Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza
Upload



















































Realizarea spatiilor de apoximare rough ale lui Pawlak prin metoda "Identificarii exacte"

Matematica












ALTE DOCUMENTE

Proiect de lectie - Matematica si stiinte ale naturii
SIMULAREA TEZEI CU SUBIECT UNIC LA MATEMATICĂ
Modelul matematic general al problemelor de tip transport
Rezultatele fundamentale in programarea liniara.(Formularea problemeide programare liniara.)
CALCULUL RADIERELOR PE MEDIU WINKLER - BOUSSINESQ
Olimpiada de matematica
Proiectul unitatii de īnvatare - APLICAŢII ALE DERIVATELOR
Eroarea teoretica a mediei aritmetice
TABLOUL PRIMITIVELOR IMEDIATE
Varianta 1 matematica

Realizarea spatiilor de apoximare rough ale lui Pawlak prin metoda "Identificarii exacte"

          Multimea putere P(x) a universului X si familia tuturor functionalelor caracteristice (functii cu valoarea din X) sunt in corespondenta biliniara (unu la unu) cu privire la harta care asociaza fiecarei submultimi A a luiX functionalul Xa(x) : X   dafinit ca Xa(x)=



          In cele ce urmeaza vom considera mai multe spatii de aproximare vaga pentru toate teoriile "rough", toate fiind caracterizari ale unei structuri abstracte definita in felul urmator: d:= unde :

          1) este o latice completa in raport cu relatia de ordine partiala, legata decel mai mic element 0 si cel mai mare element 1. si  , elementele din sunt interpretate drept concepte, date, etc. si se numesc elemente aproximabile.

          2) D() este o sublatice a lui a acelor elemente numite definibile (descriptibile), satisfacand urmatoarele axiome 10210v2117k :

          Axioma 1: Pentru orice x, exista (cel putin un element) i(x) astfel incat:

          i(x)

          i(x) x

          i(x))

          Axioma 2: Pentru orice element aproximabil x, exista (cel putin) un element O(x)astfel incat:

          O(x)

          x O(x)

      ; sau altfel zis, i(x) respextiv O(x) este cea mai buna aproximare superioara sauinferioara prin elemente definibile.

     Pentru otice element aproximabil x, elementele definibile interior si exterior i(x) si O(x), a caror existenta ete asigurata de axiomele 1) si 2), sunt unice.  De aceea este posibil sa introducem harta aproximarii interne, i:, si harta aproximarii exterioare O:, definit pentru : i(x):=max, O(x):=min. Aproximatia difuza a oricarui elementaproximabil x este atunci perechea ordonata r(x)=(i(x),O(x)), cu i(x)x O(x), care este imaginea elementului x prin harta de aproximatie ifuza r:, descrisa e urmatoarea diagrama:

 

                         

                      

Un element x din X este numit exact daca si numai daca aproximarea lui interna coincide cu cea externa i(x)=O(x), sau echivalent, daca aproximarea difuza a lui este cea triviala r(x)=(x,x). Din definirea i(x), O(x) rezulta ca aceasta se intampla daca x este definibil. Deci D() este multimea tuturor elementelor exacte.

Abordarea "ortodoxa" (clasica) a lui Pawlak a teoriei multimilor difuze

          Universul, formal bazat pe perechea (X, (X)) consierand dintr-o multime nevida X si o partitie (x)= a lui X avand ca elemente multimile elementare. Partitia (x) poate fi caracterizata e reletia e echivalenta indusa RXX, definita ca (x,y) R  daca  Mj  (x) :x,y  Mj  .  In acest caz spunem ca x si y indecelabile in raport cu  R  si relatia R    este numita relatie de indecelabilitate. In cazul unui univers X care este un spatiu metric compact in raport cu o functie distanta(metrica) oarecare d:XxXR+ definita pe el, multimea x a tuturor functiilor cu valori in de pe X poate fi considerata paret integranta a algebrei C* <B (C* ),+,0,1> a tuturor functiilor cu valori complexe marginite definite pe X, echipata cu operatiile uzuale de suma si prous, operatia de involutie-adjunctare, care tine de convergenta uniforma =sup . In particular functiile cu valori in au proprietatea de a fi proiectii ale algebrei C* ,B(C*) adica sunt :

1)     adjuncte

2)     marginite

3)     indeplinite [(Xaazzzaaadfgh  A)2= Xaazzzaaadfgh  A ]

In cele ce urmeaza, extinzand aceasta ternminologie la cazul general al unui univers X, functiile cu valori in efinite pe X se numesc proiectii.

Multimea x a tuturor functionalelor caracteristice definite pe X determina  o algebra Boole completa, atomica <x,0,1> unde0 si 1 sunt functionalele caracteristice ale multimii vide [xX,0(x)=0] si a intregului univers [xX,1(x)=1]. Operatiile  sunt definite xX de proprietatile:

1) (Xa  Xb)(x)=min=max= Xa(x)Xb (x)

2) (XaXb )(x) = max =min =

    = Xa(x)+Xb (x)- Xa(x)Xb (x)

4)     (Xa)(x)=(1- Xa)(x)=

Harta X: P(X)x, AXA, este in mod evident un izomorfism de latici booleene identificand P(x) si x, fiindca :



          X = XA XB

                X=  XA XB

            XAc= XA

Izomorfismul pastreaza de asemenea relatia de ordine partiala deoarece AB x, XA(x) XB(x).

Sa consideram acum un spatiu de aproximare "rough"  determinat pe un univers X finit,de o partitie (finita) (x)=[Mi : iI} a multimii elementare ( extensiala un univers generic cu o partitie numarabila e imediata). Multimea corespondenta a functionalelor caracteristice , imprumutand terminologia analiza functionala , este o identitate precis determinata  P:IX,iP(c)=  XM, , in sensul ca satisface proprietatile:

1) toate functionalele P(i) sunt proiectii nenule ( cu valori reale, marginite si idempotente)

2) ij, P(i) P(j)  P(i)P(j)=0 (conditia de ortogonalitate)

3) iI  P(i)=1

Laticea booleana corespunzatoare  (x)=[Mj : JP(I)} de multimi definibile poate fi reprezentata de familia functiilor caracteristice

care genereaza o masura P cu valori-proiectie

P:P(I) x  , J P(J)=XMj in sensul ca satisface urmatoarele proprietati.

          P1)  P(I)=1

          P2)  J1UJ2=0

          P3) pentru orice familie de submultimi (distincte doua cate doua) ale lui I, avem P(UJn)= P(Jn).

          In cazul unui sistem de reprezentare a cunostintelor finit si cu set de real valori reale val(x)  R, - partitia (x)=, introducand pentru simplificare notatia P=XM(), genereaza rezolutia de identitate , precum si identitatea spectrala de rezolutie a observabilei reale f.

          Deci aceasta implica satisfacerea urmatoarelor conditii suplimentare::

                       f=i P(i)

          Observati ca in contextul unei reprezentari exacte, a lui P(x), daca pentru simplificare notam:

                       P()=X  f-1(),

In analogie cu fundamentele mecanicii cuantice in abordare exacta, conditiile anterioare (P1-P3) iau forma unei masuri cu valori proiectie:

          P1):  P(val()=1

          P2): 12= P(1) P(2)

          P3): pentru orice familie de submultimi disjuncte doua cate doua ale lui val() avem ca

                      P(U n)=P(n).

Spatii de aproximare Fuzzy-Rough

          Sa ne amintim ca notiunea de functionala caracteristica pe universul X poate fi generalizata la notiunea de Fuzzy-Set definit ca o functie pe X, f:X[0,1]. Cea mai interesantastructura algebrica implicand multimi fuzzy este algebra BZMV de tip De Morgan.

          <[0,1]x,0,1,> cu operatiile definite astfel:

          fg=min

          fg=max

     f(x)=(1-f)(x)

  f(x)=

Dupa Chang, substructura algebrica <[0,1]x,0,1> este o algebra standard MV .

Sa ne amintim ca intr-o algebra MV putem introduce de asemenea urmatoarele operatii:

(f g)(x)=[(fg)g](x)




(fg)(x)=[fg)g](x)

(fLg)(x)=(fg)(x)

Primele doua noi operatii sunt operatii de latice binara, generand ordinea partiala:

fg daca fg=f daca fLg =1

Trivializand, pe multimi fuzzy, relatiile de mai sus iau formele:

 (f g)(x)=min si  (fg)(x)=max mai mult ordinea partiala se dovedeste a fi ordonarea punctuala a functiilor de valori reale: fg daca xX, f(x)g(x). Cea de-a treia operatie binara corespunde implicatiei Lucasicnoicz conective pentru logicile cu valori multiple de adevar.

          (fLg)(x)=min

          In ceea ce priveste ordinea partiala, substructura

          <[0,1]x,0,1> este o latice distributiva de tip Browner-Zadeh (BZ) echipata cu doua negatii neclasice: negatia Kleene (cea care incalca principiul noncontradictiei ff0, si principiul tertului exclus ff1), si negatia Browner (care poate incalaca legea negatiei duble puternice, adica ff, si principiul tertului exclus ff1)

          Oricarei multimi difuze f [0,1]x putem sa-i asociem doua submultimi ale universului X

          I(f)=, O(f)=

numite suport intern (interior) si suport extern sau (exterior).

          In contextul teoriei fuzzy-set se poate construi spatiul de aproximare fuzzy-rough:

           Af=<[0,1]x,x, H,Y> considerand in:

1)    laticea completa distributiva de tip BZ [0,1]x a tuturor multimilor difuze ca elemente aproximabile

2)      laticea booleana completa x a tuturor multimilor clasice ca elemente definibile.

3)     Harta aproximarii interne H: [0,1]xx care asociaza oricarei multimi fuzzy f, necesitatea ei exacta H(f)=XI(f), adica cea mai buna aproximare in lipsa a lui f prin elemente(multimi) exacte.

4)      Harta aproximarii externe, asociind oricarei multimi fuzzy f probabilitatea ei Y(f)=XO(f), cea mai buna aproximare a lui f prin adaos prin multimi exacte.

Sa ne amintim ca hartile H,Y sunt operatori modali S5 pe laticea distributiva Kleene a tuturor multimilor fuzzy, adica ele constituie o algebrizare a modelului logicii modale, pe o structura K-S5. K, laticea de baza nu este algebra Boole ci Kleene.

Aproximatia rough a unui fuzzy-set este deci urmatoarea pereche :

     r(f)=(X,(f),X0(f)), cu XI(f)fX0(f)

     r(f)(I(f),O(f)), cu I(f)O(f).

In analogie cu abordarea ne-exacta a mecanicii cuantice, putem construi spatii de aproximare Rough generalizand notiunea de rezolutie de identitate la rezolutia de fuzzy de identitate.

O rezolutie fuzzy de identitate (=partitie a universului0 este orice colectie f(x)= de multimi fuzzy satisfacand urmatoarele conditii:

1)  fi sunt cu valori reale, nenule [fi0] pozitive si cu absorbtie [0fi1] astfel zis fi[0,1]x.

2) ij, fi fj (in general, asta nu implica fi fj=0) conditia de ortogonalitate.

3) fi=1 (rezolutia de identitate)

Oricarei rezolutii de identitate f(x) a lui X ii putem asocia doua familii de submultimi:

I(f(x))=

O(f(x))=

Numite acoperirile interioare si exterioare ale lui X induse pe f(x).

          Granula interioara si granula exterioara determinata de partitia f(x). Pe I in punctul xX, sunt definite ca :

          Gi(x)=, g0(x)=

          Granula interioara poate fi vida, dar urmatorul lant de incluziuni ramane valabil:

          gi(x) g0(x)

          Acum dorim sa aratam cum poate fi obtinuta canonic ca realizare fuzzy a unei rezolutii de identitate exacta.

          Fie o variabila aleatoare f:Xval(x), asociata unui atribut dintr-un sistem de reprezentare a cunostintelor Si. Fie identitatea spectrala a lui f, satisfacand in particular conditia spectrala f=iP (i).

          Atunci pentru orice functie u:val()[0,1] cu multimea de valori in mod necesar finita, putem introduce:

F(u)=P()care este o multime fuzzy F(u) =Xf-1 (x).

          Aceasta multime fuzzy e realizata pe aceeasi partitie  (x)= a atributului, setul valorilor posibile s-a scimbat insa de la R, la valorile [0,1].













Document Info


Accesari: 1155
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.




Coduri - Postale, caen, cor

Politica de confidentialitate

Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2019 )