)     Sa se studieze continuitatea lui f;

b)    Pentru c=1 sa se determine o primitiva a functiei f pe R.

10. Fie f:RR, f(x)=.

Sa se determine numerele reale a pentru care f admite primitive pe R si sa se determine aceste primitive.

11. Fie f: RR, f(x)= , a, bR.

Sa se determine a, b astfel nct f sa admita primitive pe R.

12. Fie f: RR, f(x)= ,m, nR.

a)     Sa se determine m, n astfel nct f sa fie continua pe R;

b)    Sa se determine m, n astfel nct f sa fie derivabila pe R;

c)     Cu m, n de la punctul b) sa se determine o primitiva a lui f pe R.


Document Info


Accesari: 9042
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.

 


Copyright Contact (SCRIGROUP Int. 2014 )