Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza
Upload


loading...

















































ANALIZA STĂRII DE DEFORMAŢIE

tehnica mecanica












ALTE DOCUMENTE

Varianta 56
Instalatia experimentala
Vitopend 100WHO
Masini de danturat roti dintate cilindrice si roti melcate prin rulare, cu frezâ-melc
PRODUCŢIE DE SISTEME PVC PENTRU UsI sI FERESTRE
Descrierea tablourilor electrice de distributie de joasa tensiune si de automatizare
Aplicarile Telefonice
MOD DE SETARE AL PARAMETRILOR
Unitati de mǎsura în sistemul international
DIAGRAMA ENERGETICA A MOTORULUI ASINCRON

IV

Analiza starii de deformatie

 



Dupa cum s-a aratat, gradul de solicitare al unui corp se evidentiaza prin notiunea de tensiune. Tensiunea nu se poate masura direct. Tensiunile se pot determina cunoscând marimea deformatiilor corpului.

  Deoarece experimental masurarea deformatiilor se poate face numai pe suprafata exterioara a solidului, studiul starii plane de deformatie intereseaza în mod deosebit. În ansamblul ei starea de deformatie reda modificarile geometrice ale corpului solicitat si indirect energia inmagazinata în acesta.

Se numeste stare de deformatie într-u 19219v2119t n punct ansamblul marimilor ce permit caracterizarea distributiei deformatiilor în jurul punctului.

IV.1 Deplasari si rotiri. Deformatii

IV.1.1 Deplasari si rotiri

Concomitent cu starea de tensiune indusa într-un corp, are loc o distorsionare a dimensiunilor evidentiata de deplasarile punctelor si rotirile acestora, solidul modificându-si forma si dimensiunile initiale.

Se considera solidul pozitionat în sistemul de axe Oxyz. În urma solicitarii, punctul M din interiorul lui ajunge în pozitia M', (fig. IV.1).

Vectorul se numeste deplasarea totala a punctului M si are marimea . Proiectiile sale dupa axele x, y, z sunt u, v, w. La grinzi deplasarile v si w se numesc sageti.

Se pot scrie urmatoarele relatii:

(IV.1)

Asociat punctului M se ia punctul P ce determina segmentul MP, fig. (IV.1); în urma solicitarii acesta ocupa pozitia M'P' rotita relativ fata de pozitia sa initiala cu unghiul j. Rotirea j se masoara în radiani; se reprezinta în planul de rotire sub forma unui arc de cerc sau vectorial. Vectorul rotire are marimea data de valoarea unghiului j si orientarea normala pe planul de rotire. Componentele dupa axele x, y, z sunt rotirile jx, jy, jz. Prin prisma sistemului de axe folosit, se adopta semnul plus pentru rotirea în senul de înaintare dupa axa a surubului drept..

Fig. IV.1 Deformarea solidului

În fig. (IV.2) este prezentata rotirea jy a capatului barei solicitata conform figurii:

Fig. IV.2 Rotirea jy a capatului barei

Rotirea se refera la toate punctele dreptei de capat, deci fiecare punct se roteste cu . Rotirea ca sa poata fi evidentiata pentru un punct, acesta trebuie asociat altui punct.

IV.1.2 Deformatii

  Datorita deplasarilor si rotirilor, corpul se deformeaza. Se considera în interiorul corpului un punct oarecare M pozitionat într-una din intersectiile muchiilor dintr-un volum elementar. În urma deformatiei, paralelipipedul elementar îsi modifica lungimile muchiilor si valoarea unghiurilor dintre fetele paralelipipedului. Astfel, segmentul MP, fig. (IV.3), de lungime infinit mica (diagonala paralelipipedului) ds are o variatie a lungimii D(ds) sub actiunea sistemului de forte, numita si lungire (scurtare), lungimea segmentului devenind ds'. Rezulta ca:

ds' = ds + D(ds).

Fig. IV.3 Variatia lungimii elementare ds

. (IV.2)

La limita obtinem deformatia specifica e:

. (IV.3)

Se observa ca e este o marime adimensionala, deoarece reprezinta o variatie a lungimii raportata la lungimea initiala. În domeniul determinarii experimentale a tensiunilor, este avantajos ca e sa se exprime în mm/m; astfel se reda raportul lungire (scurtare)/lungime.  Daca D(ds) > 0 deformatia se numeste lungire (e - lungire specifica), iar daca D(ds) < 0 deformatia se numeste scurtare (e - scurtare specifica).

Proiectiile lungimii elementare ds fiind dx, dy, dz, modificarea marimilor lor va caracteriza deformatiile liniare din jurul punctului M dupa cele trei axe, sub forma:

;

; (IV.4)

.

Experimental la o bara de sectiune dreptunghiulara s-a observat ca, în cazul solicitarii dupa directia x, fig. (IV.4), nu se modifica unghiurile muchiilor barei. Aceasta se explica prin faptul ca axa x este axa de simetrie si axa principala pentru tensiunile normale; axa pe care tensiunile tangentiale fiind nule, nu se produc lunecari. Are loc o micsorare a sectiunii transversale. Astfel, pentru dimensiunile initiale ale sectiunii transversale b si h care, dupa lungire devin b' si h', contractia transversala va fi:

Dh = h' - h;

Db = b' - b.

iar contractia transversala specifica :

. (IV.5)

Experimental s-a constatat ca între contractia transversala specifica si lungirea specifica exista o relatie de proportionalitate de forma:

, (IV.6)

unde (niu) poarta denumirea de caracteristica mecanica definit de coeficientul de contractie transversala (coeficientul lui Poisson) (tabelul IV.1); semnul minus arata ca pe celelalte doua directii muchiile se scurteaza.

Daca bara de lungime l în loc sa se întinda se comprima, atunci deformarea are loc în sensul scurtarii ei, iar în sectiunea transversala are loc o umflare a acesteia; relatia (IV.6) îsi pastreaza valabilitatea.

Fig. IV.4 Contractia transversala

În tabelul (IV.1) sunt date valorile coeficientului de contractie transversala n pentru diferite materiale.

Tabelul IV.1 Coeficientul lui Poisson pentru diferite materiale

Materialul



Otel carbon

0.24 ¸ 0.28

Otel aliat

0.25 ¸ 0.3

Fonta cenusie si alba

0.23 ¸ 0.27

Bronz fosforos

0.32 ¸ 0.35

Alama

0.32 ¸ 0.42

Aliaje de aluminiu

0.32 ¸ 0.36

Beton (marca 100-300)

0.16 ¸ 0.18

Cauciuc

0.47

Pentru caracterizarea deformatiilor unghiulare se considera în interiorul corpului un unghi drept, fig. (IV.5), cu laturile având lungimi elementare care, în urma solicitarii, capata valoarea .

Fig. IV.5 Deformatii unghiulare

La limita diferenta dintre unghiuri are valoarea:

, (IV.7)

 

unde (gama) reprezinta lunecarea specifica (s-a ales ca unitate de masura de referinta unghiul drept); se masoara în radiani si este considerata pozitiva când unghiul drept se micsoreaza. Prin lunecarea specifica g, care are valori foarte mici exprimate în radiani, se reflecta si deplasarea capetelor laturilor unghiului studiat în baza ipotezei deformatiilor mici, fig. (IV.6).

  În consecinta, într-o solicitare, unghiurile unui solid definit în sistemul ortogonal Mxyz se vor modifica cu valorile , , . Primul indice reprezinta directia uneia din tensiunile t considerate, directie identica cu latura studiata din planul în care se manifesta tensiunea,  iar al doilea indice, defineste directia tangentei la traiectoria rotirii muchiei. Pentru cazul studiat, fig. (IV.5), se poate scrie:

În fig. (IV.6) este prezentata deformatia unghiulara a cubului elementar într-un singur plan yz.

Fig. IV.6 Deformatia unghiulara a cubului elementar

IV.2 Relatii între deplasari si deformatii

În studiul starii de deformatii din jurul unui punct este necesar sa se stabileasca prin relatii legatura între deplasari si deformatii.

  Se considera un punct M dintr-un corp, care în urma solicitarii ajunge în pozitia M' (). Componentele deplasarii u, v, w depind de pozitia punctului, fiind functii continue ale mediului continuu: ; ; , fig. (IV.7). Se poate scrie:

Fig. IV.7 Componentele deplasarii punctului M

În vecinatatea punctului M se considera punctele B, C, D la distantele dx, dy, dz. Componentele deplasarilor vecinatatilor punctului M, deoarece sunt functii continue, se pot descompune în serii Taylor de la care se considera numai derivata de ordinul întâi.

Rezulta:

-         punctul B orientat dupa axa x ajunge în pozitia B' si se deplaseaza cu ; ; ;

-         punctul C orientat dupa axa y ajunge în pozitia C' si se deplaseaza cu ; ; ;

-         punctul D orientat dupa axa z ajunge în pozitia D' si se deplaseaza cu ; ; .

Într-o reprezentare matriciala, variatia deplasarilor exprimate pentru cele trei puncte B, C, D considerate are forma:

(IV.7)




Primul termen din relatia (IV.7) este o matrice simetrica si reprezinta matricea deformatiilor ce se studiaza în cadrul acestui capitol, iar matricea antisimetrica reprezinta matricea deplasarilor rigide (rototranslatiilor).

În cazul proiectiei deplasarilor analizate, de exemplu în planul zx, rezulta situatia din fig. (IV.8).

Fig. IV.8 Proiectia deplasarilor în planul zx

Se poate calcula variatia D a lungimii elementare dx, astfel:

(IV.8)

Rezulta deformatia specifica sub forma:

. (IV.9)

; ; (IV.10)

. (IV.11)

(IV.12)

(IV.13)

Având valori foarte mici în raport cu unitatea, termenii si de la numitor s-au neglijat. Introducând relatiile (IV.12) si (IV.13) în relatia (IV.11) rezulta o relatie care exprima legatura între deformatia unghiulara si deplasarea punctelor ce o definesc:

.

Pe ansamblul planelor sistemului ortogonal, relatiile sunt:

; ; . (IV.14)

IV.3 Tensorul deformatiilor. Deformatii principale;
directii principale

  Ansamblul deformatiilor liniare si unghiulare definite de trei plane ortogonale cu originea în M sunt suficiente pentru a determina starea de deformatie.

  La fel ca si starea de tensiune, aceasta este determinata de sase componente distincte , , , , , . Având în vedere relatiile (IV.10) si (IV.14) si tinând seama de matricea deformatiilor din relatia (IV.7), rezulta tensorul deformatiilor specifice ce caracterizeaza complet starea de deformatie din jurul unui punct:

(IV.15)

Totodata, din studiul deformatiei unghiulare a paralelipipedului elementar (deformatie prezentata în fig. IV.6 pentru planul yz) si prin prisma relatiilor (III.13 si IV.15), se observa ca tensiunilor tangentiale le sunt asimilate lunecarile specifice .

Având în vedere ca, la rândul lor, deformatiile specifice sunt generate de tensiunea normala , înseamna ca exista o corespondenta între tensiuni si deformatii. În baza celor prezentate, se pot face substitutiile si ; pentru trecerea de la starea de tensiune la starea de deformatie.

Analiza starii de deformatie într-u 19219v2119t n punct arata ca proprietatile acesteia sunt analoage cu proprietatile starii de tensiune. Astfel, relatia (III.12) se transcrie, în cazul deformatiilor, sub forma:

(IV.16)

. (IV.17)

Radacinile , , sunt determinate de starea de deformatie si nu depind de sistemul de axe adoptat. Chiar daca axele se rotesc, invariantii starii de deformatie J1, J2, J3, pentru o solicitare data, au o aceeasi valoare. Expresia acestora este similara cu a invariantilor I1, I2, I3 la care se face substitutia mentionata anterior. Se obtine:

(IV.18)

(IV.19)

(IV.20)

unde este determinantul matricii asociate tensorului deformatiilor; scris pentru directiile principale 1, 2, 3 are forma:

(IV.21)

Pe directiile principale relatia (IV.16) se scrie:

(IV.22)

Ca si în cazul starii de tensiune, starea de deformatie poate fi spatiala, plana sau liniara în raport cu valoarea invariantilor.

  Odata determinate radacinile si înlocuite în sistemul de ecuatii (III.24) în care s-au facut substitutiile, se poate determina orientarea directiilor principale l, m, n. Sistemul de ecuatii pentru calculul lui l, m, n este urmatorul:

(IV.23)

  La corpurile omogene si izotrope, directiile tensiunilor principale si ale deformatiilor principale coincid. Lunecarile maxime se dezvolta pe planele bisectoare ale planelor principale de deformatie si au valorile: g4'4 = e1 - e2, g5'5 = e2 - e3, g6'6 = e3 - e1.



  Dimensiunile liniare ale paralelipipedului elementar dx, dy, dz variaza în urma deformarii capatând valorile , , . Variatia volumului elementar este:

(IV.24)

Neglijând termenii infinit mici de ordin superior rezulta:

(IV.25)

  Variatia specifica a volumului are valoarea:

(IV.26)

  Se observa ca nu variaza cu modificarea sistemului de axe, fiind un invariant (J1) al starii de deformatie.

  Notând cu intensitatea medie a deformatiilor specifice principale, adica

, (IV.27)

tensorul deformatiilor specifice scris pe directiile principale se poate descompune în doi tensori de forma:

, (IV.28)

unde:

, (IV.29)

este numit tensor sferic al deformatiilor specifice, iar:

(IV.30)

este numit tensor deviator al deformatiilor specifice.

Notând , si , si facând substitutie în relatia (IV.26), variatia specifica a volumului este:

, (IV.31)

fapt ce conduce la concluzia ca tensorul deviator corespunde deformatiilor specifice ce reflecta numai modificarea formei corpului.

IV.4 Starea plana de deformatie

Studiul starii plane se asimileaza cu studiul unei placi asezata între doua bacuri rigide, solicitarea facându-se în planul median. Având în vedere forma placii si pozitia uzuala de solicitare, în determinarea relatiilor de calcul se considera planul orizontal xy. În acest caz starea plana se dezvolta când deformatiile sunt împiedicate dupa axa z, , astfel ca avem .

Se considera un punct M care, în urma solicitarii, ajunge în pozitia M' (u, v), fig. (IV.9).

Fig. IV.9 Componentele deplasarii punctului M

În vecinatatea acestuia, la distantele dx si dy, se iau punctele B si C. Punctul P defineste marimea diagonalei ds din dreptunghiul MBCP format, diagonala înclinata cu unghiul a fata de axa x. Dreptunghiul defineste o fata a paralelipipedului de grosime constanta studiat. Deplasarile si deformatiile punctului M si a vecinatatilor acestuia sunt reprezentate în fig. (IV.10).

Fig. IV.10 Proiectia deplasarilor în planul xy

  Se observa ca marimea initiala a diagonalei are valoarea:

(IV.32)

  Dupa deformare, diagonala capata valoarea:

(IV.33)

  Dupa dezvoltarea parantezelor si neglijarea termenilor infinit mici de ordin superior si împartirea cu , rezulta lungirea specifica a diagonalei:

(IV.34)

Având în vedere relatiile dintre deplasari si deformatii, dupa înlocuire expresia (IV.34) capata forma:

. (IV.35)

Relatia (IV.35) stabileste marimea deformatiei sub un unghi a fata de axa x (). Pentru argumentul 2a relatia capata forma:

(IV.36)

Relatia (IV.36) se poate obtine direct din expresia tensiunii facând substitutia tensiunilor cu deformatiile corespondente. Continuând analogia cu teoria tensiunilor, se poate afirma ca în plan exista doua directii principale în care lungirile au valori extreme si , iar lunecarile din planele ortogonale sunt nule.

(IV.37)

Prin acelasi rationament directiile lungirilor specifice principale se determina cu relatia:

(IV.38)

. (IV.39) 

(IV.40)

(IV.41)

(IV.42)



loading...











Document Info


Accesari: 6405
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.




Coduri - Postale, caen, cor

Politica de confidentialitate

Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2019 )