Sisteme de vectori alunecatori

1.Sisteme de vectori alunecatori.

Momente in raport cu un punct.

M₀(v,A) = OB^v = (OA+AB) ^ v = OA ^ v+AB ^ v = M₀(v,A)

Caracterul geometric al mom. Fata de un pct M₀(v,D):

originea

directia

sensul

modulul vectorului directie.

Proprietatiile mom.:

1)M₀=0 V ≠ 0 èv trece prin O

Vect.dir. = 0

2)Expresia analitica

i j k

M_o(v)=OP ^ v =| x y z | ; v(v_x,v_y,v_z)

v_x v_y v_z

3)Teorema lui Varignon

v = v₁+v₂ Mom. Rez. = suma comp. rez.

rez comp. rez. M_o(v)=M_o(v₁)+M_o(v₂)

4)Forma schimbarii polului

M_o'(v) = M_o(v)+O'O ^ v

M_B(v)= M_A(v)+BA ^ v

2.Sisteme de vectori alunecatori.

Momente in raport cu o axa.

Se numeste momente fata de o axa al vectorului v proiectia pe axa a mom vect v luat in raport cu un pct arbitrar al axei.

Formula de calcul

M_A=M_o(v)*e_A=(OP^v)*e_A=e_A*(OP^v)=(e_A,OP,v)

Proprietati:

1)M_A(v) = 0 è v coplanar cu AR

v≠0 v parallel cu axa A

2)Teorema lui Varignon.Daca un sistem admite rezultatnte, atunci mom. resultant = mom. rezultantei

3)Mom. in rap. cu axele de coord.

i j k

M_o(v) = | x y z | (M_o(v))_z=xv_y-yv_x=M_ox(v)

v_x v_y v_z

3.Sisteme de vectori alunecatori

Torsor:definitie, calcul. Variatia la schimbarea polului.Invarianti.

Torsorul in O este o pereche ordonata formata din vectorul rez. in O si mom. rez in O.

(a,b)≠(b,a) (a,b)=(a',b')èa=a',b=b'

(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')

λ(a,b)=(λa,λb)

τ_o(s)=(R_o,M_o)

Calculul torsorului.

R_x=Σv_ix

R= R_y=Σv_iy ; v_i(v_ix,v_ij,v_iz)

R_z=Σv_iz

Invarianti

1)R nu se modifica

2)M_o se modifica dupa formula sch. polului

M_o'=M_o+O'O^R

M_o'(v_i)=M_o(v_i)+O'O^v_i

Invariantii - functii de vectori care nu se schimba la modificarea polului.

Invarianti principali:

1)R - inv. vectorial

2)I=R*M_o - inv. scalar

3)M_P=pr_R*M_o

Variatia la schimbarea polului

In pct unei drepte avand directia vectorului resultant mom rezultantei sunt vectori echipolanti.

4.Sisteme de vectori alunecatori

Axa centrala.Proprietatii.

Daca R≠0 at exista pct P in care mom resultant este coliniar cu vect resultant.Locul geometric al acestor pc 838h74i te este o dreapta de directie vect rezultant si numita axa centrala a sist de vectori.

Exista P, M_P parallel cu R

Prin orice plan perpendicular pe vect result exista un singur pct P in care are loc relatia M_P paralel R.

Caz particular

axa centrala pt un sist la care R perpendicular M èI=R*M_o=0

Proprietate de minim

In pct axei centrale modulul mom rez isi atinge minimul

| M_o | = radical din (M_R²+M_n²) ≥ |M_R|

egalitatea are loc cand P apartine axei centrale.

5.Echivalenta sistemelor de vectori.

Echivalenta:definitii, proprietatii.Echivalenta cu zero. Echivalente particulare:sisteme de 2 vectori echivalenti cu 0.Sistem de echivalenta cu un sing vector.

Def:2 sisteme de vectori au acelasi torsor in orice punct.Daca 2 sist de vectori au acelasi torsor intr-un pct, au acelasi torsor in fiecare pct.

τ_o(s₁)=τ_o(s₂)  τ_o'(s₁)= τ_o'(s₂)

R⁽¹⁾=R⁽²⁾

M_o⁽¹⁾=M_o⁽²⁾

Echivalenta cu 0 : un sist este echivalent cu 0 sau nul daca este echiv cu vect nul: S~0

Un system este nul daca are torsorul nul in orice pct

S~0 :oricare ar fi 0 τ_o(s)=0

Propr:S₁~S₂ <==> S₁+(-S₂)~0

Doua sist sunt echiv <==> sist format din vect S₁ la care se adauga vect S₂, cu semn schimbat, este echiv cu 0.

Echivalenta particulara:

1)Sist de 2 vect ~ 0

v₂=-v₁ opusi

v₂=-v₁ } direct

acelasi supart } opusi

Proprietati:

a)v₁ si v₂ direct opusi è

R=0, M_A1=0

b)~0 è v₁,v₂ direct opusi

R=v₁+v₂=0 èv₂=-v₁

oricare ar fi O, M_o(v₁)=M_o(v₁)+M_o(v₂)=0

M_A1=M_A1(v₁)+M_A1(v₂)=0èv₂ trece prin A₁èv₂ coliniar cu A₂A₁

2)Sistem echivalent cu un sing vector

S=

exista vect. v : S~

Daca un sist este ~ 1 sing vector è acel vector se numeste rezultanta sistemului.

Obs! - R≠0 I=R*M èv=(R, axa centrala)

- cand un sistem este ~ cu un sg vector se mai zice ca sist admite rezultanta.

Teorema Varignon

Daca un sist edmite rezultante at in rap cu orice pct mom resultant = mom rezultantei.

6.Echivalenta sistemelor de vectori

Reducerea sistemelor, operatii elementare.Teorema reductibilitatii sistemelor echivalente.

A reduce un system de vectorii = al inlocui cu un sistem echivalent si in general mai simplu(mai putini vectori)

Orice operatie aplicata vect unui system prin care se obtine un siste echivalent = operatie de echivalenta.

Dupa definitia echivalentei se poate spune ca operatia de echivalenta este o operatie care nu modifica torsorul sist.

Operatii elementarii de echivalenta

1)alunecarea unui vector pe suportul sau:

2)adunare sau suprimarea din sistem a unei perechi de vect, unui sistem opus

R=Σv_i R'=Σv_i+v+(-v)=R

3)inlocuirea vect concurenti cu rezultanta lor sau descompunerea unui vect in componente concurente

- mom nu se modifica M_o=Σ(v₁)

M_o=Σ(v_i)+M_o(v)+M_o(-v)

Teorema reduct sist echivalente

Daca 2 sist sunt echiv atunci se poate trece de la unul la altul prin operatii elementare.

7.Reducerea sistemelor

Reducerea la 2 vectori, cazuri de reducere.

Orice sitem se poate reduce prin oper elemetare la 2 vectori dintre care unul sa fie aplicat intr-un pct arbitrar O.

Discutie

In general cei 2 vectori sunt necoplanarièsist ireductibil.Daca sunt coplanarièvect sunt concurenti sau paraleli.Daca sunt concurenti vect pot fi reduce la un sing vect.Daca sunt paraleli ei pot fi reduce la 1 sing vect in afara de cazul in care sunt de sensuri opuse si module egale.

Cazuri de reducere

a)R*M_o≠0

# R≠0 R*M_o=0 rezultanta

# R=0 M_o≠0 2 vect paraleli

b)M_o=0

8.Reducerea sistemelor

Cuplu:definitie, echivalenta cuplurilor.

Cuplu = un sist de 2 vectori avand suporturi paralele, module egale si sensuri opuse.

Operatii de echiv pt cupluri

# 2 cupluri care au acelasi M sunt echiv pt ca si vect result este acelasi = 0

# deplasarea unui cuplu in planul sau fara al deforma in vreun fel

# deformarea unui cuplu in planul sau ( modificand modulul si bratul), vect directie = cst

# deplasarea unui cuplu intr-un plan parallel cu planul sau fara al deforma

9.Reducerea sistemelor

Reducerea la un vector si un cuplu.Cazuri de reducere.Rezultanta.

Orice system se poate reduce la un sist format dintr-un vector resultant aplicat intr-un pct arbitrar O si la un cuplu al carui moment este egal cu mom rez in O al sist.

S= M(v,f)=M_o

Orice sitem se reduce la torsorul sau in O cu cond ca M_o sa reprez un cuplu

Cazuri de reducere

I. R ≠ 0 M₀=axa centrala ca trece prin O

II. R = 0

Sub 13

Vectori distribuiti pe o linie

Def: Sistemul care se obtine la lim pt n-> si din sistemul distribuit atasat diviziunii se va numi sistem distribuit pe cu densitatea de distributie . sistem de vectori in nr finit atasat unei diviziuni este o aproximare a sistemului distribuit.

Torsor:

AB - diviziune regulata

Fie

Ipotezele sist. De vectori pe arcul AB

1. pe celula sunt aplicati vectori (oricat de mica este )

2. Torsorul sist. de vectori aplicat pe

= lungimea arcului

Intr-un punct al celulei pt. un diametru sufficient de mic vectorii admit rezultanta.

3. PP functia M- continua (integrabila)

Fct. se numeste densitate de distrutie a vectorilor.

Sub 16 Mecanica -obiect,diviziuni

1.statica- se ocupa de fortele aplicate corpurilor fara a lua in considerare miscarea pe care ar produceo aceste forte

2.cinematica-se ocupa de miscarile posibile ale corpurilor fara lua in considerare cauzele care ar produce aceste miscari

3.dinamica - se ocupa de miscarile corpurilor produse de studiul miscarilor

Mecanica -idealizeaza corpurile in modele care sa se apropie de comportarea acestora

Modele ale corpurilor materiale

Modele discrete

-punctul material - o particular de materie cu dimensiuni sufficient de mici pt ca pozitia ei sa fie definite de un punct geometric si posedandmasa

-solidul rigid- o multime de pct materiale cu proprietatea ca distanta dintre oricare 2 pct este invariabila

-sisteme materiale-o multime de pct mat in interactiune de pct

Modelele continuului material

Un continuu -este o cantitate in spatiu avand proprietatea ca la oricare diviziune celula Ti contine materie

Lim m(T)i /v(Ti)=ρ(Mi)

n→inf

V(T)→0

ρ(M), M apartine C se nuymeste densitate de masa in pct M

m(T)≈ ρ (M)v(T)-Densitate volumica =M/L²

SUB 17

Legaturi,sisteme libere si legate

Un sist. Material la care cel putin un punct este legat se va numi system cu legaturi in caz contrar sist este liber

Legarurile sistemului -interioare-legaturi intre pct sistemului

-exterioare -leg intre pct sist si punctesau corpuri care nu f fac parte din system

Solidul rigid se va numi legat daca un pct al solidului este legat in exterior ,in caz contrar solidul va fi liber

Se numesc grade de libertate ale uniu system un set de parametri scalari independenti care determina univoc pozitia sistemului

Efectul analytic al unei legaturi este de micsorare a numerelor gradelor de libertate ale punctelor

s-nr. De grade de libertate

g-nr. De grade de libertate suprimate s=3-g

system de 'N' puncte

system liber s =3N

System legat s=3N-g

Sub 18

Solidul in spatiu

-are 6 grade de libertate

1-pozitia orig o X10 ,Y10,Z10=3

2-nr. Axelor;x,y,z,=3 axe*3cosinus=9legati cu 6 relatii

Rezulta 3 independenti

I=α₁₁i₁+ α₁₂j₁+ α₁₃x₁ ` i2=1

j2=1 vectori uniformi

z2=1

grade de libertate ale solidului

X₁₀,Y₁₀,Z₁₀+3COS

Punctual liber A(x,y,z ) (x,y,z) ↔ (Q₁Q₂Q₃)

X=X (Q₁,Q_2,Q₃ ) Q1=(Q₁ X,Y,Z

Y=Y (..... ) → Q2= (....)

Z=Z(.... ) Q3=(.....)

In mecanica de obicei gradele de libertate sunt lungimi,unghiuri, sau functii ale acestora

Solidul liber cu un plan

Are 3 grade de libertate

O₁X₁Y₁=∏

OZ₁┴∏ OXY=S∏ OZ ┴ S∏ (OZ ║O₁Z₁ )

 

Daca un system material include N puncte materiale si c solide atunci nr. De gr. De libertate

S=3N+6C-g

Sub 19

Forta

Def: Forta este o notiune care apare din experiente si se manifesta prin:

punct de aplicatie - originea vectorului

linie de actiune - suportul vectorului

sens - sensul vectorului

marime - modulul vectorului

Efectul fortei - static - mentinerea corpului in echilibru atunci cand asupra lui actioneaza alte forte

dinamic - imprimarea de acceleratie corpului

Clasificare:

Dupa modul de actiune:

- la distanta (in camp)

- de contact - distribuite si concentrate

2. Dupa provenienta :

- direct aplicate (actiune)

- de legatura (reactiune)

Forta este marimea mecanica ce defineste interactiunea a doua puncte.

Legatura: se manifesta sub un dublu aspect:

geometric: restrictie in deplasarea punctului legat

mechanic: in o forta avem o interactiune intre un punct legat si un punct care aplica legatura

Numim forte direct aplicate fortele care nu provin din legaturi.

Princiupiul eliberarii de legaturi:

Orice system legat se poate considera ca liber daca se suprima legatura si se aplica fortele de legatura asupra corpului.

Sub 20

Axiomele staticii pentru un punct material liber

Sunt constituite din principiile mecanicii la care se adauga doua teoreme de dinamica solidului exprimate sub forma de principiu necesar pentru lucrul cu fortele in statica.

Principiul inertiei. Un punct nesupus la nici o actiune isi pastreaza starea de echilibru sau miscare rectilinie si uniforma. Cand asupra punctului exista o actiune inseamna ca punctual capata o acceleratie (L I Newton)

Principiul actiunii fortelor. Intre forta aplicata unui punct si acceleratia imprimata F=m*a ; m=masa ( L II Newton)

Principiul independentei actiunii fortelor. Cand asupra unui punct actioneaza simultan doua forte, efectul lor este acelasi ca si actiunea unei singure forte = suma vectorilor celor doua forte

R=m*a =>

Principiul reactiunii. Fortele de interactiune dintre doua puncte materiale sunt vectori direct opusi, adica ambele au ca support dreapta care uneste cele doua puncte, de module egale si sensuri opuse.

si au ca support ;

Principiul barei rigide. Doua forte direct opuse aplicate in doua puncte ale unui solid nu au nici un effect asupra solidului, adica doua astfel de forte se pot adauga fortelor care actioneazain solid fara a modifica efectul asupra solidului.

Principiul eliberarii de legaturi. Orice system legat se poate considera ca liber daca se suprima legatura si se aplica fortele de legatura asupra corpului.

Sub 21

Consecinte ale axiomelor staticii (Pt forte aplicate unui solid)

Forta aplicata uui solid se poate reprezenta printr-un vector alunecator. Alunecarea unei forte pe suportul ei nu modifica efectul acesteia asupra solidului.

Operatii elementare de echivalenta aplicate fortelor ce actioneaza pe un solid nu modifica efectul acestor forte asupra solidului

alunecarea fortei pe support

adaugarea/suprimarea unei perechi de forte direct opuse

compunerea fortelor concrete / descompunerea unei forte concrete

Doua sisteme de forte ca system de vectori cu acelasi effect cand sunt aplicate aceluiasi solid.

Problemele staticii

In ce conditii un system de forte aplicat unui solid se poate inlocui cu altul fara a modifica efectul fortelor asupra solidului.

Echilibrul sistemelor de corpuri. Care sunt conditiile in care un system de corpuri aupra caruia actioneaza un sistem de forte ramane in repaos.

Necunoscutele problemei:

a)     grade de libertate + F de le gatura

b)    F de legatura

Sub 22

Punct liber

Conditia necesara si suficienta pt. ca sa fie in echilibru este ca rezultanta fortelor care actioneaza asupra punctului sa fie 0.

= pozitie de echilibru

Sub 24

Sistem liber

Teorema fundamentala a staticii. Conditia necesara de echilibru a unui sistem material este ca fortele exterioare aplicate sistemului sa formeze un sistem echivalent cu 0.

Sistem in echilibru. -F*l+y~0

Dem: se genereaza la un sistem de n puncte materiale.

- forte exterioare - Rez =

Forte interioare - de interactiune cu pct. ;

Sub 25

Echilibrul

Un sistem se afla in echilibru intr-o anumita pozitie daca sistemul asezat fara viteze in pozitia respective ramane in acea pozitie la orice moment.

Solidul rigid.

Conditia necesara si suficienta ca un solid sa fie in echilibru este ca fortele aplicate sistemului sa formeze un sistem echivalent cu 0.

-Solid in echilibru - F aplicat pe y ~ 0

- F exterioara

Sub 26

Conditii de echivalenta cu zero

conditii de echivalenta - necesare pt. sisteme de corpuri

-- necesare si suficiente pt. solid

conditiile de echivalenta cu zero se exprima prin ecuatii de tip:

Daca un sistem ~0 si

A.   Sisteme generale

A1. Proiectiile vectorului rezultant pe 3 axe necoplanare sa fie nule si momentele rezultante pe 3 axe concurente si necoplanare sa fie nule.

a)

b)

A2. Alte forme ale conditiilor pt. sisteme generale

A3.

A4. Momente nule in raport cu toate axele

- 6 muchii ale unui tetraedru

laturile bazei + muchiile unei prisme dreptunghiulare

Aceste doua configuratii sunt doua dintre cele mai simple pe care trebuie sa le indeplineasca cele 6 axe pentru ca conditia A4. sa implice torsorul nul.

Sub 27

Forte coplanare

- conditiile ;

R

1)   2) cond. A2

3) cond. A3

Subiectul 28 : Forte paralele:

=*V

R=0

Subiectul 29 : Conditii de echivalenta cu zero-Echivalenta particulare: 2 forte.3 forte."n" forte

2 Forte ,}≈ 0 ,= direct opuse

=- acelasi suport

3 Forte a)

≈0

b)in plane commune ele sunt concurente sau paralele.Reciproca nu este in general adevarate doar daca se adauga conditia

c)care exprima conditia ca cele concurente=0 sau paralele sa fie =0

3.Sisteme de "n" forte

Daca "n" forte formeaza un system ≈0 atunci oricare "n-1" forte admit rezultanta care este direct opusa cu cea de-a "n" forta. ≈0

Subiectul 30 :Interactiunea punctual a doua solide: Interactiunea intr-un singur punct.Forta de legatura.Echilibrul solidului.

Interactiunea unui singur punct S, poate fi exterior sau E system

Fi

Interactiunea este descrisa de fortele -aplicata lui S

S

= aplicatei lui

= forta de legatura -recectiunea

S1

Echilibrul solidului:

; =0 , =torsorul sist de forte

+=0

+=0

Conditia 1 singur contact S cu alt solid

de echilibru

-calculat in pozitia de echilibru = - in pozitia de echilibru

Necunoscute -pozitia de echilibru

-forta de legatura

Legatura de contact:

-reazemu daca A se poate deplasa pe suprafatza

-articulatia A este fixat de

Subiectul 31 :Interactiunea punctului a doua solide: Interactiune in mai multe puncte discrete.Interactiune in punctele unei arii.Echilibrul solid.

≈0

Daca pozitia de alunecare

Interactiunea in punctual unei arii

Intrucat conditia are loc in punctual ariei exista interactiune in fiecare punct al ariei.Ele vor fi descries de un system de forte distribuit pe aria suprafetei

Densitatea de distributie

- aria()

0=punct arbitrar in ∑

0Є∑

Echilibru: 

Daca solidul S poate aluneca pe se adauga conditi de frecare

Frecarea : alunecare / rostogolire / pivotare

Subiectul 32 :Reazemul pe o suprafata: Definitie,tipuri,grade de libertate suprimate,reactiunea,echilibrul solidului,suprafata lucie.

direct aplicata

T Є pt tg. La

Grade de libertate suprimate 1. Grade de libertate S pt un solid

Suprafata lucie

Orice contact dintre 2 solide in realitate este cu frecare, daca unghiul de frecare este f. mic ()cazul ideal se numeste suprafata lucie. sup. lucie

Subiectul 33 :Reazemul pe o suprafata: Legaturi unilateral si bilateral;Reactiunea.Cazul special de rezemare.

Deplasarea este irupiedicata pe directia normal →

Pe ambele sensuri - leg. Bilateral

Intr-un segment de sens - leg. Unilateral

Reactie de leg. unilateral :

e in sensul deplasari impied

e in sensul deplasari permanente echilibru

Reactia normal are un sens unic si admite sensul deplasarii premise

pozitie de echilibru

N este vertical

Subiectul 34 :Legatura prin pendul si prin fir: Pendul:definitie, reactiune, cazul firului

Pendulul : o bara rigida care leaga un punct al solidului de un punct fix A si care nu are forte aplicate de-a lungul barei.

Pendulul este echivalent cu reazemul pe o sfera lucie A e sfera.

F de leg in A pe solid: sau are directia razei in punctual A - deplasarea este impiedicata in ambele sensuri.

Firul(flexibil si inextensibil)

Conpresiunea o au numai firul elastic -deplasarea impiedicata intr-un singur sens

-firul cu reazemul pe o suprafata lucie - leg unilateral

Reazemul pe o suprafata=reazem simplu

Firul trecut peste un scripet:

Subiectul 35 :Reazem pe o curba: Definitie , tipuri, Grade de libertatesuprimate.Reactiunea, curba lucie.Echilibrul solidului.

Legatura este de tipun urmator:

a)in punct A al solidului S este fixat un inel prin care trece curba C

b)solidul simplu asezat pe curba C

S

S

a) b)

A

A

a)deplasarea interzisa 2 dupa planul normal la curba

b)deplasarea permisa pe normala la S in A - intr-un sens iar in celalalt sens e impiedicata.

a)suprima 2 grade de libertate

b) suprima 1 grad de libertate

Conditii de echilibru

la ecuatia au ret in A

Daca φ=0 ↔f=0 f=unghiul de frecare curba=lucie , fara frecare

F

S

C

R C

Subiectul 36 

Variatia la translatia reperului

-Teorema lui STEINER

=

i=1

,

Subiectul 37

Variatia la rotatia axiala

O marime definita de 9 coord . si care la rotatia rep. se modifica la se numeste tensor de ordinul 2

Tensorul este simetric daca

Mom. de simetrie definesc un tensor de ord. 2, simetric numit tensor de simetrie in C.

Matricea notata anterior cu reprezinta matricea tensorului in reperul

Subiectul 38

Axe si momente principale

de simentrie

Se arata ca pt o axa

Proprietate:

-daca axa princip. in o

Def: daca axa se zice principala in o daca mom. centrifugal in rap cu perechea formata de si orice axa trecand prin o si

Obs: este sufficient sa avem si unde sunt 2 axe

Subiectul 39 Dinamica sistemelor

Miscarea absoluta

rez f. ext

rez f. int cele doua aplicate lui

-miscare absoluta

Ec. de miscare :

Teorema impulsului si teorema mom simetric

Teoremele gen. se obtin din ec de miscare cautand sa elib f de miscare

Def: -impulsul sist la mom "t"

-mom cin. al sist la mom "t"

= -derivata impulsului , -derivata mom

Teorema misc centrului de masa

- teorema misc. cent. de masa

Centrul de masa se misca la fel ca un punct liber in care ar fi concentrata intreaga masa a sist si asupra careia ar actiona vectorul rezultat al fortelor ext.

Subiectul 40 Miscarea in jurul centrului de masa

Ec. de miscare  

i=

Teorema impulsului si teorema mom cinetic.

; -mom cinetic

teorema mom cinetic are forma ca si in misc. absoluta

Subiectul 41

Calculul mom cinetic la un sist.

daca sist

t. analoaga cu T lui Kocnig

calculul sist cinetic la solid

translatia:

pt ca

Mom cinetic

misc. gen.

Subiectul 42

Rotatia cu punct fix 0

fie

-definesc un vect. care se numeste produsul tensorului cu w

-t. mom. cinetic la solid cu

Rotaie in rap. cu axa fixa cz

oz=fixa

3 nec.:

Subiectul 43

Teorema en. cinetice la system

-en. cin. al sist

en. cinetica

v=-v=en. pot.

caz part

sist izolat 

lucrul fortelor interioare

Teorema lui Konig

Mom cinetic in rap cu o = mom cinetic in miscare al cent. de masa plus mom. cinetic al masei totale