LUCRUL MECANIC

LUCRUL MECANIC

Noþiunea de lucru mecanic a apãrut din necesitatea de a mãsura munca (fizicã) depusã de om, precum ºi de maºinile construite de el pentru a-1 ajuta în aceastã muncã.

Sã considerãm situaþia simplã în care un buºtean este deplasat pe un plan orizontal cu ajutorul unui cablu de cãtre un om. Aceeaºi deplasare se poate realiza ºi cu ajutorul unui cal sau al unui tractor. Generalizând pânã la abstractizare interacþiunea care se realizeazã prin intermediul cablului între buºtean pe de o parte ºi om, cal sau tractor pe de altã parte, s-a ajuns la noþiunea de forþã. Aceastã noþiune ne permite sã facem abstracþie de situaþia concretã consideratã ºi în loc sã spunem cã omul munceºte, vom spune cã forþa produce un lucru mecanic. Lucrul mecanic al forþei este cu atât mai mare cu cât inte 414e419e nsitatea forþei ºi deplasarea corpului (asupra cãruia acþioneazã forþa) sunt mai mari. Pentru generalizare, se poate face abstracþie ºi de corpul considerat ºi sã spunem cã o forþã produce lucru mecanic atunci când punctul sãu de aplicaþie se deplaseazã. ªtim cã o forþã care acþioneazã asupra unui rigid are caracterul unui vector alunecãtor, adicã efectul forþei nu se schimbã dacã punctul de aplicaþie se deplaseazã pe suportul ei. Trebuie sã observãm cã în cadrul noþiunii de lucru mecanic al unei forþe nu o astfel de deplasare este luatã în considerare, ci deplasarea efectivã a punctului de pe corp în care se considerã aplicatã forþa.

Denumirea de lucru mecanic a fost datã de inginerul francez Gustave Gaspard Coriolis. Conþinutul noþiunii s-a adâncit, o datã cu cea de cãldurã, în secolul al XlX-lea când s-a dovedit experimental cã existã un raport constant între cantitatea de lucru mecanic (care este legat de miºcarea mecanicã) ºi cantitatea de cãldurã (care este legatã de o formã de miºcare nemecanicã a materiei) în care acesta se poate transforma.

1. Definiþie

Se considerã un punct material M care se deplaseazã pe traiectoria curbilinie ( Γ ), fiind acþionat de forþa variabilã . La momentul t punctul material se aflã în M având faþã de un punct de referinþã fix 0 vectorul de poziþie r, iar la momentul se aflã în, având vectorul de poziþie.

Prin definiþie se va numi lucrul mecanic elementar, corespunzãtor forþei ºi deplasãrii elementare , produsul scalar

unde . (1)

Cum , expresia (1) devine (2)

Rezultã cã: lucrul mecanic elementar corespunzãtor unei forþe ºi unei deplasãri elementare a punctului de aplicaþie al forþei este egal cu produsul scalar dintre forþã ºi deplasarea elementarã.

În expresia (1) s-a aproximat cã în intervalul de timp forþa rãmâne constantã, iar arcul este egal cu coarda corespunzãtoare. Folosind exprimarea analiticã a vectorilor ºi în funcþie de proiecþiile vectorilor pe axele unui sistem cartezian Oxyz (figura 1) ;, (3) expresia (1) devine: (4)

Figura 1

În funcþie de viteza , expresia lucrului mecanic elementar este .

2. Proprietãþi ale lucrului mecanic:

a) este o mãrime scalarã având ca unitate de mãsurã în sistemul internaþional SI joule-ul (J) ºi în sistemul tehnic kilogram - forþã - metrul (kgf.m); 

b) este pozitiv când ºi poartã în acest caz numele de lucru meca­nic motor;

c) este negativ când ºi se numeºte în acest caz lucru mecanic rezistent ;

d) este nul când ;

e) dacã deplasarea este compusã din n deplasãri ele­mentare atunci (6)

Deci: lucrul mecanic elementar corespunzãtor unei deplasãri compuse este egal cu suma lucrurilor mecanice elementare aferente deplasãrilor componente;

f) dacã forþa reprezintã rezultanta unicã a unui sistem de forþe (7) , atunci lucrul mecanic este (8).

Adicã, lucrul mecanic elementar corespunzãtor rezultantei unui sistem de forþe este egal cu suma algebricã a lucrurilor mecanice elementare ale forþelor componente.

Figura 2

3. Lucrul mecanic total

Când este corespunzãtor unei forþe variabile ºi unei deplasãri finite a punctului material între punctele A ºi B pe o traiectorie curbilinie (figura 2) lucrul mecanic este dat de expresia: (9) ,

iar în cazul unui cuplu

(10).

Expresia (9) se obþine prin descompunerea miºcãrii finite în miºcãrii elementare pentru care forþa se considerã constantã., iar arcul de curbã se aproximeazã cu coarda ºi însumarea lucrurilor mecanice elementare corespunzãtoare.

Din relaþia (9) se observã cã lucrul mecanic corespunzãtor unei deplasãri finite a unui punct material ºi unei forþe variabile depind atât de modul cum variazã forþa, cât ºi de forma traiectoriei.

4. Lucrul mecanic în cazul forþelor conservative

În cazul în care forþaeste conservativã expresia ei este(11), unde U(x, y, z) este funcþia de forþã.

Funcþia de forþã este o funcþie scalarã de coordonatele punctului, cu ajutorul cãreia se pot determina componentele forþei astfel:

Pentru a exista o funcþie de forþã trebuie îndeplinite condiþiile lui Cauchy, care sunt :

Lucrul mecanic elementar este: (12)

(13)

Lucrul mecanic total este (14),

unde ºi sunt funcþiile de forþã corespunzãtoare poziþiilor iniþialã ºi finalã.

Rezultã cã: lucrul mecanic total în cazul unei forþe conservative de­pinde numai de poziþiile iniþialã ºi finalã ale punctului, fiind in­dependent de forma traiectoriei.

În locul funcþiei U, se poate considera funcþia V, numitã ºi funcþie potenþialã ºi definitã prin relaþia: . În acest caz, lucrul mecanic elementar are expresia .

Funcþia de forþã U ºi funcþia potenþialã V nu pot fi determinate decât cu aproximaþia unei constante.

Dacã un punct material este acþionat simultan de un sistem de forþe conservative care derivã din funcþiile de forþã , astfel încât:

; ; ;

; ; ;

.....; .....; ......;

; ; ;

rezultanta va avea proiecþiile:

;

;

;

adicã rezultanta derivã din funcþia de forþã . Un astfel de sistem de forþe se numeºte sistem conservativ.

Figura 3

Exemple a) Forþa este con­stantã ca modul ºi direcþie iar traiectoria este o curbã oarecare (figura 3). Faþã de sistemul de axe ales, se poate scrie

; (15), deci: (16)

Rezultã (17), unde este unghiul dintre segmentul de dreaptã AB ºi axa Ox.

Semnul plus se ia când punctul coboarã, iar semnul minus când punctul urcã.

Figura 4

b) În cazul în care este o forþã gravitaþionalã (figura 4) notând-o cu G, rezultã:

, (18) , .

În general (19).

Rezultã cã: lucrul mecanic al unei greutãþi nu depinde de forma traiecto­riei pe care se deplaseazã punctul sãu de aplicaþie, ci depinde. numai de poziþiile extreme între care se efectueazã miºcarea, fiind egal cu produsul dintre valoarea numericã a forþei ºi diferenþa de cotã dintre poziþiile iniþialã ºi finalã.

c) Lucrul mecanic al unei forþe elastice. Se considerã un resort spiral OM în stare liberã fixat în punctul 0 (figura 5). Prin întinderea arcului cu lungimea x ia naºtere o forþã = kx, proporþionalã cu alungirea resortului. Coeficientul de proporþionalitate notat prin k poartã numele de constantã elasticã a resortului ºi reprezintã forþa necesarã pentru a produce o alungire a resortului egalã cu unitatea. Pentru o deplasare elementarã a punctului M din M' în M", lucrul mecanic elementar corespunzãtor forþei elasticeºi deplasãrii dx este :

(20).

Pentru o deplasare finitã din A în B a extremitãþii M a resortului când acesta este întins, lucrul mecanic va fi

(21)

Figura 5

5. Lucrul mecanic elementar corespunzãtor unui sistem de forþe ce acþioneazã asupra unui solid rigid

Se considerã un solid rigid liber (figura 6), supus acþiunii unui sistem de forþe active .

Lucrul mecanic elementar corespunzãtor forþei ºi deplasãrii elementare , a punctului de aplicaþie , al forþei este :

(22)

Notând cu:

- viteza punctului O, aparþinând solidului rigid ;

- viteza unghiularã de rotaþie relativã a solidului rigid faþã de punctul 0, relaþia (22) devine :

,

unde este vectorul de poziþie al punctului faþã de punctul 0. Pentru întregul sistem de forþe se obþine

Figura 6

Dar

- deplasarea elementarã prin translaþie a rigidului 

2. - unghiul elementar de rotaþie considerat ca vector;

3. - vectorul rezultant al sistemului de forþe active;

4. - vectorul moment rezultant al sistemului de forþe active relativ la polul 0;

Adicã

Un caz important în aplicaþiile tehnice este acela al unui rigid acþionat de un cuplu .În acest caz miºcarea rigidului este o rotaþie. Având în vedere cã , din relaþia (23) se obþine :

; (24)

Când axa de rotaþie coincide cu suportul lui ºi acesta este constant, rezultã:

(25)

6. Lucrul mecanic al forþelor interioare

Se considerã douã puncte materiale ºi asupra cãrora acþioneazã forþele interioare ºi respectiv (figura 7). Fie ºi vectorii de poziþie ai punctelor ºi în raport cu punctul fix 0.

Lucrul mecanic elementar aferent forþelor ºi ºi deplasãrilor elementare ale punctelor de aplicaþie ale forþelor este

.

Deoarece rezulta cã (26)

În expresia (26) λ este un scalar pozitiv sau negativ dupã cum punctele ºi se resping sau se atrag.

Dacã punctele materiale aparþin unui sistem material rigid , iar , rezultã cã: suma lucrurilor mecanice elementare ale forþelor interioare ce acþioneazã punctele unui sistem material rigid, pentru orice deplasare ele­mentarã a sistemului este nulã.

Figura 7 

7. Reprezentarea graficã a lucrului mecanic

În figura 8 este arãtatã reprezentarea graficã a lucrului mecanic cu ajutorul unei diagrame. În abscisã se reprezintã proiecþia deplasãrii pe direcþia forþei, iar în ordonatã este reprezentatã forþa.

Lucrul mecanic corespunzãtor forþei ºi deplasãrii finite este egal cu valoarea ariei datã de diagrama a

suprafaþa (27)

iar în cazul unui moment prin valoarea suprafeþei date de diagrama b.

Figura 8