INFORMAŢIA. REPREZENTAREA NUMERELOR INTR-UN SISTEM DE NUMERAŢIE
Este dificil de gasit o definitie adecvata a notiunii de informatie, ea având multe întelesuri. Totusi, în teoria informatiei, sau mai precis în teoria transmiterii informatiei, termenul de informatie se aplica acelor lucruri care pot fi comunicate, fie ca au sau nu o valoare. Astfel, cuvintele, numerele, imaginile de pe o foaie de hârtie sunt simboluri ce reprezinta o informatie.
Un calculator nu poate întelege cuvinte, imagini sau chiar litere, si nu poate procesa informatie fara sa o divida în unitati mai mici de informatie, la fel cum un copil, pentru a întelege un cuvânt, trebuie sa auda sunetele care compun cuvântul respectiv. Informatia este inregistrata in memorie.
SISTEME DE NUMERATIE
Se numeste sistem de numeratie, o multime finita de simboluri (sau cifre) si de reguli folosite pentru reprezentarea unui numar. Un sistem de numeratie pozitional este un sistem de numeratie la care aportul unei cifre în valoarea totala a unui numar depinde atât de valoarea cifrei, cât si de locul ocupat de cifra în reprezentarea numarului respectiv. Sistemul de numeratie arab este un sistem de numeratie pozitional, spre deosebire de sistemul de numeratie roman care nu este un sistem pozitional.
Sistemele de numeratie folosite de catre utilizatorii de calculatoare, în afara de sistemul zecimal, sunt: sistemul binar, sistemul octal si sistemul hexazecimal. Sistemul binar este sistemul de numeratie în care lucreaza calculatoarele electronice, datorita faptului ca nu are decât doua cifre, ceea ce duce la o implementare usoara a calculelor în hardware. Sistemele de numeratie octal si hexazecimal sunt folosite deoarece comprima sirurile lungi de biti din reprezentarea unui numar în baza 2, iar conversia din baza 2 in baza 8 sau 16, 747f59h si invers, se face foarte usor, fara calcule laborioase.
Pentru memorarea si prelucrarea informatiilor un calculator electronic utilizeaza circuitele electrice. Cele doua stari posibile ale unui circuit electric, reprezentate fie prin pozitia unui intrerupator electric, fie prin doua nivele de tensiune, sunt deschis si inchis si pot fi echivalate cu cifrele 0 si 1 sau cu valorile logice fals si adevarat.
Spatiul ocupat de o cifra binara se numeste bit (de la binary digit) si poate contine fie valoarea 0, fie valoarea 1. Pentru ca un bit este insuficient pentru a retine valori mai mari de 1, in mod uzual se folosesc grupari formate din mai multi biti al caror numar reprezinta o putere a lui 2. O asemenea grupare de baza contine 23 = 8 biti si se numeste octet (byte)3. Bitul este unitatea cea mai mica de informatie.
Un bit poate distinge între cele doua stari, deci poate avea doua valori: 0 sau 1, sau cu alte cuvinte "da" sau "nu", "alb" sau "negru". Un calculator poate procesa cantitati mai mari de informatie, tratând grupurile de biti ca unitati de informatie.
Pentru reprezentarea informatiilor intr-un calculator se utilizeaza sistemul de numeratie binar, adica un sistem in care orice numar poate fi scris folosind numai cifrele 0 si 1. Astfel, colectia de 8 biti numita octet sau "byte", unde fiecare bit poate fi 0 sau 1, poate distinge între 256 de stari diferite (28=256), deci daca am vrea sa comunicam cu cineva folosind un octet, am putea transmite cel mult 256 de mesaje diferite, fiecare mesaj fiind asociat cu o combinatie de 0 si 1 a celor 8 biti. Celelalte unitati de masura - multipli ai octetului sunt:
1Koctet sau 1Kb(yte) = 210 octeti (1024 octeti) = 8 192 biti;
1Moctet sau 1Mb = 210 Kb = 1 048 576 octeti;
1Goctet sau 1Gb = 210 Mb = 1 073741 824 octeti.
Ce înseamna pentru un calculator un sir de biti de genul 10011010 ? Un asemenea sir de biti poate fi un numar, o litera a alfabetului, o instructiune a unui program sau orice alt lucru. Deoarece calculatoarele reduc orice informatie la o combinatie de 0 si 1, numerele din calculator sunt reprezentate folosind numai combinatii ale celor doua cifre sau simboluri.
Astazi, calculatoarele nu lucreaza numai cu numere, ci la fel de mult sunt folosite si caracterele, calculatorul procesând cuvinte, propozitii etc.
Pentru aceasta, este necesar ca fiecare caracter sa fie reprezentat în mod unic ca o secventa de biti - cod alfanumeric, facând posibila memorarea si reprezentarea grafica a mesajelor.
Cele mai utilizate coduri alfanumerice sunt:
- ASCII - American Standard Code for Information Interchange;
EBCDIC - Extended Binary Coded Decimal Interchange Code.
În prezent, marea majoritate a calculatoarelor accepta numai codul ASCII, în care fiecarui caracter alfanumeric îi corespunde un cod unic pe 7 biti, sau pe 8 biti în cazul codului ASCII extins. De asemenea, instructiunile programelor sunt codificate folosind secvente de biti. De exemplu, secventa 10101001 poate determina calculatorul sa adune 2 numere, în timp ce alta secventa poate determina calculatorul sa execute o alta operatie.
In cel mai utilizat sistem de numeratie, care este sistemul zecimal, ca si in orice sistem de numeratie pozitional, un numar se reprezinta ca o succesiune de cifre, sub forma:
an an-1 ... a1 a0
Valoarea numarului reprezentat sub aceasta modalitate poate fi cunoscuta prin insumarea produselor dintre fiecare cifra si baza sistemului de numeratie ridicata la o putere care corespunde pozitiei cifrei respective in sir:
Pentru a intelege mai bine acest mod de reprezentare, precum si modalitatea practica de a determina valoarea numarului, se dau urmatoarele exemple:
Valoarea numarului 2000 in sistemul zecimal
Valoarea acestui numar este data de suma:
2x103 + 0x102 + 0x101 + 0xl00
Valoarea numarului 7159 in sistemul zecimal
7 x 103 + 1 x 102 + 5 x 101 + 9 x 100
Pentru reprezentarea unei valori este necesar un anumit numar de cifre, numar care depinde de sistemul de numeratie utilizat. Astfel, in sistemul zecimal se folosesc 10 cifre (0,1,2,...,9), in sistemul binar exista 2 cifre (0,1), sistemul octal cuprinde 8 cifre (0,1,2,...,7), etc. Se poate observa ca numarul de cifre necesar reprezentarii este egal cu baza sistemului de numeratie utilizat.
Daca se lucreaza cu un singur sistem de numeratie, cea mai des intalnita situatie, nu se pot crea confuzii privind reprezentarea numerelor. Confuziile pot aparea atunci cand, concomitent, sunt utilizate doua sau mai multe sisteme de numeratie. In acest caz este bine ca reprezentarii respective sa se ataseze baza sistemului de numeratie in care se face reprezentarea. O modalitate de a specifica baza sistemului de numeratie este cea din notatia
an an-1 ... a1 a0(b) - in care b reprezinm baza sistemului.
Reprezentarea numarului 6132 in sistemul zecimal
Conform conventiei amintite, acest numar trebuie scris in sistemul zecimal de numeratie sub forma 6132(10) care inseamna "6132 in baza 10". Acest numar trebuie citit ,,sase mii o suta trei zeci si doi"
Reprezentarea numarulli 6132 in sistemul octal.
Conform aceleiasi conventii, in sistemul de numeratie octal numarul trebuie sa fie scris sub forma 6132(8) care inseamna "6132 in baza 8", adica:
6 x 83 + 1 x 82 + 3 x 81 + 2 x 80 = 6132(10)
Acest numar trebuie citit ,,sase unu trei doi" in baza opt.
Reprezentarea numarulul 6132 in sistemul hexazecimal.
In sistemul de numeratie hexagesimal numarul trebuie sa fie scris sub forma:
6132(16), care inseamna "6132 in baza 16", adica:
6 x 163 + 1 x 162 + 3 x 161 + 2 x 160 = 3162(10)
INTERDEPENDENTA SISTEMELOR DE NUMERATIE
Desi sistemul binar este cel utilizat pentru stocarea si prelucrarea datelor intr-un calculator electronic, atat redarea scrisa cat si cea orala este greoaie din cauza numarului mare de cifre necesare pentru a exprima chiar valori relativ mici. Acesta este motivul pentru care se folosesc in mod curent sisteme de numeratie cu baze mai mari, dar care permit trecerea imediata in binar, conditie a oricarui sistem la care baza este o putere naturala a lui 2.
Cele mai utilizate sisteme, din acest punct de vedere, sunt sistemul octal (cu baza 8) si sistemul hexagesimal - pe scurt "hexa"- (cu baza 16). Pentru ca 8 = 23 si 16 = 24 , orice cifra octala se poate reprezenta printr-o combinatie de 3 cifre binare si orice cifra hexa, printr-o combinatie de 4 cifre binare.
Asadar, sistemul octal utilizeaza cifrele 0,1,2,3,4,5,6,7. Pentru a reprezenta cele 16 cifre ale sistemului hexagesimal sunt necesare 16 semne grafice distincte: primele 10 dintre acestea coincid cu cifrele sistemului zecimal, iar pentru restul de 6 se folosesc primele litere ale alfabetului latin (A,B,C,D,E,F).
In tabelul 1 este prezentata echivalenta dintre sistemele binar, octal, hexagesimal si zecimal. Cu ajutorul datelor din acest tabel, trecerea din sistemul binar in unul dintre sistemele octal sau hexagesimal se face imediat, grupand corespunzator cifrele binare ale numarului si inlocuind fiecare grupa cu cifra octala sau hexa pe care o reprezinta.
Tabelul 1-Echivalenta principalelor sisteme de numeratie ale computerelor
|
Sistemul |
|||
|
Binar |
Octal |
Hexa |
Zecimal |
|
A | |||
|
B | |||
|
C | |||
|
D | |||
|
E | |||
|
F | |||
Trecerea din sistemul binar in sistemele octal, zecimal si hexa
Trecerea din sistemul binar in sistemul octal
Pentru trecerea unui numar scris in sistemul binar la echivalentul sau scris in octal se procedeaza astfel: se grupeaza cifrele binare in grupe de cate 3 incepand cu prima cifra din dreapta dupa care pentru fiecare grup se cauta in tabelul 1, pe coloana corespunzatoare sistemului binar, combinatia respectiva dupa care, de pe acelasi rand din coloama sistemului octal se extrage cifra corespondenta.
De exemplu, numarul 11010 se scrie 011 010. In tabelul 1 se cauta in coloana sistemului binar randul pe care se gaseste combinatia 011; pe acelasi rand in coloana sistemului octal se afla cifra 3. Similar, pentru combinatia 010 se gaseste cifra 2, astfel ca numarul octal echivalent numarului binar 11010 este 32.
11010(2) = 32(8)
Prin aceeasi metoda se poate trece si numarul 10110011(2)
Trecerea din sistemul binar in sistemul zecimal
Trecerea din sistemul binar in sistemul zecimal se face utilizand relatia
si tabelul 1 in care sunt trecute valorile in zecimal ale puterilor bazelor sistemelor de numeratie binar, octal si hexagesimal.
Pentru numarul 11010(2) trecerea se face astfel:
11010(2) = 1x24 +1x23 +0x 22 +1 x 21 + 0x20 = 16+8+0+2+0 = 26(10)
iar pentru numarul 10110011(2) se obtine:
10110011(2) = 1 x 27 + 0 x 26 + 1 x 25 + 1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 128+ 32 + 16+ 2+ 1= 179(10)
Trecerea din sistemul binar in sistemul hexazecimal
Pentru trecerea unui numar scris in sistemul binar la echivalentul sau scris in hexagesimal se procedeaza astfel: se grupeaza cifrele binare in grupe de cate 4 incepand cu prima cifra din dreapta dupa care, pentru fiecare grup, se cauta in tabelul 1, pe coloana corespunzatoare sistemului binar, combinatia respectiva dupa care, de pe acelasi rand din coloana sistemului hexagesimal se extrage cifra corespondenta.
Numarul 11010 in sistemul binar se scrie 1 1010 si din tabelul 1 se extrag valorile 1 si A deci:
= lA(16)
Pentru celalalt numar se obtine:
10110011(2) =10110011(2) =B3(16)
Tabelul 2-Valorile in zecimal ale puterilor bazelor sistemelor de numeratie binar, octal si hexazecimal
|
Puterea |
Baza |
||
|
| |||
Trecerea din sistemul octal in sistemele binar, zecimal sau hexa
Procedeele de trecere din sistemul octal in celelalte 3 sisteme de numeratie.
Trecerea din sistemul octal in sistemul binar
Aceasta operatie se face inlocuind fiecare cifra octala cu grupul corespunzator de 3 cifre binare:
Trecerea din sistemul octal in sistemul zecimal
Pentru efectuarea acestei treceri se utilizeaza relatia de baza
baza de numeratie fiind 8:
263(8) = 2 x 82 +6x81 +3 x 80 = 128+48+3=179(10)
sau
3657(8) = 3x83 +6x82 + 5x 81 +7x80 = 1536+384+40+ 7 = 1967(10)
Trecerea din sistemul octal in sistemul hexazecimal
Trecerea din sistemul octal in sistemul hexagesimal se face prin intermediul sistemului binar de nurneratie adica se trece mai intai (ca in exemplul de mai sus) in sistemul binar de numeratie iar de aici, prin intermediul grupelor de cate 4 cifre binare, la sistemul de numeratie hexagesimal:
3657(8) = 011110 101111(2) = 11110101111(2) = 7af(16) = 7 AF(16)
sau, un alt exemplu
713(8) = 111 001 011(2) = 0001 1100 1011(2) = 1CB(16)
Trecerea din sistemul zecimal in sistemele binar, octal sau hexagesimal
Pentru trecerea din sistemul zecimal in unul dintre sistemele binar, octal sau hexagesimal este necesar sa se gaseasca cifrele care inmultesc fiecare putere naturala a bazei sistemului respectiv. In acest scop se poate aplica urmatorul procedeu:
Trecerea din sistemul zecimal in sistemul binar
Pentru reprezentarea numarului 179(10) in binar se procedeaza astfel:
179 : 2 = 89 rest 1
89 : 2 = 44 rest 1
44 : 2 = 22 rest 0
22 : 2 = 11 rest 0
11 : 2 = 5 rest 1
5 : 2 = 2 rest 1
2 : 2 = 1 rest 0
1 : 2 = 0 rest 1
Numarul cautat este 10110011 (2);
Trecerea din sistemul zecimal in sistemul octal
Reprezentarea numarului 3817(10) in octal:
3817 : 8 = 477 rest 1
477 : 8 = 59 rest 5
59 : 8 = 7 rest 3
7 : 8 = 0 rest 7
Numarul cautat este 7351(8)
Trecerea din sistemul zecimal in sistemul hexagesimal
Reprezentarea numarului 51434(10) in hexazecimal:
51434:16= 3214 rest 10 =A(16)
3214 : 16 = 200 rest 14 = E(16)
200 : 16 = 12 rest 08 = 8(16)
12 : 16 = 0 rest 12 = C(16)
Numarul cautat este C8EA(16)
Trecerea din sistemul hexagesimal in sistemele binar, octal sau zecimal
Trecerea din sistemul hexagesimal in sistemul binar
Pentru a trece din hexagesimal in binar, se va inlocui fiecare cifra hexagesimala cu grupul de 4 cifre binare corespunzatoare:
5CA(16) = 0101 1100 (2) (2)
Trecerea din sistemul hexagesimal in sistemul octal
Aceasta transfromare se face, ca si in cazul trecerii din octal in hexagesimal, prin intermediul sistemului de numeratie binar, adica:
A1FB(16) = 1010 0001 1111 (2) = 001 010 000 111 111 011(2) = 120773(8)
Trecerea din sistemul hexagesimal in sistemul zecimal
Operatia de trecere se realizeaza prin intermediul relatiei:
C8EA(16) = 12 x 163 + 8 x 162 + 14 x 161 + 10 x 160 =
= 12 x 4096 + 8 x 256 + 14 x 16 + 10 =
= 51434(10)
OPERATII ARITMETICE IN SISTEME DE NUMERATIE UZUALE
Dupa cum era de asteptat, operatiile aritmetice, cunoscute inca din clasele primare, din sistemul zecimal se pot efectua in oricare sistem de numeratie prin adaptarea regulilor de calcul general valabile la specificul fiecarui sistem in parte.
Astfel, in sistemul zecimal, 10 - 1 = 9. Nu acelasi lucru se intampla in celelalte sisteme de numeratie, pentru ca baza este alta:
- in binar: 10(2) - 1(2) = 1(2)
- in octal: 10(8) - 1(8) = 7(8)
- in hexagesimal: 10(16) - 1(16) = F(16)
si, evident
- in binar: 1(2) + 1(2) = 10(2)
- in octal: 1(8) + 7(8) = 10(8)
- in hexagesimal: 1(16) + F(16) = 10(16)
Poate fi imaginata si o tabla a inmultirii pentru sistemele binar, octal sau hexagesimal.
Tinand cant de faptul ca cele mai frecvente operatii sunt cele de adunare si scadere, in continuare se vor prezenta exemple numai cu aceste operatii. Pentru efectuarea unei adunari sau scaderi cu numere formate din mai multe cifre, se va proceda conform celor cunoscute din primele ore de aritmetica, adica plasand cele doua numere unul sub celalalt si efectuand operatia respectiva pe coloana, din dreapta spre stanga, "transportand" la coloana din stanga eventualele "depasiri" ale pozitiei curente.
Adunarea a doua numere in sistemul binar
Sa se calculeze 10110110(2) + 1100011(2)
1100011
100011001
Calculand pentru fiecare pozitie, de la dreapta la stanga, avem:
deci se scrie 0 iar 1 se aduna la pozitia din stanga;
+1+0=10, deci se scrie 0 iar 1 se aduna la pozitia din stanga;
Adunarea a doua numere in sistemul octal
Sa se calculeze 37764(8) + 51432(8)
51432
111416
Operatiile se desfasoara similar celor aratate la exemplul precedent:
Adunarea a doua numere in sistemul hexagesimal
Sa se calculeze A3 8C(16) + 6B28(16)
A38C +
6B28
10EB4
Succesiunea calculelor:
C+8=14;
1+8+2=B;
3+B=E;
A+6=10.
Scaderea a doua numere in sistemul binar
Sa se calculeze 100011001(2) - 1100011(2)
1100011
10110110
Si aici calculul se face incepand cu prima pozitie din dreapta si continuand apoi spre stanga:
Pozilia
Pozilia 2: 100-1=011, deci in pozitiile 4 si 3 din primul numar avem acum 01 in loc de 10; Pozilia 3: 1-0=1;
Pozilia
Scaderea a doua numere in sistemul octal
Sa se calculeze 111416(8) - 51432(8)
111416 -
51432
37764
Succesiunea calculelor:
Scaderea a doua numere in sistemul hexagesimal
Sa se calculeze A38C(16) - 6B98(16)
A38C -
6B98
37F4
Succesiunea calculelor:
C-8=4;
38-9=2F;
A2-B=97;
|
