MĚŘENÍ FREKVENCE POMOCÍ RÁZŮ

1. Teoretická příprava na měření

Zvlástním a důlezitým případem skládání   stejnosměrných harmonických kmitů je superpozice, jejichz frekvence f₁ , f₂ se od sebe velmi málo lisí. Pro jednoduchost uvazujme případ stejný amplitud A₁ = A₂ = A a počáteční fází φ₁ = φ₂ = φ

Jsou-li:

y₁ = A * sin (ω₁ t - φ) y₂ = A * sin (ω₂ t - φ)

rovnice těchto harmonických kmitů, okamzitou výchylkou výsledného kmitání pak získáme součtem:

y = y₁ + y₂ = A * sin (ω₁ t - φ) + A * sin (ω₂ t - φ)

coz lze pouzitím trigonometrického vzorce sin α + sin β = 2sin (α + β) / 2cos (α - β) / 2

po dosazení ω = 2π * f₁ resp. ω = 2π * f₂ upravit na tvar:

y = 2A * cos * π * t (f₁ - f₂) * sin * π * t (f₁ + f₂)

Přestoze výsledná rovnice má poměrně slozitý časový průběh, její fyzikální interpretace je snadná. Označíme-li A_r = 2 * cos * π * t (f₁ - f₂), pak předchozí rovnice popisuje harmonické kmitání s frekvencí rovnou průměrné frekvenci obou kmitů a proměnnou amplitudou. Ta se mění mezi hodnotami ± 2A rovněz harmonicky (podle funkce cosinus) s frekvencí (f₁ - f₂) / 2. Dochází tedy k periodickému zesilování a zeslabování kmitání, kterému v akustice říká zázněje nebo rázy. Počet rázů za sekundu f je roven počtu maximum absolutní hodnoty‌‌‌‌ │A_R│ za sekundu, coz odpovídá rozdílu frekvencí skládaných kmitů. Rázová frekvence je tudíz vzdy f_R =│ f₁ - f₂

Rozezvučíme-li dvě ladičky o stejném kmitočtu, uslysíme jeden tón. Pokud ovsem jednu z nich rozladíme, např. kouskem gumy připevněným k jejímu ramenu,uslysíme jak intenzita znějícího tónu periodicky kolísá. Z periody vzniklých rázů a kmitočtů ladičky, která je zdrojem referenčního tónu, lze snadno spočítat frekvenci ladičky rozladěné. Pro snadné měření vznikajících rázů lze zvuk obou ladiček snímat mikrofonem a jejich časový průběh zobrazit na osciloskopu.

Frekvenci rozladěného ramene ladičky lze vypočítat dle vztahu:

f = f₀ - f_R = f₀ - 1/

kde f₀ je frekvence rozladěného ramene ladičky a je perioda kmitu rozladěného ramene.

2. Seznam pomůcek

Osciloskop, dvě naproti sobě symetricky upevněné ladičky ( f₀ = 440 Hz), stopky, mikrofon, gumový krouzek (závazí), pravítko, palička s gumovým koncem pro udělení úderu.

3. Postup práce

a)      zkontrolujeme symetrické umístění ladičky (několik mm) od membrány mikrofonu

b)      zapneme a nastavíme osciloskop

c)      umístíme gumový krouzek na pozadovanou vzdálenost "x" od jednoho konce ramene

d)      gumový konec paličky rozezníme přiblizně stejně silným úderem obě ramena ladičky

e)      po dostatečném ustálení obrazu amplitudy kmitání na osciloskopu odečteme pomocí stopek dobu deseti maximálních amplitud (rázů)

f)        pro kazdou polohu závazí "x" opakujeme měření 10 krát

4. Výpočet hodnot frekvencí a nejistot:

Tabulka číslo 1 - výpočet hodnot pro x = 30 mm.

Příklad výpočtu:

f = 440-1/0,33 = 436,97 Hz

f_P30 = ∑ f₃₀ / 10 = 4370,74 / 10 = 437,07 Hz

u_f30 = = = 0, 02 Hz

f₃₀ = (f_P30   ± u_f30

P_f30 = · 100 = · 100 = 0,00%

Tabulka číslo 2 - výpočet hodnot pro x = 50 mm.

Příklad výpočtu:

f = 440-1/0,49 = 437,96 Hz

f_P50 = ∑ f₅₀ / 10 = 4379,86 / 10 = 437,99 Hz

u_f50 = = = 0, 02 Hz

f₅₀ = (f_P50   ± u_f50

P_f50 = · 100 = · 100 = 0,00%

5) Závěr:

Změřili jsme a vypočetli frekvence rozladěné části ladičky:

f₃₀ = 437,07 ± 0,02) Hz s relativní nejistotou v měření pf₃₀ = 0,005% pro vzdálenost závazí od konce ladičky 30 mm.

f₅₀ = 437,99 ± 0,02) Hz s relativní nejistotou v měření pf₂₀ = 0,005% pro vzdálenost závazí od konce ladičky 50 mm.