Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza
Upload





loading...
















































Aplicatii ale mecanicii analitice

Fizica


Aplicatii ale mecanicii analitice

II.6.1.Problema micilor oscilatii

Vom considera un punct material care executa oscilatii īn jurul unei pozitii de echilibru, de-a lungul unei axe pe care o vom lua drept axa . Se constata ca sistemul are un singur grad de libertate si vom nota cu  abscisa punctului de echilibru. Fie  energia potentiala a sistemului, cu conditia minim. Īn vecinatatea punctului de echilibru functia  se poate dezvolta īn serie Taylor:

(II.84)

Notānd  abaterea de la pozitia de echilibru, relatia (II.84) devine:

(II.85)

Īn expresia (II.85) se pot face urmatoarele simplificari:

     - īntrucāt energia potentiala este definita pāna la o constanta aditiva arbitrara, pute 727e46h m considera ;

     - īn pozitia de echilibru  fiind minima, .

Notānd

(II.86)

expresia (II.85) devine:

(II.87)

Īn cazul oscilatiilor armonice termenii de gradul  sunt nuli; daca acesti termeni nu sunt nuli, oscilatiile sunt anarmonice.

Energia cinetica a particulei va fi , deci functia Lagrange se scrie:

(II.88)

Ecuatia Lagrange  devine:

(II.89)

care este o ecuatie diferentiala de ordinul al doilea.

Īn cazul oscilatiilor armonice ecuatia de miscare va fi:

(II.90)

care are solutia:

(II.91)

sau notānd

(II.92)

O alta forma pentru solutia ecuatiei (II.90) este:

unde constantele de integrare sunt  si .

Oricare ar fi forma solutiei, cele doua constante care apar se determina din conditiile la momentul initial. Daca, de exemplu, la momentul initial particula era īn pozitia de echilibru  si avea viteza , obtinem pentru cele doua constante sistemul de ecuatii:

din care  iar , deci solutia va fi:

(II.93)

Rezolvānd aceeasi problema īn formalismul Hamilton, functia  va fi:

care īnsa trebuie exprimata īn functie de  si . Din expresia (II.88):

, de unde  iar

(II.94)

Sistemul ecuatiilor canonice:

devine

(II.95)

din care se elimina  si se obtine

adica aceeasi ecuatie (II.90) ca si īn cazul formalismului Lagrange.

Pentru oscilatorul armonic unidimensional spatiul fazelor este bidimensional si are "axele"  si .

Sa determinam ecuatia traiectoriei punctului reprezentativ al sistemului īn spatiul fazelor. Pentru aceasta scriem energia oscilatorului:

(II.96)

care este o integrala prima a miscarii, deci este constanta. Relatia (II.96) se mai poate scrie:

(II.97)

care este ecuatia unei elipse cu semiaxele  si .

II.6.2.Oscilatii liniare ale sistemelor cu mai multe grade de libertate

Fie un sistem conservativ cu  grade de libertate, a carui configuratie este descrisa de coordonatele generalizate  avānd la echilibru valorile . Īn cazul micilor oscilatii īn jurul pozitiei de echilibru si tinānd seama ca , expresia energiei potentiale se scrie:

(II.98)

Admitānd ca īn starea de echilibru energia potentiala este nula si notānd:

relatia (II.98) devine:

(II.99)

care este o functie patratica omogena de coordonatele generalizate.

Vom arata ca si energia cinetica a unui sistem conservativ se poate scrie sub o forma asemanatoare:

-      fie  coordonatele carteziene ale punctelor sistemului, exprimate īn functie de coordonatele generalizate  prin relatiile:

               

- vitezele carteziene:

               

-      energia cinetica:

(II.100)

unde am notat

Din relatiile (II.99) si (II.100), functia Lagrange se scrie:

(II.101)

Ecuatiile Lagrange vor fi:

(II.102)

care constituie un sistem de  ecuatii diferentiale liniare de ordinul al doilea, cu coeficienti constanti. Solutiile acestor ecuatii vor fi de forma:

(II.103)

care substituite īn (II.102) duc la un sistem omogen de ecuatii algebrice pentru constantele  de forma:

(II.104)

Acesta admite solutie nebanala cānd determinantul coeficientilor este nul, adica:

(II.105)

cu mentiunea (evidenta din definitii) ca:

Expresia (II.105) reprezinta o ecuatie algebrica de gradul  īn , denumita ecuatie seculara; ea admite  radacini reale .

O valoare , radacina reala a acestei ecuatii, se numeste pulsatie proprie a sistemului.

Constantele  din (II.104) vor fi functii de aceste pulsatii proprii iar solutia generala a sistemului (II.102) va fi o combinatie liniara de solutii particulare (II.103):

Partea ei reala se exprima astfel:

(II.106)

unde  sunt constante.

Solutia (II.106) este o suprapunere de  oscilatii cu pulsatiile , amplitudinile  si fazele initiale . O expresie de tipul:

(II.107)

se numeste coordonata normala  si solutia generala (II.106) devine:

(II.108)

Cu ajutorul coordonatelor normale  functia Lagrange se poate scrie:

(II.109)

unde  si  sunt constante reale.

Facānd schimbarea de variabila  si , expresia (II.109) devine:

(II.110)

Ecuatiile Lagrange vor fi:

(II.111)

care reprezinta  oscilatori independenti.

Īn concluzie, micile oscilatii ale unui sistem cu  grade de libertate sunt echivalente cu micile oscilatii ale unui sistem de  oscilatori independenti, cu conditia ca acestia sa execute oscilatii normale.

II.6.3.Problema celor doua corpuri

Consideram un sistem format din doua corpuri cu masele  si , ale caror pozitii sunt date de vectorii de pozitie  si  (fig.II.4)

Fig.II.4

Presupunem ca cele doua corpuri interactioneaza cu forte conservative care provin din potentialul . Atunci functia Lagrange a sistemului se va scrie:

(II.112)

Scrierea si rezolvarea ecuatiilor Lagrange este īngreunata de faptul ca variabilele  si  nu sunt separabile.

Vom face urmatoarea schimbare de variabile:

(a)

(II.113)

(b)

Se observa ca vectorul  este vectorul de pozitie al particulei  relativ la particula  iar vectorul  este vectorul de pozitie al centrului de masa al sistemului.

Din relatia (II.113)  si  īn functie de noile variabile se scriu:

(a)

(II.114)

(b)

Calculānd  si introducānd aceste expresii īn (II.112) obtinem:

(II.115)

(expresia  trebuie sa depinda de modulul vectorului  pentru ca din ea vor proveni doua forte de interactie egale si de sensuri contrare specifice pentru sisteme conservative īnchise).

Notānd  - masa sistemului - plasata īn centrul de masa si  - masa redusa a sistemului , relatia (II.115) devine:

(II.116)

Ecuatiile Lagrange vor fi:

(II.117)

Dar , de unde se vede ca  este coordonata ciclica;  va fi impulsul centrului de masa si este constant (se conserva).

Notānd  viteza centrului de masa (constanta) rezulta:

(II.118)

adica centrul de masa al unui sistem de doua corpuri care interactioneaza doar īntre ele se deplaseaza rectiliniu si uniform īn raport cu referentialul  ales.

Daca referentialul  este inertial si sistemul de referinta legat de centrul de masa  va fi tot inertial. Īn raport cu  , deci functia Lagrange a sistemului devine:

KKKKK

(II.119)

Din aceasta expresie se vede ca problema miscarii a doua corpuri s-a redus la miscarea unui singur corp de masa  īn cāmpul de forte cu potentialul , unde  este vectorul relativ de pozitie al unei particule fata de cealalta.

Miscarea centrului de masa se va face independent de miscarea relativa a corpurilor. Din relatia (II.119), cunoscānd forma concreta a functiei  se poate determina  cu conditii initiale date.

II.6.4.Miscarea īntr-un cāmp central de forte

Fortele centrale sunt acele forte care actioneaza īn lungul liniei ce uneste centrele corpurilor aflate īn interactiune. Ele depind numai de distanta īntre centrele corpurilor respective.

Daca o particula se afla īntr-un cāmp de forte exterioare, cāmpul va fi central daca forta care actioneaza asupra particulei va fi orientata īn lungul liniei ce uneste particula cu un punct fix, numit centrul cāmpului de forte.

Sa consideram un sistem de referinta cu centrul īn centrul cāmpului de forte. Forta care actioneaza asupra particulei va fi:

(II.120)

Daca functia  este dependenta doar de modulul vectorului de pozitie , cāmpul va fi conservativ, adica provine dintr-un potential  prin relatia:

sau

(II.121.a)

(II.121.b)

Cāmpul gravitational, cāmpul coulombian - sunt cāmpuri centrale. Pentru acestea potentialul  este de forma:

(II.122)

Daca , deci  este forta atractiva.

Daca , deci  este forta repulsiva.

Problema miscarii īn cāmp central a fost dezvoltata īn legatura cu miscarea planetelor īn jurul Soarelui.

Cānd studiem fortele centrale, datorita simetriei sferice a problemelor, este util sa folosim coordonatele polare īn spatiu (coordonatele sferice)  (fig.II.5.).

Fig.II.5

Legatura īntre coordonatele carteziene  si cele sferice  este data de relatiile:

(II.123)

Energia cinetica a unui punct material se va scrie:

(II 124)

iar functia Lagrange va fi:

(II.125)

Cele trei ecuatii Lagrange vor fi:

(II.126.a)

(II.126.b)

(II.126.c)

Se observa ca functia Lagrange nu depinde explicit de  deci:

(II.127)

Calculānd pentru punctul material proiectia momentului cinetic pe axa

(II.128)

se observa ca impulsul  canonic conjugat cu coordonata (unghiul polar)  este chiar proiectia momentul cinetic pe axa īn jurul careia se face rotatia cu unghiul .

Din (II.127) si (II.128) rezulta ca

Teorema variatiei momentului cinetic (viteza de variatie a momentului cinetic este egala cu momentul fortelor rezultante) se va scrie:

(II.129)

Daca forta este centrala, momentul sau fata de centrul cāmpului este nul, deci vectorul  va fi constant (atāt ca modul cāt si ca orientare). stiind ca momentul cinetic este perpendicular pe planul vectorilor  si , rezulta ca si acest plan ramāne acelasi īn miscarea īn cāmp central deci traiectoria particulei este plana.

Daca alegem ca plan al miscarii chiar planul , functia Lagrange devine:

(II.130)

Iar

(II.131)

Sa gasim semnificatia fizica a acestui rezultat: consideram planul miscarii (fig.II.6) si doua pozitii  si  ale punctului material la momentele  si .

Fig.II.6

Īn timpul  raza vectoare  "matura" suprafata  cu aria:

(II.132)

Viteza areolara (aria "maturata" de raza vectoare īn unitatea de timp) va fi:

(II.133)

Deoarece , rezulta ca si viteza areolara este constanta.

Se poate atunci enunta legea a II-a a lui Kepler:

     "Īn cāmp central de forte, raza vectoare "matura" arii egale īn intervale egale de timp"

Din expresia (II.131) obtinem:

(II.131')

care introdus īn expresia energiei cinetice conduce la:

(II.134)

iar energia totala va fi:

(II.135)

De aici:

sau separānd variabilele:

(II.136)

Aceasta se integreaza si se obtine:

(II.137)

Scriind (II.131) sub forma:

separānd variabilele si īnlocuind  din (II.136) obtinem:

care se integreaza si se obtine:

(II.138)

Relatia (II.138) exprima dependenta  si da de fapt forma orbitei.

Introducānd

si facānd schimbarea de variabila , expresia (II.138) devine:

(II.139)

Notānd

obtinem din (II.139):

sau, revenind la marimile fizice initiale:

(II.140)

Alegānd originea pentru unghiul  astfel īncāt , obtinem:

(II.141)

Se introduc urmatoarele notatii:

(II.142)

Cu acestea expresia (II.141) devine:

(II.143)

Aceasta este ecuatia unei conice (curba obtinuta prin sectionarea unei suprafete conice cu un plan), cu focarul īn originea axelor de coordonate; marimea  se numeste parametrul conicei iar  - excentricitatea conicei (orbitei). Se observa ca punctul pentru care  are , care este distanta minima a punctului material fata de centrul cāmpului. Pozitia corespunzatoare pe orbita se numeste periheliul orbitei.

Īn functie de valoarea excentricitatii  exista patru tipuri de curbe (orbite):

1)  elipsa, pentru ;

2)  hiperbola, pentru ;

3)  parabola, pentru ;

4)  cercul, pentru ;

Din definitia lui  (relatia (II.142)) se vede ca valorile lui  depind de valorile energiei .

Pentru "starile legate"  deci , traiectoria este o elipsa (miscarea este finita).

Se definesc parametrii elipsei (fig.II.7):

Fig.II.7

- semiaxa mare

(II.144)

(depinde doar de , nu si de )

- semiaxa mica

(II.145)

Distanta minima fata de centrul cāmpului de forte va fi:

(II.146)

Distanta maxima (afeliu):

(II.147)

Ţinānd seama ca sistemul solar este stabil, , deci miscarea planetelor īn jurul Soarelui se īncadreaza īn acest tip de miscare, astfel īncāt se poate afirma:

     "Miscarea planetelor īn jurul Soarelui se face pe orbite eliptice, īn unul din focare aflāndu-se Soarele". Aceasta este legea I a lui Kepler.

Īn ceea ce priveste perioada de revolutie pe orbita eliptica, folosind relatia (II.133) obtinem:

care integrata īn raport cu timpul (pe timp de o perioada) conduce la:

(II.148)

Cum aria elipsei este:

si folosind relatiile (II.144) si (II.145) obtinem:

(II.149)

Daca  este masa unei planete,  este masa Soarelui iar K - constanta atractiei universale,  iar:

(II.150)

Legea a III - a a lui Kepler se enunta atunci īn felul urmator:

    "Patratul perioadei de revolutie a unei planete īn jurul Soarelui este proportional cu cubul semiaxei mari a orbitei planetei".


loading...




Document Info


Accesari: 1846
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.




Coduri - Postale, caen, cor

Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2017 )