Aplicatii ale mecanicii analitice

II.6.1.Problema micilor oscilatii

Vom considera un punct material care executa oscilatii în jurul unei pozitii de echilibru, de-a lungul unei axe pe care o vom lua drept axa . Se constata ca sistemul are un singur grad de libertate si vom nota cu abscisa punctului de echilibru. Fie energia potentiala a sistemului, cu conditia minim. În vecinatatea punctului de echilibru functia se poate dezvolta în serie Taylor:

Notând abaterea de la pozitia de echilibru, relatia (II.84) devine:

În expresia (II.85) se pot face urmatoarele simplificari:

- întrucât energia potentiala este definita pâna la o constanta aditiva arbitrara, pute 727e46h m considera ;

- în pozitia de echilibru fiind minima, .

Notând

expresia (II.85) devine:

În cazul oscilatiilor armonice termenii de gradul sunt nuli; daca acesti termeni nu sunt nuli, oscilatiile sunt anarmonice.

Energia cinetica a particulei va fi , deci functia Lagrange se scrie:

Ecuatia Lagrange devine:

care este o ecuatie diferentiala de ordinul al doilea.

În cazul oscilatiilor armonice ecuatia de miscare va fi:

care are solutia:

sau notând

O alta forma pentru solutia ecuatiei (II.90) este:

unde constantele de integrare sunt si .

Oricare ar fi forma solutiei, cele doua constante care apar se determina din conditiile la momentul initial. Daca, de exemplu, la momentul initial particula era în pozitia de echilibru si avea viteza , obtinem pentru cele doua constante sistemul de ecuatii:

din care iar , deci solutia va fi:

Rezolvând aceeasi problema în formalismul Hamilton, functia va fi:

care însa trebuie exprimata în functie de si . Din expresia (II.88):

, de unde iar

Sistemul ecuatiilor canonice:

devine

din care se elimina si se obtine

adica aceeasi ecuatie (II.90) ca si în cazul formalismului Lagrange.

Pentru oscilatorul armonic unidimensional spatiul fazelor este bidimensional si are "axele" si .

Sa determinam ecuatia traiectoriei punctului reprezentativ al sistemului în spatiul fazelor. Pentru aceasta scriem energia oscilatorului:

care este o integrala prima a miscarii, deci este constanta. Relatia (II.96) se mai poate scrie:

care este ecuatia unei elipse cu semiaxele si .

II.6.2.Oscilatii liniare ale sistemelor cu mai multe grade de libertate

Fie un sistem conservativ cu grade de libertate, a carui configuratie este descrisa de coordonatele generalizate având la echilibru valorile . În cazul micilor oscilatii în jurul pozitiei de echilibru si tinând seama ca , expresia energiei potentiale se scrie:

Admitând ca în starea de echilibru energia potentiala este nula si notând:

relatia (II.98) devine:

care este o functie patratica omogena de coordonatele generalizate.

Vom arata ca si energia cinetica a unui sistem conservativ se poate scrie sub o forma asemanatoare:

fie coordonatele carteziene ale punctelor sistemului, exprimate în functie de coordonatele generalizate prin relatiile:

- vitezele carteziene:

energia cinetica:

unde am notat

Din relatiile (II.99) si (II.100), functia Lagrange se scrie:

Ecuatiile Lagrange vor fi:

care constituie un sistem de ecuatii diferentiale liniare de ordinul al doilea, cu coeficienti constanti. Solutiile acestor ecuatii vor fi de forma:

care substituite în (II.102) duc la un sistem omogen de ecuatii algebrice pentru constantele de forma:

Acesta admite solutie nebanala când determinantul coeficientilor este nul, adica:

cu mentiunea (evidenta din definitii) ca:

Expresia (II.105) reprezinta o ecuatie algebrica de gradul în , denumita ecuatie seculara; ea admite radacini reale .

O valoare , radacina reala a acestei ecuatii, se numeste pulsatie proprie a sistemului.

Constantele din (II.104) vor fi functii de aceste pulsatii proprii iar solutia generala a sistemului (II.102) va fi o combinatie liniara de solutii particulare (II.103):

Partea ei reala se exprima astfel:

unde sunt constante.

Solutia (II.106) este o suprapunere de oscilatii cu pulsatiile , amplitudinile si fazele initiale . O expresie de tipul:

se numeste coordonata normala si solutia generala (II.106) devine:

Cu ajutorul coordonatelor normale functia Lagrange se poate scrie:

unde si sunt constante reale.

Facând schimbarea de variabila si , expresia (II.109) devine:

Ecuatiile Lagrange vor fi:

care reprezinta oscilatori independenti.

În concluzie, micile oscilatii ale unui sistem cu grade de libertate sunt echivalente cu micile oscilatii ale unui sistem de oscilatori independenti, cu conditia ca acestia sa execute oscilatii normale.

II.6.3.Problema celor doua corpuri

Consideram un sistem format din doua corpuri cu masele si , ale caror pozitii sunt date de vectorii de pozitie si (fig.II.4)

Presupunem ca cele doua corpuri interactioneaza cu forte conservative care provin din potentialul . Atunci functia Lagrange a sistemului se va scrie:

Scrierea si rezolvarea ecuatiilor Lagrange este îngreunata de faptul ca variabilele si nu sunt separabile.

Vom face urmatoarea schimbare de variabile:

Se observa ca vectorul este vectorul de pozitie al particulei relativ la particula iar vectorul este vectorul de pozitie al centrului de masa al sistemului.

Din relatia (II.113) si în functie de noile variabile se scriu:

Calculând si introducând aceste expresii în (II.112) obtinem:

(expresia trebuie sa depinda de modulul vectorului pentru ca din ea vor proveni doua forte de interactie egale si de sensuri contrare specifice pentru sisteme conservative închise).

Notând - masa sistemului - plasata în centrul de masa si - masa redusa a sistemului , relatia (II.115) devine:

Ecuatiile Lagrange vor fi:

Dar , de unde se vede ca este coordonata ciclica; va fi impulsul centrului de masa si este constant (se conserva).

Notând viteza centrului de masa (constanta) rezulta:

adica centrul de masa al unui sistem de doua corpuri care interactioneaza doar între ele se deplaseaza rectiliniu si uniform în raport cu referentialul ales.

Daca referentialul este inertial si sistemul de referinta legat de centrul de masa va fi tot inertial. În raport cu , deci functia Lagrange a sistemului devine:

Din aceasta expresie se vede ca problema miscarii a doua corpuri s-a redus la miscarea unui singur corp de masa în câmpul de forte cu potentialul , unde este vectorul relativ de pozitie al unei particule fata de cealalta.

Miscarea centrului de masa se va face independent de miscarea relativa a corpurilor. Din relatia (II.119), cunoscând forma concreta a functiei se poate determina cu conditii initiale date.

II.6.4.Miscarea într-un câmp central de forte

Fortele centrale sunt acele forte care actioneaza în lungul liniei ce uneste centrele corpurilor aflate în interactiune. Ele depind numai de distanta între centrele corpurilor respective.

Daca o particula se afla într-un câmp de forte exterioare, câmpul va fi central daca forta care actioneaza asupra particulei va fi orientata în lungul liniei ce uneste particula cu un punct fix, numit centrul câmpului de forte.

Sa consideram un sistem de referinta cu centrul în centrul câmpului de forte. Forta care actioneaza asupra particulei va fi:

Daca functia este dependenta doar de modulul vectorului de pozitie , câmpul va fi conservativ, adica provine dintr-un potential prin relatia:

Câmpul gravitational, câmpul coulombian - sunt câmpuri centrale. Pentru acestea potentialul este de forma:

Daca , deci este forta atractiva.

Daca , deci este forta repulsiva.

Problema miscarii în câmp central a fost dezvoltata în legatura cu miscarea planetelor în jurul Soarelui.

Când studiem fortele centrale, datorita simetriei sferice a problemelor, este util sa folosim coordonatele polare în spatiu (coordonatele sferice) (fig.II.5.).

Legatura între coordonatele carteziene si cele sferice este data de relatiile:

Energia cinetica a unui punct material se va scrie:

iar functia Lagrange va fi:

Cele trei ecuatii Lagrange vor fi:

Se observa ca functia Lagrange nu depinde explicit de deci:

Calculând pentru punctul material proiectia momentului cinetic pe axa

se observa ca impulsul canonic conjugat cu coordonata (unghiul polar) este chiar proiectia momentul cinetic pe axa în jurul careia se face rotatia cu unghiul .

Din (II.127) si (II.128) rezulta ca

Teorema variatiei momentului cinetic (viteza de variatie a momentului cinetic este egala cu momentul fortelor rezultante) se va scrie:

Daca forta este centrala, momentul sau fata de centrul câmpului este nul, deci vectorul va fi constant (atât ca modul cât si ca orientare). stiind ca momentul cinetic este perpendicular pe planul vectorilor si , rezulta ca si acest plan ramâne acelasi în miscarea în câmp central deci traiectoria particulei este plana.

Daca alegem ca plan al miscarii chiar planul , functia Lagrange devine:

Iar

Sa gasim semnificatia fizica a acestui rezultat: consideram planul miscarii (fig.II.6) si doua pozitii si ale punctului material la momentele si .

În timpul raza vectoare "matura" suprafata cu aria:

Viteza areolara (aria "maturata" de raza vectoare în unitatea de timp) va fi:

Deoarece , rezulta ca si viteza areolara este constanta.

Se poate atunci enunta legea a II-a a lui Kepler:

"În câmp central de forte, raza vectoare "matura" arii egale în intervale egale de timp"

Din expresia (II.131) obtinem:

care introdus în expresia energiei cinetice conduce la:

iar energia totala va fi:

De aici:

sau separând variabilele:

Aceasta se integreaza si se obtine:

Scriind (II.131) sub forma:

separând variabilele si înlocuind din (II.136) obtinem:

care se integreaza si se obtine:

Relatia (II.138) exprima dependenta si da de fapt forma orbitei.

Introducând

si facând schimbarea de variabila , expresia (II.138) devine:

Notând

obtinem din (II.139):

sau, revenind la marimile fizice initiale:

Alegând originea pentru unghiul astfel încât , obtinem:

Se introduc urmatoarele notatii:

Cu acestea expresia (II.141) devine:

Aceasta este ecuatia unei conice (curba obtinuta prin sectionarea unei suprafete conice cu un plan), cu focarul în originea axelor de coordonate; marimea se numeste parametrul conicei iar - excentricitatea conicei (orbitei). Se observa ca punctul pentru care are , care este distanta minima a punctului material fata de centrul câmpului. Pozitia corespunzatoare pe orbita se numeste periheliul orbitei.

În functie de valoarea excentricitatii exista patru tipuri de curbe (orbite):

elipsa, pentru ;

hiperbola, pentru ;

parabola, pentru ;

cercul, pentru ;

Din definitia lui (relatia (II.142)) se vede ca valorile lui depind de valorile energiei .

Pentru "starile legate" deci , traiectoria este o elipsa (miscarea este finita).

Se definesc parametrii elipsei (fig.II.7):

- semiaxa mare

(depinde doar de , nu si de )

- semiaxa mica

Distanta minima fata de centrul câmpului de forte va fi:

Distanta maxima (afeliu):

Ţinând seama ca sistemul solar este stabil, , deci miscarea planetelor în jurul Soarelui se încadreaza în acest tip de miscare, astfel încât se poate afirma:

"Miscarea planetelor în jurul Soarelui se face pe orbite eliptice, în unul din focare aflându-se Soarele". Aceasta este legea I a lui Kepler.

În ceea ce priveste perioada de revolutie pe orbita eliptica, folosind relatia (II.133) obtinem:

care integrata în raport cu timpul (pe timp de o perioada) conduce la:

Cum aria elipsei este:

si folosind relatiile (II.144) si (II.145) obtinem:

Daca este masa unei planete, este masa Soarelui iar K - constanta atractiei universale, iar:

Legea a III - a a lui Kepler se enunta atunci în felul urmator:

"Patratul perioadei de revolutie a unei planete în jurul Soarelui este proportional cu cubul semiaxei mari a orbitei planetei".