DETECTIA SEMANALELOR BINARE ACOPERITE DE ZGOMOT

Detectia semnalelor de sub zgomot face parte din deciziile statistice si isi propune ca, pe baza semnalului receptionat compus din semalul emis si zgomotul canalului se puna in evidenta prezenta semnalului. Este vorba despre o decizie calitativa, neinteresandu-ne altceva decat prezenta sau absenta unui semnal cunoscut.

Problema detectiei semnalelor sosite la receptor in prezenta perturbatiilor, a prezentat intotdeauna interes prin aplicatiile largi pe care le are in domeniul transmiterii informatiilor cu putere mica sau la distanta mare.

Analiza urmeaza a se face asupra unor marimi probabilistice cum sunt zgomotele din canale. Sunt utile unele simplificari:

perturbatiile aleatoare introduse de canal au caracter aditiv, ceea ce inseamna ca intre semnalul receptionat si semnalul emis exista o diferenta care reprezinta perturbatia;

sursa de informatie genereaza un numar finit de simboluri discrete (are alfabet finit) astfel ca din emitator pot aparea un numar limitat de semnale (simboluri).

Receptorul analizeaza semnalul receptionat si detecteaza care simbol a fost emis de sursa. Aplicand vocabularul specific teoriei deciziilor se spune ca receptorul ia o decizie asupra semnalului sosit. Decizia pe care o poate lua receptorul trebuie sa tina seama de caracterul aleator pe care-l are transmiterea semnalelor cu perturbatii, deoarece un semnal-simbol se poate transforma in alt semnal-simbol prin adaugarea perturbatiilor, iar acesta transformare este total intamplatoare.

Decizia luata de receptor este in fond afirmarea unei ipoteze despre care se stie ca are cele mai multe sanse de a fi verosimila. De aici rezulta ca o detectie probabilistica a semnalelor urmareste obtinerea maximului unei functii de fidelitate, de apropiere intre decizia luata si semnalul transmis. Procesul de decizie se face pe baza observarii variatiei in timp a semnalului receptionat. Din acest punt de vedere se face o distinctie a metodelor d 727g66h e detectie dupa modul de observare a semnalului.

Semnalul receptionat poate fi observat:

in mod discret in diferite momente de timp t_i in care caz observatiile reprezinta observatii aleatoare;

in mod continuu in intervalul de timp T, in acest caz se observa un proces aleator;

observarea incepe la un moment bine determinat in raport cu o valoare data a semnalului, sa zicem τ dupa atingerea unei anumite valori. Acesta receptie se numeste coherenta. Daca intervalul τ este o marime aleatoare, atunci receptia este necoherenta.

in mod discret, dar numarul observatiilor este variabil in functie de decizia pe care o ia receptorul pe parcursul observatiilor. Detectia este in acest caz secventiala.

Cel mai simplu caz de detectie este detectia liniara - se foloseste ipoteza simpla a emisiei a numai doua semnale-simbol a caror parametrii sunt constanti.

In cazul emiterii mai multor semnale-simbol avem ipoteza multipla, iar in cazul emiterii unor semnale-simbol cu parametrii care iau mai multe valori avem de a face cu ipoteza compusa, situatii mai complexe pe care nu le studiem aici.

5.1 CRITERII DE DECIZIE BINARA

Se analizeaza transmisia semnalelor binare cu un emitator care emite unul din cele doua simboluri S₀ sau S₁. Schema bloc este urmatoarea:

S -sursa care genereaza simboluri

M-modulator

C-canal

P-sursa de perturbatii

R-receptorul care ia deciziile

In urma receptiei se ia o decizie din doua posibile . Deoarece si semnalul emis este binar rezulta patru situatii care au consecinte diferite :

S₀ emis - se ia decizia D₀

S₁ emis - se ia decizia D₁

S₀ emis - se ia decizia D₁

S₁ emis - se ia decizia D₀

Primele doua decizii sunt corecte iar ultimele doua decizii sunt eronate. De obicei deciziile eronate sunt mai rare decat cele corecte, iar deciziile eronate pot avea consecinte diferite dupa caracterul erorii. In multe cazuri, ca in radar spre exemplu, o decizie falsa poate avea consecinte mai grave decat cealalta decizie falsa, cum ar fi de exemplu decizia ca nu se afla nici un avion in zona cand de fapt acesta exista. Aceasta eroare se numeste in tehnica radar o pierdere, care este mult mai grava decat decizia alarmei false care indica prezenta unui avion cand de fapt acesta nu exista.

Din prezentarea sumara a deciziilor rezulta ca, in stabilirea criteriilor dupa care receptorul ia o decizie asupra semnalului receptionat, trebuie sa se tina cont de consecintele pe care le are fiecare decizie in parte, de probabilitatile emiterii celor doua semnale-simbol si de probabilitatile luarii fiecarei decizii, urmarindu-se obtinerea valorii extreme.

5.1.1 Criteriul lui BAYES

Criteriul de decizie al lui Bayes tine seama ca fiecare decizie din cele doua posibile, in cele doua situatii de emisie, are consecinte diferite, numite costuri. Un cost oarecare C_ij exprima consecinta luarii deciziei D_i atunci cand sursa a emis simbolul S_j. Acest criteriu presupune cunoscute probabilitatile de emisie a simbolurilor S₁ si S₀ adica se cunosc caracteristicile statistice ale sursei. Aceste probabilitati apriori ale sursei se noteaza cu P(S₀) si P(S₁) evident existand relatia: P(s₀) + P(s₁) = 1 .

Costul mediu de decizie, numit risc, depinde de caracteristicile statistice ale sursei, ale canalului si de costurile C_{ij .}

Expresia este:

G = P(S₁) P(D₁/S₁)C₁₁ + P(S₁)P(D₀/S₁)C₀₁ + P(S₀)P(D₀/S₀)C₀₀ + P(S₀)P(D_1/S₀)C₁₀ =

= P(C₁₁/S₁)C₁₁ + P(C₀₁/S₁)C₀₁ + P(C₀₀/S₀)C₀₀ + P(C₁₀/S₀)C₁₀ (1)

Minimizarea riscului constituie esenta criteriul lui Bayes si ne va conduce la o regula de decizie care contine componentele relatiei (1). In acesta relatie vom inlocui probabilitatile conditionate P(D_i/S_i) utilizand densitatea de probabilitate a semnalului receptionat P(r/S_i ). Regula de decizie ce se va obtine ne garanteaza ca nici un alt criteriu de decizie nu conduce la un cost mai mic. In relatia de mai sus avem:

P(D₁ /S₀) + P(D₀ /S₀) = P(D₁ /S₁) + P(D₀ /S₁) = 1   (2)

Probabilitatile din relatia (2) se determina observand semnalele sosite la receptie. Pentru aceasta se considera spatiul semnalelor receptionate divizat in 2 zone adiacente D si D . Daca semnalul observat r se plaseaza in zona D se considera corecta luarea deciziei D₀, iar daca semnalul sosit r se plaseaza in zona D se considera corecta luarea deciziei D₁. Semnalul observat r este un vector cu mai multe dimensiuni, functie de parametrii observabili ai semnalului receptionat, cu densitatea de probabilitate P(r/S_i), astfel incat se pot scrie relatii pentru probabilitatile luarii deciziilor :

P(D₀/S₀) = ò_D P(r/S₀)dr   P(D₁/S₀) = ò_D P(r/S₀)dr

P(D₀/S₁) = ò_D P(r/S₁)dr   P(D₁/S₁) = ò_D P(r/S₁)dr

In acest context costul mediu, G va fi:

G = C₁₁ P(S₁) ò_D P( r / S₁) dr + C₀₁ P(S₁) ò_D P( r / S₁) dr +

C₁₀ P(S₀) ò_D P( r / S₀) dr + C₀₀ P(S₀) ò_D P( r / S₀) dr (3)

In ultima relatie se vor face transformari care sa permita exprimarea riscului in functie de integrala probabilitatilor P( r / S₁) si P( r / S₀) in domeniul D

In acest scop se utilizeaza egalitatile :

P(D₀ / S₀) + P(D₁ / S₀) = ò_D P( r / S₀) dr + ò_D P( r / S₀) dr = 1

P(D₁ / S₁) + P(D₀ / S₁) = ò_D P( r / S₁) dr + ò_D P( r / S₁) dr = 1 si avem :

G = C₁₁ P(S₁) [ 1- ò_D P( r / S₁)] dr + C₀₁ P(S₁) ò_D P( r / S₁) dr +

C₁₀ P(S₀) ò_D P( r / S₀) dr + C₀₀ P(S₀) ò_D P( r / S₀) dr adica :

G = C₁₁ P(S₁) + C₁₀ P(S₀) + P(S₁) ò_D ( C₀₁ - C₁₁) P( r / S₁) dr -

- P(S₀) ò_D (C₁₀ - C₀₀)P( r / S₀) dr

G = C₁₁ P(S₁) + C₁₀ P(S₀) + ò_D [ P(S₁) ( C₀₁ - C₁₁) P( r / S₁) - P(S₀) (C₁₀ - C₀₀)P( r /S₀)] dr

In toate cazurile costurile deciziilor false sunt mai mari decat costurile deciziilor corecte ca atare : C₀₁ - C₁₁ si C₁₀ - C₀₀ > 0 ; tot asa cum P(r/S₁) si P(r/S₀) >0

Pentru ca riscul sa fie minim este necesar ca integrala pe D sa fie minima. Deoarece toti termenii sunt pozitivi integrala este minima daca domeniul D contine toate punctele pentru care :

P(S₁) ( C₀₁ - C₁₁) P( r / S₁) < P(S₀) (C₁₀ - C₀₀)P( r /S₀) (5)

Cu alte cuvinte limita de separare dintre domeniile D si D se scrie prin egalitatea termenilor relatiei (5)

Decizia D₀ se ia deci daca :   D₀

Datorita complementaritatii decizia D₁ se ia in cazul contrar si se demonstreaza ca daca (3) este redus la domeniul D

D₀

Se observa ca in relatia de mai sus este cunoscuta partea dreapta deoarece s-au presupus date valorile costului si statistica sursei .

K - se numeste pragul testului Bayes care se compara cu raportul:

L - denumit raportul de plauzibilitate

Raportul de plauzibilitate depinde numai de caracteristicile statistice ale zgomotului din canal si se calculeaza pe baza semnalelor receptionate.

5.1.2 Criteriul observatorului ideal

Acest criteriu de luare a deciziei rezulta din probabilitatea erorii definita astfel:

P(E) = P(S₀) P(D₁ / S₀) + P(S₁) P(D₀ / S₁)

Considerand relatiile : P(D₀ / S₀) = ò_D P( r / S₀) dr P(D₁ / S₀) = ò_D P( r / S₀) dr

P(D₀ / S₁) = ò_D P( r / S₁) dr P(D₁ / S₁) = ò_D P( r / S₁) dr

probabilitatea erorii devine :

P(E) = P(S₀) ò_D P( r / S₀) dr + P(S₁) ò_D P( r / S₁) dr

dar : P(D₁ / S₀) + P(D₀ / S₀) = P(D₁ / S₁) + P(D₀ / S₁) = 1

deci : P(D₁ / S₀) = 1 - P(D₀ / S₀) = 1 - ò_D P( r / S₀) dr

si deci : P(E) = P(S₀) ò_D P( r / S₀) dr + P(S₁) ò_D P( r / S₁) dr

= P(S₀) + ò_D P(S₁) P(r / S₁) - P(S₀)P(r / S₀) dr

Probabilitatea erorii este minima daca domeniul D contine acele puncte pentru care :

P(S₀) P( r / S₀) > P(S₁) P( r / S₁)

Criteriul de decizie care rezulta este:

D₀

Λ =

D₁

Comparand criteriul observatorului ideal cu cel al lui Bayes se observa ca ele coincid daca in cel de al doilea se cere C₀₀ = C₁₁ = 0 si C₀₁ = C₁₀ = 1, in acesta situatie riscul G fiind egal chiar cu probabilitatea erorii:

G = P(S₀) P(D₁ /S₀) + P(S₁) P(D₀ /S₁) = P(E)

Se vede ca luand decizia conform criteriului observatorului ideal, minimizarea probabilitatii erorii este echivalenta cu minimizarea riscului. Acest criteriu se utilizeaza cand nu se pot preciza valorile costurilor.

5.1.3 Criteriul probabilitatii aposteriori maxime

Conform acestui criteriu receptorul ia decizia pentru care probabilitatea aposteriori a simbolurilor emise de sursa este maxima. Probabilitatea aposteriori este probabilitatea de a se fi emis un anumit simbol, calculata dupa receptia semnalului. In consecinta receptorul ia decizia D₀ daca dupa receptia semnalului este satisfacuta inegalitatea:

P(S₀ / r) > P(S₁ / r)

sau : P(S₁ / r) - P(S₀ / r) < 0 si se ia decizia D₁ in caz contrar.

Calculul probabilitatii aposteriorii se face utilizand relatia lui Bayes, care presupune cunoscute probabilitatile apriori P(S₀) si P(S₁) precum si caracteristicile canalului.

P(S₀/r) =

P(S₁/r) =

In consecinta:

P(S₁/r) - P(S₀/r) =

In relatia de mai sus, numitorul fiind pozitiv, rezulta:

P(S₁)p(r/S₁) < P(S₀)p(r/S₀)

care conduce la criteriul de decizie

L = < D₀

L = > D₁

ceea ce inseamna ca in fond criteriul probabilitatii aposteriori maxime este un caz particular al criteriului Bayes (C₀₀=C₁₁ =0 C₀₁=C₁₀=1) si coincide cu criteriul observatorului ideal.

5.1.4 Criteriul min-max

Daca nu avem cunostinte asupra probabilitatilor apriori P(S₀) respectiv P(S₁), nu putem aplica nici unul din criteriile prezentate mai sus. In acest scop consideram drept variabila independenta probabilitatea P(S₁) si calculam riscul minim cu metoda lui Bayes, acesta devenind o functie de P(S₁). In general aceasta functie cu riscul mediu minim nu este o constanta, avand undeva un maxim. Din determinarea maximului rezulta o relatie intre costuri si probabilitatile deciziilor false de tipul å C_ij P(D_i/S_j)_i¹j=0 denumita relatie minmax. Metoda aceasta de decizie este acoperitoare deoarece rareori se intampla ca P(S₁) sa aiba tocmai valoarea care maximizeaza riscul, fiind dese cazurile contrare, in care riscul real este inferior celui acceptat ca maxim. Regula de decizie urmeaza sa depinda de costuri si de probabilitatile deciziilor.

Din expresia riscului inlocuind P(S₀)=1-P(S₁) obtinem  

G = P(S₁)P(D₁/S₁)C₁₁+ P(S₁)P(D₀/S₁)C₀₁+ P(S₀)P(D₀/S₀)C₀₀+ P(S₀)P(D₁/S₀)C₁₀=

= P(S₁)P(D₁/S₁)C₁₁+ P(S₁)P(D₀/S₁)C₀₁+ [1-P(S₁)]P(D₀/S₀)C₀₀+[1-P(S₁)]P(D₁/S₀)C₁₀

iar maximul se obtine daca

= P(D₁/S₁)C₁₁+ P(D₀/S₁)C₀₁- P(D₀/S₀)C₀₀- C₁₀ P(D₁/S₀) = 0

Dar: P(D₀/S₁)+ P(D₁/S₁)= P(D₀/S₀)+ P(D₁/S₀) = 1 si prin urmare relatia devine:

sau

C₁₁- C₀₀+( C₀₁- C₁₁)P(D₀/S₁)- (C₁₀- C₀₀)P(D₁/S₀) = 0

Aceasta este ecuatia minmax care arata legatura intre costuri si probabilitatile deciziilor false, pentru ca riscul sa fie maxim.

Daca C₀₀= C₁₁=0 si C₀₁= C₁₀=1 avem P(D₀/S₁)= P(D₁/S₀) drept ecuatie minmax.

Regula de decizie trebuie inteleasa ca numai un set de probabilitati si costuri duc la riscul maxim.

5.1.5 Criteriul Neuman-Pearson

In multe cazuri nu dispunem nici de valorile costurilor si nici de probabilitatile apriori ale semnalelor emise si nici nu acceptam valori arbitrare pentru acestea. Dorim sa obtinem un criteriu de decizie conform caruia probabilitatea unei decizii false sa nu depaseasca o valoare data, iar cealalta decizie falsa sa aiba probabilitatea minima. Pentru obtinerea regulii de decizie vom utiliza metodologia multiplicatorilor Lagrange considerand o functie dependenta de cele doua probabilitati ale deciziilor false:

F = P(D₀/S₁)+l [P(D₁/S₀)-a]

sau

l(1-a)-)-lP(D₀/S₀)

in care l este un multiplicator inca necunoscut, iar "a" este limita pe care nu o va depasi probabilitatea deciziei false P(D₁/S₀). Functia F are un minim pentru valoarea minima a probabilitatii P(D₀/S₁). Vom introduce relatiile integrale ale probabilitatilor si obtinem:

F =

Functia F are un minim cand integrala: este minima adica daca in D avem toate punctele pentru care: p(r/S₁) < l p(r/S₀) sau:

< l

atunci satisfacerea relatiei de mai sus coincide cu obtinerea unui minim al deciziei false P(D₀/S₁) semnalul receptionat r fiind plasat in D unde se ia decizia D₀. Regula de decizie este deci o relatie intre raportul de plauzibilitate D si multiplicatorul l

L = > l D₁

L = < l D₀

Pragul testului l urmeaza a se deduce din constrangerea impusa probabilitatii:

P(D₁/S₀) < a

Costatam ca se ia decizia D₁ cand s-a transmis S₀ in toate cazurile in care L conditionat de S₀ este mai mare ca l

P(D₁/S₀) = P[(L>l)/S₀] =

Integrala din relatia de mai sus nu poate depasi valoarea a in consecinta

= a

este utilizabila pentru calculul lui l, evident fiind nevoie de cunoasterea distributie de probabilitate a raportului de plauzibilitate L

5.2 Detectia discreta a semnalului binar

Consideram cazul transmisiei unui semnal binar care are la receptie amplitudinea A si perioada sau durata T. Receptia este coherenta adica se cunosc momentele la care incep sa se transmita semnalele. Semnalul emis are o forma ca in figura si soseste la receptie acoperit de un zgomot alb cu distributie gaussiana si putere s

s(t); r(t)=s(t)+z(t)

Din semnalul receptionat se extrag N esantioane care se vor prelucra. Analiza decizionala se face calculand raportul de plauzibilitate, in care vor intra densitati de probabilitate ale esantioanelor receptionate. Vor interesa in mod deosebit analizele asupra valorilor probabilitatilor deciziilor corecte si false, acestea oferindu-ne posibilitati de apreciere calitativa asupra procedeului de detectie. Din aceste probabilitati se va putea construi caracteristica de lucru a receptorului din care putem vedea oricand calitatea detectiei binare.

Calculul raportului de plauzibilitate

Daca se transmite S₀=0 la receptie se obtine zgomotul alb, ceea ce inseamna ca cele N esantioane luate de receptor vor fi:

r₁=n₁; r₂=n₂,.,r_N=n_N

in care n_i reprezinta esantioane ale zgomotului alb. Evident aceste esantioane sunt luate toate in intervalul de timp T cat dureaza emisia lui S₀=0. Cele N v.a. sunt independente avand distributia gaussiana cu valoare medie nula si dispersie s deoarece provin din zgomotul alb.

Densitatea de probabilitate a zgomotului alb este:

P(n) = exp[-]

P(n) = exp[-]

Densitatea de probabilitate a fiecarui esantion n_i i =1..N va fi:

P(n_i) = exp[-]

Probabilitatea p(r/S₀)=p(n₁,.., n_NS₀) si, deoarece cele N v.a. sunt independente, va fi egala cu produsul probabilitatilor p(n₁S₀), p(n₂S₀), .., p(n_NS₀) deoarece este vorba de intersectia a N v.a. independente realizate in ipoteza transmiterii lui S₀.

Deci p(r/S₀)= p(n₁, n₂, .., n_NS₀)= p(n₁S₀)p(n₂S₀)p(n_NS₀). Tinand cont de relatiile de mai sus avem:

P(r/S₀) = exp[-] = []^Nexp[-]

Daca se transmite simbolul S₁ de amplitudine A, la receptie raportul va lua esantioane din valoarea lui A+Z(t). Aceasta inseamna ca esantioanele vor avea valorile:

r₁=A+ n₁; r₂=A+ n₂, ., r_N=A+ n_N

in care n_i reprezinta v.a. gaussiene de medie A si dispersie s . Deoarece esantioanele sunt independente se va putea scrie:

P(r/S₁) = p(r₁, r₂, ., r_NS₁) = p(r₁/S₁) p(r₂/S₁). p(r_N/S₁) = p(r_i/S₁)

deci

P(r/S₁) = exp[-(r_i-A)²] = []^Nexp[- ]

Acum se poate calcula raportul de plauzibilitate:

L = = =

= exp[-= exp[-]exp[]

Raportul de plauzibilitate se poate deci calcula cunoscandu-se valoarea semnalului A, numarul N al esantioanelor luate de receptor in intervalul de timp T, puterea zgomotului s si valorile esantioanelor r_i. Daca se cunosc probabilitatile apriori P(S₀), P(S₁) si C_ij se poate aplica testului lui Bayes. In lipsa partiala sau totala a acestora se poate aplica un alt criteriu.

Fie L < K D si L > K D₁

aplicam functia monotona ln:

lnL < lnK D₀

lnL > lnK D₁

-< lnK D₀

-> lnK D₁

sau

< lnK+ D₀ (*)

> lnK+ D₁ (*)

Suma esantioanelor receptionate este o statistica suficienta pentru ca pe baza unei singure marimi sa se poata lua decizia

S C

t,A,N,K

Pe baza relatiei (*) se poate imagina schema unui receptor .E-esant, S-sumator, C-comparator care compara iesirea din sumator cu un prag fix pentru a decide D₀ sau D₁.

5.2.2 Probabilitatile deciziilor corecte si false

Ne propunem sa calculam probabilitatile P(D_j/S_ij) care ne vor oferi o imagine asupra eficientei procesului de detectie acceptat. Pornim de la relatia (*) si amplificand cu obtinem:

Z = < lnK+=m D₀

Z = > lnK+=m D₁

Consideram ca s-a emis S₀. Esantioanele preluate la receptie r_i/S₀ sunt v.a. cu o distributie gausiana, de valoare medie nula si dispesie s. Variabila aleatoare z din relatia anterioara are de asemenea valoare medie nula si este normata cu s_z=1. Dispersia acestei v.a. se calculeaza:

Ca urmare densitatea de probabilitate a v. a. gausiene Z/ S₀ va fi:

Daca se emite simbolul S₁ , esantioanele preluate r_i/S₁ sunt v. a. cu media egala cu A si dispersia s . Variabila aleatoare normata:

va avea valoarea medie

iar dispersia :

deci:

D₀

Avand in vedere ca Z < >m , rezulta ca probabilitatea luarii deciziei D₀ este egala

D₁

cu probabilitatea ca Z<m , adica:

Deci vom avea:

Folosind functia integrala Laplace existenta in tabele:

Vom obtine:

In figura s-au trasat curbele de variatie ale densitatilor de probabilitate p(zS₀) si p(zS₁) unde s-a precizat valoarea pragului m care fixeaza regula de decizie.

D₀

D₁

Daca z>m se ia decizia D₁ iar probabilitatea acestei decizii este:

Tinand seama de eglitatile binecunoscute :

Probabilitatile P(D₁S₀) si P(D₀S₀) corespunzatoare deciziei D₁ se obtin din relatiile:

Daca cele doua figuri se pun pe o diagrama comuna constatam ca p(zS₀) si p(zS₁) se intersecteaza in punctul :

Daca m=Z₀ atunci probabilitatile deciziilor false sunt egale:

Acest lucru impune ca lnK=0 , adica testului K=1:

Valorile probabilitatilor deciziilor vor fi acum:

Daca K>1 , rezulta si deci creste suprafata corespunzatoare deciziei false

P(D₀S₁) si scade cu aceeasi cantitate P(D₁S₀)

Deci

5.3 Detectia continuua a unui semnal binar

Vom considera ca observarea semnalelor binare receptionate se face in mod continuu. Avem emise S₀=0 si S₁=s(t) variabil in timp.

Se presupune ca energia E a semnalului s(t) este finita (E<infinit).

Consideram un zgomot aditiv gausian n(t) cu dispersia s si media nula. Semnalul receptionat va fi :

x(t)=s(t)+n(t)   , pentru S₁

Se pune problema luarii deciziei D₀ sau D₁ dupa cum s-a transmis S₀ sau S₁.

5.3.1 Descompunerea semnalului receptinat in suma de functii ortonormate

Semnalul r(t) poate fi extins intr-o serie Karhunnen Löeve asa cum a fost aratat in paragrafele precedente:

Unde l.i.m. este limita in medie patratica iar functiile ortogonale v_i satisfac relatia de ortogonalitate:

in plus avem

unde integrala este de asemenea o integrala definita in media patratica. Alegerea functiilor ortonormate v_i se face in asa fel incat sa respecte relatia de ortonormalitate, iar intreaga informatie referitoare la stabilirea deciziei sa fie continuta in primul coeficient r₁. In acest scop se considera v₁ de forma:

unde E este energia semnalului s(t) in intervalul de timp T cat dureaza emisia:

Celelalte functii ortonormate v_i(t) , i=1,2,.,N pot fi arbitrare, ele neintervenind in raportul de plauzibilitate asa cum vom vedea. Ca urmare coeficientul r₁ se obtine ca:

In cazul transmiterii simbolului S₀=0 la receptie soseste numai zgomotul, adica:

r(t)=n(t) , drept pentru care

In cazul transmiterii simbolului S₁ la receptie soseste semnalul r(t)=s(t)+n(t) si deci:

Coeficientii r_i pentru i=1 au expresiile:

respectiv

si ca atare

dar

deci

Din relatiile de mai sus se observa ca pentru i ¹1 coeficientii r_i|S₁ si r_i|S₀ sunt identici.

5.3.2 Calculul raportului de plauzibilitate

Densitatile de probabilitate care intervin in raportul de plauzibilitate vor fi scrise in functie de coeficienti r_i in care a fost descompus semnalul adica :

dat fiind ca r= r_i este o statistica suficienta si ca r_i|S_j sunt egali pentru i¹1 si jI, putem presupune ca densitatile de probabilitate de la numaratorul si numitorul expresiei se simplifica doua cate doua si deci:

avem

si

Pentru a determina densitatea de probabilitate a ­­­­­­­­­v.a. g presupunem ca n(t) si s(t) ocupa aceeasi lungime de banda W si pe baza teoremei esantionarii avem :

iar

unde

Tinand seama de faptul ca :

si

obtinem

Deoarece esantionele n(kT) sunt v.a. gaussiene suma ponderata a acestora va fi tot o v. a. gaussiana. Rezulta ca pentru a determina densitatea de probabilitate a lui g este suficient sa cunoastem media si dispersia. Media este:

deoarece n(kT)=0.

Dispersia lui g este:

Pentru raportul de plauzibilitate se va scrie deci:

rezultand a fi o functie de energia semnalului emis, E, de puterea zgomotului, s , si de coeficientul r₁ al dezvoltarii semnalului receptionat r(t) in suma de functii ortogonale. Tinand cont de expresia coeficientului r₁ rezulta regula de decizie :

D₀

D₁

sau intr-o alta forma tinand seama de

D₀

D₁

Integrala din relatia de mai sus este functia de corelatie, evaluata in origine, a semnalului r(t) cu s(t).

Pentru a se decide care semnal a fost emis se foloseste urmatoarea schema de receptor

multiplicator   integrator comparator

 

I

 

M

  r(t)

s(t) T T₀s ln k +E/2

5.3.3 Probabilitatile deciziilor corecte si false

Se rearanjeaza relatia de decizie tinand seama ca:

atunci

D₀

D₁

Devine o relatie normalizata

D₀

D₁

D₀

Deci  

D₁

Ca urmare probabilitatea de decizie D₀ este egala cu probabilitatea ca z < m

P(D₀)=P(z < m

si in consecinta asa cum am procedat in cazul deciziei discrete vom avea :

iar

Functia aleatoare z va avea densitate de repartitie gaussiana fiind rezultatul prelucrarii liniare a unui semnal aleator gaussian r(t) si rezulta :

In consecinta, trasand graficul acestor densitati asa cum se vede in figura si precizand valoarea pragului m cele doua probabilitati vor fi proportionale cu suprafetele hasurate din figura.

in care s-a folosit integrala Laplace :

Daca tinem seama de relatiile :

vom avea

si

Daca pragul testului lui Bayes este K=1 stiind ca rezulta ca

Constatam o asemanare intre probabilitatile deciziilor detectiei continue cu cele corespunzatoare din detectia discreta daca . Si in acest caz vom avea :

5.4 Detectia a doua semnale binare observate continuu

Seamana cu cea aterioara doar ca de data aceasta si ca atare avem si in cazul unui zgomot gaussian de medie nula si putere obtinem regula de decizie:

D₀

D₁

Schema unui asemenea receptor este:

S₁(t) I₁

D₀

r(t)

D₁

I₂

S₂(t)