Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza






Probleme de cunostinte matematice pentru toti enunturi si rezolvari

Matematica









loading...


ALTE DOCUMENTE

REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE
TEST DE EVALUARE(numere rationale clasa a VI-a)
PROBLEME SIMPLE
PERMUTARI
Reciproca teoremei lui Stolz-Cessaro
Am un test pentru tine
Teza cu subiect unic la matematica
Functia sinus cosinus tangenta
Matematica
Tiberiu Popoviciu


PARTEA I: ENUNŢURI

I. Probleme de cunostinte matematice pentru toti

1) Suma a doua numere este 13248, iar câtul din împartirea unui numar prin celelalte este 35. Sa se afle aceste numere.

R: x = 12880, y = 368

2) Sa se împarta 2568  în doua parti, astfel încât una sa fie de 5 ori mai mare decât cealalta.

R: x = 2149, y = 428

3) În doua cutii sunt 128 kg de ceai. Daca din prima cutie se trec în a doua 4 kg, atunci în ambele cutii ar fi aceeasi cantitate de fiecare fel. Cât ceai este în fiecare cutie?

            R: x = 60, y = 68

4) S-au platit 3250 lei în bancnote de 100 de lei si de 25 lei, dându-se acelasi numar de bancnote de fiecare fel. Ce suma s-a platit cu fiecare fel de bancnote?

            R: I - 2600, II - 650

5) Doi copii si-au împartit 203 nuci, astfel încât unul a primit un numar de perechi egal cu numarul gramezilor de câte 5 nuci primite de celalalt. Câte nuci au ajuns pentru fiecare?

            R: x = 20, 145, 58

6) Într-un platan se afla greutati a 5 kg, iar în celalalt a 3 kg, având în total 24 de greutati. Cântarul se afla în echilibru. Câte greutati de un fel si câte din celalalt au fost puse?

            R: 9 si 15

7) În doua cosuri era aceeasi cantitate de mere. Dupa ce s-au vândut 150 de mere din primul cos si 194 din celalalt, în primul cos au ramas de trei ori mai multe mere decât în al doilea.

            R: x = 216

8) Trei ciocane cu abur au dat împreuna 94 de tone de fier forjat. Câte tone de fier forjat a dat fiecare ciocan daca primul si al doilea au dat împreuna 57 de tone de fier forjat, iar al doilea si al treilea 64 de tone?

            R: x = 30 t, y = 27 t, z = 37 t

9) Sa se afle cele trei numere a caror suma este 749 stiind ca primul si al doilea numar adunate dau suma 493, iar primul si al treilea dau suma 606?

            R: x = 350, y = 143, z = 256

10) S-au cumparat 3 seceri si 5 coase cu 14200 lei. Pentru 3 seceri s-a platit cu 200 mai scump decât pentru 2 coase. Sa se afle pretul unei seceri si al unei coase.

            R: 1400 lei o secera, 2000 lei o coasa

11) Pentru 4 duzini de linguri si trei duzini de lingurite s-a platit 66000 lei. Altadata (cu acelasi pret la bucata) s-a platit pentru patru duzini de linguri si 5 duzini de lingurite 78000 lei.

            R: 1000 lei o lingura, 500 lei o lingurita

12) Sa se afle lungimea, latimea si suprafata unei gradini de zarzavat, cunoscând urmatoarele: daca latimea gradinii de zarzavat ar fi fost de 50 m, iar lungimea ar fi ramas aceeasi, atunci suprafata ei ar fi mai mica cu 680 m2, iar daca latimea gradinii de zarzavat ar fi fost 60 m, atunci suprafata ei s-ar fi marit cu 2720 m2 .

            R: L = 340 m, l = 52 m, A = 17680 m2

13) Sa se gaseasca deînmultitul, înmultitorul si produsul cu urmatoarele conditii: daca se schimba înmultitorul luând drept înmultitor numarul 6, atunci produsul va fi cu 54 mai mic decât cel dat; daca, însa, drept înmultitor se ia numarul 11, atunci produsul va fi cu 81 mai mare decât cel dat.

            R: 27 deînmultit, 8 înmultitor, 216 produsul

14) De pe un teren s-a obtinut o oarecare cantitate de pepeni. Când s-a încercat sa se introduca 35 de pepeni într-o sada, un numar de 105 pepeni nu au mai încaput în lazi. Daca în fiecare lada ar fi încaput 70 de pepeni, atunci ar mai fi ramas 40 de lazi goale. Câti pepeni s-au obtinut de pe acest teren si câte lazi au existat pentru împachetarea lor?

            R: x = 83 lazi, y = 3010 pepeni

15) Roata din fata a unei trasuri are o circumferinta de 225 cm, cea din spate de 325 cm. Cât de mare este distanta cea mai mica pe care trebuie sa o parcurga trasura, astfel ca roata din fata si cea din spate sa se învârteasca de un numar întreg de ori?

            R: 2925

16) Din doua calitati 343i81d de bomboane cu pretul de 12 lei si de 20 lei kilogramul s-au facut 8 kg de amestec, valorând 15 lei kg.

            Câte kilograme de bomboane s-au luat din fiecare fel?

            R: 5 kg, 3 kg

17) Un tata este de cinci ori mai în vârsta decât fiul, iar fiul este cu 44 de ani mai tânar decât tatal.

            Câti ani are fiecare dintre ei?

            R: 55 ani, 11 ani

18) Suma a doua numere este de 20. daca marim unul dintre ele de 5 ori, iar pe celalalt de 4 ori, suma numerelor obtinute devine 92. sa se afle aceste numere.

            R: x = 12, y = 8

19) Sa se afle doua numere cunoscând suma lor 85 si diferenta 15.

            R: 50, 35

20) Sa se împarta numarul 46 în doua parti în asa fel ca o treime a partii întâi sa întreaca cu doi si o septime a partii a doua.

            R: 18, 28

21) Diferenta a doua numere este 8, iar raportul lor este. Care sunt numerele?

            R: 16, 24

22) Suma a doua numere este 64, împartind numarul cel mai mare la cel mai mic obtinem câtul 3 si restul 4. Sa se gaseasca cele doua numere.

            R: 49, 15

23) Diferenta a doua numere este 35. împartind numarul cel mai mare la cel mai mic, obtinem câtul 4 si restul 2. Sa se gaseasca cele doua numere.

            R: 46, 11

24) Avem doua rezervoare dintre care unul contine de doua ori mai multa apa decât celalalt. Daca turnam din primul rezervor în al doilea 16 hl, ambele rezervoare contin aceeasi cantitate de apa. Câta apa a fost în fiecare rezervor?

            R: 64, 32

25)În clasele IA si IB a unei scoli au fost înscrisi la începutul anului scolar 90 de elevi, clasa IA având un numar mai mic de elevi. Dupa un trimestru, doi elevi din clasa IA au fost mutati în clasa IB. Acum raportul dintre numarul de elevi din clasa IA si numarul elevilor din clasa IB este 7/8. câti elevi erau în fiecare clasa la începutul anului?

            R: 46, 44

26) În trei cosuri se afla 47 de mere. În primele doua numarul merelor este acelasi, iar în al treilea cos sunt cu doua mere mai mult decât în fiecare dintre celelalte.

            Câte mere sunt în fiecare cos?

            R: 15, 15, 17

27) Un numar este format din doua cifre. Daca scadem din el 18, obtinem numarul rasturnat. Sa se afle numarul stiind ca suma cifrelor este 12.

            R: 75

28) Pe trei rafturi se afla 63 de carti. Pe primul raft, de trei ori mai multe decât pe al doilea si pe al doilea de doua ori mai multe decât pe al treilea. Câte carti sunt pe fiecare raft?

            R: 42, 14, 7

29) În trei lazi sunt 300 de mere. Numarul merelor din lada a doua este egal cu 2/3 din numarul merelor din prima lada, iar numarul merelor din lada a treia este cât 0,5 din a doua.

            Câte mere sunt în fiecare lada?

            R: 150, 100, 50

30) Diferenta a doua numere este 24. daca marim descazutul de trei ori si marim scazatorul de doua ori, diferenta obtinuta devine 132. Sa se afle aceste numere.

            R: 84, 60

31) Un vânzator a vândut la început jumatate din merele pe care le avea, apoi jumatate din cele ramase si la urma restul de 20 mere. Câte mere a avut vânzatorul?

            R: 80

32) Un cioban spune celuilalt: "Da-mi una din oile tale si voi avea de doua ori mai multe oi ca tine", iar al doilea raspunde: "Nu, mai bine da-mi tu una din oile tale si vom avea acelasi numar de oi". Câte oi avea fiecare?

            R: 7, 5

33) Un baiat a fost întrebat câti frati si câte suroro are, si a raspuns: "Câti frati, atâtea surori". Dar când sora lui a fost întrebata câti frati si câte suroro are, ea a raspuns: "Eu am de doua ori mai putine surori decât frati". Cum era posibil acest lucru?

            R: 4, 3

34) Daca împartim un numar de doua cifre la suma cifrelor sale obtinem câtul 3 si restul 7, iar daca împartim numarul la diferenta dintre cifra unitatilor si cifra zecilor obtinem câtul 9 si restul 1.

            Sa se afle numarul.

            R: 37

35) Cifra zecilor unui numar de doua cifre este de doua ori mai mare decât cifra unitatilor. Daca adunam 36 la un numar format din aceleasi cifre scrise în ordine inversa, obtinem numarul de al început. Sa se afle numarul.

            R: 84

36) Daca la dublul unei necunoscute se adauga aceeasi necunoscuta întreita vom obtine 495. Sa se gaseasca aceasta necunoscuta.

            R: 99

37) Suma a doua numere este 95, iar diferenta este de trei ori mai mare decât numarul mai mic.

            Sa se gaseasca aceste numere.

            R: 19, 76

38) O traversa de fier trebuie taiata în doua parti ale carei lungimi sa fie în raport de 5:3, iar prima parte trebuie sa fie cu 5 dm mai lunga decât  din toata traversa.

            Sa se afle lungimea celor doua parti.

            R: 45, 27

39) Într-un hambar sunt de doua ori mai multe cereale decât în altul. Daca se scot din primul hambar 750 tone si se aduc în hambarul al doilea 350 t amândoua hambarele contin aceeasi cantitate de cereale.

            Câte tone de cereale au fost la început în fiecare hambar?

            R: 2200, 1100

40) Un copil are un numar de bile în doua cutii A si B. daca la bilele din cutia A s-ar adauga înca 4, atunci în cutia B ar fi de patru ori mai multe decât în A; daca însa la cutia B s-ar adauga 2 bile, atunci în aceasta cutie ar fi de sase ori mai multe bile decât în A.

            Câte bile au fost în fiecare cutie?

            R: 9, 52

41) Un cetatean mergând pe sosea a întâlnit o ceata de oameni si a spus: "Buna ziua 77 de oameni". Unul din ei a raspuns: "Nu suntem 77 de oameni. Daca am fi înca o data pe câti suntem si din câti suntem si  din câti suntem si  din cât suntem si cu tine am fi 77 de oameni".

            Câti oameni formau ceata?

            R: 20

42) Diferenta a doua fractii este egala cu, raportul numaratorilor este egal cu 3, iar raportul numitorilor este egal cu 2. Sa se gaseasca fractiile.

            R:

II. Probleme cu numere zecimale

43) În doua butoaie era câte o cantitate egala de apa; când din primul butoi s-a scurs 21 dal. de apa în al doilea butoi au ramas de 2,75 ori mai mult decât în primul butoi.

            Câti dal. de apa au fost în primul butoi?

            R: 33

44) Un ou de gaina contine dupa greutate 0,55 g albus si 0,4 g galbenus, iar restul este greutatea cojii.

            Cât cântareste coaja unui ou cu o greutate de 56 g?

            R: 2,8

45) O marfa se vinde cu un câstig de 0,11 din pretul ei, iar 0,11 din 0,11 din pretul ei este egal cu 181,5. Sa se afle pretul marfii.

            R: 15000 lei

46) Având o zi normala de lucru de 8 ore, se poate executa o comanda în 7,5 zile. În câte zile se poate executa aceasta comanda daca se lucreaza câte 2 ore în plus?

            R: 6 zile

47) Greutatea smântânii este în medie egala cu 0,16 din greutatea laptelui, iar greutatea untului este egala cu 0,25 din greutatea smântânii.

            Câte kilograme de unt se pot obtine din 750 dal. de lapte, daca densitatea laptelui este 1,032?

            R: 309 kg

48) Un numar a fost micsorat cu 0,01 parte din el si s-a obtinut 3316,5.

            Sa se afle numarul initial.

            R: 3350

49) Un tren a parcurs 0,7 din întreaga distanta dintre doua orase dupa care i-a mai ramas sa parcurga înca 342km.

            Care este distanta dintre aceste orase?

            R: 1140

50) Un numar este marit de 100 de ori si adaugându-se apoi 3,2 la rezultat se obtine 256,7.

            Care este acest numar?

            R: 2,535

51) Câta pâine se scoate din 144 kg  grâu, daca prin macinare se pierde 0,1 din greutate iar prin coacere se obtine o crestere egala cu 0,4 din greutatea fainii?

            R: 181,44 kg pâine

52) Sa se afle lungimea, latimea si suprafata unei parcele care are pe desen lungimea de 2,5 cm, latimea de 1,5 cm. Scara planului este de 200 m pentru 10 cm.

            R: 15 ha, L = 500 m, L = 300

53) Un dreptunghi cu laturile de 5 cm si 4 cm reprezinta pe plan o parcela la scara 1/10000.

            Câti ari are aceasta parcela? Câte hectare?

            R: 20.000.000 ari, 200.000 ha

54) Sa se afle suprafata unei curti care desenata pe un plan la scara de 0,01 are lungimea de 39,5 cm si latimea de 18,4 m?

            R: 73075 ari

55) Ce dimensiuni va avea un plan întocmit la scara de 0,01, pentru o parcela de teren a carei suprafata este de 39,06 ari iar lungimea de 77,5 cm?

            R: L = 0,775 m, l = 0,504 m

56) Sa se afle 0,89 din numarul din care 0,37 reprezinta 425,5.

            R: 1023,5

57) Daca taiem 0,4 dintr-o sfoara ramân 36,12. Ce lungime are sfoara?

            R: 60,2 m

58) Dupa ce s-a scazut dintr-un numar oarecare 0,3 din el, apoi 0,4 din ce a ramas si înca 0,5 din rest a mai ramas 105. Sa se afle acest numar.

            R: 500

59) Un tren accelerat parcurge 0,75 din distanta dintre doua orase în 3 ore, parcurgând câte 60,75 km pe ora.

            Câti kilometrii pe ora trebuie sa parcurga un tren de marfa ca sa strabata toata distanta dintre cele doua orase în 6 ore?

            R: 40,5 km/h

60) 0,65 din terenul unei ferme familiale este pamânt arabil; 0,4 din restul terenului este fâneata; 0,1 din noul rest este cu zarzavat si restul de 132,3 ha este ocupat cu padure.

            Cât de mare este terenul fermei?

            R: 700 ha

61) daca se înmulteste un numar necunoscut cu 0,25 si se scade din produs 0,5 atunci se obtine 1. Sa se afle numarul.

            R: 6

62) un litru de aer cântareste 1,2932 g. Sa se determine greutatea aerului care umple o camera lunga de 6,4 m, lata de 5,2 m si înalta de 3,5 m.

            R: 150,631936

63) Un elev a plecat la un coleg al sau care locuieste la o distanta de 5,5 km departare de casa sa. Dupa ce a mers 15 minute cu o viteza medie de 4 km pe ora, l-a ajuns o caruta care l-a dus pâna acolo cu o viteza de 9 km pe ora.

            Câte minute a mers elevul cu caruta?

            R: 30 minute

64) Un avion a parcurs 336 km în 48 minute iar altul 600 km în 75 minute. A câta parte reprezinta viteza medie orara a primului avion din viteza medie orara a celui de al doilea avion?

            R: a 0,875-a parte

65) Trei ferme familiale au laolalta 865,68 ha de pamânt; ferma a doua are cu 24,73 ha de pamânt mai mult decât prima ferma, iar a treia cu 5,08 ha mai mult decât a doua.

            Cât pamânt are fiecare ferma?

            R: I - 270,38, II - 295,11, II - 300,19

66) Trei bucati de pânza au 132,4 m. prima bucata este cu 12,5 m mai lunga decât a doua, iar a doua cu 10,6 m mai lunga decât a treia. Cât costa toata pânza daca prima bucata s-a vândut cu 13,74 lei metrul iar a doua si a treia cu 10,92 lei?

            R: 1603,72 lei

67) Sa se împarta numarul 98,1 în trei parti, astfel ca partea a doua sa fie de trei ori mai mare ca prima, iar a treia de 5 ori mai mare decât prima.

            R: I - 10,9, II - 32,7, III - 54,5

68) Daca se împarte un numar mai mare la altul mai mic, atunci se obtine la cât 10 si la rest 0,9. Daca se aduna ambele numere, atunci suma obtinuta este 12,01.

            Sa se afle aceste numere.

            R: I - 11, II - 1,01

Metoda ipotezei

69-a) Într-o cusca sunt iepuri si porumbei, în total 24 capete si 66 picioare. Câti iepuri si câti porumbei sunt?

            R: 9 iepuri, 15 porumbei

69-b) Pe un stadion asista 20412 persoane la un meci de fotbal, unii la tribuna, altii la peluza. Costul unui bilet la tribuna este de 8 lei iar la peluza de 4 lei.

            Câte locuri sunt ocupate la tribuna si câte la peluza stiind ca totalul încasarilor este de 101648 lei?

            R: 15412, 5000

70) Din doua calitati 343i81d de grâu de 4 lei, respectiv 3 lei kilogramul, trebuie facut un amestec de 350 kg spre a fi vândut cu 3,40 lei kg (fara câstig sau pierdere).

            Ce cantitate de grâu trebuie sa se ia din fiecare calitate?

            R: 140 kg, 210 kg

71) Un elev a pus într-o pusculita 5500 lei în bancnote de 50 si 100 lei. În total a pus 70 de bancnote.

            Câte bancnote de fiecare fel a pus?

            R: 30, 40

Probleme prin metoda figurativa

72) Pentru încalzirea a trei case s-au adus 55 steri de lemne. Casa a doua a primit de 3 ori mai multe lemne decât prima iar a treia cu 30 steri mai mult decât prima.

            Câti steri de lemne a primit fiecare casa?

            R: 5, 15, 35

73) În trei clase sunt în total 119 elevi. În prima clasa sunt cu 4 elevi mai mult decât în a doua clasa si cu 3 elevi mai putin decât în a treia clasa.

            Câti elevi sunt în fiecare clasa?

            R: 40, 36, 43

74) La un depozit s-au adus 2,4 t faina, gris si carne si anume: de 3 ori mai multa faina decât carne si cu 400 kg mai putin gris decât faina. Câte tone de faina, carne si gris s-au adus în depozit?

            R: 400 kg carne, 1200 kg faina, 800 kg gris

75) Într-un depozit este de doua ori mai mult carbune decât în altul. Daca s-ar mai aduce la primul depozit 8 tone de carbune, iar la al doilea 14,5 tone, în amândoua depozitele ar fi aceeasi cantitate de carbune.

            Câte tone de carbune erau la început în fiecare depozit?

            R: I - 3 t, II - 6,5 t

76) În clasa întâi a unei scoli sunt de doua ori mai multi elevi decât în clasa  a doua. Daca mutam 10 elevi din clasa întâi în clasa a doua, avem în clasa întâi cu 3 elevi mai mult decât în clasa a doua.

            Câti elevi sunt în fiecare clasa?

            R: I - 23, II - 46

77) Într-o scoala erau 4 clase. În clasa întâi erau  din numarul total al elevilor, în clasa a doua, în clasa a treia, iar în clasa a patra 26 elevi.

            Câti elevi erau în total în scoala?

            R: 120 elevi

78) Un muncitor a cheltuit mai întâi  din banii sai, apoi  din rest, iar a treia oara  din cât îi mai ramasese. El mai are 60 lei. Câti bani a avut muncitorul?

            R: 600 lei

79) Un negustor a vândut primului cumparator jumatate din pachetele de drojdie pe care le avea si înca o jumatate de pachet, cumparatorului al doilea i-a vândut jumatate din pachetele ramase si înca o jumatate de pachet; în acelasi fel a vândut pachetele de drojdie la înca doi cumparatori.

            Câte pachete a avut negustorul?

            R: 31 pachete

80) În doua biblioteci erau 2280 carti. Daca în prima biblioteca s-au dat celei de-a doua 180 de carti, în aceasta au ramas de doua ori mai putine carti decât în cea de a doua. Câte carti erau la început în fiecare biblioteca?

            R: 940, 1340

81) Într-un sac erau 60 kg de zahar, iar în altul 80 kg. Din sacul al doilea s-a luat de 3 ori mai mult zahar decât din primul si atunci, în primul sac a ramas de 2 ori mai mult zahar decât în sacul al doilea.

            Câte kilograme de zahar s-au luat din fiecare sac?

            R: 20, 60

82) Într-un depozit erau 185 de tone de carbuni, într-altul 237 tone. Din primul depozit s-au luat câte 15 t de carbune pe zi, iar din al doilea câte 18 t. Dupa câte zile va ramâne în depozitul al doilea de 1 si  ori mai mult carbune decât în primul?

            R: 9 zile

83) Într-o magazie de pastrare a legumelor, erau 21 t de cartofi, iar în alta 18 t. În prima magazie se aduc în fiecare zi câte 9 t de cartofi, iar în cea de-a doua câte 12 t. Peste câteva zile vor fi în prima magazie de 1,2 ori mai putini cartofi decât în a doua?  

            R: 6 zile

84) Într-o ferma agricola sunt doua loturi vecine pentru varza si cartofi, primul lot fiind de 4 ori mai mare decât al doilea.

            Daca primul lot s-ar micsora cu 10 hectare si aceasta s-ar adauga la al doilea, lotul al doilea ar fi cât  din partea ramasa a primului lot. Sa se determine aria fiecarui lot.

            R: 40 ha, 10 ha

85) În doua magazii s-a depozitat fân. În prima magazie de trei ori mai mult fân decât în a doua. Dupa ce s-au luat 20 tone de fân din prima magazie si s-au adaugat în magazia a doua numarul tonelor de fân din magazia a doua a devenit egal cu  din numarul tonelor de fân care a ramas în prima magazie.

            Câte tone de fân erau la început în fiecare magazie?

            R: 30 t, 90 t

86) Într-o lada sunt de 3 ori mai multe mere decât în alta. Daca adaugam la fiecare lada câte 50 kg, raportul dintre greutatile lor ar fi. Câte kilograme de mere erau la început în fiecare lada?

            R: I - 20 kg, II - 75 kg

87) Într-un sac erau 56 kg de orez, iar în altul 63 kg. Din sacul al doilea s-a luat de 2 ori mai mult orez decât din primul sac si astfel au ramas în al doilea cu 5 kg mai putin decât în cel dintâi.

            Câte kilograme de orez s-au luat din fiecare sac?

            R: 13, 26

88) Un copil a primit de la tatal sau o suma de trei ori mai mare decât fratele lui li i-a împrumutat acestuia 100 lei, dupa care i-au ramas de mai multi bani decât avea acum fratele lui. Câti bani a primit fiecare?

R: 200, 600 lei

89) Raportul dintre numarul muncitorilor din doua sectii ale unei uzine este. Daca s-ar trece 18 muncitori din prima sectie îna doua, atunci raportul numerelor muncitorilor ar fi. Sa se determine numarul muncitorilor din fiecare sectie.

            R: 216, 144

90) Raportul a doua numere este. Daca micsoram numarul mai mare cu 2000 si marim numarul mai mic cu 1000, se obtin doua numere al caror raport este. Sa se afle aceste numere.

            R: 21000, 28000

91) Un tata are 61 de ani iar fiul 29 de ani. Cu câti ani în urma a fost tatal de 9 ori mai în vârsta decât fiul?

            R: 25 de ani

92) Un tata are 33 de ani, iar fiul 1/2 ani. Peste câti ani va fi tatal de sase ori mai în vârsta decât fiul?

            R: 15 ani

93) Peste 20 de ani, tatal va fi de doua ori mai în vârsta decât fiul, iar cu 8 ani în urma tatal era de 6 ori mai în vârsta decât fiul.

            Câti ani are fiecare dintre ei?

            R: 15 ani, 50 ani

94) Dintre doua numere necunoscute, unul este cu 12 mai mare decât celalalt. Daca împartim numarul mai mic la 7, iar numarul mai mare la 5, primul cât este cu 4 mai mic decât al doilea.

Sa se afle numerele.

R: 40, 28

95) Raportul a doua numere este 3:2. daca împartim numarul mai mic la 4 si pe cel mare la 9, primul cât este cu 4 mai mare decât al doilea. Sa se afle numerele.

            R: 72, 48

96) Raportul a doua numere este. Daca marim primul numar cu 6 si pe al doilea cu 5, raportul devine 0,4:0,5. Sa se afle numerele.

            R: 30, 40

97) Numaratorul unei fractii este cu 2 mai mic decât numitorul. Daca micsoram numaratorul fractiei de 3 ori si adaugam la numitor 3, obtinem. Sa se afle fractia.

            R:

98) Numitorul unei fractii este cu 4 mai mare decât numaratorul ei. Daca marim si numaratorul si numitorul cu 1, fractia devine egala cu. Sa se afle fractia.

            R:

99) Numitorul unei fractii este cu 4 mai mare decât numaratorul ei. Daca adaugam 11 la numaratorul acestei fractii si scadem 1 din numitorul ei obtinem fractia inversa celei date. Sa se afle fractia.

            R:

100) Numitorul unei fractii este cu 5 mai mare decât numaratorul ei. Daca adaugam 14 la numaratorul acestei fractii si scadem 1 din numitorul ei obtinem i fractie inversa celei date. Sa se afle fractia.

            R:

101) Un lot cu aria de 864 ha se împarte în trei ogoare dintre care al treilea are aria egala cu suma primelor doua ogoare. Sa se determine aria fiecarui ogor, stiind ca raportul dintre aria ogorului al doilea si aria primului ogor este.

            R: 135, 297, 432

102) Doua robinete curgând împreuna pot umple un bazin în 8 ore. Cele doua robinete au fost deschise timp de 2 ore, apoi s-a închis primul robinet si bazinul s-a umplut în 18 ore. În cât timp poate umple bazinul fiecare robinet separat?

            R: 6 ore, 24 ore

103) Pentru a scoate apa dintr-o mina s-au adus trei pompe. Prima pompa, lucrând singura, poate sa scoata apa în 12 ore, o a doua în 15 ore si a treia în 20 de ore. Primele 3 ore au lucrat prima si a treia pompa, apoi s-a pus în miscare si pompa a doua.

            În cât timp se va scoate toata apa din mina?

            R: 2 si  ore

104) Un om a angajat un lucrator pe un an si i-a fagaduit sa-i dea 12 ruble si un caftan. Dupa 7 luni omul s-a hotarât sa plece si a cerut plata pentru lucru. Stapânul i-a dat 5 ruble si caftanul.

            Se întreaba: care este pretul caftanului?

            R: 4,8 ruble

105) Dupa  o legenda, Pitagora, fiind întrebati câti elevi are, a raspuns astfel: "Jumatate din elevi studiaza matematica, un sfert muzica, a saptea parte asista în tacere si, în plus, mai sunt înca trei femei".

            Câti elevi a avut Pitagora?

            R: 28 elevi

106) Pe piatra funerara de pe mormântul lui Diofante (matematician grec din veacul al II-lea e.n.) se gaseste inscriptia: "Aici este înmormântat Diofante si piatra de pe mormântul lui indica cât a trait. A sasea parte din viata o formeaza copilaria minunata, tineretea luminoasa fiind egala cu a douasprezecea parte. Dupa înca a saptea parte s-a casatorit iar 5 ani dupa aceea, Himeneu i-a trimis un fiu caruia soarta i-a dat sa traiasca numai jumatate din cât a trait tatal. În mare mâhnire a murit batrânul, la 4 ani dupa ce i-a murit fiul".

            Spune-ti câti ani a avut Diofante când a murit?

            R: 84 ani

107) Un câine a zarit un iepure la o departare de 150 m. iepurele facea în doua minute 500 m, iar câinele în 5 minute câte 1300 m.

            Se întreaba: când îl va ajunge câinele pe iepure?

            R: 15 min 

108) Cifra zecilor unui numar de doua cifre este de 3 ori mai mare decât cifra unitatilor. Daca schimbam ordinea cifrelor acestui numar obtinem un numar cu 36 mai mic decât numarul de la început. Sa se afle numarul.

            R: 62 este numarul de doua cifre

109) Într-o casa de odihna erau 21 de adulti si 16 copii si toti împreuna primeau 45 l de lapte pe zi. Dupa doua saptamâni numarul adultilor s-a marit cu 5 iar numarul copiilor s-a micsorat de doua ori si atunci pastrându-se norma veche, toti împreuna au primit 38 l lapte pe zi.

            Câti litri de lapte primea un adult pe zi si câti litri un copil?           

            R: copil -  l, adult - 1 l

110) Pentru a hrani 10 cai si 14 vaci se folosesc într-o ferma zootehnica 202 kg de fân pe zi. Când numarul cailor se mareste cu 2, iar numarul vacilor se micsoreaza tot cu atâta, se folosesc cu 2 kg mai mult fân decât înainte.

            Cât fân primea în fiecare zi un cal si cât primea o vaca?

            R: cal - 9 kg/zi, vaca - 8 kg/zi

111) Pentru a hrani 8 cai si 15 vaci se folosesc 162 kg de fân pe zi. Cât fân se da pe zi unui cal si cât unei vaci, daca 5 cai primesc cu 3 kg mai mult fân decât 7 vaci?

            R: vaca - 6 kg, cal - 9 kg

112) Un lan are 18 ha iar altul 15 ha. De pe ambele lanuri s-au strâns 624 q de cereale. Câte chintale de cereale s-au strâns de pe un ha din fiecare lan, daca de pe 15 ha din primul lan s-au strâns cu 70 q mai mult decât de pe 10 ha din lanul al doilea?

            R: 18 q, 20 q

113) Pentru expedierea unei încarcaturi s-au repartizat câteva vagoane. Daca se încarca câte 15,5 tone într-un vagon, atunci 4 tone de încarcatura ramân neîncarcate; dar daca se încarca câte 16,5 tone în vagon, ramân pentru ultimul vagon decât 8 tone de încarcatura.

            Câte vagoane s-au dat si câte tone de încarcatura au fost?

            R: 12 vagoane, 190 tone

114) Un tren de pasageri compus dintr-o locomotiva si 15 vagoane cântareste 370,5 t; greutatea locomotivei este cu 13,3 t mai mare decât greutatea a 4 vagoane. Sa se afle greutatea unui vagon si greutatea locomotivei.

            R: 18,8 t, 88,5 t

Probleme vechi din perioade economice stabile

cu marimi corespunzatoare

115/1) Un metru de stamba costa cu 4,90 lei mai putin decât metrul de satin, iar 7 m de stamba costa cu 22,10 lei mai mult decât 3 m de satin. Sa se afle pretul unui metru de stamba si al unui metru de satin.

            R: 9,2 lei/m, 14,10 lei/m

115/2) Din doua calitati 343i81d de faina cu pretul de 2,80 lei si 4,65 lei/kg s-au facut 12 kg de amestec. Câte kilograme de faina din fiecare calitate s-au luat daca tot amestecul costa 48,40 lei?

            R: 8 kg, 4 kg

116) Pentru 5 m de satin si 3 m de postav s-au platit 350 lei, iar alta data, preturile fiind aceleasi, s-au platit 10 m de satin cu 20 lei mai putin decât pentru 2 m de postav.

            Cât s-a platit pentru 1 m de satin si cât pentru 1 m de postav?

            R: 90 lei/m, 16 lei/m

117) Daca pentru îndeplinirea unui angajament o uzina ar face zilnic câte 20 pluguri, ar lipsi la termenul stabilit 100 pluguri, iar daca uzina ar face zilnic câte 23 pluguri, ar fi gata la termenul stabilit cu 20 de pluguri mai mult decât prevedea angajamentul.

            Câte pluguri au fost comandate si ce termen a fost stabilit pentru îndeplinirea angajamentului?

            R: 40 zile, 900 pluguri

118) Sa se gaseasca 2 numere stiind ca daca scadem din fiecare din ele 3, primul numar devine de 3 ori mai mare decât al doilea iar daca adunam la fiecare numar 2, primul numar devine de 2 ori mai mare decât al doilea.

            R: I - 18, II - 8

119) Din doua calitati 343i81d de mere uscate cu pretul de 6 lei si 7,50 lei/kg trebuie facut un amestec de 24 kg cu pretul de 6,50 lei.

            Câte kilograme de mere trebuie luate din fiecare calitate?

            R: 16 kg, 8 kg

120) Într-o sala a unei scoli se pun banci. Daca în fiecare banca s-ar aseza câte 5 elevi ar mai trebui 8 banci, iar daca în fiecare banca s-ar aseza câte 6 elevi doua banci ar ramâne libere.

            Câte banci erau în sala si câti elevi trebuiau sa le ocupe?

            R: 52 banci, 300 elevi

121) Un numar de ciori s-au asezat pe niste pari, câte una pe fiecare par, dar o cioara a ramas fara par. Daca pe fiecare par s-ar aseza câte 2 ciori, un par ar fi ramas liber.

            Câte ciori si câti pari au fost?

            R: 2 pari, 3 ciori

122) Doi copii au un numar diferit de mere. Daca primul da celui de-al doilea 8 mere, atunci amândoi ar avea acelasi numar de mere. Daca al doilea da primului 6 mere, atunci primul ar avea de 3 ori mai multe mere decât al doilea. Câte mere are fiecare copil?

            R: I - 36 mere, II - 20 mere

Probleme cu procente

123) Un atelier de croitorie a primit postav de doua calitati 343i81d , de 60 de lei metrul si de 50 de lei metrul, în valoare totala de 16000 lei. Pentru confectionarea unor paltoane, atelierul a folosit 25% din bucata de postav de prima calitate si 20% din bucata de calitatea a doua, în valoare de 3500 lei.

            Câti metri de postav de fiecare calitate a primit atelierul?

            R: I - 100 m, II - 200 m

124) Pentru 4 kg de faina si 5 kg de arpacas s-a platit 1960 lei. Altadata s-a platit pentru 5 kg faina si 6 kg arpacas cu 1,40 lei mai mult decât prima data, pretul fainei fiind acum scazut cu 15%, iar al arpacasului cu 10%. Sa se afle pretul unui kg de arpacas si al unui kg de faina înainte de scaderea preturilor.

            R: 2 lei kg de arpacas, 2,4 kg de faina

125) Pentru a hrani 10 cai si 14 vaci se dadea câte 180 kg de fân pe zi. Marindu-se ratia de fân pentru cai cu 25%, iar pentru vaci cu % s-au dat câte 232 kg de fân pe zi.

            Câte kg de fân se dadeau pe zi la început pentru un cal si câte pentru o vaca?

            R: 9,6 kg pentru un cal, 6 kg pentru o vaca

126) Doi scolari au cumparat carti de 48 de lei. Pentru a plati aceste carti primul scolar a dat toti banii sai, iar al doilea a dat 75% din banii sai. Daca primul scolar ar fi dat 75% din banii sai, iar scolarul al doilea toti banii sai ar fi lipsit la plata 1,5 lei.

            Câti bani a avut fiecare scolar?

            R: I - 21 lei, II - 27 lei

127) În doua hambare s-au pus 96 tone de cereale. Când s-a scos din primul hambar 2/3 din cantitatea de cereale, iar din al doilea 40% din cereale, în hambarul al doilea au ramas de 3 ori mai multe cereale decât în primul.

            Câte tone de cereale s-au pus la început în primul hambar?

            R: I - 36 t, II - 60 t

128) Doua tractoare lucrând împreuna au arat în 15 ore, dintr-un lan. Daca primul tractor ar lucra singur 12 ore si pe urma ar lucra tractorul al doilea 20 ore, ele ar ara 20% din tot lanul.

            În cât timp poate ara lanul fiecare tractor lucrând singur?

            R: 360 ore, 120 ore

129) Doi muncitori trebuie sa faca un anumit numar de piese. Daca primul lucreaza 4 ore, iar al doilea 3 ore, ei fac 50% din lucrare, iar daca primul muncitor lucreaza 16%, iar al doilea 6 ore, ei fac o data si jumatate din numarul pieselor ce trebuiau executate. În cât timp poate sa faca acest lucru fiecare muncitor lucrând singur?

            R: 16 ore, 12 ore

130) În doua silozuri s-au înmagazinat 186 t cereale. Din primul siloz s-a scos 60% din cantitatea înmagazinata, iar din al doilea, si a mai ramas în primul siloz de 12 ori mai mult decât cea din al doilea siloz.

            Câte tone au fost în fiecare siloz?

            R: 155 t, 31 t

131) Într-un oras sunt astazi 48400 de locuitori. Populatia acestui oras a crescut în fiecare din ultimii 2 ani cu 10%.

            Câti locuitori au fost în oras acum 2 ani?
            R: 40000

132) Un jucator pierde la primul joc, jumatate din suma ce o avea plus 1 leu, la al doilea joc jumatate din ce i-a ramas plus 2 lei, iar la al treilea joc pierde jumatate din cei mai ramasese plus 3 lei si termina banii.

            Câti bani a avut la începutul jocului?

            R: 34 lei

133) Doua sectii ale unei uzine au produs împreuna într-un an 8900 piese. În anul urmator productia primei sectii a crescut cu 12% iar a celei de-a doua cu 10%, asa încât cea de-a doua sectie a produs cu 2686 mai multe piese decât prima sectie.

            Câte piese a produs fiecare sectie în primul an?

            R: 5700, 3200

134) O lucrare trebuia sa fie terminata de 18 muncitori în 25 de zile. În cât timp a fost terminata lucrarea daca 2 muncitori au depasit norma cu 25%, iar altii 2 muncitori cu 12,5%.

            R: 24 zile

Probleme cu amestec si aliaje

135) La 5 kg solutie de sare cu concentratia 80% se adauga apa si se obtine o solutie cu concentratia de 20%.

            Câta apa s-a adaugat?

            R: 15 kg apa

136) La o solutie de sare de 8 kg cu concentratia 0,925 se adauga apa si se obtine o solutie cu concentratia de 0,400.

            Câta apa se adauga?

            R: 10,5 kg apa

137) Într-o solutie de sare cu masa de 9 kg cu concentratia de 70% se adauga sare si se obtine o solutie cu concentratia de 90%.

            Câta sare s-a adaugat?

            R: 18 kg sare

138) Câta apa trebuie adaugata la 20 l de spirt cu taria de 800 pentru a obtine spirt cu taria de 500?

            R: 12 l apa

139) 1 - Cât aliaj cu titlul 0,750 se obtine din 24 kg de argint curat?

        2 - Cât aliaj cu titlul 0,600 se obtine din 300 g aur curat?

            R: 32 kg, 500 aliaj

140) Se amesteca 15 kg acid sulfuric cu concentratia de 40% cu apa si se obtine o solutie cu o concentratie de 15%. Sa se calculeze masa amestecului obtinut.

            R: 40 g

141) Un aliaj de aur de 2 kg cu titlul de 0,910 s-a obtinut dintr-o bucata de aliaj cu titlul de 0,800 si alta cu titlul de 0,950.

            Ce cantitate din fiecare fel s-a folosit pentru noul aliaj?

            R: 0,532 kg, 1,467 kg

142) Din doua metale cu densitatea de 7200 kg/m3 si 8400 kg/m3 s-au fabricat 19 kg de aliaj cu densitatea 7600 kg/m3.

            Cât s-a luat din fiecare metal?

            R:  kg, kg

143) Greutatea smântânii reprezinta 21% din greutatea laptelui, iar untul reprezinta 23% din greutatea smântânii. Cât lapte este necesar (cu aproximatie de 1 kg) ca sa se obtina 7 kg de unt.

            R: 143 kg

144) Câte kg de unt se obtin din 286 kg de lapte daca smântâna reprezinta 21% din greutatea laptelui, iar untul reprezinta 23% din greutatea smântânii?

            R: 13,8138 kg

145) Câte kg de pâine se pot obtine din 300 kg de grâu daca grâul pierde prin macinare 10%, iar faina câstiga prin transformare în pâine 40%?

            R: 396 kg

146) Cât cupru trebuie adaugat la un aliaj de aur cu titlul de 0,916 pentru a obtine un aliaj cu titlul de 0,896?

            R: 18 g de cupru

147) Au fost topite laolalta 1120 g aur curat si 80 g arama. Ce cantitate de arama mai trebuie adaugata pentru ca aliajul  obtinut sa aiba titlul 0,896?

            R: 50 g arama

148) Se topeste un aliaj de aur de 6 kg cu titlul de 0,920 cu aliaj de aur cu titlul de 0,780 si se obtine un aliaj cu titlul de 0,880.

            Câte kg din al doilea aliaj s-au luat?

            R: 2,4 kg

149) Se amesteca 4 kg de aliaj cu titlul 0,800 cu 1 kg de aliaj cu titlul de 0,700. care va fi titlul noului aliaj?

            R: 0,780

150) Câta arama trebuie adaugata la un aliaj de aur de 5 g cu titlul de 0,840, pentru a obtine un aliaj de aur cu titlul 0,750?

            R: 0,6

151) Se amesteca 9 l de spirt de 400 cu 3 l de spirt de 300. ce tarie va avea spirtul obtinut?

            R: 37,50

Probleme cu împartirea în parti proportionale

152) Un tata este mai mare decât fiul sau cu 25 de ani. Vârsta tatalui este raportata la vârsta fiului ca.

            Câti ani are tatal si câti ani are fiul?

            R: 45, 20

153) Sa se împarta nr. 144 în doua parti astfel ca una din ele sa fie egala cu  din cealalta.

            R: 19, 95

154) Sa se împarta numarul 9510 proportional cu numerele:, , ,.

            R: 2700, 2400, 2250, 2160

155) Sa se împarta numarul 680 în 3 parti invers proportionale cu numerele:.

            R: 300, 200, 180

156) Sa se împarta numarul 1510 în parti invers proportionale cu numerele:, 0,7 si.

            R: 630, 600, 280

157) Vitezele de transport pe jos, calare si cu bicicleta sunt proportionale cu numerele, 5 si 6. de la gara pâna la un catun se poate ajunge cu bicicleta cu 18 minute mai repede decât calare. Sa se determine aceasta distanta, presupunând ca viteza de transport pe jos este de 5 km pe ora.

            R: 18 km

158) O sârma lunga de  m trebuie sa fie taiata în trei parti. Prima bucata sa fie de atâtea ori mai mare decât a doua de câte ori este mai mare  decât, iar bucata a doua sa fie de atâtea ori mai mica decât a treia de câte ori  este mai mic decât.

            Sa se determine lungimea celor trei bucati.

            R:

159) Trei muncitori au lucrat 2413 piese, astfel ca 0,75 din cât a lucrat primul sa fie egal cu 0,3 din cât a lucrat al doilea si  din cât a lucrat al treilea. Câte piese a lucrat fiecare muncitor?

            R: 254, 635, 1524

160) La o asociatie agricola, pamântul arabil este cu 45 ha mai mare decât pasunea. Câte ha de pamânt arabil si câte de pasune are asociatia, daca pamântul arabil este de  ori mai mare decât pasunea?

            R: 18 ha pasune, 63 ha pamânt arabil

Probleme cu marimi proportionale

            Marimi direct proportionale

161) Pentru confectionarea a 12 costume s-au întrebuintat 49,8 m postav. Câte costume din acelasi fel vor iesi din 74,7 m din acelasi postav?

            R: 18 costume

162) Pentru vopsirea a 15 m2 de podele s-au întrebuintat 1,5 kg vopsea. Câta vopsea va fi necesara pentru vopsirea podelelor dintr-o camera cu dimensiunile 6,3 m si 4,5 m?

            R: 2,835 kg

163) O pompa da 72 m3 de apa în 4 ore si 12 minute. În cât timp poate sa dea aceeasi pompa 2140 m3 de apa?

            R: ore

Marimi invers proportionale

164) 5 muncitori sapa un sant în 8 zile. Dar 15 muncitori în câte zile vor sapa acelasi sant?

            R: zile

165) O lucrare este executata de 12 muncitori în 48 de ore. În câte ore va fi executata aceeasi lucrare de 16 muncitori?

            R: 36 ore

166) Un tren parcurge distanta dintre doua orase în 20 ore, cu o viteza medie de 35 km/h. cât timp îi va trebui trenului pentru a parcurge aceeasi distanta, daca viteza lui se va mari cu 15 km/h?

            R: 14 ore

167) Doua roti sunt legate printr-o curea de transmisie. Circumferinta uneia dintre roti este de 528 cm, a celeilalte de 225 cm. Prima roata face 60 rotatii pe minut. Câte rotatii pe minut face roata a doua?

            R: 140,8 rotatii

168) Diametrul unei roti este de 300 mm, iar viteza ei de rotatie reprezinta 400 de rotatii pe minut. Sa se gaseasca numarul de rotatii pe minut al unei roti legata de prima printr-o curea de transmisie stiind ca diametrul ei este de 100 mm.

            R: 1200 rot/min

169) 16 pietrari au pavat o strada în 21 de zile. Câti pietrari trebuie pentru a pietrui aceeasi strada în 14 zile (la aceeasi productivitate).

            R: 24 pietrari

            Dependenta compusa a marimilor

170) În decurs de 3 ore, 5 pompe au pompat 1800 galeti de apa. Câta apa pompeaza 4 pompe în decurs de 4 ore?

            R: 1200 galeti

171) S-au repartizat 9 qintale de ovaz pentru 5 cai pe timp de 30 zile. Cât ovaz trebuie pentru 12 cai pe timp de 18 zile, plecând de la aceeasi norma?

            R: 12,96 qintale

172) Pentru încalzirea a 4 sobe în  luni s-au întrebuintat 10,88 tone carbuni. Câte sobe se pot încalzi cu 9,6 tone de carbuni timp de  luni, norma fiind aceeasi?

            R: 12 sobe

173) Pentru ridicarea unui zid lung de 18 m, gros de 0,8 m si înalt de 2,1 m se cer 16.800 caramizi. La ce înaltime se poate ridica un perete pe o lungime de 15 m si o grosime de 0,6 m cu 6.000 caramizi de acelasi fel?

            R: 1,2 m

174) Pentru a transporta 8,5 tone de încarcatura pe o distanta de 17,5 km s-a platit 2800 lei. Câte tone de carbune se pot transporta pe o distanta de 20 km pentru 3200 lei în aceleasi conditii de plata?

            R: tone

175) Pentru 4 lampi de gaz care ardeau în fiecare zi câte  ore s-au consumat 36 litri gaz, în timp de 30 zile. În câte zile se vor consuma 28,8 litri de gaz, daca în fiecare zi vor arde 5 lampi de gaz, timp de 4 ore si 30 minute fiecare?

            R: 16,8 zile

176) O grinda de lemn lunga de 4 metri, lata de 30 cm si groasa de 20 cm cântareste 144 kg. Cât va cântari o grinda dintr-un alt lemn din care 2 cm3 cântaresc tot atât cât 3 m3 din primul lemn daca lungimea ei este de 5 m, latimea de 40 cm si grosimea de 30 cm?

            R: 540 kg

Probleme cu marimi dependente neproportionale

177) Latura unui patrat este de 2 cm. Sa se afle aria acestui patrat când latura se mareste de 3 ori. De câte ori se mareste aria?

            R: 36 cm2, 9 ori

178) Latura unui cub este de 3 cm. Sa se afle volumul cubului când latura se mareste de 2 ori. De câte ori se mareste volumul cubului?

            R: 216 cm3,  8 ori

Probleme de miscare

179) Un curier trebuie sa duca o stire din punctul A în punctul B. el a facut tot drumul dus si întors în  ore; de la A si B el a mers cu 30 km pe ora, iar înapoi, de la B la A, cu 28 km pe ora. Sa se afle distanta dintre A si B.

            R: 210 km

180) Un motociclist a mers pe sosea dintr-un oras în altul. Dupa  ore de la plecare, în care timp facuse cu  km mai mult decât i-a mai ramas de facut, s-a oprit. Marind apoi viteza cu 4 km pe ora el a facut restul drumului în 45 minute.

            Câti kilometri a facut motociclistul pâna la oprire?

            R: 39 km

181) Un curier a plecat de la tabara la oras. Dupa 40 minute de la plecare el a ajuns într-un sat, facând pâna aici cu  km mai putin decât i-a mai ramas de facut. El a facut restul drumului în 0,75 ore cu o viteza mai mare cu 1 km pe ora decât la început.

            Câti km sunt de la tabara la oras?

            R: 13,5 km

182) Drumul de la un sat pâna la oras este format dintr-o parte orizontala si dintr-un deal. Un muncitor a parcurs cu bicicleta partea orizontala a drumului cu viteza de 8 km pe ora, a urcat dealul pe jos cu viteza de 3 km pe ora si a sosit în oras dupa o ora si 55 minute de la plecare. La întoarcere, muncitorul a coborât dealul cu viteza de 15 km pe ora si a parcurs partea orizontala a drumului cu viteza de 12 km pe ora si a ajuns în sat dupa 55 de minute de la plecarea din oras.

            Câti km sunt din sat pâna în oras?

            R: 12 km

183) Doi schiori au pornit în acelasi timp pe acelasi drum din punctul A spre B. un schior face în medie câte 12 km pe ora, iar al doilea câte 10 km pe ora. Primul schior a ajuns în B cu 12 minute înainte ca al doilea sa ajunga în punctul C situat cu 3 km înainte de B. sa se afle distanta între punctele A si B.

            R: 30 km

184) Un pieton care merge cu 4 km/h, din sat pâna în gara, ajunge mai târziu cu  ore dupa plecarea trenului, iar daca merge cu 6 km pe ora ajunge cu 10 minute înainte de plecarea trenului.

            Sa se afle distanta din sat pâna la gara.

            R: 20 km

185) Un calator dintr-un tren de persoane, ce avea viteza de 40 km/h a observat ca un tren accelerat care mergea în sens contrar a trecut pe lânga el în 3 secunde.

            Sa se afle viteza trenului accelerat stiind ca lungimea lui este de 75 m.   

            R: 50 km

186) Cu câti kilometri poate sa se deplaseze de la debarcader o barca care merge împotriva curentului, pentru ca sa se întoarca înapoi în 4 ore, daca viteza apei este de 2 km/h, iar viteza barcii în apa statatoare este de 8 km/h?

            R: 15 km

187) Între doua orase circula un tren personal, unul de marfa si un tren expres. Viteza trenului de marfa este cu 10 km/h mai mica decât viteza trenului personal si de aceea îi trebuie pentru a parcurge acest drum cu 5 ore mai mult decât trenul personal. Viteza trenului expres este cu 10 km/h mai mare decât viteza trenului personal si de aceea îi trebuie pentru a parcurge tot drumul cu 3 ore mai putin decât trenului personal. Sa se afle viteza fiecarui tren si în cât timp parcurge distanta dintre orase.

            R: 40 km/h, 15 h; 30 km/h, 20 h; 50 km/h, 12 h

188) Doi biciclisti au pornit unul catre altul din doua orasele situate la o distanta de 38 km unul de celalalt. Ei s-au întâlnit la 1,5 ore dupa plecarea primului si la 2 ore dupa plecarea celui de-al doilea biciclist.

Altadata ei au pornit în acelasi timp unul catre celalalt si dupa 1 ora si 15 min distanta dintre ei era de 10,5 km. Sa se afle viteza fiecaruia dintre acesti biciclisti.

            R: 12 km/h, 10 km/h

189) Un curier a parcurs un drum cu viteza de 8 km/h. el s-a întors pe alt drum care era cu 3 km mai lung decât primul. La întoarcere curierul a mers cu viteza de 9 km pe ora facând cu  ore mai mult decât la dus. Sa se afle lungimea fiecarui drum.

            R: 15 km, 18 km

190) Un calaret si un pieton pornesc din acelasi punct A spre punctul B. calaretul ajunge în B cu 50 minute înaintea pietonului, se reîntoarce imediat spre A si se întâlneste cu pietonul la o distanta de 2 km de B. pentru tot drumul de la A la B si înapoi i-a trebuit calaretului 1 ora si 40 minute. Sa se afle distanta de la A la B, viteza calaretului si a pietonului.

            R: 7,2 km, 3,6 km, distanta A - B = 6 km

191) Doi drumeti au pornit în acelasi timp, pe jos, de la sat la oras. Primul drumet a sosit la oras cu 2 ore mai târziu decât al doilea. Viteza primului drumet este de 4 km/h iar viteza celui de-al doilea de 6 km/h. Sa se determine distanta de la sat la oras.

            R: 24 km

192) Roata din fata a unei trasuri are circumferinta de 30 dm iar roata din spate de 40 dm. Pe distanta de la A la B roata din fata a facut cu 30 de rotatii mai mult decât roata din spate. Sa se afle distanta de la A la B.

            R: 360 m

193) Pe aceeasi distanta, roata din fata a unei trasuri faca 240 de rotatii iar cea din spate, a carei circumferinta este de 0,6 dm mai mare, face 180 de rotatii. Sa se afle lungimea circumferintei fiecarei roti.

            R: 1,8 dm; 2,4 dm

194) Roata din fata a unei carute a facut pe o anumita distanta cu 15 rotatii mai mult decât cea din spate. Circumferinta rotii din fata este de 2,5 m, iar a celei din spate de 4 m.

            Câte învârtituri a facut fiecare roata si ce distanta a parcurs caruta?

            R: 25, 40

195) Circumferinta rotii din spate a unei trasuri este cu 0,4 m mai mare decât circumferinta rotii din fata.

            Pe ce distanta va face roata din fata 250 de rotatii iar cea din spate 200 de rotatii?

            R: 400 m

196) Distanta de la Bucuresti la o padure este de 40 km. Din Bucuresti pleaca odata un motociclist care merge cu viteza de 36 km/h si un biciclist care merge cu viteza de 12 km/h. motociclistul ajunge la padure, se odihneste o ora si se întoarce.

            La ce distanta de Bucuresti se întâlneste cu biciclistul si la câte ore de la plecarea din Bucuresti?

            R: 29 km, ore

197) Din doua orase situate la o distanta de 60 km unul de altul, au pornit în acelasi timp 2 drumeti, unul catre celalalt. Unul dintre ei a facut cu 2 km/h mai mult decât celalalt si drumetii s-au întâlnit dupa 7,5 ore.

            Câti kilometri a parcurs fiecare drumet?

            R: 22,5 km, 37,5 km

198) Pentru a ajunge din sat la oras în timpul stabilit, un drumet trebuia sa mearga cu viteza de 4 km/h. el merge jumatate din drum cu viteza stabilita, iar restul cu un autocamion care merge cu 20 km/h. el soseste în oras cu doua ore înaintea timpului stabilit.

            Sa se afle distanta de la sat la oras.

            R: 20 km

199) Un drumet a socotit ca facând câte 3 km/h, va sosi de la sat la oras la o ora anumita. Dupa ce a facut jumatate din drum cu viteza stabilita, el s-a oprit pentru o ora si apoi a trebuit sa-si mareasca viteza, pentru partea de drum ramasa cu 1 km/h. Sa se afle distanta de la sat la oras.

            R: 24 km

200) Un calator trebuie sa strabata într-un timp stabilit distanta dintre doua orase A si B. daca el ar face acest drum cu o motocicleta, parcurgând câte 35 km/h, ar întârzia cu 2 h, iar daca ar face acest drum cu automobilul parcurgând câte 50 km/h, ar sosi cu o ora mai devreme. Sa se afle distanta dintre orasele A si B si în câte ore trebuia sa ajunga calatorul în B.

            R: 350 km, 8 ore

201) Doi turisti merg unul catre celalalt din doua orase A si B situate la o distanta de 30 km unul de celalalt. Daca primul turist porneste cu 2 ore înaintea celuilalt, ei se întâlnesc dupa 2,5 ore de la plecarea turistului al doilea, iar daca turistul al doilea porneste cu 2 ore înaintea primului, ei se întâlnesc dupa 3 ore de la plecarea primului turist. Câti kilometri pe ora face fiecare turist?

            R: 5 km/h, 3 km/h

202) Un înotator înoata în râul Olt împotriva curentului. La podul rutier pierde o plosca goala. Dupa ce mai înoata 20 de minute împotriva curentului observa pierderea, se întoarce si ajunge plosca lânga podul de cale ferata. Sa se afle viteza apei stii ca distanta între poduri este de 2 km.

            R: 3 km/h

203) Un vapor a parcurs în 6 ore distanta între doua porturi mergând în sensul curentului. Pentru a parcurge aceeasi distanta, dar împotriva curentului îi trebuie 8 ore. Sa se determine viteza vaporului în apa statatoare, daca viteza apei este de2,5 km/h.

            R: 17,5 km/h

204) Un tren rapid a plecat din Moscova spre Sankt-Petersburg. Peste 6 ore a plecat din Sankt-Petersburg spre Moscova un tren personal, a carui viteza este cu 10 km/h mai mica. Trenurile s-au întâlnit dupa 4 ore si 45 minute de la plecarea trenului personal. Pâna la întâlnite trenul rapid a facut cu 317,5 km mai mult decât trenul personal. Sa se determine viteza trenului rapid.

            R:; km/h

205) Un tren personal a plecat din Sankt-Petersburg spre Moscova. Dupa o ora si jumatate a plecat în urma lui un tren rapid a carui viteza era cu 5 km pe ora mai mare. În 15 ore de la plecarea lui îl ajunge pe cel personal si îl întrece cu 21 km. Sa se afle viteza trenului personal si a celui rapid.

            R: 36 km/h, 41 km/h

206) Un muncitor face pe jos drumul de acasa la uzina în 50 minute iar pe bicicleta el face acelasi drum în 0,3 ore.

            La ce distanta de uzina locuieste acest muncitor daca el face într-o ora, pe bicicleta, cu 8 km mai mult decât pe jos?

            R: 3,75 km

207) Un autobuz parcurge distanta dintre doua puncte A si B în 1,5 ore. Daca viteza lui s-ar mari cu 5 km/h, iar trebui pentru a parcurge aceeasi distanta cu 15 minute mai putin. Sa se afle distanta între A si B.

            R: 37,5 km

208) Un calator pleaca din orasul A si face 28 km în 5 ore, iar un altul pleaca cu 8 ore mai târziu din orasul B în aceeasi directie. Distanta între orase este 32 km.

            Cel de-al doilea face 20 km în 3 ore. Dupa câte ore si la câti kilometri, primul calator ajunge pe al doilea?

            R: 20 ore, 112 km

209) O persoana face, mergând, 7 km în 5 ore; 8 ore mai târziu o alta persoana pleaca din acelasi loc facând 5 km în 3 ore.

            Câti km a parcurs prima persoana pâna a fost ajunsa de cea de a doua?

            R: 70 km

210) Suma circumferintelor rotii din fata si a celei din spate ale unei trasuri este de 5 m. pe o distanta de 30 m, una din ele a facut tot atâtea rotatii câte a facut cealalta pe distanta de 45 m. Sa se afle circumferinta roti.

            R: 2 m, 3 m

211) Un calaret vrea sa ajunga un pieton care se afla cu 15 km înaintea lui. Peste câte ore îl ajunge pe pieton daca primul face 10 km pe ora iar al doilea 4 km/h?

            R: ore

212) Un avion mergând în sensul vântului, a parcurs distanta dintre doua orase în 5 ore si 30 minute; mergând împotriva vântului a strabatut acest drum în 6 ore. Sa se afle distanta dintre orase si viteza proprie a avionului, stiind ca viteza vântului este de 10 km/h.

            R: v = 230 km/h, d = 1320 km

213) Un calator trebuie sa plece într-un oras. Daca merge cu viteza de 12 km/h, el ajunge în oras la timpul stabilit, dar daca merge cu viteza de 15 km/h, el ajunge în oras cu 1 ora mai devreme. Sa se determine distanta dintre sat si oras.

            R: 60 km

214) Un câine a zarit un iepure la o departare de 150 stânjeni. Iepurele facea în 2 minute câte 500 stânjeni, iar câinele facea în 5 minute câte 1300 stânjeni. Dupa câte minute ajunge câinele, iepurele?

            R: 15 minute

215) Roata din fata a unei trasuri are lungimea circumferintei de 2,4 m, iar roata din spate de 3,2 m. Pe ce distanta va face roata din fata cu 2900 rotatii mai mult decât roata din spate?

            R: 11600 m

216) Un camion parcurge distanta de 188 km în 4 ore. O parte din drum merge cu viteza de 42 km/h, iar a doua parte cu viteza de 50 km/h. Ce distanta a parcurs cu prima viteza si ce distanta a parcurs cu a doua viteza?

(Gazeta Matematica nr. 10/1977)

            R: 63 km cu 42 km/h, 125 km cu 50 km/h

217) Un biciclist are de parcurs un drum. La jumatatea drumului constata ca a pierdut portmoneul si se întoarce sa-l caute; îl gaseste la jumatatea drumului parcurs înapoi, dupa care porneste la drum si dupa ce mai parcurge  din drum constata ca mai are pâna la destinatie 2 km. Se cere:

            1. Lungimea drumului;

            2. La ce distanta de la plecare a pierdut portmoneul?

            R: 16 km, 4 km

218) Pentru a parcurge distanta dintre doua localitati 343i81d în  ore, un autoturism trebuie sa mearga cu o viteza medie de 65 km/h. Dupa  ore are o pana si întârzie 12 minute. Sa se calculeze cu ce viteza medie trebuie sa mearga pentru a ajunge în timpul stabilit.

            R: km/h

219) Un autovehicul strabate 450 km mergând mai întâi uniform timp de 4 ore cu o viteza, apoi 3 ore cu o viteza sporita.

            Daca ar fi mers mai întâi 3 ore cu prima viteza micsorata cu 5 km/h si apoi 4 ore cu a doua viteza marita cu 10 km/h, ar fi parcurs 485 km. Sa se afle cele doua viteze.

            R: v1 = 60 km/h, v2 = 70 km/h

Probleme cu continut geometric rezolvate cu ajutorul ecuatiilor de gradul I

220) Lungimea unui dreptunghi este de 2 ori mai mare decât latimea lui. Daca am mari fiecare din laturile lui cu 1 m aria lui s-ar mari cu 16 m2. Sa se afle laturile dreptunghiului.

            R: L = 10 m, l = 5 m

221) Daca marim lungimea unui dreptunghi cu 6 m si micsoram latimea cu 3 m aria dreptunghiului nu se schimba; daca micsoram lungimea cu 3 m si marim latimea cu 2,4 m aria dreptunghiului ramâne de asemenea neschimbata. Sa se afle lungimea si latimea dreptunghiului.

            R: L = 12 m, l = 8 m

222) Se dau doua dreptunghiuri: baza unuia este de 5 cm, baza celuilalt este de 4 cm si suma ariilor este de 42 cm2. Daca marim baza primului dreptunghi de 2 ori, iar baza dreptunghiului al doilea cu 1 cm, fara sa schimbam înaltimile lor, suma ariilor dreptunghiurilor obtinute este cu 33 cm2 mai mare decât suma ariilor dreptunghiurilor date. Sa se afle înaltimea fiecaruia din aceste dreptunghiuri.

            R: l1 = 6 cm, l2 = 3cm

223) Aria unui triunghi dreptunghic este egala cu jumatatea produsului catetelor sale. Daca marim una din catete cu 2 cm, iar a doua cu 3 cm, aria triunghiului obtinut este cu 50 cm2 mai mare decât aria triunghiului dat, iar daca micsoram fiecare cateta a triunghiului dat cu 2 cm, aria lui se micsoreaza cu 32 cm2.

            Sa se afle catetele triunghiului.

            R: 26 cm, 8 cm

224) Lungimea unui dreptunghi este cu un metru mai mare decât latimea lui. Micsorând amândoua dimensiunile cu câte 1 m, aria dreptunghiului  scade cu 12 m2. Se cer dimensiunile.

            R: 6 cm, 7 cm

225) Sa se calculeze dimensiunile unui dreptunghi, stiind ca marind baza cu 2 cm si micsorând înaltimea cu 1 cm, aria se mareste cu 2 cm2, iar daca micsoram baza cu 1 cm si marim înaltimea cu 1 cm, aria sa ramâne neschimbata.

            R: 5 cm, 6 cm

226) Laturile unui triunghi sunt de 3 m, 4 m si 6 m. perimetrul unui triunghi asemenea cu primul este de 26 m.

            Sa se determine lungimile laturilor acestui triunghi.

            R: 6 m, 8 m, 12 m

227) Perimetrul unui dreptunghi este 40 m. stiind ca lungimea este de 5 m mai mare decât latimea, sa se calculeze lungimea si latimea dreptunghiului.

            R: L = 12,5 m, l = 7,5 m

228) Perimetrul unui dreptunghi este egal cu 60 cm, iar diferenta laturilor neegale este egala cu 20 cm.

            Sa se determine laturile dreptunghiului.

            R: L = 25 cm, l = 5 cm

229) Laturile unui dreptunghi oarecare sunt proportionale cu numerele: 1, ,  si 2.

            Perimetrul unui patrulater asemenea cu el este de 75 m. Sa se determine laturile patrulaterului al doilea.

            R: 18, 9, 12, 36

230) Laturile unui patrulater sunt 10 dm, 20 dm si 25 dm. Într-un patrulater asemenea cu el, latura cea mai mare adaugata la cea mai mica ne da 28 m.

Sa se determine marimile laturilor celui de al doilea patrulater.

R: 8 m, 12 m, 16m 20 m

231) Una din bazele unui trapez este egala cu 10 m, înaltimea este de 4 m, iar aria de 32 m2. La o distanta de 1 m de baza data se duce o paralela cu ea între cele doua baze.

            Se cere lungimea acelei paralele.

            R: 9 m

232) Raza unui cerc este de 25 cm; doua coarde paralele sunt de 14 cm si 40 cm. Ele sunt de o parte si de alta a centrului.

            Sa se determine distanta dintre ele.

            R: 39 cm

233) Aria laterala a unui paralelipiped este de 72 m2. Înaltimea lui este de 60 dm, iar una din dimensiunile dreptunghiului de baza este  din cealalta. Sa se afle dimensiunile bazei acestui paralelipiped.

            R: L = 4 m, l = 2 m

234) Sa se afle dimensiunile bazei unui paralelipiped dreptunghic, stiind ca aceste dimensiuni sunt în raportul, înaltimea paralelipipedului este de 10 m, iar aria laterala a paralelipipedului este de 256 m2.

            R: L = 8 m, l = 4,8 m

Probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor de gradul II

235) Produsul a doua numere cu sot consecutive este 224. Care sunt aceste doua numere?

            R: 16, 14 sau - 16, - 14

236) Suma a doua numere este 42 si produsul lor 432. Sa se gaseasca cele doua numere.

            R: 18, 24

237) Vârsta unui copil va fi peste 3 ani un patrat perfect, iar acum 3 ani vârsta lui era radacina acestui patrat.

            Ce vârsta are copilul?

            R: 6 ani

238) Suma catetelor unui triunghi dreptunghic este de 14 m, iar suprafata lui este de 24 m2. Sa se afle laturile triunghiului.

            R: 8 m, 6 m, 10 m

239) Un romb are perimetrul de 52 m, iar suma diagonalelor lui este de 34 m. Sa se afle lungimea diagonalelor.

            R: 24 m, 10 m

240) Suma patratelor a trei numere cu sot consecutive este 116. Sa se afle aceste numere.

            R: 4, 6, 8

241) Suma a doua numere este 16, diferenta patratelor lor este 32. Sa se gaseasca cele doua numere.

            R: 9, 7

242) Într-un triunghi dreptunghic, o catena este 3/4 cealalta cateta, iar ipotenuza este de 10 cm. Sa se afle marimea catetelor.

            R: 8, 6

243) Într-un triunghi dreptunghic ipotenuza este cu 9 cm mai mare decât o cateta si cu 18 cm mai mare decât cealalta. Sa se afle laturile acestui triunghi dreptunghic.

            R: Ip = 45 cm, cat. I = 36 cm. cat. II = 27 cm

244) Daca micsoram o latura a unui patrat cu 2 m, iar o alta latura cu 5 m, suprafata dreptunghiului obtinut cu aceste dimensiuni este de 40 m2. Sa se afle latura patratului.

            R: 10 m

245) Aria laterala a unui cilindru este 11,304 m2, iar suma diametrului si a generatoarei sale este de 4,2 m. Sa se afle raza si generatoarea cilindrului.

            R: r = 0,6 m, g = 3 m

246) Aria totala a unui cazan cilindric este de 24, 1152 m2. Diferenta dintre înaltimea cazanului si diametrul lui este de 24. Sa se afle dimensiunile cazanului (raza si înaltimea).

            R: r = 0,8 m, h = 4 m

247) Volumul unui trunchi de con este de 21,1152 m2; trunchiul de con are înaltimea de 3 m, iar raza bazei mici de 1 m.

            Sa se afle raza bazei mari.

            R: 2 m

248) Un agregat dintr-o uzina chimica are forma unui trunchi de con, având raza bazei mici de 4 m, iar aria laterala de 314 m2. Raportul dintre generatoare si raza bazei mari este de. Sa se afle lungimea generatoarei si raza bazei mari.

            R: 10 m, 6 m

III. Probleme diverse

249) Câteva gospodarii asociate au obtinut 800 q de grâu si 300 q de ovaz în doua rânduri. Prima oara de 3 ori mai mult grâu decât ovaz, iar a doua oara de 2 ori mai mult grâu decât ovaz.

            Câte qintale de grâu si câte de ovaz au obtinut prima oara?

            R: 600 q, 200 q

250) Un grup de baieti s-au dus la râu sa se scalde. 8 dintre ei au trecut înot pe celalalt mal al râului, apoi au mai trecut jumatate din cei ramasi si atunci cei de pe malul celalalt au fost de doua ori mai multi decât cei ramasi. Câti baieti s-au dus la râu sa se scalde?

            R: 24

251) Dintr-o lada plina cu cartofi s-au consumat mai întâi 12 kg iar pe urma  din ceea ca a ramas. Dupa aceasta au ramas în lada cu 2 kg mai multi cartofi decât s-au consumat. Câte kilograme de cartofi au fost la început în lada?

            R: 40 kg

252) De la un depozit trebuia sa se transporte doua cantitati egale de ciment pentru doua cladiri. Un camion cara ciment pentru cladirea mai apropiata si la fiecare drum el ducea 1,5 t; un alt camion cara cimentul pentru cladirea mai departata si la fiecare drum ducea câte 2,5 t. Pâna la amiaza camionul al doilea a facut cu 3 drumuri mai putin decât primul si au ramas netransportate 3,5 t de ciment pentru cladirea apropiata si 4 t pentru cea îndepartata. Câte tone de ciment trebuia sa se transporte pentru fiecare cladire?

            R: 14 t

253) Un muncitor poate sa faca o lucrare în 12 zile, alt muncitor poate sa faca aceeasi lucrare în 15 zile. Ei au început sa lucreze în acelasi timp si au lucrat împreuna un numar oarecare de zile dupa care primul muncitor a fost mutat la alta lucrare, iar muncitorul al doilea a terminat partea ramasa în 6 zile. Câte zile a lucrat primul muncitor?    

            R: 4 zile

254) Un camion poate sa transporte o anumita cantitate de materiale în 18 ore, iar un alt camion, în 24 ore. Amândoua camioanele au început lucrul în acelasi timp si au lucrat câteva ore împreuna, dupa care camionul al doilea a trecut la alta lucrare iar primul camion a transportat materialul ramas în 4 ore.

            Câte ore a lucrat primul camion?

            R: 12 ore

255) Doua butoaie contin cantitati diferite de apa. Daca se toarna un decalitru din primul butoi în cel de-al doilea, ambele butoaie contin aceeasi cantitate de apa, iar daca se toarna 20 dal de apa din butoiul al doilea în primul, acesta din urma contine de 3 ori mai multa decât al doilea.

            Câti decalitri de apa erau în fiecare din aceste butoaie?
            R: 43 dal, 41 dal

256) Doua brigazi, lucrând împreuna, lucreaza un lot de pamânt în 4 zile. Daca ar lucra împreuna numai 2 zile, i-ar trebui brigazii a doua pentru a termina lucrul înca 6 zile.

            În câte zile ar putea sa lucreze acest lot fiecare din aceste brigazi?

            R: 6 zile, 12 zile

257) Doua combine pot strânge recolta unei asociatii agricole în 6 zile. Daca se strânge numai jumatate din recolta cu amândoua combinele, prima combina va termina strânsul recolte în 4,5 zile. În câte zile se poate strânge recolta întreaga cu fiecare dintre aceste combine în parte?

            R: 18 zile, 9 zile

258) Doua ateliere au cusut în ianuarie 720 costume. În februarie primul atelier a cusut cu 15% , iar al doilea cu 12% mai multe costume decât în ianuarie. Astfel, ambele ateliere au cusut împreuna 819 costume. Câte costume a cusut fiecare atelier în luna februarie?

            R: 483, 336

259) Doi muncitori au primit pentru o lucrare 1170 lei. Primul muncitor a lucrat 30 zile, iar al doilea 28 zile. Primul muncitor primea pentru 4 zile cu 55 lei mai mult decât primea al doilea pentru 3 zile.

            Câti bani primea fiecare muncitor pentru o zi de lucru?

            R: I - 25 lei, II - 15 lei

260) Un grup de copii care locuiesc pe scara unui bloc cumpara o enciclopedie. Daca fiecare din ei ar da câte 300 lei, ar mai lipsi 400 lei ca sa cumpere enciclopedia. Ei au dat câte 500 lei si cu banii strânsi au cumparat enciclopedia si le-au mai ramas 1400 lei.

            Cât costa enciclopedia si câti copii erau?

            R: 3100 lei, 9 copii

261) Pentru a umple un bazin cu apa s-a deschis mai întâi un robinet pentru 8 ore, si pe urma, fara a închide primul robinet, s-a deschis al doilea robinet si amândoua au umplut bazinul dupa alte 4 ore. Daca robinetul al doilea s-ar fi deschis la 10,5 ore dupa ce a fost deschis primul, ambele robinete ar fi umplut bazinul dupa alte 3 ore. În câte ore ar fi umplut bazinul fiecare robinet în parte?

            R: I - 18 ore, II - 12 ore

262) La un bazin sunt doua robinete, unul prin care intra, iar altul prin care se scurge apa. Daca s-ar deschide ambele robinete, bazinul s-ar umple în 36 minute. Odata ambele robinete au fost deschise timp de 6 minute si pe urma robinetul de scurgere a fost închis si bazinul s-a umplut în 10 minute.

            În câte minute s-ar umple bazinul prin robinet, robinetul al doilea fiind închis, si câte minute s-ar goli bazinul prin robinetul al doilea, primul robinet fiind închis?

            R: I - 12 minute, II - 18 minute

263) Doua dactilografe, lucrând împreuna, au copiat un manuscris în 5 ore. Daca amândoua ar lucra împreuna numai timp de 2 ore si pe urma dactilografa a doua ar întrerupe lucrul, atunci prima dactilografa ar copia manuscrisul dupa 18 ore.

            În câte ore ar putea dactilografia manuscrisul fiecare dactilografa lucrând singura?

            R: I - 24 ore, II - 12 ore

264) Sa se gaseasca trei numere stiind ca: raportul dintre primul si al doilea este, raportul dintre al doilea si al treilea este, suma celor trei numere fiind 504.

            R: 216, 162, 126

265) Trei robinete pot umple un bazin astfel: primul împreuna cu al doilea în 2 ore si 24 minute, primul împreuna cu al treilea în 3 ore, iar al doilea împreuna cu al treilea în 4 ore.

            În cât timp ar putea umple bazinul fiecare robinet în parte?

            R: 4 ore, 6 ore, 12 ore

266) Muncitorii din doua sectii ale unei uzine au avut de realizat 720 de piese. Muncitorii primei sectii au depasit planul cu 10%, iar cei din sectia a doua au realizat 120%, ambele sectii dând peste plan 112 piese. Sa se afle câte piese trebuia sa produca fiecare sectie.

            R: I - 320, II - 400

267) Sa se împarta 232 în trei parti, astfel ca, daca la prima parte se adauga jumatate din suma celorlalte doua, la a doua se adauga a treia parte din suma celorlalte doua, iar la a treia a patra parte din suma celor doua, rezultatele sa fie egale între ele.

            R: I - 40, II - 88, III - 104

268) Într-o pivnita sunt 3 butoaie. Daca s-ar umple primul butoi cu apa si s-ar turna din el în butoiul al doilea pâna ce acesta s-ar umple, în primul butoi ar ramâne  din apa care era în el; dar daca butoaiele al doilea si al treilea fiind pline, le-am deserta în primul butoi ar mai lipsi 10 l ca acesta din urma sa se umple.

            Câti litri de apa contine fiecare dintre aceste butoaie, daca în toate trei încap 270 litri?

            R: 140 l, 100 l, 30 l

PARTEA A II- A: SOLUŢII

I. Probleme de cunostinte matematice pentru toti

1)Solutie algebrica

 a) Cu o necunoscuta:

Notam primul numar cu x iar al doilea numar cu 13248 - x

Ecuatia:

x = 368 primul numar

Din suma scadem primul numar si obtinem al doilea numar:

b) Cu doua necunoscute:

     I = x

     II = y

Introducem valoarea lui y în ecuatia:  

Deci:       

Solutie aritmetica

Împartind numarul cel mai mare la cel mic obtinem câtul 35. Daca numarul cel mai mic se cuprinde în cel mare de 35 de ori, rezulta ca numarul cel mic are o parte, iar numarul cel mare are 35 de parti care sunt egale cu numarul mic.

Cunoscând suma celor doua numere trebuie sa aflam suma partilor lor.

 parti

Împartind suma celor doua numere la suma partilor lor si aflam numarul cel mic care are o singura parte:

 reprezinta o parte, adica numarul cel mic

Numarul cel mare îl aflam înmultind o parte cu numarul partilor:

Proba problemei se poate face în doua feluri:

a)Adunând cele doua numere trebuie sa abtinem suma lor:

 

b)Împartind numarul cel mare la cel mic trebuie sa obtinem 35:

Dupa cele explicate urmeaza sa rezolvati si grafic.

2)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta

I = x = 428

II = 5x = 2140

Ecuatia:  primul numar

al doilea numar

b)I = x; II = y

Sistemul:

Introducem valoarea lui y în prima ecuatie:

Solutie aritmetica

Daca primul numar este de 5 ori mai mare decât altul înseamna ca primul are 5 parti iar al doilea o parte. Cunoastem suma celor doua numere si aflam suma partilor celor doua numere.

Pentru a afla cât este o parte împartim suma celor doua numere la suma partilor celor doua numere.

 o parte egala cu numarul cel mai mic

 numarul cel mare

3)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta

I = x în prima cutie initial

II = 128 - x în a doua cutie initial

Dupa ce se trec 4 kg din prima cutie în a doua cutie avem:

x - 4 kg ramase în cutie

128 - x + 4 kg în a doua cutie

Aceste cantitati trebuie sa fie egale. Deci:

 kg ceai din prima cutie

b)Cu doua necunoscute:

x kg în prima cutie; x - 4 au ramas în prima cutie

y kg în a doua cutie; y + 4 kg în a doua cutie

Acum cantitatile sunt egale.

Sistemul:

Introducem valoarea lui y în prima ecuatie:

Deci:   x = 60  De fapt x este cantitatea de ceai din prima

            y = 68  cutie si y cantitatea de ceai din a doua cutie

Solutie aritmetica

Daca se iau 4 kg din prima cutie si se adauga în a doua cutie, iar cantitatile devin egale rezulta ca în prima cutie erau cu 8 kg mai mult decât în a doua.

Se scade din suma 8, cu cât este mai mare primul numar decât al doilea, si ramâne suma celor doua numere în mod egal cu numarul cel mic.

                                                                                                                                                128 = 8 = 136

4)Solutie algebrica

x este numarul de bancnote din fiecare fel.

Suma platita în bancnote de 100 lei este 100x.

Suma platita în bancnote de 25 lei este 25x.

Rezulta ecuatia:

 monede de fiecare fel

Verificare:

Solutie aritmetica

 este o parte

Aflam câte parti de câte 125 se cuprind în 3250.

 de parti care reprezinta numarul de monede din fiecare fel. Verificam ca la metoda algebrica:

5)Solutie algebrica

x este egal cu numarul de gramezi din fiecare fel;

2x este egal cu numarul de nuci al gramezilor de câte 2 nuci;

5x este numarul de nuci al gramezilor de câte 5 nuci.

Ecuatia:  numarul gramezilor de fiecare fel

Proba:

Solutie aritmetica

2 + 5 = 7 este o parte

Aflam câte parti de câte 7 se cuprind în 203;

203 : 7 = 29 de parti care reprezinta numarul de gramezi din fiecare fel.

6)Solutie algebrica

x greutati pe primul platan, y greutati pe al doilea platan deci:

greutati

Introducem valoarea lui x în ecuatia:  greutati în al doilea platan

Solutie aritmetica

Cântarul fiind în echilibru 3 kg + 5 kg = 8 kg reprezinta o parte

parti a 8 kg

9 greutati a 3 kg si 15 greutati a 3 kg fac câte 24 greutati a 3 kg

kg în total.

7)Solutie algebrica

a)Notam cu x cantitatea din fiecare cos care este aceeasi:

x - 150 merele ramase dupa ce s-au vândut 150

x - 194 merele ramase dupa ce s-au vândut 194

            Merele ramase în al doilea cos sunt de trei ori mai putine decât merele ramase în primul cos. Deci marim de trei ori numarul din al doilea cos:

 mere care erau la început în fiecare cos

b)Notam cu x merele din primul cos si cu y merele din al doilea cos. La început, fiind acelasi numar de mere în fiecare cos rezulta ca x=y.

x - 150 sunt merele ramase dupa vânzarea celor 150 mere

y - 194 sunt merele ramase dupa vânzarea celor 194 mere.

Dupa vânzare merele din cosul al doilea sunt de trei ori mai putine.

Sistemul:

Solutie aritmetica

Se rezolva mai întâi prin metoda grafica.

La început numarul de mere din fiecare cos este acelasi.

 o parte

 trei parti

 numarul de mere din fiecare cos la început.

8)Solutie algebrica

Notam cu x tone primul ciocan, cu y tone al doilea ciocan si z tone al treilea ciocan.

Sistem cu trei necunoscute:

Introducem valoarea lui x în ecuatia a doua:

Introducem valoarea lui y în ecuatia a treia:

I  = x = 30 t

II = y = 27 t

III = z = 37 t

Verificare:

Solutie aritmetica

 

a)Din 94 tone câte fac cele trei ciocane, scadem cât fac primul si al doilea si aflam câte tone face al treilea

 tone face al treilea

b)Din câte tone fac al doilea si al treilea, scadem câte tone face al treilea si aflam câte tone face al doilea.

 tone face al doilea

c)Din câte tone fac primul si al doilea, scadem câte tone face al doilea si aflam câte tone face primul.

 tone face primul

 tone fac cele trei ciocane.

9)Solutie algebrica

I=x, II=y, III=z

Înlocuim pe z în ecuatia a treia:

Înlocuim pe x în ecuatia a doua:

Verificare:

Solutie aritmetica

a)Din suma celor trei numere scadem suma primelor doua numere si obtinem numarul al treilea:

 numarul al treilea

b)Scadem din suma primului si la treilea, numarul al treilea si obtinem pe primul:

 primul numar

c)Scadem suma primului numar si la doilea pe primul si obtinem pe al doilea:

 al doilea numar

10)Solutie algebrica

Notam cu x pretul unei seceri si cu y pretul unei coase.

3x este pretul a trei seceri.

5y este pretul a 5 coase.

Deci:

Introducem valoarea lui y în prima ecuatie:

Solutie aritmetica

Deoarece s-au luat numai trei seceri pentru care s-a platit cu 200 lei mai mult decât pentru 2 coase:

Scadem din 14200-200 = 14000 lei coase  5 + 2 = 7 coase

 lei pretul unei coase

 lei 5 coase

 costa trei seceri

 lei costa o secere.

11)Solutie algebrica

Notam pretul unei duzini de linguri cu x iar pretul unei duzini de lingurite cu y.

4x este pretul a 4 duzini de linguri

3x este pretul a 3 duzini de lingurite

Deci:

Introducem valoarea lui y în prima ecuatie:

O duzina are 12 bucati.

x = 12000 lei duzina de linguri

y = 6000 lei duzina de lingurite

 linguri

 lingurite

 pretul a 4 duzini de linguri

 pretul a trei duzini de lingurite

 lei o lingura

 lei o lingurita

Solutie aritmetica

Facem urmatoarea notatie: L = lingura, l = lingurita

Cele doua cumparaturi le aducem la acelasi termen de comparatie

Cerându-se pretul unei linguri si al unei lingurite, înmultim numarul de duzini cu numarul de bucati dintr-o duzina în fiecare caz:

Scadem primul rând din al doilea:

 lei o lingurita

În primul rând  

 lei costa 48 linguri

 lei o lingura

Deci: 1000 lei costul unei linguri, 500 lei costul unei lingurite

12)Solutie aritmetica

Daca latimea ar fi 50 m, lungimea fiind aceeasi, suprafata ar fi mai mica cu 680 m2 adica mai mica cu suprafata CEFD decât suprafata AEFB care este reala.

Daca latimea ar fi 60 m, suprafata ar fi mai mare cu 2750 m2 , adica cu suprafata EGHF.

Daca adunam suprafetele: CEFD + EGHF = 680 + 2720 = 3400m2

Vezi figura: daca împartim 3400 m2 la 10 m latimea, obtinem aria CEFD, adica 680 m2 la lungimea CD, adica 340 m, obtinem latimea CE = 2 m. Adunam 50 presupusi cu 2 m si aflam latimea reala.

Pe scurt:

60 - 50 = 10

680 + 2720 = 3400 m2

3400 : 10 = 340 m lungimea dreptunghiului

680 : 340 = 2 m diferenta între latimea reala si cea propusa

50 + 2 = 52 m latimea reala

 

13)Solutie aritmetica

Diferenta între înmultitorul al doilea si primul e4ste:

11 - 6 = 5

Suma produselor: 54 + 81 = 135

Suma produselor o împartim la diferenta înmultitorului presupus si aflam deînmultitul.

Împartim primul produs la deînmultit si aflam cu cât este mai mare înmultitorul de la început: 54 : 27 = 2.

Adunam înmultitorul propus la început si aflam înmultitorul real:

6 + 2 = 8

Produsul real:

Pe scurt: 11 - 6 = 5                Verificare:

              54 + 81 = 135                       

              135 : 5 = 27              

              54 : 27 = 2                 216 - 142 = 54

              6 + 2 = 8                    216 - 135 = 81

             

14)Solutie algebrica

 pepeni ar mai fi încaput în 40 lazi dar acestia lipseau.

Notam cu x numarul lazilor si cu y numarul de pepeni.

35x numarul de pepeni din prima categorie de lazi.

70x numarul de pepeni din a doua categorie de lazi

Introducem valoarea lui x în prima ecuatie:

Deci: x = 83 lazi, y = 3010 pepeni.

Verificati sistemul.

Solutie aritmetica

Adunam pepenii care nu au încaput în lazile mai mici adica 105 pepeni cu 2800 pepeni care ar fi fost necesari pentru 40 lazi goale în care încapeau câte 70 pepeni, adica

Deci:   2800 + 105 = 2905

            70 - 35 = 35

            2905 : 35 = 83 lazi

Înmultim numarul de lazi cu 35 pepeni, cât se puneau prima data, si adunam cu 105 pepeni care nu au avut loc în lazi obtinând astfel numarul total de pepeni.

 pepeni care au încaput în lazi

 numarul de pepeni

15)Aflam cel mai mic multiplu al celor doua numere:

c.m.m.m.c =  distanta cea mai mica pe care roata din fata ti roata din spate se învârtesc de un numar exact de ori:

2925 : 225 = 13 rotatii pentru roata din fata

2925 : 325 = 9 rotatii pentru roata din spate

16)Solutie algebrica

Notam cu x kg calitatea I si cu y calitatea II. Aflam cât costa kg de amestec cu 15 lei kg = 120

12x costul bomboanelor de calitatea I

20y costul bomboanelor de calitatea II

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

Deci:   x = 5 kg calitatea I

            y = 3 kg calitatea a II-a

Solutie aritmetica

Diferenta dintre pretul cel mare si pretul mediu împartita la diferenta dintre pretul mediu si pretul mic da un raport în care partile calitati 343i81d i cu pretul mic sunt la numarator iar partile cu pretul mare sunt numitor.

Aplicam regula:

Calitatea I sunt 3 parti

Calitatea II sunt 5 parti

Adunam partile si împartim 8 kg de amestec la numarul partilor.

5 + 3 = 8          8 : 8 = 1 kg reprezinta o parte

Pentru a afla câte kg din fiecare calitate sunt înmultim numarul partilor cu câte kg reprezinta o parte:

 kg calitatea I

 kg calitatea II

17)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta

Tatal are x ani

Fiul are x - 44 ani

Ecuatia:  deci marim vârsta fiului de 5 ori ca sa fie egala

                                    cu a tatalui

Deci:  

55 de ani are tatal si 11 ani fiul

b)Cu doua necunoscute:

Tatal are x ani, fiul are y ani. Sistemul:

Introducem valoarea lui y în prima ecuatie:

Solutie aritmetica

Diferenta de vârsta între tata si fiu este de 44 ani. stiind ca tatal este de 5 ori mai în vârsta decât fiul rezulta ca tatal are cu 4 parti mai mult decât fiul, conform figurii alaturate:

 ani reprezinta o parte cât are fiul

 ani vârsta tatalui sau 11 + 44 = 55

18)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

Notam primul numar cu x, al doilea numar va fi 20 - x

Ecuatia:

 primul numar

20 - 12 = 8 al doilea numar

b)Cu doua necunoscute:

I = x

II = y

Introducem valoarea lui x în prima ecuatie:

Deci: x = 12; y = 8

19)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta. Sunt mai multe variante.

Fixam necunoscutele:

De asemenea se pot forma mai multe ecuatii care duc la acelasi rezultat:

i)                       ii)

iii)                       iv)

Rezolvam pe prima:

I = 50; II = 85 - 50 = 35

Rezolvati celelalte ecuatii.

b)Cu doua necunoscute:

I = x

II = y

Înlocuind valoarea lui x în prima ecuatie:

Solutie aritmetica

a)din suma celor doua numere scadem diferenta lor si aflam suma celor doua numere care ramân egale cu cel mic.

85 - 15 = 70 suma celor doua numere egalate rezulta din graficul urmator:

70 : 2 = 35

                                                                        35 + 15 = 50

b)La suma celor doua numere adunam 15 pentru a obtine suma celor doua numere egale cu cel mare:

85 + 15 = 100

100 : 2 = 50 numarul cel mare

50 + 15 = 35 numarul cel mic

20)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

I = x                             o treime a partii întâi

II = 46 - x                   o septime a partii a doua

O treime a partii I este cu 2 mai mare decât o septime a partii a II-a.

Ecuatia:

 

b)Cu doua necunoscute:

I = x

II = y

Introducem valoarea lui x în prima ecuatie:

Deci: x = 18; y = 28

Solutie aritmetica

                                                                        Suma egala cu 46

Din figura reiese ca fiecare treime a partii I este cu 2 mai mare decât fiecare septime a partii a II-a.

Daca scadem din 46 pe 6 obtinem 40 care este suma celor doua numere, primul având 3 parti iar al doilea 7 parti egale între ele.

7 + 3 = 10 parti egale care reprezinta suma celor doua numere:

40 : 10 = 4 reprezinta o parte

 primul numar

 al doilea numar

Ele sunt consemnate în figura.

21)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

I = x

II = x + 8

numarul cel mic

 numarul cel mare.

A se observa ca la ambii numaratori sunt numerele, respectiv partile cele mai mari, iar la numitori partile mai mici.

b)Cu doua necunoscute:

x este numarul cel mare în ambele ecuatii:

I = x

II = y

Introducem valoarea lui x în prima ecuatie:

Deci: x = 24, y = 16

Am fixat x mai mare decât y.

Solutie aritmetica

Din figura se vede ca primul numar are trei parti egale iar al doilea 2 parti egale. Aceasta reiese din raportul .

Dar primul numar este mai mare cu 8 ceea ce reprezinta o parte.

 primul numar

 al doilea numar

22)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta

Notam cu x unul din numere si 64 - x al doilea numar.

Câtul oricarei împartiri arata câte parti are deîmpartitul fata de împartitor care are întotdeauna o parte care se cuprinde în deîmpartit de atâtea ori cât este câtul.

În cazul de fata deîmpartitul are 3 parti si ramâne ca rest 4.

Scadem din el 4 ca sa ramâna 3 parti egale.

Ecuatia:

Cu doua necunoscute:

I = x

II = y

Sistemul:

Introducem valoarea lui y în prima ecuatie:

Deci: x = 49, y = 15

Solutie aritmetica

 suma celor doua numere, în care primul are trei parti iar al doilea o parte.

 parti ale celor 2 numere

 numarul cel mic

 numarul cel mare

Reprezentare figurativa:

23)Solutie algebrica

a)Notam numarul mare cu x iar numarul cel mic cu x - 35.

Ecuatia:

 numarul cel mare

Numarul cel mic este cu 35 mai mic decât cel mare:

 numarul cel mic.

b)Cu doua necunoscute:

I = x

II = y

Sistemul:

Introducem valoarea lui y în prima ecuatie:

Deci; x = 46, y = 11

Solutie aritmetica

Folosim metoda figurativa

Numarul cel mare este cu 35 mai mare decât cel mic. În 35 se cuprind 3 parti egale cu numarul cel mic plus 2.

 suma celor trei parti egale fiecare cu numarul al doilea.

 o parte, adica numarul cel mare sau

 numarul cel mare

24)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

I = 2x              dupa ce s-au luat 16 hl

II = x               dupa ce s-au primit 16 hl

Cantitatile sunt egale dupa acest transfer

b)Cu doua necunoscute:

I = x               

II = y              

Sistemul:

Introducem valoarea lui y în prima ecuatie:

; Deci: x = 64, y = 32

Solutie aritmetica

Din figura se observa ca primul este de doua ori mai mare decât al doilea si din el se iau 16 hl si se pun în al doilea, cantitatile devenind astfel egale. Rezulta ca 16 este un sfert din primul.

Deci:  hl primul rezervor

Al doilea rezervor este de doua ori mai mic.

Deci:  hl în al doilea rezervor.

25)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

I A = x             dupa ce se scot 2 elevi

I B =       dupa ce se adauga 2 elevi

Ecuatia:

 în clasa I A

 în clasa I B

b)Cu doua necunoscute:

I A = x

I B = y

Sistemul:

Introducem valoarea lui x în prima ecuatie:

Deci: x = 44

          y = 46    elevi initial în fiecare clasa

Solutie aritmetica

Când doi elevi de la clasa IA au fost trecuti în clasa IB raportul a fost .

Deci în total sunt  parti.

În total sunt 90 elevi. Aflam cât este o parte:

 elevi reprezinta o parte

 elevi în clasa IA dupa ce s-au luat 2 elevi

Deci initial erau  elevi

În clasa IB,  elevi dupa ce s-au adus 2 elevi

 elevi initial

Figurativ dupa transferul celor doi elevi:

26)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta

I = x

II = x

III = x+2

Ecuatia:

În primul rând si al doilea cos sunt câte 15 mere. În al treilea sunt  mere

b)Cu doua necunoscute:

I = x; II = x; III = y

Sistemul:

Introducem valoarea lui x în a doua ecuatie:

Solutie aritmetica

Scadem 2 mere din 47 mere si obtinem suma merelor din cele trei cosuri în mod egal.

 mere fiind acum egale în cele trei cosuri

 mere sunt în primul si în al doilea cos

 mere sunt în al treilea cos.

27)Solutie algebrica

Notam             cu x = cifra zecilor

                        cu 12 - x cifra unitatilor

Numarul 23 se desfasoara astfel:

 iar rasturnat:

Asa procedam si cu litere:

este cifra unitatilor

Numarul de doua cifre este 75

b)Cu doua necunoscute:

x = cifra zecilor, y = cifra unitatilor

Introducem valoarea lui x în prima ecuatie:

cifra unitatilor

Numarul de doua cifre este 75.

28)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

Notam cu x numarul cartilor de pe al treilea raft

I =

II = 2x

III = x

Ecuatia: numar carti pe raftul trei

7 carti pe raftul 3

 carti pe al doilea raft

 carti pe al treilea raft

b)Cu trei necunoscute:

Fixam necunoscutele: I = x; II = y; III = z

Sistemul:

Eliminam pe x din primele doua ecuatii:

 cu ecuatia a treia facem un sistem cu doua necunoscute:

Introducem valoarea lui z în ecuatia a treia:

Introducem valorile lui y si z în prima ecuatie:

Solutie aritmetica - Metoda figurativa

Pe cele trei rafturi partile sunt egale:

 parti egale pe cele trei rafturi

 carti o parte al treilea raft

 carti pe al doilea raft

 carti pe primul raft

29)Solutie algebrica

I = x

II = y

III = z

Sistemul:

Din ecuatiile I si II reducem pe x:

Ecuatiei obtinute îi adaugam ecuatia a III-a si obtinem un sistem cu doua necunoscute:

Introducem valoarea lui z în ecuatia I:

Introducem valoarea lui y în ecuatia a II-a:

Deci:   x = 150 în lada I

            y = 100 în lada a II-a

            z = 50 în lada a III-a

Solutie aritmetica

 parti egale

 mere în lada III

 mere în lada II

 mere în lada I

30)Solutie algebrica

a)Cu doua necunoscute:

Descazutul  = x

Scazatorul = y

Sistemul:

Introducem valoarea lui x în prima ecuatie:

Deci:   x = 84 descazutul; y = 60 scazatorul

Solutie aritmetica

La descazut sunt trei parti egale iar la scazator sunt doua parti egale între ele si egale cu partile de la descazut. Deci, în afara de 72, descazutul este mai mare cu o parte.

 care reprezinta o parte adica scazatorul

 descazutul

31)Solutie aritmetica - Metoda retrograda

Restul îl socotim un întreg. Daca din ele a mai vândut jumatate si au mai ramas 20 mere, înseamna ca o jumatate este 20. Deci:

care reprezinta jumatate din toate merele.

Rezulta ca prima data, vazând jumatate din toate merele, a vândut tot 40 de mere. Deci:

 mere în total

Figurativ:

32)Solutie algebrica

Cu doua necunoscute:

x numarul de oi ale primului cioban

y numarul de oi ale celui de al doilea cioban

Introducem valoarea lui y în prima ecuatie:

Deci:   x = 7 oi primul

            y = 5 oi al doilea

33)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x = numarul de baieti

y = numarul de fete

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

Deci: x = 4 baieti; y = 3 fete

34)Solutie algebrica

x = cifra zecilor

y = cifra unitatilor

Resturile le scadem din deîmpartit (numaratorii):

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

Deci: x = 3; y = 7

Numarul este 37.

35)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

Notam cifra zecilor cu 2x; cifra unitatilor cu x

Ecuatia:

 cifra unitatilor

stiind ca cifra zecilor este de 2 ori mai mare:

 cifra zecilor

Numarul este 84

b)Cu doua necunoscute:

x = cifra zecilor; y = cifra unitatilor

Sistem:

Introducem valoarea lui y în ecuatia

. Numarul este 84

Verificare:

36)Solutie algebrica

Numarul necunoscut este x

2x este dublul numarului

3x întreitul numarului necunoscut

 - numarul necunoscut

Rezolvare aritmetica

37)Solutie aritmetica

Deoarece numarul mai mic este de 3 ori mai mare decât diferenta rezulta ca numarul cel mare are 4 parti egale, iar numarul cel mic o singura parte:

parti (suma celor doua numere)

 numarul cel mic

 numarul cel mare

38)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta

Raportul  reprezinta numarul partilor celor doua bucati în care este taiata traversa. Notam cu x partea cea mai mare.

 o parte din traversa cea mare

 traversa cea mica

b)Cu doua necunoscute:

 - partea cea mare;  - partea cea mica

Sistemul:

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

Solutie aritmetica

Toata traversa este un întreg

 au ramas din traversa

 cu cât este mai mare prima parte decât  din toata traversa

Din prima parte este cu 5 dm mai mare decât  din toata traversa

Deci din  partea cea mare reprezinta 5 dm.

 partea cea mare

Partea cea mica este din partea cea mare, adica inversul raportului

 partea cea mica

39)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

I = 2x  2x - 750 au ramas în primul hambar

II = x   x + 350 sunt în al doilea hambar

Egalam cantitatile obtinute:

 tone în al doilea hambar

 tone în primul hambar

b)Cu doua necunoscute:

I = x

II = y

Introducem valoarea lui y în a doua ecuatie:

 primul numar

Solutie aritmetica

 numarul al doilea care este de doua ori mai mic decât primul

 primul numar

40)Solutie algebrica

A = x bile

B = y bile

Sistemul:  

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

Deci:   x = 9 bile în A

            y = 52 bile în B

41)Solutie algebrica

x = numarul de oameni din ceata

Solutie aritmetica

Numarul de oameni din ceata care reprezinta un întreg are 5 parti

 parti (cincimi)

 oameni fara cel de pe sosea

 oameni reprezinta o cincime

 oameni în ceata

Conform graficului:

 cincimi

Verificati calculele anterioare.

42)Deoarece numitorul diferentei este 5, înseamna ca numaratorul celor doua fractii este 5.

La orice împartire sau raport, câtul reprezinta numarul partilor pe care le are deîmpartitul, respectiv numaratorul. Primul cât este 3 iar fractia .

Al doilea cât este 2 iar fractia este .

Împartitorul sau numitorul fractiei reprezinta întotdeauna o parte.

Deci:

II. Probleme cu numere zecimale

43)Notam cantitatea de apa din fiecare butoi cu x

Ecuatia:

44)Solutie aritmetica

Aflam 0,55 din 56:

 g albus

Aflam 0,4 din 56:

 g galbenus

Aflam suma albusului si galbenusului

Aflam masa cojii:

 g cântareste coaja

45)Solutie algebrica

Notam cu x pretul initial al marfii

 lei pretul initial al marfii

Solutie aritmetica

Pentru a afla 0,11 din 0,11 înmultim fractiile zecimale

Deoarece 181,5 reprezinta 0,0121 împartim 181,5 la 0,0121:

 lei pretul marfii

46)Solutie algebrica

Notam cu x numarul de zile în care se lucreaza cu 2 ore în plus.

Ecuatia:

Solutie aritmetica

Aflam câte ore lucreaza în 7,5 zile

47)Solutie aritmetica

750 dal = 7500 litri

Înmultim numarul de litri cu densitatea si aflam greutatea laptelui

 kg lapte

Aflam câte kg de smântâna ies din 7725 kg  lapte:

 kg smântâna

Aflam cât unt iese din 1236 kg smântâna:

 kg unt

48)Solutie aritmetica

Numarul obtinut reprezinta diferenta dintre un întreg si 0,01.

Pentru a afla numarul initial împartim numarul obtinut la 0,99 care reprezinta acelasi lucru si obtinem numarul initial:

R: 3350

49)Solutie aritmetica

Aflam ce parte din drum i-a ramas care reprezinta numarul de km ramasi:

 partea din drum ramasa

 km distanta dintre orase

50)Solutie algebrica

Notam numarul necunoscut cu x

Solutie aritmetica

Facem operatia inversa. Scadem din numarul obtinut pe 3,2 si ceea ce reprezinta numarul necunoscut înmultit cu 100.

51)Solutie aritmetica

Aflam 0,1 din 144:

 kg de grâu se pierd

Aflam câta faina se obtine:

 kg faina

Aflam câte kg se adauga prin transformarea fainii în pâine:

 se obtin la transformarea fainii

Aflam câte kg de pâine se obtin:

 kg pâine

52)Solutie aritmetica

Aflam lungimea si latimea reala a terenului stiind ca 1 cm pe harta este egal cu 200 m pe teren.

 m lungimea reala a terenului

 m latimea reala a terenului

Se observa ca terenul este în forma de dreptunghi.

Notam lungimea cu L si latimea cu l.

53)Solutie aritmetica

Aflam dimensiunile dreptunghiului pe teren:

 latimea

Aflam aria dreptunghiului:

R: 20.000.000 ari

54)Solutie aritmetica

Transformarea dimensiunilor din desen în real se poate face în doua feluri:

Aflam aria curtii:

55)Solutie aritmetica

1 ar = 1 dam2 = 100 m2

39,06 ari = 3906 m2 aria dreptunghiului

Pentru a afla latimea  împartim aria dreptunghiului la lungime:

 m latimea

Aflam lungimea si latimea din plan:

 cm lungimea

 cm latimea

56)Solutie aritmetica

Deoarece 0,37 din numarul necunoscut reprezinta numarul 425,5, îl împartim pe

Pentru a afla 0,89 din 1150 înmultim

57)Solutie aritmetica

Aflam ce parte din sfoara ramâne dupa ce am taiat 0,4 din ea.

Sfoara este un întreg, 1.

 partea care corespunde numarului de metrii ramasi

 întreaga sfoara

58)Solutie aritmetica

Se foloseste metoda mersului invers (retrogradata).

Din al doilea rest s-a luat 0,5 adica jumatate si a mai mers 105.

Deci:  

             al doilea rest

Din primul rest s-a luat 0,4. îl consideram un întreg.

 care reprezinta 210

 care reprezinta

 numarul initial.

59)Solutie aritmetica

Aflam distanta parcursa de accelerat în trei ore, care reprezinta 0,75 din distanta totala:

 km distanta între cele doua orase.

Aflam viteza trenului de marfa:

60)Solutie aritmetica

Se foloseste metoda mersului invers (retrograda)

132,3 reprezinta restul 0,9 de la 0,1 cu zarzavat

 ha reprezinta restul de la 0,4 fânete

 ha restul de la terenul arabil

 ha întregul teren al firmei

61)Solutie algebrica

Notam numarul necunoscut cu x

Ecuatia:

Solutie aritmetica

Adunam restul cu scazatorul si aflam pe descazut:

 adica descazutul care la rândul lui reprezinta numarul necunoscut înmultit cu 0,25.

Pentru a afla numarul necunoscut, pe 1,5 adica produsul, îl împartim la factorul cunoscut:  si aflam numarul necunoscut.

62)Solutie aritmetica

Volumul unei camere, care este un paralelipiped se afla astfel:

 unde L = lungimea, l = latimea, h = înaltimea

 m3 volumul camerei

1 m3 = 1000 dm3

1 dm3 = 1 l = 1,2932 g

116,48 m3 = 116480 dm3 = 116480 l

150631,936 g = 150,631936 kg

63)Solutie aritmetica

Notam spatiul cu s, timpul cu t si viteza cu v

;            ;             

Transformam 15 minute în ore:

Aflam spatiul parcurs în  ore:

Aflam câti km mai avea de parcurs cu caruta:

Aflam timpul pe care l-a parcurs cu caruta:

64)Solutie aritmetica

Aflam vitezele pe minut ale celor doua avioane:

 km pe minut primul avion

 km pe minut al doilea avion

Viteza primului avion fata de viteza celui de-al doilea este a - a parte sau a 0,875 - a parte.

65)Solutie algebrica

x ha are prima ferma

 ha are a doua ferma

 ha are a treia ferma

Ecuatia:

 ha prima ferma

 ha a doua ferma

 a treia ferma

Verificare:

Solutie aritmetica

Spre a fi mai bine înteleasa problema folosim metoda figurativa:

Pentru a afla câte ha au cele trei ferme în mod egal, adunam hectarele cu care depasesc pe prima ultimele doua ferme:

 ha depasesc pe prima

Aflam numarul de hectare pe care le au cele trei ferme împreuna, în mod egal:

 ha, cele trei ferme în mod egal

 ha prima ferma

 ha a doua ferma

 a treia ferma

66)Solutie algebrica

Comparam prima si a doua cu a treia bucata

Notam x metri a treia bucata

 bucata a doua

 prima bucata

Ecuatia:

 a treia bucata  m bucata a doua  m prima bucata

Solutie aritmetica

Folosim metoda figurativa pentru a intui mai bine rationamentul problemei:

Adunam cu câti metri sunt mai mari a întâia si a doua bucata fata de a treia bucata:

 metri mai multi în bucata întâia si a doua fata de a treia

m cele trei bucati în total în mod egal

Nu mai repetam calculul pentru a afla lungimea celor trei bucati de pânza, deoarece le-am aflat în rezolvarea algebrica.

Aflam câti lei costa prima bucata de pânza:

 lei prima bucata

Aflam câti metri sunt în bucata a doua si a treia împreuna:

 metri

Aflam cât costa bucata a doua si a treia împreuna:

 lei costa a II-a si a III-a împreuna

Aflam cât costa toata pânza:

 lei

67)Solutie algebrica

Notam cu x prima parte

3x partea a doua

5x partea a treia

Ecuatia:

 prima parte

 partea a doua

 a treia parte

Solutie aritmetica

Deoarece a doua parte este de 3 ori mai mare ca prima iar a treia parte de 5 ori mai mare ca prima rezulta ca prima este o parte, a doua trei parti si a treia 5 parti.

Cunoscând suma celor trei numere trebuie sa aflam suma partilor celor trei numere:

 parti

 o parte, primul numar

 al doilea numar

 al treilea numar

68)Solutie aritmetica

La orice împartire împartitorul este o parte iar deîmpartitul are atâtea parti cât este câtul.

 parti ambele numere

Aflam suma celor doua numere care au parti egale, adica corespunde celor 11 parti egale:

Scadem din suma lor restul împartirii:

 suma celor doua numere formate din 11 parti egale.

 o parte, respectiv împartitorul

 deîmpartitul

Verificare:

a)

b) suma celor doua numere

Probleme rezolvate prin metoda ipotezei

69a)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

x = numarul de iepuri

24 - x = numarul de porumbei

Un porumbel are 2 picioare, iar un iepure are 4 picioare:

Ecuatia:

 iepuri

 porumbei

b)Cu doua necunoscute:

x = numarul de iepuri

y = numarul de porumbei

Sistemul: iepuri

 porumbei

Solutie aritmetica

a)Presupunem ca 24 de capete sunt numai porumbei

 picioare. În realitate sunt 66 picioare

 picioare în plus

 picioare în plus de la fiecare iepure

iepuri

 porumbei

b)Presupunem ca cele 24 de capete sunt numai iepuri:

 picioare daca ar fi numai iepuri

 picioare în plus daca ar fi numai iepuri

picioare în plus la fiecare iepure

 porumbei

 iepuri

69b)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

x = numarul locurilor la tribuna

20412 numarul total al locurilor

Ecuatia:

Sistemul:

 la tribuna

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

Solutie aritmetica

a)Sa presupunem ca toate persoanele platesc câte 4 lei:

 lei ar plati toate persoanele

 lei mai mult s-a platit în realitate

 lei mai mult a platit fiecare om de la tribuna

 oameni la tribuna

 persoane la peluza

b)Presupunem ca toate persoanele platesc câte 8 lei

 lei

 suma încasata în plus considerând ca toate persoanele au platit câte 8 lei

lei a platit în plus fiecare persoana de la tribuna

 persoane la peluza

 persoane la tribuna

70)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

x = numarul de kg cu 4 lei kg

350 - x = numarul de kg cu trei lei kg

Ecuatia:

 kg cu 4 lei kg

 kg cu 3 lei kg

b)Cu doua necunoscute:

x = numarul de kg cu 4 lei kg

y = numarul de kg cu 3 lei kg

Sistemul:

. Introducem valoarea lui x în ecuatia:

Deci: x = 140 kg; y = 210 kg

Solutie aritmetica

a)Presupunem ca 350 kg se vând cu 3 lei kg

b)Presupunem ca 350 se vând cu 4 lei kg

 diferenta de pret la kg

 costul grâului amestecat

 lei diferenta totala de pret

 kg cu 3 lei kg

 kg cu 4 lei kg

71)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

x = numarul de bancnote de 50 lei

70 - x = numarul de bancnote de 100 lei

Ecuatia:

 monede de câte 50 lei

 monede de câte 100

b)Cu doua necunoscute:

x = numarul monedelor de 50 lei

y = numarul monedelor de 100 lei

Sistemul:

 bancnote de 100 lei

introducem valoarea lui x în ecuatia:

 bancnote de câte 50 lei

Solutie aritmetica

a)Presupunem ca toate monedele sunt de câte 50 lei

 lei. În realitate sunt 5500 lei

 lei în plus de la monedele de 100 lei

 lei diferenta dintre valorile monedelor

monede de câte 100 lei

 monede de câte 50 lei

b)Presupunem ca toate monedele sunt de câte 100 lei

 lei. În realitate sunt 5500 lei

 lei diferenta în plus de la monedele de 50 lei

 diferenta între valorile monedelor

 monede de câte 50 lei

Verificare:

Probleme rezolvate prin metoda figurativa

72)Solutie algebrica

x = numarul de steri la prima casa

3x = numarul de steri la a doua casa

x + 30 = numarul de steri la a doua casa

steri la prima casa

 steri la a doua casa

 steri la a treia casa

Solutie aritmetica

Scadem din suma 30 steri si obtinem 25 de steri care reprezinta 5 parti egale la cele 3 case.

 suma a 5 parti

 steri la prima casa, care este o parte

 steri la a doua casa

 steri la a treia casa

73)Solutie algebrica

x = numarul elevilor din clasa întâia

x - 4 = numarul elevilor din clasa a doua

x + 3 = numarul elevilor din clasa a treia

Ecuatia:  elevi în clasa întâia

 elevi în clasa a doua

 elevi în clasa a treia

Verificare:  elevi în total

Solutie aritmetica figurativa

Adunam suma tuturor elevilor cu 4 si scadem din rezultat 3:

 numarul elevilor din clasa întâi

 numarul elevilor din clasa a doua

 numarul elevilor din clasa a treia

74)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

x kg carne

3x kg faina, 2,4 t = 2400 kg

3x - 400 kg gris

Ecuatia:

 kg faina

 kg gris

b)Cu trei necunoscute:

x = kg carne

y = kg faina   

z = kg gris

Sistemul:

Ecuatiei obtinute îi alaturam ecuatia a treia a sistemului:

Introducem valoarea lui z în ecuatia:  kg faina

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

 kg carne

Solutie aritmetica figurativa

 ar fi daca se mai adauga o parte la gris pentru a fi egal cu faina.

Aflam numarul total de parti egale

 parti egale care reprezinta numarul total de alimente

 kg carne reprezinta o parte

 kg faina

 kg gris sau

75)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

Ecuatia:  tone în al doilea depozit

 tone în primul depozit

b)Cu doua necunoscute; se foloseste acelasi tabel

Cu doua necunoscute:

x tone în primul depozit

y tone în al doilea depozit

Sistemul:

tone în al doilea depozit

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

Solutie aritmetica figurativa

 tone în al doilea depozit

 tone în primul depozit

76)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

2x elevi în clasa I; 2x - 10

x elevi în clasa II; x + 10

Ecuatia:  elevi în clasa a II-a

              elevi în clasa I

b)Cu doua necunoscute:

I - x elevi; x - 10

II - y elevi; y + 10

Sistemul:

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

x = 46 elevi în clasa I

y = 23 elevi în clasa a II-a

Solutie aritmetica figurativa

Daca se iau 10 elevi din clasa I (partea punctata) si se duc în clasa a II-a (partea punctata), în clasa I sunt cu 3 elevi mai multi decât în clasa a II-a.

Se vede din figura ca  o parte, adica numarul elevilor din clasa a II-a.

 elevi în clasa întâia.

77)Solutie algebrica

x numarul total de elevi din scoala

Ecuatia:

 numarul total de elevi din scoala.

78)Solutie algebrica

x sunt banii pe care-i avea.

Bani cheltuiti                          Bani ramasi

Ecuatia:

Solutie aritmetica - metoda mersului invers

a)Ultima data a cheltuit  din al doilea rest si au mai ramas 60 de lei

Restul fiind un întreg:

b)120 este din primul rest din care s-au  cheltuit . Restul  fiind un întreg are .

Deci:

 reprezinta 360 lei din toti banii

Verificare:                 

                                   

                                   

Rezolvare figurativa

                                    Ultimul rest dupa ce s-au cheltuit jumatate si au ramas 60 lei, a doua jumatate este tot 60 lei

, deci ultimul rest este 120

b)

Restul dupa ce s-a cheltuit  este tot un întreg, iar restul de la acest întreg este 120, ceea ce reprezinta  din acest întreg.

c)

Întregul acesta reprezinta toti banii pe care i-a avut

A cheltuit  si i-au mai ramas 360

 pe care i-a avut

79)Solutie algebrica

x = numarul de pachete pe care le-a avut

Numarul pachetelor cumparate de fiecare data:

a) primul cumparator

b) al doilea cumparator

c) al treilea cumparator

d) al patrulea cumparator

A mai ramas un pachet.

Ecuatia:

Solutie aritmetica

Se foloseste metoda mersului invers ca la problema precedenta.

80)Solutie algebrica

x = numarul cartilor din prima biblioteca

y = numarul cartilor din a doua biblioteca

Sistemul:

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

Deci: x = 940, y = 1340

81)Solutie algebrica

x kg zahar s-au luat din primul sac

3x kg zahar s-au luat din al doilea sac

Ecuatia:

 kg în primul sac

 kg în al doilea sac

Verificare:

Deci, dupa ce s-au scos 20 kg din primul sac si 60 kg din al doilea sac, în primul sac au ramas 40 kg iar în al doilea 20 kg; de doua ori mai mult în primul decât în al doilea.

82)Solutie algebrica

x = numarul de zile în care s-au scos câte 15 tone din primul depozit si câte 18 tone din al doilea depozit

Ecuatia:

Verificare:

 ori mai mult carbune în depozitul al doilea

La formarea ecuatiei am înmultit  cu  cantitatea de la depozitul întâi pentru a fi egala cu cantitatea de la depozitul al doilea.

83)Solutie algebrica

x = numarul de zile în care se adauga câte 4 tone, respectiv câte 13 tone, în cele doua magazii

Ecuatii:

Verificare:

84)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

4x = numarul de ha al primului lot

x = numarul de ha al celui de-al doilea lot

Ecuatia:

 ha al doilea lot

 ha primul lot

b)Cu doua necunoscute:

x ha primul lot; y ha al doilea lot

Sistemul:

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

85)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

3x = numarul de tone de fân în prima magazie

x = numarul de tone de fân în a doua magazie

Ecuatia:

 tone de fân în magazia a II-a

b)Cu doua necunoscute:

x tone în prima magazie

y tone în magazia a doua

Sistemul:

 tone în magazia a doua

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

 tone de fân în a doua magazie

Verificati sistemul!

86)Calculam raportul:

Deci în prima lada sunt 5 parti iar în a doua 3 parti

Solutie algebrica cu o necunoscuta:

3x kg mere în prima lada

Ecuatia:

 kg în a doua lada

 kg în prima lada

Verificare:

87)Solutie algebrica

x kg orez s-au scos din primul sac

2x kg orez s-au scos din al doilea sac

Ecuatia:

Verificare:

88)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

3x lei a primit primul copil

x lei a primit al doilea copil

Ecuatia:

 lei a primit al doilea

 lei a primit primul copil

89)Solutie algebrica

x = numarul muncitorilor din prima uzina

y = numarul muncitorilor din a doua uzina

Sistemul:

 numarul muncitorilor din sectia II

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

 numarul muncitorilor din sectia I

Verificare:

90)Solutie algebrica

x = numarul mai mare; y = numarul mai mic

Sistemul:

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

Verificare:

91)Solutie algebrica

x numarul de ani în urma

În urma, tatal este de 9 ori mai în vârsta decât fiul

Verificare:  vârsta tatalui

                   vârsta fiului

                  de noua ori vârsta fiului se cuprinde în a tatalui

92)Solutie algebrica

x = numarul anilor peste care tatal va fi de 6 ori mai în vârsta ca fiul

Ecuatia:

Peste 15 ani tatal va fi de 6 ori mai în vârsta decât fiul

93)Solutie algebrica

x ani tatal; y ani fiul

Sistemul:

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

ani tatal

94)Solutie algebrica

x - numarul cel mare

y - numarul cel mic

Sistemul:

 numarul cel mare

Înlocuim valoarea lui x în ecuatia:

 numarul cel mic

95)Solutie algebrica

x - numarul cel mare

y - numarul cel mic

Sistemul:

 numarul cel mare

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

 numarul cel mic

96)Solutie algebrica

x primul numar                      

y al doilea numar       

Sistemul:

 numarul cel mic

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

 numarul al doilea (cel mare)

97)Solutie algebrica

x este numaratorul

y este numitorul

Sistemul:

98)Solutie algebrica

x este numaratorul fractiei

y este numitorul fractiei

Sistemul:

 numaratorul

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

Fractia este

Verificare:

a)

b)

99)Solutie algebrica

x este numaratorul fractiei

y numitorul fractiei

Sistemul:

Deoarece , în ecuatia a doua înlocuim pe cu -4

3 este numaratorul

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

7 este numitorul fractiei. Fractia este .

Verificare:

a)

b)

100)Solutie algebrica

x este numaratorul fractiei

y este numitorul fractiei

Sistemul:

Deoarece , în ecuatia a doua înlocuim pe  cu - 5:

4 este numaratorul

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

 este numitorul

Fractia este

Verificare:

101)Solutie algebrica

Cu trei necunoscute

I = x; II = y; III = z

Sistemul:

Din primele doua ecuatii reducem pe z si obtinem un sistem nou cu doua ecuatii:

Calculam ecuatia a treia în x si y si-i alaturam ecuatia de mai sus:

Deci:

 ha ogorul I

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

 ha ogorul II

Introducem valorile lui x si y în ecuatia:

 ha ogorul II

Verificare:

Verificati sistemul cu trei necunoscute.

102)Solutie algebrica

Consideram capacitatea bazinului un întreg si o notam cu 1

x numarul de ore în care se umple singur bazinul primul robinet

y numarul de ore în care umple singur bazinul al doilea robinet

 curge pe ora prin primul robinet

 curge pe ora prin al doilea robinet

Sistemul:

Înlocuim pe  cu a si cu b

 umple al doilea robinet pe ora

Înlocuim valoarea lui b în ecuatia:

 umple primul robinet cu apa

 ore umple primul robinet bazinul

 ore umple al doilea robinet bazinul

103)Solutie algebrica

Cu o necunoscuta

x cantitatea de apa din mina care este un întreg

 scoate pe ora prima pompa;

 scoate pe ora a doua pompa;

 scoate pe ora a treia pompa.

Ecuatia:

104)Solutie algebrica

x este pretul caftanului

 plata pe o luna cum s-a angajat

Plata pe luna este aceeasi chiar daca a stat numai 7 luni:

Deci:

105)Solutie algebrica cu o necunoscuta

x numarul total de elevi

Ecuatia:

106)Problema lui Bhaskasa (matematician hindus din veacul al XII-lea)

x ani a trait Diofante;  a trait copilul

Ecuatia:

 ani a trait Diofante

107)Solutie aritmetica

Aflam câti metri facea iepurele pe minut

 m pe minut

Aflam câti metri facea câinele pe minut

 m pe minut

Aflam diferenta de viteza pe minut între câine si iepure

 m/min depasea câinele pe iepure

Deci: minute îi trebuie câinelui sa prinda iepurele

108)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

3x cifra zecilor

x cifra unitatilor

Ca exemplu desfasuram un numar de doua cifre:

Ecuatia:

 cifra unitatilor

Numarul de doua cifre este 62

Verificare aritmetica:  numarul invers al lui 62.

b)Cu doua necunoscute:

x = cifra zecilor; y = cifra unitatilor

Sistemul:

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

 cifra unitatilor

Numarul de doua cifre este 62

Verificare:

109)Solutie algebrica

Cu doua necunoscute:

x litri lapte consuma un adult pe zi

y litri de lapte consuma un copil pe zi

Sistemul:

litru de lapte pe zi un adult

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

 litri lapte pe zi pentru un copil

Solutie aritmetica

Se foloseste aducerea la acelasi termen de comparatie:

Scazând rândul de sus din rândul de jos se elimina numarul de copii.

Deci:   31 adulti consuma într-o zi 31 litri lapte

             litru lapte pe zi un adult

Dar:    litri lapte pe zi la adulti

             litri lapte consuma 16 copii

             litri lapte consuma un copil pe zi

110)Solutie algebrica

Cu doua necunoscute:

x kg fân manânca un cal pe zi

y kg fân manânca o vaca pe zi

Sistemul:

 kg fân manânca o vaca pe zi

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

 kg fân consuma un cal pe zi

Solutie aritmetica

Se foloseste metoda aducerii la acelasi termen de comparatie :

Scazând rândul de sus din rândul de jos se elimina numarul de vaci

24 de cai consuma 216 kg de fân

 kg fân consuma un cal

 kg consuma 10 cai

 kg fân consuma 14 vaci

 kg fân consuma o vaca

111)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x kg de fân pe zi la un cal

y kg de fân pe zi la o vaca

Sistemul:

 kg fân consuma o vaca pe zi

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

 kg fân la un cal pe zi

112)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x numarul de q pe ha la primul lan

y numarul de q pe ha la al doilea lan

Sistemul:

 q cereale pe ha la primul lan

Introducem valoarea lui x în ecuatia: 

 q cereale pe al doilea lan

113)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x numarul total de încarcatura

y numarul de vagoane

Sistemul:

 numarul de vagoane

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

 tone încarcatura

114) Solutie algebrica

x tone greutatea locomotivei

y tone greutatea unui vagon

Sistemul:

 tone greutatea unui vagon

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

t greutatea locomotivei

Verificare aritmetica

 t greutatea a 15 vagoane

 t greutatea locomotivei si a vagoanelor

Probleme vechi din perioade economice stabile

 cu marimi corespunzatoare

115/1)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x lei pretul unui metru de stamba

y lei pretul unui metru de satin

Sistemul:

 lei pretul metru de stamba

Înlocuim valoarea lui x în ecuatia:

 lei pretul unui metru de satin

115/2)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x kg faina mai ieftina

y kg faina mai scumpa

Sistemul:

 kg faina mai ieftina

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

 kg faina cu pretul mai mare

116)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x lei un metru de satin; y lei un metru de postav

Sistemul:

 lei metrul de postav

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

 lei metrul de satin

117)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x numarul de zile afectat pentru lucrare (termenul)

y numarul de pluguri comandate

Sistemul:

 numarul zilelor (termenul)

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

 de pluguri

118)Solutie algebrica

x primul numar

y al doilea numar

Sistemul:

 al doilea numar

Înlocuim valoarea lui y în ecuatia:

 primul numar

119)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x kg mere cu 6 lei kilogramul

y kg mere cu 7,5 lei kilogramul

Sistemul:

 kg mere cu 7,5 lei kg

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

 kg mere cu 6 lei kg

Verificati sistemul!

120)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x numarul de elevi

y numarul de banci

Sistemul:

 numarul de banci

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

Verificati sistemul:

Solutie aritmetica

Câte 5 elevi în banca;  elevi ramân fara banca

 elev mai mult în banca

 banci

 elevi în banci

 elevi în total

sau

 elevi în total

121)Solutie algebrica

x numarul de ciori

y numarul de pari

Sistemul:

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

122)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x numarul de mere al primului copil

y numarul de mere al celui de-al doilea copil

Sistemul:

 mere are al doilea copil

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

 mere are primul copil

Probleme cu procente

123)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x metri de calitatea I

y metri de calitatea a II-a

 este 25% din pretul unui metru calitatea I

15x este 20% din pretul întregului postav calitatea I

 este 20% din pretul unui metru calitatea a II-a

10y este 20% din pretul întregului postav calitatea a II-a

Sistemul:

 m postav calitatea a II-a

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

 m postav calitatea I

124)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x lei pretul unui kg de faina

y lei pretul unui kg de arpacas

5x pretul a 5 kg de faina

 reprezinta 15% din 5x kg faina

 reprezinta 10% din 6y kg arpacas

 pretul a 5 kg faina dupa ieftinire cu 15%

 pretul a 6 kg arpacas dupa ce s-a ieftinit cu 10%

Sistemul:

 lei 1 kg arpacas

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

 lei 1 kg faina

125)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x kg fân se dadeau pe zi la un cal la început

y kg fân se dadeau pe zi la o vaca la început

 reprezinta 25% din 10x, adica cu cât s-a marit ratia la 10 cai

kg de fân consuma 10 cai dupa ce s-a marit ratia cu 25%

 reprezinta  din 14y adica cu cât s-a marit ratia la 14 vaci

 kg fân consuma 14 vaci dupa ce s-a marit ratia cu

Sistemul:

 kg fân pe zi un cal

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

 kg fân consuma o vaca pe zi

126)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x lei avea primul scolar

y lei avea al doilea scolar

Sistemul:

 lei primul scolar

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

 al doilea scolar

127)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x tone primul hambar

 al doilea hambar

 din cerealele primului hambar

 tone ramase în primul hambar dupa ce s-au scos  din ele

reprezinta 40% din cerealele din al doilea hambar

t cereale ramase în al doilea hambar dupa ce s-au scos 40% din ele

Sistemul:

 tone cereale în primul hambar

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

 tone cereale în hambarul al doilea

Verificati sistemul!

128)Solutie algebrica cu doua necunoscute

Lanul în totalitate reprezinta un întreg

x lucreaza primul tractor pe ora

y lucreaza al doilea tractor pe ora

Sistemul:

parte lucreaza pe ora al doilea tractor

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

 lucreaza pe ora primul tractor

Împartim 1 (întregul lan) la cât lucreaza pe ora fiecare tractor si aflam în câte ore ar ara lanul fiecare tractor lucrând singur.

 ore ar lucra primul tractor lanul singur

 ore ara al doilea tractor lanul singur

129)Solutie algebrica cu doua necunoscute

Numarul de piese reprezinta un întreg notat cu 1

x lucreaza primul muncitor pe ora

y lucreaza al doilea muncitor pe ora

Sistemul:

 lucreaza pe ora al doilea muncitor

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

 lucreaza pe ora al doilea muncitor

Împartim întreaga lucrare, care este 1, la cât lucreaza pe ora fiecare muncitor si aflam în câte ore ar termina lucrarea fiecare muncitor daca ar lucra singur:

 ore lucreaza singur primul muncitor

 ore lucreaza singur al doilea muncitor

130)Solutie albebrica cu doua necunoscute

x tone cereale în primul siloz

y tone cereale în al doilea siloz

 reprezinta 60% din cerealele din primul siloz care s-au scos

 cerealele ramase în primul siloz dupa ce s-au scos 60%

 reprezinta  din cerealele din al doilea siloz care s-au scos

 cereale care au ramas în al doilea siloz

Sistemul:

 cereale în al doilea siloz

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

 t cereale în primul siloz

131)Solutie algebrica cu o necunoscuta

x = numarul de locuitori acum doi ani

Ecuatia:

132)Solutie aritmetica

Metoda mersului invers, cu ajutorul metodei figurative

Un întreg, care este restul de la al doilea joc

Se observa ca 3 lei este jumatate din întreg. Tot întregul este  lei, restul de la al doilea joc

 jumatate din restul de la primul joc

Tot întreg este  restul din toti banii dupa ce a cheltuit jumatate plus 1 leu.

 lei jumatate din toti banii

 lei toti banii cu care a intrat în joc

Solutie algebrica

x reprezinta banii care-i avea initial

 suma pierduta de la primul joc

 primul rest

 a pierdut la al doilea joc

 al doilea rest

 a pierdut la al treilea joc

Ecuatia:

133)Solutie algebrica cu doua necunoscute

Sistemul:

 piese a produs prima sectie

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

 piese a produs a doua sectie

134)Solutie aritmetica

 cu cât a depasit norma un muncitor din primul grup de muncitori pe zi (grup de 2 muncitori)

 cu cât a depasit norma un muncitor din al doilea grup de 2 muncitori pe zi

 primul grup de doi muncitori au depasit norma pe zi cu o jumatate de norma

 al doilea grup de doi muncitori au depasit norma pe zi cu

 norma pe zi

18 muncitori corespund la 18 norme pe zi

 norme în 25 de zile

 zile termina lucrarea

Probleme de amestec si aliaje

135)Solutie aritmetica

 kg sare în solutia initiala

Dupa ce se adauga apa se obtine o solutie în care cantitatea de sare este tot 4 kg, reprezentând 20% din noua solutie.

 kg noua solutie

 kg apa s-a adaugat

136)Solutie aritmetica

 kg sare în solutia initiala

Dupa ce se adauga apa se obtine o solutie în care cantitatea de sare este tot 7,4 kg si reprezinta 0,400 în solutia noua.

 kg solutie noua

 kg apa se adauga

137)Solutie aritmetica

 kg sare în solutia initiala

 kg apa în prima solutie

Daca în prima solutie se adauga sare, înseamna ca apa din prima solutie, de 2,7 kg, ramâne constanta în a doua solutie.

 apa  în a doua solutie în procente

Deci 2,7 kg apa reprezinta 10% în noua solutie

 kg noua solutie

Scadem din noua solutie solutia initiala si aflam câta sare s-a adaugat:  kg sare s-a adaugat

138)Solutie aritmetica

Aflam taria la 20 litri

litri spirt cu taria de 500

 litri de apa s-au adaugat

139)Solutie aritmetica

Notatii:                       T = titlul

M = masa metalului pretios

m = masa aliajului

Formule:        

1)Se cunoaste T si M

 kg aliaj

2)Se cunoaste T si M

 g aliaj

Titlul este cantitatea de metal pretios la 1000 g = 1 kg

140)Solutie aritmetica

Aflam câte kg de acid concentrat sunt:
 kg concentrat care reprezinta 15% de concentrat (acid)

 kg masa amestecului obtinut

141)Solutie aritmetica

Din raportul dintre diferenta dintre titlul mare  si titlul mediu si diferenta dintre titlul mediu si titlul mic aflam partile proportionale ale celor doua aliaje:

 parti ale celor doua aliaje

 reprezinta o parte

 kg aliaj I

 kg aliaj II

142)Solutie algebrica

x kg s-a luat din primul metal

y kg s-a luat din al doilea metal

Sistemul:

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

Solutie aritmetica

Folosim regula de la problema precedenta (141)

Aflam suma partilor celor doua metale:

 parti

 kg reprezinta o parte

 kg primul aliaj

 kg al doilea aliaj

Calculând aritmetic, rezultatele  sunt cu aproximativ de 0,01.

143)Solutie aritmetica

7 kg unt reprezinta 23% din smântâna

 kg smântâna

30 kg smântâna reprezinta 21% din lapte

 kg lapte

144)Solutie aritmetica

 kg smântâna

 kg unt

145)Solutie aritmetica

 kg tarâte  si alte resturi

 kg faina

 kg câstiga faina (apa, sare, drojdie)

 kg pâine

146)Solutie aritmetica

Aflam cât aur curat se gaseste în aliajul de 840 g.

În noul aliaj este tot aceeasi cantitate de aur care corespunde la titlul de 0,896 în de 0,916 pentru ca se mai adauga cupru.

Deci:

Din noul aliaj scadem primul aliaj si aflam câte g de cupru s-au adaugat:

 g de cupru s-au adaugat

147)Solutie aritmetica

Aflam greutatea aliajului de aur:

 g masa aliajului

În masa aliajului obtinut se gasesc 1120 g aur ceea ce reprezinta 0,896 titlul noului aliaj dupa ce se mai adauga aliaj

Diferenta dintre aliajul nou si aliajul initial da cantitatea de arama adaugata.

 g de arama care se adauga

148)Solutie aritmetica

Se foloseste urmatoarea regula: raportul în care numaratorul reprezinta diferenta dintre titlul mare si mediu, iar numitorul reprezinta diferenta dintre titlul mediu si titlul mic este egal cu raportul între cantitatea de aliaj cu titlul mai mic si cantitatea de aliaj cu titlul mai mare.

 kg aliaj cu titlul 0,780

149)Solutie aritmetica

M = greutatea metalului pretios

m = greutatea aliajului

T = titlu

 kg aliaj obtinut prin amestec

În aliajul de 1 kg sunt 0,700 kg aur

 kg aur în aliajul amestecat

 este titlul noului aliaj

150)Solutie aritmetica

Aflam câte grame de aur sunt în 5 g de aliaj cu titlul 0,840

Pentru a obtine un nou aliaj se adauga arama, deci cantitatea de aur este tot 4,2 g ce reprezinta titlul de 0,750

 g arama s-a adaugat

151)Solutie aritmetica

Probleme cu împartirea în parti proportionale

152)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

x + 25 vârsta tatalui

y vârsta fiului

9 parti vârsta tatalui; 4 parti vârsta fiului

Folosim proportii derivate pentru a scapa de x de la numarator

Ecuatia:

 vârsta fiului

 vârsta tatalui

b)Cu doua necunoscute:

x vârsta tatalui; y vârsta fiului

Sistemul:

 vârsta fiului

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

Solutie aritmetica

a)

9 parti reprezinta vârsta tatalui

4 parti reprezinta fiului

 cu 5 parti este mai mare vârsta tatalui decât a fiului

 ani reprezinta o parte

 ani tatal

 ani fiul

b)Folosim sirul de rapoarte egale:

Deoarece este diferenta între vârste se foloseste definitia:

Diferenta dintre doi numaratori raportata la diferenta numitorilor da un raport egal cu fiecare din rapoartele date:

 ani tatal

 ani fiul sau

153)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

x prima parte; x - 144 a doua parte

Ecuatia se poate scrie în doua feluri:

1)

 prim parte

 a doua parte                   sau

2)

b)Cu doua necunoscute:

I = x; II = y

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

Solutie aritmetica

a)Raportul  ne indica partile celor doua numere

 parti ale celor doua numere. Suma celor doua numere este 114

 este primul numar care are 1 parte

 al doilea numar

b)Folosim sirul de rapoarte:

 Folosim urmatoarea definitie a sirului de rapoarte:

Într-un sir de rapoarte egale suma numaratorilor împartita la suma numitorilor ne da raport egal cu fiecare din rapoartele date.

154)Solutie aritmetica

a)Aducem fractiile la acelasi numitor:

Deoarece fractiile au acelasi numitor socotim ca parti proportionale numai numaratorii.

Deoarece cunoastem suma celor 4 numere aflam si suma partilor celor patru numere:

 suma partilor celor patru numere

 este o parte

b)Folosim sirul de rapoarte egale:

155)Solutie aritmetica

a)Inversam numerele

 Inversul lor este:

Consideram ca parti proportionale numaratorii:

 suma partilor celor trei numere

 reprezinta o parte

b)Folosim sirul rapoartelor egale:

156)Solutie aritmetica

 Fractiile sunt:

a)Inversam fractiile:

Numaratorii fractiilor reprezinta partile proportionale ale celor 3 numere

 parti proportionale ale celor 3 numere

 reprezinta o parte

b)Folosim metoda sirurilor de rapoarte egale:

157)Solutie aritmetica

 parti proportionale ale vitezelor

Viteza oricarui mobil este invers proportionala cu timpul

Inversam partile proportionale:

Partile proportionale care reprezinta timpul folosit de cele trei mijloace de calatorie sunt:

 numaratorii fractiilor care au acelasi numitor

Diferenta dintre timpul parcurs calare si cu bicicleta este:

 o parte care reprezinta 18 min.

Cele 12 parti care reprezinta timpul de mers pe jos sunt egale cu  minute.

Minutele le transformam în ore parcurse pe jos:

 km distanta

158)Solutie aritmetica

Aflam de câte ori este mai mare bucata I decât a II-a:

    Raportul între

Rezulta din cele doua rapoarte partile celor trei numere:

Primul numar 8 parti

Al doilea numar 5 parti

Al treilea numar 4 parti

 suma partilor celor trei numere

 întreaga sârma

 o parte

Înmultim o parte cu numarul partilor celor trei numere si aflam lungimea celor trei bucati de sârma:

Verificare:

Întreaga sârma

159)Solutie aritmetica

a) Transformam fractiile zecimale în fractiile ordine:

 Consideram piesele lucrate de primul un întreg.

 partile celui de-al doilea în raport cu unu

 partile celui de-al treilea raport cu unu

Partile proportionale vor fi:

 Le aflam numitorul comun:

Partile proportionale ale numerelor de piese lucrate de cei trei muncitori sunt numaratorii fractiilor care au acelasi numitor:

 suma partilor numarului de piese lucrate de cei trei municitori

 piese reprezinta o parte

 piese primul muncitor

 piese al doilea muncitor

 piese al treilea muncitor

Se poate lua un întreg numarul de piese lucrate de al doilea muncitor sau de al treilea muncitor si obtinem tot 2, 5 si 12, daca împartim fractiile corespunzatoare lui unu la fractiile celorlalte doua.

Faceti calculele, ca în procedeul lucrat, pentru a întelege mai bine.

b)Folosim sirul de rapoarte egale:

Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

Consideram întregul la al doilea muncitor si-l notam cu x.

Împartin fractia care reprezinta partile celui de-al doilea muncitor la fractiile care reprezinta partile primului si celui de-al treilea:

 partile primului

partile celui de-al treilea

Ecuatia:

 o parte

b)Cu trei necunoscute:

I = x; II = y; III = z

Sistemul:

Alaturam ecuatia obtinuta ecuatiei a treia, obtinând un sistem cu doua necunoscute:

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

160)Solutie aritmetica

Deoarece pamântul arabil este de  mai mare decât pasunea, rezulta ca pasunea reprezinta o parte. Deci:  cu cât este mai mare pamântul arabil si care reprezinta 45 ha

 ha pasune

 ha pamânt arabil

Probleme cu marimi proportionale

Marimi direct proportionale

161)Solutie aritmetica

162)Solutie aritmetica

Aflam suprafata podelei:

163)Solutie aritmetica: reducerea la unitate

164)Solutie aritmetica:

Reducem la unitate:

Marimi invers proportionale

165)Solutie aritmetica: reducerea la unitate

166)Solutie aritmetica: reducerea la unitate

Aflam viteza a doua oara:

167)Solutie aritmetica: reducerea la unitate

168)Solutie aritmetica: reducerea la unitate

169)Solutie aritmetica: reducerea la unitate

Dependenta compusa a marimilor

170)Solutie aritmetica: reducerea la unitate

171)Solutie aritmetica: reducerea la unitate

172)Solutie aritmetica: reducerea la unitate

Verificati rezultatul!

173)Solutie aritmetica

Aflam suprafata bazei celor doua ziduri:

Reducem la unitate:

174)Solutie aritmetica: reducerea la unitate

175)Solutie aritmetica: reducerea la unitate

176)Solutie aritmetica

Aflam volumul primei grinzi în dm3

Aflam volumul în dm3 a grinzii a doua

Rezulta:         

                         au aceeasi greutate

Reducerea la unitate:

 kg a doua grinda

 kg cântareste 1 dm3

 cântareste a doua grinda

177)Solutie:

Aflam aria patratului cu latura initiala

 

Aflam latura marita de 3 ori:

Aflam aria cu latura marita de 3 ori:

Aflam de câte ori s-a marit aria:

Observam ca aria patratului s-a marit cât patratul numarului (3), de câte ori s-a marit latura, adica de 9 ori.

178)Slolutie

Aflam volumul cubului cu latura initiala:

Aflam latura cubului marita de 2 ori:

Aflam volumul cubului cu latura marita:

Aflam de câte ori s-a marit volumul:

Observam ca volumul cubului s-a marit cât cubul numarului de câte ori s-a marit latura (2), adica de 8 ori.

Aceste doua probleme au patratul sau cubul dependente de latura dar patratul si cubul lor sunt neproportionale.

Mai luati exemple si calculati pentreu a le întelege.

Probleme de miscare

179)Solutie algebrica

x distanta dintre A si B

 timpul de la A la B

 timpul de la B la A

Ecuatia:

180)Solutie algebrica

x km/h vieteza pâna la oprire

(x + 4) km/h viteza în continuare

Egalam spatiul pâna la oprire cu spatiul care nu mai era de parcurs:

Deoarece spatiul pâna la oprire este mai mare decât restul drumului, ori scadem  din primul membru al ecuatiei, ori îl adunam la al doilea membru:

v

t

s

Spatiul pâna la oprire

x

Restul drumului

x + 4

Ecuatia:

 km distanta pâna la oprire

181)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

x km/h pâna în sat

(x + 1) km/h restul drumului

Ecuatia:

 distanta de la tabara la oras

b)Cu doua necunoscute:

x km/h viteza pâna în sat

y km/h ar fi viteza pe restul drumului

Sistemul:

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

182)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x km pe orizontala

y km pe panta (deal)

 - timpul pe orizontala;        - timpul pe panta

1 ora 55 minute =

Sistemul:

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

distanta =

183)Solutie algebrica cu o necunoscuta

x este distanta de la A la B

Ecuatia:

184)Solutie aritmetica

Aflam cât spatiu mai avea de parcurs în  ore dupa ce a plecat trenul, când mergea cu 4 km/h.

 km mai avea de parcurs pâna la gara dupa plecarea trenului.

Aflam spatiul pe care l-ar fi parcurs în 10 minute pâna la venirea trenului.

 km ar mai fi parcurs de la gara înainte, pâna la sosirea trenului

 km se datoresc diferentei de viteze, adica:

 km/h

Aflam timpul necesar pentru fiecare caz:

Aflam cât spatiu a parcurs pâna la sosirea trenului cu 4 km/h:

km a parcurs când mergea cu 4 km/h

Aflam cât spatiu în plus a parcurs când mergea cu 6 km/h

 km, deci 1 km în plus

Aflam distanta din sat la gara în ambele situatii:

a)

b)

Solutie algebrica

a)Notam spatiul din sat la gara cu x. facem ecuatia pe baza solutiei aritmetice.

Egalam spatiile parcurse pâna la sosirea trenului în ambele cazuri.  Mai avea de parcurs pâna la sosirea trenului 6 km mergând cu 4 km/h.

  este numarul de ore pâna la sosirea trenului pietonul mergând cu 4 km/h si  este numarul de ore pâna la sosirea trenului pietonul mergând cu 6 km/h.

Ecuatia:  km din sat la gara

b)Notam cu x spatiul din sat la gara

Egalam timpul pâna la sosirea trenului în fiecare caz:

deci ecuatia este:

 km din sat la gara

 timpul pe care l-ar fi facut pâna la gara cu 4 km/h

 ore mai are de mers pâna la sosirea trenului

 timpul pe care l-a facut pâna la gara cu 6 km/h

 min cât a mai asteptat pâna sosirea trenului.

185)Solutie algebrica

Lungimea acceleratului o transformam în km

75 m = 0,075 km

Viteza pe ora a acceleratului o notam cu x

Viteza accelelratului împreuna cu cea a personalului este x + 40.

Transformam 3 secunde în ore:

Ecuatia:

Solutie aritmetica

Aflam sumele vitezelor celor doua trenuri (viteza totala a celor doua trenuri pe secunda):

Aflam suma celor doua trenuri în 3600 secunde cât are o ora:

 km suma vitezelor celor doua trenuri

 km/h viteza acceleratului

186)Solutie algebrica

x distanta parcursa în ambele sensuri

8 + 2 viteza barcii în sensul apei

8 - 2 viteza barcii în sens opus

Ecuatia:

  km se îndeparteaza

187Solutie algebrica

Felul trenului

s

v

t

Personal

xy

x

y

Marfar

Expres

Sistemul:

 km personalul

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

 ore merge personalul

Deci:               viteza personalului 40 km/h

                        timpul personalului 15 ore

                        viteza marfarului

                        timpul marfarului

                        viteza expresului

                        timpul expresului

188)Solutie algebrica

Prima situatie

v

t

s

Primul biciclist

x

Al doilea biciclist

y

2

2y

A doua situatie

v

t

s

Primul biciclist

x

Al doilea biciclist

y

Sistemul:

 al doilea biciclist

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

 primul bicilist

189)Solutie algebrica cu o necunoscuta

a)Egalam spatiul de la ducere cu spatiul de la întoarcere

x numarul de o la ducere

 numarul de ore la întoarcere

Ecuatia:

b)x - spatiul la ducere, x + 3 - spatiul la întoarcere

Egalam timpul la întoarcere:

 Ecuatia: 

 km la întoarcere

190)Solutie algebrica

x = spatiul de la A la B

Transformam minutele în ore

Pietonul:

Calaretul:

Timpul folosit de pieton:

Timpul folosit de calaret:

Ecuatia este egalitatea dintre timpul folosit de pieton si timpul folosit de calaret:

a) km/h viteza calaretului

b) km/h viteza pietonului

191)Solutie algebrica

Din text se observa ca ecuatia este egalitatea dintre diferenta timpului folosit de primul drumet si cel de-al doilea drumet, cu 2 ore cu cât a sosit primul mai repede decât al doilea.

               x este acelasi spatiu pentru ambii drumeti

Ecuatia:  km spatiul dintre sat si oras

Solutie aritmetica

Aflam cu câti kilometri a parcurs primul mai mult în cele 2 ore, cu cât a sosit mai înainte:

Aflam diferenta de viteze între cei doi drumeti:

 km mai mu lt al doilea decât primul

Împartim diferenta de 8 km, cu cât a facut mai mult primul drumet decât al doilea, la diferenta de viteza între al doilea si primul drumet si aflam câte ore a facut:  ore timp parcurs.

Aflam spatiul dintre sat si oras: .

192)Solutie algebrica

a)Daca luam ca necunoscuta numarul de rotatii se poate egala spatiul pe care circula roata din spate cu spatiul pe care circula roata din fata, care este acelasi si este reprezentat de urmatoarele expresii:

 roata din fata  rotatii

 roata din spate rotatii

c = circumferinta       

r = rotatii                   

s = spatiul                  

 spatiul parcurs de r.f.

40x spatiul parcurs de r.s.

Ecuatia:

 rotatii r.s.

b)Daca luam ca necunoscuta x, spatiul, putem egala numarul de rotatii al rotii din fata cu cel al rotii din spate cu conditia sa scadem 30 rotatii de la roata din fata sau sa-l adaugam la roata din spate:

Solutie aritmetica

Aflam câti decimetri face roata din fata în 30 rotatii:

Aflam cu câti decimetrii este mai mare roata din spate:

Aflam câte rotatii face roata din spate:

 rotatii

193)Solutie albebrica

a)Cu o necunoscuta:

Notam cu x spatiul pe care se învârtesc rotile:

                         Circumferinta

                            Circumferinta 

Ecuatia:

 spatiul pe care se învârtesc rotile

 m circumferinta rotii din fata

 m circumferinta rotii din spate

b)Cu doua necunoscute:

Circumferinta rotii din fata este egala cu x

Circumferinta rotii din spate este egala cu y

             r.f. = roata din fata

                        r.s. = roata din spate

Spatiul pe care se învârtesc rotile este acelasi

Sistemul:

Solutie aritmetica

Aflam cu câti metri face mai mult roata din spate:

Aflam diferenta dintre rotatii:

 rotatii mai mult roata din fata

Aflam circumferinta rotii din fata:

 dm circumferinta r.f.

Aflam circumferinta rotii din spate:

 dm circumferinta r.s.

194)Solutie algebrica

a)Cu spatiul ca necunoscuta

Notam spatiul cu x

 numarul de rotatii al rotii din fata

 numarul de rotatii al rotii din spate

Ecuatia:

 distanta parcursa de caruta

 numarul de rotatii al rotii din fata

 numarul de rotatii al rotii din spate

b)Cu numarul de rotatii ca necunoscuta

Notam cu x numarul de rotatii al rotii din spate si cu x + 15 numarul de rotatii al rotii din fata. Rotile parcurg acelasi spatiu  este spatiul parcurs de roata din fata

4x este spatiul parcurs de roata din spate

Ecuatia:

 numarul de rotatii al rotii din fata

Solutie aritmetica

Aflam cu câti metri a parcurs mai mult roata din fata:

Aflam cu câti metri este mai mare roata din spate:

Aflam numarul de rotatii al rotii din spate:

 rotatii

Aflam numarul de rotatii al rotii din fata:

 rotatii

195)Solutie algebrica cu o necunoscuta

x este distanta pe care se învârtesc rotile

c = circumferinta

r = numarul de rotatii            

s = spatiul

 circumferinta rotii din fata

 circumferinta rotii din spate

Ecuatia:

 m distanta

Solutie aritmetica

Aflam cât spatiu în plus parcurge roata din spate având circumferinta cu 0,4 m mai mare decât roata din fata:

Aflam distanta între numarul de rotatii ale celor doua roti:

Aflam lungimea rotii din fata împartind diferenta de spatiu parcurs de cele doua roti la diferenta de rotatii ale celor doua roti:

 m circumferinta rotii din fata

 m circumferinta rotii din spate

 m distanta pe care se învârtesc rotile sau

196)Solutie algebrica

Notam cu x distanta de la locul de întâlnire al motociclistului cu biciclistul pâna la padure.

În figura alaturata BC = x

Egalam timpul pe care l-a facut motociclistul de când a plecat din Bucuresti pâna s-a întâlnit cu biciclistul, cu timpul pe care l-a facut biciclistul de la Bucuresti pâna la locul de întâlnire cu motociclistul.

Ecuatia:

AC = AB - BC = 40 - 11 = 29 km de la Bucuresti

 ore si 25 minute pâna la întâlnire

Solutie aritmetica

Aflam câti kilometri ar fi facut motociclistul daca nu statea 1 ora la padure:

Aflam cîte orea facut motociclistul în 76 km

Aflam câti kilometri a facut biciclistul în

 km a facut biciclistul

Aflam câti kilometri mai erau pâna în padure:

 km pâna la padure

Deoarece viteza biciclistului era de 3 ori mai mica, motociclistul facea 3 parti iar biciclistul o parte când s-a întors motociclistul.

Împartim , adica restul drumului, la 4 si aflam o parte:

 o parte din BC restul drumului

Dar motociclistul a facut trei parti. Aflam câti kilometri a facut motociclistul pâna s-a întâlnit cu biciclistul, adica segmentul de drum BC:

 km a facut motociclistul

Aflam la câti kilometri de Bucuresti s-au întâlnit:

 km de Bucuresti

Aflam la câte ore de la plecarea din Bucuresti s-au întâlnit:

197)Solutie algebrica

x viteza unui drumet

x + 2 viteza celui de-al doilea drumet

Ecuatia:

 km/h drumetul I

 km/h al doilea drumet

 km face primul drumet

 km face al doilea drumet

Verificare:

Solutie aritmetica

Aflam cu câti kilometri face mai mult drumetul care are viteza cu 2 km mai mare:

 km mai mult un drumet

 fac ambii drumeti în mod egal

Aflam cât face cel care are viteza mai mica:

Aflam câti km face cel care merge cu 15 km mai mult:

198)Solutie algebrica

Notam spatiul cu x

Se egaleaza timpul stabilit cu timpul folosit în cele doua situatii, adunând 2 ore, cu cât a ajuns mai repede.

Ecuatia:

 km spatiul

199)Solutie algebrica

Notam cu x spatiul de parcurs

Egalam timpul stabilit  cu timpul parcurs în cele trei etape plus o ora de oprire.

Ecuatia:

200)Solutie algerica

Notam cu x spatiul de la A la B

Ecuatia:

Aflam ora la cre trebuia sa ajunga în B:

 ore trebuia sa ajunga în B

201)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x = viteza primului turist

y = viteza celui de-al doilea turist

Sistemul:

 

 km/h primul turist

Introducem valoare alui x în ecuatia:

 km/h al doilea turist

202)Solutie algebrica

x = viteza apei

y = viteza înotatorului în apa statatoare

y - x = viteza înotatorului împotriva curentului apei

y + x = viteza înotatorului în sensul curentului apei

Din enuntul problemei se observa ca trebuie sa egalam timpul pe care l-a facut înotatorul de când a pierdut plosca si pâna a ajuns-o, cu timpul pe care l-a facut plosca între cele doua poduri, mergând cu viteza apei.

 ore timpul de la podul rutier pâna si-a amintit de plosca (1)

 spatiul de la podul rutier pâna unde si-a adus aminte de plosca

 timpul de unde si-a adus aminte de plosca pâna la podul rutier (2)

 timpul de la podul rutier pâna la podul de cale ferata (3)

 timpul pe care l-a facut plosca de la podul rutier pâna la podul de cale ferata

Ecuatia:

 km/h viteza apei

203)Solutie algebrica

Notam cu x viteza vaporului în apa statatoare.

Egalam expresiile algebrice care reprezinta spatiul de la ducere cu spatiul de la întoarcere:

Ecuatia:

 km/h viteza vaporului în apa statatoare

204)Solutie algebrica

Se egaleaza spatiile parcurse de cele doua trenuri pâna la întâlnire, scazând 317,5 km din spatiul parcurs de rapid.

 ore parcurse de personal

Ecuatia:

rapidul

 km/h personalul

205)Solutie algebrica

v

t

s

Personalul

x

Rapidul

x + 5

15

Ecuatia:

 km/h personalul

 km/h rapidul

206)Solutie algebrica

a)Notam cu x viteza pe jos   

x + 8 viteza cu bicicleta                     

v

t

s

pe jos

x

cu bicicleta

x + 8

Ecuatia:

 km pe jos

 km drumul de acasa la uzina

b)Fixam ca necunoscuta x spatiul de acasa la uzina

Ecuatia:

 km distanta de acasa la uzina

207)Solutie algebrica

v

t

s

I

x

1

II

x + 5

Ecuatia:

 km/h viteza autobuzului

Aflam distanta:

208)Solutie algebrica

x ore face primul calator

(x - 8) ore face al doilea calator

 km/h face primul calator

 km/h face al doilea calator

Ecuatia:

Dupa 20 ore îl ajunge primul calator pe al doilea

Aflam dupa câti kilometri îl ajunge primul pe al doilea:

209)Solutie algebrica

x numarul de ore încare prima persoana a fost ajunsa de a doua

(x - 8) numarul de ore la care a doua persoana a prins pe prima

 km/h face prima persoana

 km/h face a doua persoana

Ecuatia:

 - dupa 50 ore al doilea îl prinde pe primul

 km al doilea îl prinde pe primul

210)Solutie algebrica

x = circumferinta rotii din fata                      

5 - x = circumferinta rotii din spate

 = timpul rotii din fata

 = timpul rotii din spate

Ecuatia:

 m circumferinta rotii din fata

 m circumferinta rotii din spate

211)Solutie aritmetica

Pietonul are un avans de 15 km fata de calaret

 km/h are avans calaretul fata de pieton

 ore calaretul prinde pe pieton

212)Solutie algebrica

x = viteza avionului

x + 10 = viteza avionului în sensul vântului

x - 10 = viteza avionului în sens contrar vântului

Ecuatia:

 km distanta parcursa de avion

213)Solutie algebrica

x = spatiul pe care merge calatorul

Ecuatia:

 km spatiul

214)Solutie aritmetica

Aflam câti stânjeni face primul iepure:

 stânjeni

Aflam câti stânjeni face pe minut câinele

 stânjeni

Aflam câti stânjeni face mai mult câinele decât iepurele pe minut

Aflam în câte minute îl prinde pe iepure:

215)Solutie algebrica

x = spatiul pe care se învârtesc rotile

r = numarul de rotatii

s = spatiul sau distanta pe care se învârtesc rotile

c = circumferinta

Ecuatia:

Verificare:

216)Solutie algebrica

x = distanta parcursa cu viteza de 42 km/h

(188 - x) = distanta parcursa cu viteza de 52 km/h

 este timpul în care a parcurs prima distanta

 este timpul în care a parcurs a doua distanta

Ecuatia:

 km distanta parcursa cu 42 km/h

 km distanta parcursa cu 50 km/h

Din textul problemei se vede ca egalitatea este formata din suma timpilor în cele doua distante si timpul total de 4 ore.

217)Solutie algebrica

x este primul pe care trebuie sa-l parcurga cu bicicleta

 este locul unde a pierdut portmoneul

Ecuatia:

 km tot drumul

 km unde a pierdut portmoneul

218)Solutie aritmetica

Aflam spatiul pe care trebuia sa-l parcurga

 km de parcurs

Aflam spatiul parcurs în

Aflam câti km mai avea d eparcurs:

Aflam suma dintre

Aflam cât timp mai avea de mers:

Aflam cu ce viteza trebuia sa mearga:

219)Solutie algebrica

x = prima viteza, y = a doua viteza

Sistemul:

 km/h cu prima viteza

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

 km/h a doua viteza

Probleme cu continut geometric rezolvate cu ajutorul ecuatiilor de gradul I

220)x = lungimea; y = latimea

Sistemul:

 latimea

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

Deci: x = 10; y = 5

221)Solutie algebrica

x = lungimea, y = latimea

Sistemul:

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

Deci: x = 8 lungimea ; y = 12 latimea

222)Solutie algebrica

x = înaltimea primului dreptunghi

y = înaltimea celui de-al doilea dreptunghi

5x = aria primului dreptunghi

4y = aria celui de sl diolea dreptunghi

Sistemul:

 Introducem pe 3:

Deci: x = 3 cm; y = 6 cm

223)Solutie algebrica

x = prima cateta

y = a doua cateta

Sistemul:

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

Deci: x = 26; y = 8

224)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x = lungimea

y = latimea

Sistemul:

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

225)Solutie algebrica cu doua necunoscute

x = lungimea (baza); y = latimea (înaltimea)

Sistemul:

 cm latimea

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

 cm lungimea

226)Solutie aritmetica

În doua triunghiuri asemenea laturile omoloage sunt proportionale.

În doua triunghiuri asemenea laturile care se opun la unghiuri egale se numesc laturi omoloage.

În doua triunghiuri asemenea rapoartele laturilor  sunt egale cu raportul perimetrelor.

Notam cele trei laturi cu x, y, z.

Facem sirul de rapoarte egale:

227)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

x = lungimea; (x - 5) = latimea

Dreptunghiul are doua lungimi egale si doua latimi egale

Ecuatia:

 m lungimea

 m latimea

b)Cu doua necunoscute:

x = lungimea; y = latimea

Sistemul:

12,5 m lungimea

 m latimea

Solutie aritmetica

stiind ca dreptunghiul are doua lungimi egale si doua latimi egale, iar fiecare lungime este cu 5 mai mare decât fiecare latime scriem:

Scadem din suma celor 4 laturi care acum sunt egale

 m latimea

 m lungimea

228)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

x = lungimea; x - 20 latimea

Ecuatia:

 cm lungimea;  cm latimea

b)Cu latimea drept necunoscuta:

 o lungime si o latime

x = latimea

(x + 20) = lungimea

Ecuatia:  cm latimea

 cm lungimea

c)Cu doua necunoscute:

x = lungimea; y = latimea

Sistemul:   

 cm lungimea

 cm latimea

Solutie aritmetica

La fel ca la prima problema

229)Solutie aritmetica

Se aduc fractiile la acelasi numitor si se considera ca parti proportionale numai numaratorii:

Folosim sirul de rapoarte egale care este egal cu raportul perimetrelor:

230)Solutie aritmetica

Folosim sirul de rapoarte egale:

231)Solutie algebrica

x = DC (baza mica)

Aria trapezului = 32 m2

 m baza mica DC

Notam EF cu x

 dreapta EF

232)Solutie aritmetica si geometrica

În figura alaturata diametrul

Regula: Diametrul perpendicular pe o

coarda împarte coarda în doua parti

egale.

În triunghiul dreptunghic AOM avem:

Teorema lui Pitagora:

În triunghiul dreptunghic CON avem:

Teorema lui Pitagora:

233)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

L = lungimea = x; l = latimea =; h = înaltimea = 60 dm = 6 m

Volumul paralelipipedului:

Aria laterala a paralelipipedului:

 m lungime

 m latimea

b)Cu doua necunoscute:

x = lungimea; y = latimea

Sistemul:

 latimea

 lungimea

234)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

x = lungimea bazei;  latimea bazei

10 m = înaltimea paralelipipedului

2x = doua lungimi

 = doua latimi =

Ecuatia:

 m lungimea bazei

 m latimea bazei

b)Cu doua necunoscute:

x = lungimea bazei; y = latimea bazei

Sistemul :

 m lungimea bazei

 m latimea barei

Probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor de gradul II

235)Solutie algebrica

x = primul numar; (x + 2) al doilea numar

Formula generala a ecuatiilor de gradul II:

Ecuatia:

R : 14, 16 sau -16, -14

236)Solutie algebrica

a)Cu o necunoscuta:

x = primul numar; (42 - x) al doilea numar

Ecuatia:

b)Cu doua necunoscute:

x = primul numar; y = al doilea numar

Sistemul:

Deci: y1 = 18; y2 = 24

237)Solutie algebrica

x = vârsta actuala

(x + 3) = vârsta peste 3 ani

(x - 3) = vârsta de acum 3 ani

Vârsta de acum 3 ani este agala cu radacina patrata a vârstei peste 3 ani

Ecuatia:

Solutia martematica este la dispozitia rezolvitorului.

238)Solutie algebrica

x = prima cateta ; (14 - x) = a doua cateta

Aria triunghiului=

La triunghiul dreptunghic aria este produsul catetelor împartit la 2

Ecuatia:

239)Solutie algebrica

x = prima diagonala; 34 - x = a doua diagonala

 m latura rombului

Ecuatia este formata din teoarema lui Pitagora într-unul din triunghiurile dreptunghice, format din jumatatile diagonalelor si latura corespunzatoare.

Simplificam cu 2

240)Solutie aritmetica

x = primul numar cu sot;

(x + 2) = al doilea numar cu sot (consecutiv)

(x + 4) = al treilea numar cu sot (consecutiv)

Ecuatia:

Simplificam ecuatia cu 3

Deci:  4,6 8 cele trei numere cu sot consecutive

241)Solutie albebrica

x = primul numar; y = al doilea numar

Sistemul:  

Înlocuim x + y din ecuatia a doua cu 16 :

Verificam:

242)Solutie algebrica

x = prima cateta;  a doua cateta

Folosim teorema lui Pitagora:

243)Solutia algebrica

x = ipotenuza; (x + 9) = o cateta; (x + 18) = a doua cateta

Folosim teorema lui Pitagora:

 cm prima cateta;  cm a doua cateta

244)Solutie algebrica

x = latura patratului

x - 2 = lungimea dreptunghiului obtinut

x - 5 = latimea dreptunghiului obtinut

Ecuatia:

245)Solutie algebrica

x = diametrul cilindrului

  raza cilindrului

 = generatoarea cilindrului

Aria laterala a cilindrului =

Ecuatia:  simplificam cu 3,14

 m diametrul

 m raza bazei cilindrului

246)Solutie algebrica

x = diametrul cazanului

x + 2,4 = înaltimea cazanului

= raza bazei cilindrului

Aria totala a cilindrului =

Ecuatia:   Simplificam si obtinem:

 Simplificam cu - 3

 m raza;  m înaltimea

247)Solutie algebrica

Folisim formula volumului trunchiului de con:

x = raza mare a conului

Ecuatia:

Simplificam ambii membri ai ecuatiei cu 3,14 si obtinem:

Este valabila radacina - 2 luata cu semnul plus sau:

Este valabila paranteza:

Verificare:

248)Solutie algebrica

x = raza bazei mari ;  = generatoarea

Folosim formula ariei laterale a trunchiului de con:

Ecuatia:

Simplificam cu - 5

 m generatoarea trunchiului de con

III.Probleme diverse

249)Solutie algebrica

x chintale grâu obtinute prima data

y chintale ovaz obtinute a doua oara

Sistemul:

 chintale ovaz

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

 chintale grâu

250)Solutie algebrica

x = numarul de baieti care s-au dus la râu

x - 8 = numarul de bîieti ramasi pe mal

 = numarul de baieti care au trecut a doua oara pe celalalt mal

 au ramas pe primul mal

Ecuatia: 

Verificare:

251)Solutie algebrica

x = kg de cartofi au fost la început în lada

12 kg cartofi s-au consumat prima data

 x - 12 au ramas

 kg cartofi s-au consumat a doua oara

 kg cartofi consumati în total

 kg au ramas în lada

Ecuatia:

 kg cartofi erau în lada

Verificare:

252)Solutie algebrica

Se egaleaza numarul de transporturi facute pâna la amiaza la cele doua cladiri, stiind ca la a doua cladire s-au facut cu 3 transporturi mai putin:

 t cara un camoin la prima cladire la un transport

 t cara un camoin la cladirea a doua la un transport

x = cantitatea de ciment care trebuia transportata la fiecare cladire

 numarul de transporturi la prima cladire

 numarul de transporturi la a doua cladire

Ecuatia:

 t ciment care s-au carat la fiecare cladire

253)Solutie algebrica

x = numarul de zile în care au lucrat împreuna cei doi muncitori

Toata lucrarea reprezinta un întreg

 lucreaza pe zi primul muncitor

 lucreaza pe zi al doilea muncitor

Ecuatia:

 zile a lucrat muncitorul I

254)Solutie algebrica

1 = un întreg reprezinta materialele carate

 cara primul camion pe ora

 cara al doilea camion pe ora

Ecuatia:

 ore a lucrat primul camion

255)Solutie algebrica

x = numarul de dal apa în primul butoi

y = numarul de dal apa în al doilea butoi

Sistemul:

 dal în al doilea butoi

Introducem valoarea lui y în prima ecuatie:

 dal butoiul II

256)Solutie algebrica

x = numarul de zile în care ar putea lucra lotul brigada I

y = numarul de zile în acre ar putea lucra lotul brigada II

1 = un întreg reprezinta lucrarea lotului

= cât lucreaza prima brigada pe zi

 = cât lucreaza a doua brigada pe zi

Sistemul:

Folosim urmatorul artificiu de calcul:

Introducem valoarea lui b în ecuatia:

 zile lucreaza prima brigada

 zile lucreaza a doua brigada

Deci: x = 6; y = 12

257)Solutie algebrica

x zile ar recolta prima combina toata cantitatea

y zile ar recolta a doua combina toata recolta

 lucreaza pe zi prima combina

 lucreaza pe zi a doua combina

 1 reprezinta întreaga recolta

Sistemul:

Daca ambele combine termina recolta în 6 zile, jumatate din recolta va fi terminata în 3 zile (priviti a doua ecuatie).

Egalam cele doua jumatati.

Folosim artificiul de calcul:

Introducem valoarea lui b în ecuatia :

Verificarea sistemului:

Introducem valorile luia si b în :

258)Solutie algebrica

x costume a lucrat primul atelier în ianuarie

y costume a lucrat al doilea atelier în ianuarie

Sistemul: 

Simplificam ecuatia a doua cu 3:

 costume în ianuarie al doilea atelier

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

 costume în ianuarie primul atelier

 - cu 63 costume a lucrat mai mult primul atelier în luna februarie

 costume a lucrat primul atelier în luna februarie

 - cu 36 costume a lucrat mai mult al doilea atelier în luna februarie

 costume a lucrat al doilea atelier în luna februarie

Verificare:  costume au lucrat ambele ateliere

259)Solutie algebrica

x lei primea primul muncitor pe zi

y lei primea al doilea muncitor pe zi

Sistemul:

Introducem valoarea lui y în ecuatia:

260)Solutie algebrica

x = numarul de copii

y lei costa enciclopedia

Sistemul:

Introducem valoarea lui x în ecuatia:

 pretul enciclopediei

261)Solutie algebrica

Notam cu 1 capacitatea bazinului

x = numarul de ore în care se poate umple bazinul primul robinet

y = numarul de ore în care se poate umple bazinul al doilea robinet

 curge pe ora primul robinet;   curge pe ora al doilea robinet

Sistemul:

  Am folosit artificiul de calcul:

Introducem valoarea lui a în ecuatia: