ANALIZA PROCESELOR CHIMICE ÎN REGIM NESTAŢIONAR

Elemente de baza ale modelarii matematice a proceselor în regim nestationar

Introducere

Reprezentarea matematica a unui proces în regim nestationar (dinamic) presupune utilizarea unor marimi ce caracterizeaza evolutia acestuia, denumite uzual variabilele procesului. Se disting doua categorii de marimi din aceasta categorie: variabile independente (sau de intrare) si respectiv, variabile dependente.

Variabilele independente sunt marimi ce influenteaza în mod direct si independent evolutia procesului. Din punct de vedere al operarii, acestea se clasifica, la rândul lor, în variabile de comanda (sau comenzi) si respectiv, variabile perturbatoare (perturbatii).

Variabilele de comanda sunt marimi ale caror valori pot fi modificate de catre operatorii procesului, prin intermediul unor dispozitive adecvate (ventile etc), iar variabilele perturbatoare sunt marimi ale caror valori nu pot fi modificate de catre operator, ca urmare a lipsei mijloacelor tehnice sau datorita particularitatilor procesului.

Variabilele dependente sunt, la rândul lor, de doua tipuri, variabile de stare si respectiv, variabile de iesire. Primele sunt marimi ce caracterizeaza starea procesului iar ultimele definesc performantele acestuia.

Pe lânga variabilele mentionate, în reprezentarea matematica a proceselor intervin un set de parametri care definesc caracteristici constructive ale utilajelor sau proprietati fizico-chimice ale amestecurilor de substante supuse transformarilor.

În analiza proceselor, se utilizeaza reprezentari schematice, cum este cea din figura 1, în care se evidentiaza clasele de marimi definite mai sus.

Variabilele procesului pot prezenta atât dependente în raport cu timpul cât si în raport cu diferite   coordonate spatiale. Functie de aceasta caracteristica, procesele sunt clasificate în doua clase: procese cu parametri concentrati (daca apar dependente ale variabilelor doar în raport cu timpul) si respectiv procese cu parametri distribuiti (daca apar dependente ale variabilelor acestora si în raport cu coordonate spatiale).

Modele matematice utilizate în reprezentarea matematica a proceselor în regim nestationar

În analiza regimurilor nestationare ale proceselor se utilizeaza modele matematice de diferite tipuri. Cel mai adesea, acestea se obtin din particularizarea principiilor de conservare a masei, energiei si impulsului la procesul studiat si au forma unor sisteme de ecuatii diferentiale, de regula neliniare.

Reprezentarea proceselor prin ecuatii de stare

a. Pentru procesele cu parametri concentrati, la care nu apar dependente în raport cu coordonate spatiale ale marimilor ce le caracterizeaza, modelele matematice în regim nestationar constau din

sisteme de ecuatii diferentiale ordinare (ecuatii în care intervin numai derivate totale în raport cu timpul). În aceasta categorie intra utilajele cu amestecare perfecta (reactorul tip autoclava cu agitare mecanica, talerul unei coloane de rectificare etc).

Fig. 1. Reprezentarea unui proces si clasificarea variabilelor acestuia

Definind vectorii tip coloana U (al variabilelor de intrare), X (al variabilelor de stare), Y (al variabilelor de iesire) si respectiv q (al parametrilor q q_k), modelul matematic al unui proces cu parametrii concentrati în regim nestationar poate fi exprimat prin ecuatiile vectoriale:

(1a)

(1b)

; ; ;

; t - timpul; (1c)

În ecuatiile (1a) si (1b), vectorii F si G sunt vectori functie, în mod uzual neliniare, de aceleasi dimensiuni cu X si respectiv Y. Modelele matematice de forma (1a), (1b) constituie reprezentari prin ecuatii de stare. Forma liniara a ecuatiilor de stare corespunde unor reprezentari de tipul:

(2a)

(2b)

În ecuatiile (2a) si (2b), matricile A(n n), B(n m), C(p n) si D(p m) pot fi constante sau variabile în raport cu timpul si contin (sau sunt functii de) elementele vectorilor parametrilor q

Exemplul 1: reactorul continuu cu amestecare perfecta în care au loc reactiile consecutive de ordinul I

Figura 2. Reactor cu amestecare perfecta

Variabilele independente sunt debitul volumetric de alimentare D_v0, debitul volumetric evacuat D_v, si concentratia reactantului A în alimentare (concentratiile produsilor de reactie în amestecul alimentat se considera nule). Variabilele de stare sunt volumul amestecului de reactie (V) si respectiv concentratiile speciilor chimice în amestec, C_A, C_p si C_S. În categoria variabilelor de iesire se considera o singura marime, randamentul în produsul intermediar P al transformarii (h_p

Modelul matematic al procesului va fi alcatuit din ecuatiile de bilant al speciilor chimice si respectiv ecuatia ce exprima variatia în timp a volumului de reactie:

(3)

(4)

(5)

(6)

ecuatii la care se adauga expresia randamentului momentan în produsul intermediar P:

(7)

Dezvoltând derivatele ce intervin în ecuatiile (3) - (5) si tinând seama de (6) rezulta:

(3a)

(4a)

(5a)

Definind vectorii:

; ; ; ;

ecuatiile (3a), (4a), (5a) si (6) se pot exprima prin ecuatia diferentiala vectoriala echivalenta (1a), iar ecuatia (7) este echivalenta ecuatiei (1b).

Observatii:

i)      Ecuatiile de stare (3a) - (5a) sunt neliniare întrucât includ termeni ce reprezinta produse ale variabilelor procesului (D_v, C_A etc). Variabilele de intrare au fost grupate într-un singur vector, U, fara a face distinctia între comenzi si persturbatii.

ii)    Numarul de ecuatii de bilant nu poate fi redus din considerente stoechiometrice, întrucât compozitia de alimentare si vitezele de reactie sunt variabile în timp.

b. Pentru procesele cu parametri distribuiti, la care apar dependente atât în raport cu timpul cât si în raport cu coordonatele spatiale ale utilajelor, modelele matematice în regim nestationar constau din sisteme de ecuatii diferentiale cu derivate partiale. În aceasta categorie intra schimbatoarele de caldura tubulare, reactoarele tubulare, coloanele cu umplutura utilizate în operatii de separare etc. Un exemplu de model matematic pentru procese din aceasta categorie este cel pentru procese în care apar mecanisme de transport convectiv si de difuzie (sau dispersie), ambele în directia axiala (z)

; (8)

(8a)

În descrierea matematica a proceselor cu parametri distribuiti pot apare si alte categorii de ecuatii de stare, care nu se încadreaza în tipul descris prin forma (8), cum sunt cele în care apar dependente în raport cu doua sau mai multe coordonate spatiale, ca de exemplu cele axiala si radiala la reactoarele tubulare etc.

Ecuatiile de stare prezentate mai sus (de tipul (1a) sau (8) sunt ecuatii diferentiale în forma continua (valabile la orice moment de timp, t). În aplicatiile de simulare si conducere a proceselor, asistate de calculatoare numerice, uneori se prefera utilizarea ecuatiilor de stare în forma discretizata. Dependentele între variabilele procesului, exprimate prin ecuatiile de stare, sunt valabile în acest caz numai la anumite momente de timp, denumite momente de esantionare. Pentru o perioada de esantionare a variabilei de timp, T_s, valoarea vectorului de stare la momentul se exprima în functie de valorile variabilelor la momentul anterior, t_k = k T_s:

, k= 0, 1, 2... (9)

Ecuatia (9) este denumita ecuatie de stare în forma discretizata si este echivalenta ecuatiei (1a), valabila la momente de timp multipli ai perioadei de esantionare T_s. Trecerea de la ecuatiile de stare în forma continua la cele în forma discretizata este realizabila prin algoritmi specifici (v. referinta

c. Exprimarea modelelor în variabile de abatere

Considerând valorile de regim stationar ale variabilelor procesului: u_1s, u_2s . u_ms, x_1s, x_2s, ., x_ns, se definesc abaterile de la valorile de regim stationar:

, i 1, 2, ., n si , i 1, 2, ., n, componente ale vectorilor X si respectiv U'. Înlocuind variabilele x_i si u_i în functie de noile variabile si respectiv , ecuatia de stare (1a) se transcrie în forma:

(10)

Daca regimul stationar caracterizat prin valorile x_is, u_is precede regimul dinamic descris de ecuatia (10), aceasta este caracterizata de conditii initiale nule: t=0, =0, i=1, 2, ., n (întrucât la momentul initial procesul este înca la starea de regim stationar). Conditiile initiale nule sunt avantajoase, mai ales atunci când se urmareste trecerea de la ecuatiile diferentiale în domeniul de timp, la transformatele Laplace ale acestora. În cele ce urmeaza, indicele superior în notarea variabilelor de abatere nu se va mai specifica, acestea fiind desemnate tot prin notatiile (x_i, u_i), cu mentionarea sistematica a semnificatiilor (daca este vorba de exprimarea în valori absolute sau variabile de abatere).

Reprezentarea matematica a proceselor în regim nestationar prin functii de transfer

În cazul proceselor descrise în regim tranzitoriu prin ecuatii diferentiale liniare (denumite procese liniare) se pot deduce relatii care exprima dependentele între transformatele Laplace sau în z ale variabelor de intrare si respectiv iesire, denumite functii de transfer în forma continua (daca sunt obtinute din transformatele Laplace), respectiv functii de transfer în z. Transformatele Laplace si respectiv în z ale functiilor mai frecvent utilizate în analiza proceselor, sunt prezentate în anexele 1 si 2. Se considera modelul matematic definit prin ecuatiile diferentiale liniare în domeniul timp (2a) si (2b), exprimat în variabile de abatere cu conditii initiale nule, X₍₀₎=0, în care matricile coeficientilor, A, B, C si D sunt constante, iar transformatele Laplace ale vectorilor U, X si Y se noteaza prin si În domeniul complex (al transformatelor Laplace), relatiile între variabilele de intrare si cele de iesire sunt exprimate prin matricea de transfer, H(s), ale carei elemente (în numar de n m) sunt functiile de transfer ale procesului. Din (2a) si (2b) rezulta:

(10a)

(10b)

sau: (11)

(12)

În relatiile de mai sus, s este variabila complexa a transformatelor Laplace, iar I matricea unitate de aceeasi dimensiune cu A.

Modelele liniare de forma (2a), (2b) sunt foarte frecvent folosite în dezvoltarea sistemelor de conducere în regim nestationar. În cazul în care procesul este neliniar, se pot obtine modele liniare aproximative, care descriu cu o precizie satisfacatoare comportarea acestuia pe domenii limitate de operare. Operatia se numeste liniarizare a modelelor si se realizeaza, de cele mai multe ori, prin dezvoltari în serii Taylor ale ecuatiilor neliniare în jurul punctelor de functionare stationara. Se reia, pentru exemplificare, modelul matematic al reactorului cu amestecare perfecta izoterm, în care au loc reactii consecutive de ordinul I, exprimat prin ecuatiile (3a), (4a), (5a), (6) si (7). Presupunând ca nivelul lichidului din reactor este mentinut constant printr-un sistem de reglare, volumul V va ramâne constant în timp, iar debitele de intrare si iesire vor fi egale, D_v=D_v0. În plus, se considera ca singurele concentratii care intereseaza a fi urmarite sunt C_A si C_p. Procesul este caracterizat în aceste conditii de doua variabile de intrare, C_A0 si D_v0 si doua variabile de stare, C_A si C_p.

Pâna la un moment, t=0, procesul se presupune în regim stationar, caracterizat prin valorile D_v0s, C_A0s, C_As si C_ps. Urmare a unor modificari (perturbatii) ale variabilelor de intrare D_v0 si C_A0, procesul intra în regim tranzitoriu. Daca variatiile marimilor C_A0 si D_v0 sunt mici (în raport cu valorile din regim stationar), regimul tranzitoriu va putea fi descris aproximativ printr-un model de forma (2a), obtinut prin dezvoltarea în serii Taylor a ecuatiilor (3a) si (4a) în jurul valorilor de regim stationar D_v0s, C_A0s, C_As si C_ps (Anexa 3).

Introducând notatiile:

; ;

; ; (13)

ecuatiile (3a) si (4a) se aduc la forma liniarizata:

(14a)

(14b)

(15)

în care:

; a₁₂= 0; ; ;

; ; (16)

; ;

Matricile coeficientilor au expresiile:

; ; ; (17)

(18)

Transpusa matricii (sI - A) se calculeaza conform algoritmului prezentat în Anexa 4.

; ; ;

(19)

(20)

; (21)

;

Structura modelului este formata din doua canale intrare-iesire, care exprima dependentele randamentului în raport cu cele doua variabile de intrare (fig. 3).

Fig. 3 Reprezentarea prin matrice de transfer a reactorului cu amestecare perfecta continuu

Functia de transfer h₁(s) exprima influenta debitului, iar h₂(s) influenta concentratiei de alimentare, asupra randamentului în produsul intermediar P.

1.2.3 Modele pentru procese cu parametri concentrati caracterizate de o singura variabila de intrare si o singura variabila de iesire

1.2.3.1 Elementul cu întârziere de ordinul I

Modelele cele mai simple corespund situatiei în care procesul este caracterizat de o singura marime de intrare variabila în timp si o singura variabila de iesire (în terminologia engleza "single input - single output" sau abreviat, SISO). Daca variabila de iesire este considerata si ca variabila de stare, matricile A, B, C si D din ecuatiile (2a), (2b) se reduc la un singur element:

A=(a); B=(b); C=1 si D= 0.

Ecuatiile de stare (2a) si (2b) devin:

(22)

ceea ce în mod uzual se exprima printr-o singura ecuatie, scrisa sub forma:

; ; (23)

t - constanta de timp a procesului; K_p - factorul de amplificare stationara.

Un proces în regim tranzitoriu descris printr-un model matematic de forma (23) este denumit element cu întârziere de ordinul I. Valoarea constantei de timp t, caracterizeaza dinamica tranzitiei procesului. Cu cât t este mai mic, variatia în timp a lui y este mai rapida. Denumirea parametrului K_p provine din faptul ca, în regim stationar, ecuatia (23) se reduce la forma:

(24)

în care valoarea iesirii, y_s, este obtinuta prin amplificarea intrarii, u_s, cu factorul K_p.

Daca variabila y este astfel definita încât conditia initiala sa fie nula (y₍₀₎=0), functia de transfer echivalenta cu ecuatia (23) este:

(25)

Exemplul 2: Calculul functiilor ce caracterizeaza distributia duratelor de stationare într-un reactor continuu cu amestecare perfecta.

Functiile de densitate a distributiei duratelor de stationare (DDS), E(t), si respectiv de repartitie a DDS, F(t), se obtin prin integrarea ecuatiei de bilant al unui trasor (substanta ce se presupune ca nu reactioneaza chimic cu mediul din reactor)[.. ]:

(26)

C , C₀ - concentratia trasorului în vas, respectiv în debitul alimentat;

Daca D_v0= D_v, V este constant în timp si ecuatia (26) se scrie în forma:

(27)

Considerând ca trasorul este prezent în sistem numai dupa un moment initial, t=0, conditia limita asociata ecuatiei (27) este C(0)=0. Functia C₀(t) este denumita semnal de intrare, iar evolutia în timp a concentratiei de iesire corespunzatoare, C(t), este denumita raspuns la semnalul de intrare.

Se demonstreaza ca functia de densitate a DDS, E(t), reprezinta raspunsul reactorului la o evolutie a concentratiei de intrare, C₀(t), de tip impuls unitar: C₀(t)=d(t). Functia impuls unitar (functia Dirac, sau functia Delta) este definita prin relatia:

(28)

si are proprietatea:

(29)

Din cele prezentate, rezulta ca functia E(t) este identica cu functia C(t) obtinuta integrând ecuatia (27) pentru C₀(t)=d(t). Integrarea este posibila utilizând metoda transformatei Laplace. Se noteaza: Efectuând transformata Laplace a ecuatiei (27) se obtine:

sau (30)

- functia de transfer a reactorului, pentru experimentul cu trasor.

Pentru un semnal de intrare de tip functie Dirac, , astfel ca:

(31)

Trecând în domeniul timp :

S-a obtinut astfel functia de densitate a DDS pentru reactorul continuu cu amestecare perfecta:

(32)

În mod asemanator se obtine functia de repartitie a DDS, identica cu raspunsul sistemului la un semnal de concentratie a trasorului în alimentare de tip treapta unitara. Functia treapta unitara, 1(t), este definita prin relatia:

(33)

Transformata Laplace a concentratiei de alimentare este în acest caz:

Din (30) se obtine:

(34)

S-a obtinut în acest mod functia de repartitie a DDS pentru reactorul cu amestecare perfecta:

(35)

1.2.3.2 Elementul cu întârziere de ordinul 2

Ecuatia care exprima dependenta între variabilele de intrare si iesire este de forma:

(36)

Din motive de stabilizare a iesirii, y(t), la valori mari ale lui t, se presupune si . O forma clasica a ecuatiei (36) este cea care pune în evidenta câteva caracteristici intrinseci ale procesului, ce determina comportarea acestuia în regim tranzitoriu:

- pulsatia naturala;

- factorul de amortizare; (37)

- factorul de amplificare stationara.

Ecuatia (36) ajunge în forma:

(38)

Observatie: Ecuatia diferentiala de ordinul doi, (36), este echivalenta cu un sistem format din doua ecuatii diferentiale de ordinul I :

(39)

În continuare, se va calcula raspunsul sistemului descris prin ecuatia (36), cu conditii initiale nule, la un semnal de intrare tip treapta unitara:

u(t)=1, ; (40)

Solutia ecuatiei (36) este suma a doi termeni:

(41)

y_f(t) - componenta fortata a solutiei, o functie de aceeasi forma cu semnalul de intrare, în acest caz o constanta, k.

(42)

y_l(t) - componenta libera, ce constituie solutia ecuatiei omogene:

(43)

si este de forma:

(44)

în care C₁ si C₂ sunt constante de integrare, iar r₁ si r₂ sunt radacinile ecuatiei caracteristice.

(45)

(46)

Functie de valoarea factorului de amortizare, x, se disting cazurile:

i)      x

r₁ si r₂ sunt numere imaginare: ;

Solutia (44) are forma particulara:

(47)

în care exponentialele se dezvolta utilizând formula Euler:

(48)

Înlocuind în (47) rezulta:

(49)

Valoarea lui y_l(t) fiind reala, rezulta ca C₁ si C₂ sunt numere complex conjugate:

m₁, m₂ - numere reale;

(49a)

Expresia (49a) poate fi scrisa în forma echivalenta:

(50)

;

În consecinta, solutia ecuatiei (38) are forma:

(51)

în care apar constantele de integrare C si j, ale caror valori se obtin din conditiile la limita (40).

Din (40) si (51) rezulta astfel:

si cosj

sau si C=-k.

Expresia (51) devine:

(52)

Înlocuind (52) în ecuatia diferentiala (38) si tinând seama ca x=0, rezulta k=K_p, astfel ca solutia are forma finala:

(53)

Raspunsul sistemului la semnalul treapta unitara este o sinusoida neamortizata cu amplitudinea K_p, perioada T=2π/ω_n si frecventa f= 1/T = ω_n /2π. Acesta este singurul caz în care raspunsul nu se stabilizeaza la o valoare constanta de regim stationar (fig. 4).

ii)        

Radacinile ecuatiei caracteristice (relatia (46)) se scriu în forma:

(54)

Expresia (44) devine:

(55)

Aplicând expresiei din paranteza transformarile prezentate pentru cazul anterior (i), solutia generala (41) devine:

(56)

Valorile constantelor de integrare C si j se obtin din conditiile la limita (40):

(57)

si (58)

Din ultima relatie: , astfel ca:

(59)

Din (57) si (59) rezulta:

(60)

Solutia generala a ecuatiei diferentiale se scrie în forma:

(61)

Raspunsul sistemului la semnalul treapta unitara este o sinusoida cu amplitudinea , descrescatoare în timp (sinusoida amortizata) si perioada (fig. 4). Dupa un timp suficient de îndelungat, raspunsul se stabilizeaza la valoarea de regim stationar, .

iii) x

Ecuatia caracteristica (45) are solutia unica:

Solutia ecuatiei diferentiale omogene (43) are în acest caz forma:

(62)

iar solutia generala (41):

(63)

Din conditiile la limita (40), rezulta valorile constantelor de integrare:

si respectiv

Înlocuind expresia (63) în ecuatia diferentiala (38) se obtine si în acest caz, k=K_p, astfel ca forma finala a solutiei este:

(64)

În acest caz, sistemul prezinta cel mai rapid raspuns neoscilant (fig. 4).

iv)

Radacinile ecuatiei (45) sunt reale si negative. Introducând notatiile:

si ,

solutia ecuatiei diferentiale (38) are forma:

(65)

Din conditiile initiale (40) se calculeaza:

si

Repetând înlocuirea expresiei (65) în ecuatia (38) se obtine din nou k=K_p, astfel ca solutia are expresia finala:

(66)

Reprezentând grafic solutiile obtinute în cele patru cazuri, se obtin curbele din figura 4.

Fig. 4. Raspunsul unui element cu întârziere de ordinul doi la un semnal tip treapta unitara

Din fig. 4 se observa ca evolutiile initiale ale lui y sunt mai rapide la raspunsul oscilant decât la cele neoscilante. Stabilizarea la valoarea de regim stationar y_s = K_p este cu atât mai rapida cu cât valoarea factorului de amortizare ξ este mai apropiata de 1.

Exemplul 3: Determinarea functiilor ce caracterizeaza distributia duratelor de stationare (DDS) pentru un sistem format din doua reactoare cu amestecare perfecta dispuse în serie. Procedura este aceeasi cu cea folosita la exemplul din paragraful 1.2.3. Ecuatiile de bilant ale trasorului în cele doua vase sunt de forma:

, i=1, 2 (67)

Fig.5. Reactoare cu amestecare perfecta dispuse în serie

sau si ;

Derivând a doua ecuatie si combinând rezultatul cu prima, rezulta:

(68)

Cum se observa, t si t sunt constantele de timp ale celor doua unitati ale seriei.

Functia de repartitie a DDS, F(t), este solutia ecuatiei diferentiale (68) pentru un semnal de intrare în concentratia trasorului de tip treapta unitara: , .

În aceste conditii, solutia ecuatiei (68) este de forma (66) în care K_p=1:

(69)

Functia de densitate a DDS, E(t) se obtine direct prin derivarea relatiei (69) ():

(70)

Integrarea ecuatiei de bilant al trasorului, (68), în vederea obtinerii functiilor ce caracterizeaza DDS în seria de doua reactoare cu amestecare perfecta, poate fi de asemenea usor efectuata prin utilizarea

Transformatei Laplace.

a) Se considera un semnal (functie Dirac) si conditii initiale nule (în cele doua vase nu exista trasor, la momente anterioare introducerii semnalului):

; (71)

Notând , transformata ecuatiei (68) este:

(72)

(S-a înlocuit

Transformata Laplace se obtine din (72) si are expresia:

sau (73)

Efectuând transformata inversa în domeniul timp, se obtine:

(74)

Caz particular: V₁=V₂ (vase de volume egale):

Expresia transformatei raspunsului este:

(73-a)

Acestei transformate îi corespunde functia în domeniul timp:

(74-a)

b) Pentru un semnal de intrare tip treapta unitara, C₀=1(t)=1, transformata Laplace a ecuatiei de bilant al trasorului, (68), are forma:

, sau (75)

În vederea obtinerii functiei raspuns în domeniul timp, se utilizeaza formula de descompunere:

Particularizând pentru expresia (75) se obtine:

 ;

Înlocuind si efectuând transformata inversa în domeniul timp, se obtine:

(77)

1.2.4 Elementul cu întârziere pura (elementul cu timp mort)

La un astfel de proces, singura modificare ce intervine asupra marimii de intrare este întârzierea acesteia cu un interval de timp denumit timp mort sau întârziere pura. Exemplul tipic îl reprezinta transportorul de solide cu banda continua (figura 6). Orice modificare a debitului de material solid alimentat din buncar la z=0 va fi sesizata la iesirea de pe banda (z=L) dupa un interval de timp , egal cu durata de stationare a materialului pe banda si care reprezinta timpul mort al utilajului (u - viteza benzii).

Fig.6. Banda transportoare

În general, aparitia timpului mort este specifica proceselor la care intervine mecanismul de transport convectiv pur (nu intervin fenomene de amestecare), cum este cazul la modelul de circulatie tip deplasare totala.

Într-un utilaj în care materialele circula în regim de deplasare totala, fara a fi expuse la transformari de faza sau reactii chimice, bilantul unei substante (de exemplu, cu rol de trasor), în regim tranzitoriu, este exprimat prin ecuatia:

(78)

C_S - evolutia initiala a concentratiei speciei bilantate.

Dependenta concentratiei la iesire, C(L,t), în functie de concentratia la intrare C₀(t) este obtinuta integrând ecuatia (78). În variabila de abatere, , ecuatia (78) se scrie:

(79)

Transformata Laplace a ecuatiei (79) este:

(80)

Separând variabilele si integrând rezulta:

(81)

În particular, la z=L:

; (82)

Prin transformare inversa în domeniul timp rezulta:

, sau (83)

Evolutia concentratiei la iesire se obtine întârziind evolutia celei de intrare cu t₀ unitati de timp. Din (83) se pot deduce direct functiile ce caracterizeaza distributia duratelor de stationare pentru modelul de circulatie cu deplasare totala:

si (84)

Elemente cu întârziere de diferite ordine si timp mort

Elementul cu întârziere pura (timp mort) nu apare de regula izolat în structura proceselor. Cel mai adesea acesta se suprapune peste alte caracteristici ale transformarii, a caror dinamica este descrisa prin ecuatii diferentiale de diferite ordine. Pe domenii limitate de valori ale variabilelor independente, dinamica proceselor poate fi descrisa prin ecuatii diferentiale liniare de ordinul I. Cazul cel mai simplu este cel al unui proces cu timp mort caracterizat de o singura variabila de intrare si o singura variabila de iesire, descris prin ecuatia specifica elementului cu întârziere de ordinul I:

; (85)

Functia de transfer echivalenta cu ecuatia diferentiala (85) este de forma (y₀=0):

(86)

În aceasta categorie se înscrie modelul care reprezinta evolutia în timp a concentratiei unei specii chimice într-un sistem, în care circulatia fluidului este descrisa printr-o succesiune a doua zone, una cu deplasare totala (D) si alta cu amestecare perfecta (R) (figura 7).

Fig. 7. Model de circulatie format dintr-o zona D si o zona R

Bilantul unei specii care nu se transforma chimic, în zona cu amestecare perfecta în regim tranzitoriu este dat de ecuatia:

(87)

Relatia între concentratia la intrarea în zona cu deplasare totala si cea de iesire din aceasta zona, este cea dedusa în paragraful anterior:

(88)

t_d - durata de stationare a particulelor de fluid în zona cu deplasare totala. Ecuatia (87) poate fi adusa astfel la forma:

; (89)

ce constituie un element cu întârziere de ordinul I si timp mort.

În cazurile unor procese de acelasi tip în care amestecarea este mai putin intensa, modelul de circulatie poate fi descris printr-o zona cu deplasare totala urmata de o serie de zone cu amestecare perfecta.

Daca modelul include doua zone cu amestecare perfecta, ca în figura 8, ecuatiile de bilant al unei specii inerte chimic, în regim tranzitoriu, sunt:

în zona1: ; (92a)

în zona 2: (92b)

Fig.8. Proces de ordinul 2 cu întârziere si timp mort

Derivând ecuatia (92b) si combinând ecuatia rezultata cu (92a), se obtine:

; , i=1, 2 (93)

Daca regimul tranzitoriu este astfel generat încât C₂(0)=0, ecuatia (93) este identica cu functia de transfer:

(94)

t si t sunt constantele de timp ale procesului.

Uneori, timpii morti pot sa apara si în termenii ce contin variabilele dependente. Spre exemplu, pentru sistemul format dintr-un reactor, o coloana de separare si un traseu de recirculare a reactantilor, prezentat în figura 9, dependenta între concentratia componentului usor în distilat si debitul de alimentare în reactor poate fi descrisa prin modelul de regim nestationar (functia de transfer):

(95)

Acest model este echivalent cu structura ilustrata în figura 10.

Fig.9. Sistem format dintr-un reactor cu amestecare (R) si o coloana de separare (C) cu recircularea reactantului netransformat

Fig. 10. Structura modelului matematic, echivalenta cu functia de trasfer (95)