Documente online.
Zona de administrare documente. Fisierele tale
Am uitat parola x Creaza cont nou
 HomeExploreaza
upload
Upload




Metoda Gauss de reducere a formelor patratice la forma canonica

Matematica


Metoda Gauss de reducere a formelor patratice la forma canonica



I. V = R3

1. Cazul a11 ≠ 0

Exemplu:

h : R3  R, h(x) = x12 + 2x1x2 + x22 + 2x2x3 + x32

Scriem matricea asociata formei patratice:


2 3

A = 0 1 2

0 2 1


1 2 0

0 1 2 = 1 + 0 + 0 - (0 + 4 +0) = -3

2 1


0 1 = 0 nu se poate aplica metoda Iacobi

0 2

Aplicam metoda Gauss de reducere a formelor patratice la forma canonica: cazul 1 - curs " Matematica p 20420d32u entru economisti ", Ed. Universitara, pg. 19

a11 = 1 ≠ 0

h(x) = x12 + 2x1x2 + x22 - x22 + 2x2x3 + x32 = (x1 + x2)2 - x22 + (x2 + x3)2

unde: ξ1 = x1 + x2

ξ2 = x2 h(x) = ξ12 - ξ22 + ξ32

ξ = x2 + x3

2. Cazul a11 = 0

Cautam un indice j , astfel incat ajj 0

Exemplu:

h: R3  R, h(x) = x22 + x32 + 2x1x2 + 2x1x3

a22 = 1 + 0

Renumerotam variabilele astfel incat variabila j sa devina prima variablia, rezultand astfel cazul 1)

y1 = x2

y2 = x3

y3 = x1

h(x) = y12 + y22 + 2y1y3 + 2y2y3 = y12 + 2y1y3 + y32 + y22 + 2y2y3 - y32 =

(y1 + y3)2 + y22 + 2y2y3 + y32 - 2y32 = (y1 + y3)2 + (y2 + y3)2 - 2y32

Notam :

ξ1 = y1 + y3

ξ2 = y2 + y3

ξ3 = y3

h(x) = ξ12 + ξ22 - 2 ξ32

3. Cazul a11 = 0, oricare j , exista un indice i, astfel incat a11≠ 0

Exemplu :

h: R3  R, h(x) = x1x2 + x2x3 + x1x3

a11 = a22 = a33 = 0

Facem o transformare liniara astfel incat problema sa se reduca la cazul 1.

y1 = (x1 + x2)/2 x1 + x2 = 2y1

y2 = (x1 - x2)/2 x1 - x2 = 2y2

y3 = x3 2x1 / = 2(y1 + y2) x1 = y1 + y2

x2 = y1 - y2

x3 = y3

h(x) = y12 - y22 + y1y3 - y2y3 + y1y3 + y2y3 = y12 - y22 + 2y1y3

h(x) = y12 - y22 + 2y1y3

a11 = 1 ≠ 0 caz 1

h(x) = y12 - y22 + 2y1y3 + y32 - y32 = (y1 + y3)2 - y22 - y32

Notam :

ξ1 = y1 + y3

ξ2 = y2 h(x) = ξ12 - ξ22 - ξ32 + 2x2

ξ3 = y3

II. V = R4

Exemplul 1 :

h : R4  R, h(x) = x12 + x22 + x32 - 2x42 - 2x1x2 + 2x1x3 - 2x1x4 + 2x1x4 + 2x2x3 - 4x2x4

a11 = 1 ≠ 0

Alegem toti termenii care contin pe x1 si formam un patrat cu acestia.

h(x) = (x12 - 2x1x2 + 2x1x3 - 2x1x4) = x22 + x32 - 2x42 + 2x2x3 - 4x2x4 = (x1 - x2 + x3 - x4)2 - x22 - x32 - x42 + 2x2x3 - 2x2x4 + 2x3x4 + x22 + x32 - 2x42 + 2x2x3 - 4x2x4 

h(x) = (x1 - x2 + x3 - x4)2 - 3x42 + 4x2x3 - 6x2x4 + 2x3x4

Procedam la fel pentru forma patratica h1(x) = -3x42 + 4x2x3 - 6x2x4 + 2x3x4

h(x) = (x1 - x2 + x3 - x4)2 - 3(x42 + 2x2x4 - 2x3x4 / 3) + 4x2x3 = (x1 - x2 + x3 - x4)2 -3[(x4 + x2 - x3 / 3)2 - x22 - x32 / 9 + 2x2x3 / 3] + 4x2x3 

h(x) = (x1 - x2 + x3 - x4)2 - 3(x2 - x3 / 3 + x4)2 + 3(x22 + 2x2x3 / 3) + x32 / 3

h(x) = (x1 - x2 + x3 - x4)2 - 3(x2 - x3 / 3 + x4)2 + 3(x2 + x3 / 3)2

Notam:

ξ = x1 - x2 + x3 - x4

ξ2 = x2 - x3/3 + x4

ξ3 = x2 + x3/3

ξ4 = x4

h(x) = ξ12 - 3 ξ22 + 3 ξ32

Exemplul 2 :

Cazul a11 = 0

Cautam un indice j , astfel incat ajj ≠ 0

h : R4 R, h(x) = 4x22 + x32/4 + 2x42 + 4x1x2 + 2x3x4

Renumerotam variabilele, astfel incat variabila j sa devina prima variabila, rezultand cazul 1.

y1 = x2

y2 = x3

y3 = x1

y4 = x4

h(x) = 4y12 + y22/4 + 2y42 + 4y1y3 + 2y2y4 = (2y1 + y3)2 - y32 + (y2/2 + y4)2 + y42

Notam :

ξ1 = 2y1 + y3

ξ2 = y3

ξ3 = y2/2 + y4

ξ4 = y4

h(x) = ξ12 + ξ22 - 2 ξ32

Exemplul 3 :

h : R4 R, h(x) = 2x1x2 - x3x4

Notam :

x1 = y1 - y2

x2 = y1 + y2

x3 = y3 - y4

x4 = y3 + y4

h(x) = (y12 - y22) + y32 - y42

Notam:

ξ1 = y1

ξ2 = y2

ξ3 = y3

ξ4 = y4

h(x) = 2 ξ12 - 2 ξ22 + ξ32 - ξ42

Metoda Gauss de reducere a formelor patratice la forma canonica


Document Info


Accesari: 9910
Apreciat: hand-up

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site


in pagina web a site-ului tau.




eCoduri.com - coduri postale, contabile, CAEN sau bancare

Politica de confidentialitate | Termenii si conditii de utilizare




Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2024 )