FUNCTIII DEFINITE PE N (SIRURI)

FUNCTIII DEFINITE PE N (SIRURI)

Modalitati de a defini un sir, siruri marginite, siruri monotone; exemple simple

Tipuri de siruri: 535d36f progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general in functie de un termen dat si ratie, suma primilor n termeni ai unei progresii

Conditia ca n numere sa fie in progresie aritmetica sau geometrica pentru n ≥ 3.

Siruri de numere rele:

def: se numeste sir de numere rele orice functie

unde A e o submultime finita a lui N

numarul x(n) se noteaza si se numeste termenul de rang n al sirului .

Vom nota sirul prin sau sau pur si siplu

Moduri de a defini un sir :-printr-o regula de calcul

-prin mai multe reguli de calcul

-printr-o relatie de recurenta

Un sirse numeste strict crescator daca x₀<x₁<x₂<…<x_n<.. adica x_n<x_n+1

Un sirse numeste strict descrescator daca x₀>x₁>x₂>…>x_n>.. adica x_n>x_n+1

Un sirse numeste monoton crescator daca x₀x₁x₂…x_n.. adica x_nx_n+1

Un sirse numeste monoton descrescator daca x₀x₁x₂…x_n.. adica x_nx_n+1

pentru a studia monotonia unui sir facem diferenta x_n+1-x_n daca da pozitiva sirul e crescator daca da negativa sirul e descrescator

sau daca sirul e format doar din termeni pozitivi putem face raportul

daca >1 sirul e crescator ; daca <1 sirul e descrescator

Def:Un sir e marginit daca exista astfel incat

Progresii arimetice

Se numeste progresie aritmetica un sir de numere reale in care fiecare termen incepand cu al doilea se obtine din termenul anterior adunand o constanta numita ratie

a_n+1=a_n+r unde r reprezinta ratia progresiei aritmetice iar a_n termenul de rang n

a_n=a₁+(n-1)r

trei numere a,b,c sunt in progresie aritmetica daca b e medie aritmetica intre a si c adica

notam cu S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n

S_n= S_n=

Daca imi da un sir de numere reale sa verific daca e progresie aritmetica sau nu facem a_n+1-a_n daca da o constanta aceea e ratia

daca nu e constanta nu e progresie aritmetica

Progresii geometrice

Se numeste progresie geometrica un sir de numere reale in care fiecare termen incepand cu al doilea se obtine din termenul anterior inmultind o constanta numita ratie

a_n+1=a_nq unde q reprezinta ratia progresiei geometrice iar a_n termenul de rang n

a_n=a₁q^n-1

trei numere a,b,c sunt in progresie geometrica cu termeni pozitivi daca b e medie geometrica intre a si c adica ; in general pentru o progresie geometica cu termeni oarecare a,b,c sunt in progresie geometrica daca b²=ac

notam cu S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n

S_n=

Daca imi da un sir de numere reale sa verific daca e progresie geometrica sau nu facem daca da o constanta aceea e ratia

daca nu e constanta nu e progresie geometrica

pentru un sir oarecare ( nu neaparat progresie arimetica sau geometrica) daca imi da foma lui S_n pentru a calcula a_n iau

S_n-S_n-1=a₁+a₂+a₃+…+a_n-(a₁+a₂+a₃+..+a_n-1)=a_n