Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza













Structura de benzi fotonice si banda fotonica interzisa

tehnica mecanica



loading...











ALTE DOCUMENTE

CAZAN DE PERETE COMBINAT
Norme specifice de securitate a muncii pentru lucrul la Ónaltime
TEHNOLOGIE DE EPURARE
Amplificator de 3W(ieftin)
Setarea receptorului GPS si colectarea punctelor
RASUCIREA SI INCOVOIEREA PERETILOR SUBTIRI
Materiale de sudare pentru otelurile duplex
Stabilirea caracteristicilor tehnice
Tensiunea Electromotoare a sursei (E) Tensiunea la bornele sursei (U) Caderea de tensiune interna (u)
DEFINITII. CLASIFICAREA CALDARILOR


Structura de benzi fotonice si banda fotonica interzisa

††††††††††† In problema valorilor proprii, vectorul de unda este un paramentru care variaza continuu in 1BZ. Deci, ne asteptam ca fiecare banda de frecventa (cu n constant) sa fie o functie continua de . Aceste functii de banda Sunt numerotate cu indexul n. setul complet de functii de banda reprezi 111c27b nta structura de benzi fotonice ale cristalului fotonic. In principiu, structura de benzi nu are o limita superioara in frecventa, deci tinde la infinit. Totusi, in practica, ne intereseaza doar frecventele de ordin mic.

††††††††††† In unele cazuri, se poate intampla ca o anumita banda de frecvente sa nu fie acoperita de nici o functie pentru toti si pentru toate starile de polarizare. Aceasta se numeste banda fotonica interzisa (PBG).

††††††††††† Problema care se pune in continuare este cum sa alegem vectorii reprezentativi astfel incat sa descrie spatiul continuu. Trebuie sa avem in vedere doua aspecte: 1) sa nu omitem proprietati importante ale cristelelor fotonice. 2) sa evitam calculele redundante.

††††††††††† Simetrie si irductibilitatea Zonei Brillouin

††††††††††† Vom discuta mai intai simetria inversiei de timp si consecintele sale. Consideram o solutie a ecuatiilor Maxwell pentru frecvente reale si pozitive. Din ecuatiile complex conjugate:

†††††††††††

†††††††††††

Observam ca si este solutie a ecuatiei cu aceeasi frecventa .

Aplicand conventia de faza, obtinem:

†††††††††††

†††††††††††

Rezulta ca starile corespunzatoare cu vectorii si - sunt echivalente, indiferent de simetria retelei. In concluzie, pentru o retea arbitrara, avem nevoie sa luam in calcul doar jumatate din Zona Brillouin.

††††††††††† Acum ne vom referi la simetriile spatiale ale retelei cristaline. O discutie detaliata despre simetria spatiala ar trebui sa fie bazata pe teoria grupurilor. Totusi, nu este nevoie de detalii atat de precise, asa ca vom prezenta simetria intuitiv, plecand de la cateva exemple sio vom sublinia consecintele asupra proiectarii cristalelor fotonice.

††††††††††† Pana acum am discutat despre simetria de translatie. Pe langa acesasta simetrie, chiar si celula unitate este invarianta la unele transformari definite in functie de un punct cu simetrie mare din cristalul fotonic. Aceste transformari, care nu schimba functia dielectrica in celula unitate formeaza ceea ce se numeste "punctul-grup". Aici, consideram numai atomii cu centrul de inversie in in centrul celulei Wigner-Seitz; acesta este punctul cu cea mai mare simetrie.

††††††††††† Daca este operatorul de rotatie care transforma un vector al retelai in altul, invarianta lui este exprimate matematic astfel:

††††††††††† Un operator de rotatie aplicat unui camp de vectori este compus din 2 relatii: cea a campului si cea a argumentului. De exemplu, rotorul lui este definit de:

†††††††††††

††††††††††† Daca nu modifica sistemul (simetrie de rotatie), se poate arata prin calcul direct ca operatorii si comuta, deci:

†††††††††††

††††††††††† Ca o consecinta la aceasta relatie, modurile proprii ale lui sunt aceleasi cu ale lui . Asta este foarte convenabil. Pentru ca functiile si valorile proprii ala unui operator simplu de simetrie sunt mult mai usor de gasit decat cele ale lui .

††††††††††† Din relatiile:

†††††††††††

†††††††††††

††††††††††† Rezulta ca =. Foloosind acest rezultat, ecuatia 1.42 si proprietatea produsului scalar , obtinem:

†††††††††††

†††††††††††

††††††††††† Aceasta ecuatie, din urma, demonstreaza ca este mod propriu al translatiei operatorului cu valorile proprii , deci are vectorul de unda . Deci, pentru valorile proprii corespunzatoare lui si lui sunt :

†††††††††††

††††††††††† In continuare, vom discuta deespre operatiile la care e invarianta celula WS. De exemplu, in figura 1.3a avem invarianta la o reflexie de-a lungul axei x, sau invarianta la o rotatie cu π/3. Aceste doua operatii de simetrie se numesc σx si, respectiv, C6.

††††††††††† Fig 1.3

††††††††††† Deci, punctul grup este compus din operatiile de simetrie de oglindire, rotatie si inversie care depind in retea de forma "atomului". Cteva exemple ilustrative sunt aratate in figura 1.3. un cerc are simetrie de rotatie completa, deci cele 12 operatii de simetrie ce pot fi aplicate unui hexagon WS se pastreaza. Un triunghi echilateral cu aceleasi simetrii de oglindire ca si hexagonul isi pierde simetria de inversie. Un hexagon rotit poate sa isi piarda simetria de oglindire. Un patrat pierde simetria C3 si doua simetrii de oglindire. O elipsa rotita isi pierde toate simetriile de rotatie si de oglindire ale retelei si nu o pastreaza decat pe cea de inversie.

Exemplu de digrama de benzi

††††††††††† Un rezultat important al teoriei grupurilor ne spune ca punctele de extrem (minimul si maximul) ala oricarei benzi trebuie sa se afle pe directiile cu grad mare de simetrie, in majoritatea cazurilor chiar in punctele cu grad mare de simetrie. Deci, cand cautam o banda interzisa in in structura de benzi, trebuie sa esantionam numai un care sa uneasca directiile cu grad mare de simetrie din IBZ. Structura de benzi este calculata in lungul acestor linii si prezentata intr-un singur grafic.

††††††††††† Pentru a obtine diagrama de benzi trebuie sa rezolvam ecuatia 1.46 prin metode numerice sau analitice.

††††††††††† Figura 1.5 din cartea gri

††††††††††† Diagrama de benzi a unei retele triunghiulare de hexagoane rotite cu celula IBZ din figura 1.4a este prezentata in fiura 1.5 aceasta este prezentata doar pentru a ilustra conceptual de diagrama de benzi.

††††††††††† Banda interzisa se afla in regiunea care nu e acoperita de nici una din benzi, indifferent de vectorul si de starea de polarizare.

In figura 1.5 se observa prezenta benzii fotonice interzise PBG (photonic band gap) intre benzile 2 si 3 avand marginile in punctele Γ si K. putem defini largimea PBG ca si frecventa centrala a benzii . De obicei, PBG este exprimata normata () si este exprimata in procente.

Densitatea de stari

††††††††††† Densitatea de stari (DOS) este o masura a numarului de stari posibile intr-un interval diferential de energie si este importanda in calculele opticii cuantice. In timp ce in mediile omogene DOS este proportional cu , in cristalele fotonice poate avea variatii interesante, cu aplicatii in controlul interactiilor atom-foton.

††††††††††† Totalitatea densitatilor de stari se defineste mathematic ca fiind (Bush 1998):

†††††††††††

††††††††††† Pentru a calcula aceasta integrala este necesar sa discretizam uniform IBZ. DOS-ul fotonic se poate calcula similar cu DOS-ul electronic daca se cunoaste relatia de dispersie .

††††††††††† Un exemplu este prezentat in figura 1.6. regiunile de nivel 0 ale DOS reprezinta benzi fotonice interzise, unde nu exista stari premise in tot IBZ-ul. Pe de alta parte, maximele reprezinta viteze de grup de disparitie si pot avea aplicatii, de exemplu, in amplificarea interactiilor neliniare.

††††††††††† Fig 1.6

Viteza de grup(vg)

Viteza de grup a modurilor proprii este data de gradientul curbelor de de dispersie care sunt date de derivate frecventei in raport cu vectorul de unda.

†††††††††††

Un exemplu de calculare a vitezei de grup eswte prezentat in figura 1.7. viteza de grup a undelor electromagnetice este foarte mica (tipic 1/50 - 1/100 din viteza luminii in spatial liber) in punctele de mare simetrie ale IBZ acolo doua moduri cu aceeasi simetrie au evitat intersectia (anti-crossing).

O viteza mica de grup cauzeaza atat o crestere a amplitudinii campului cat si un timp de intaractie lung a campului electromagnetic cu material.

††††††††††† Figura 1.7

Diagrama vectorului de camp

††††††††††† Consideram un crystal fotonic 2D pentru care structura de benzi este 3D (Fig 1.8a).

O sectiune in care ω = constant, prin diagrama de banda (cara poate contine mai multe benzi) se numeste diagrama vectorului de unda (Figura 1.8b). Aceasta este harta a conturului vectorilor de unda permisi pentru o anumita energie fotonica si polarizare.

Din diagrama vectorului de camp se observa cateva fenomene interesante, cum ar fi: refractia negative, efectul de superprisma, colimarea fascicolului.

Coeficientul de reftactie efectiv

††††††††††† Urmarind exemplul structurii de benzi, se observa ca primele benzi ale modurilor E si H sunt cvasi-liniare cand frecventa normate este aproape de zero () aceasta este limita unde se poate considera ca un crystal fotonic este un mediu omogen cu indice de refractie efectiv:

†††††††††††

Care este inversul pantei primei benzi in epropierea punctului Γ.

††††††††††† Modurile E si H au indici de refractie diferiti( in cazul de fata si ) care depend de directia si asta inseamna ca mediul efectiv este anizotrop.


Document Info


Accesari: 852
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.

 


Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2014 )