Relatia binară pe o multime
Definitia III.1. Fie M o multime nevidă. Se numeste relatia binară R pe M o parte a produsului cartezian MxM. Dacă x M este relatia R cu y M, atunci scriem xRy sau (x,y) R. Deci o relatie binară se referă la perechile de elemente din M.
Proprietăti ale relatiilor binare pe o mul# 23423i89x 5;ime:
1. Relatia binară R pe multimea M se numeste reflexivă dacă " a M avem pe aRa.
2. Relatia binară R pe multimea M se numeste simetrică dacă " a,b M avem aRb implică bRa.
3. Relatia binară R pe multimea M se numeste antisimetrică dacă " a,b M, aRb si bRa implică a=b.
4. Relatia binară R pe multimea M se numeste tranzitivă dacă " a,b,c M, aRb implică bRc implică aRc.
Definitia III.2. Se numeste greficul relatiei R definită pe M multimea G = .
Definitia III.3. O relatie binară R definită pe o multime nevidă M se numeste relatie de echivalentă dacă ea este reflexică, tranzitivă si simetrică.
Exemplu: Fie N multimea numerelor naturale si numărul 3 fixat. Pe N stabilim următoarea relatie R: a si b din N sunt în relatie cu R, dacă a si b împărtite la 3 dau acelasi rest. Scriem a b (mod 3); de pildă 4 1 (mod 3). Aceasta este o relatie de echivalentă.
Definitia III.4. Fie M o multime. R o relatie de echivalentă pe M si a un element fixat din M. Se numeste clasă de echivalentă corespunzătoare elementului a multimea Ca = . Două clase de echivalentă Ca si Cb sau coincid (când aRb) sau sunt disjuncte.
Definitia III.5. Fie M o multime si R o relatie de echivalentă pe M. Se numeste multimea cât a lui M în raport cu relatia R si se notează M/R multimea claselor de echivalentă.
Definitia III.6. Fie M o multime nevidă. Se numeste relatie de ordin pe M o relatie binară care este reflexivă, tranzitivă si antisimetrică.
Se notează: "<" sau " "
De exemplu: relatia cunoscută de ordine naturală " " pe N, Z, Q si R este o relatie de ordine.
Definitia III.7. Fie M o multime nevidă si " " o relatie de ordin pe M. Această relatie de ordin se numeste relatie de ordine totală dacă oricare două elemente ale lui M sunt comparabile adică "a,b M avem sau a<b sau b<a. Multimea înzestrată cu o relatie de ordine totală se numeste multime total ordonată.
Definitia III.8. Fie M o multime nevidă. O relatie de ordine pe M se numeste relatie de bună ordonare dacă orice parte nevidă a lui M are un cel mai mic element. Multimea M, cu această relatie de bună ordonare, se zice bine ordonată.
O relatie de bună ordonare pe M este o relatie de ordie totală pe M.
|
