Cazuri de reducere ale unui sistem de forte oarecare
Reducerea unui sistem de forte ce actioneaza asupra unui rigid revine la īnlocuirea acestuia cu cel mai simplu sistem de forte care are acelasi torsor cu al sistemului dat. Cum momentul rezultant apare ca un cuplu de forte aplicat unui rigid, se poate enunta urmatoarea teorema fundamentala a reducerii:
Un sistem de forte aplicate unui rigid este echival 353s1820d ent cu o forta unica, egala cu rezultanta sistemului, aplicata īntr-un punct arbitrar O si un cuplu de forte al carui moment este momentul rezultant al sistemului īn raport cu punctul O.
Functie de valorile modulelor celor doi vectori se disting urmatoarele cazuri:
I)
: Un sistem de forte care are torsorul nul se
numeste echivalent cu zero. Fortele acestui sistem īsi
fac echilibrul si, īn consecinta, un rigid actionat de un
astfel de sistem de forte se afla īn echilibru.
: Un sistem de forte care are torsorul de reducere
alcatuit doar din momentul
este echivalent cu orice
cuplu care actioneaza īntr-un plan (P) perpendicular pe
si al carui
moment sa coincida cu
ca sens si
marime, adica
, unde d este bratul cuplului (figura T
3.11).
Figura T 3.11 Figura T 3.12
III) : Torsorul de reducere consta doar din rezultanta
. Sistemul de forte este echivalent cu o
forta unica egala cu
si aplicata
īn O (figura T 3.12)
IV)
a) (adica
) : Sistemul de forte este echivalent cu o
forta unica, egala cu
, si care actioneaza chiar pe axa
centrala a sistemului (figura T 3.13) deoarece īn punctele ei momentul
are valoarea minima, care īn acest caz este nula
.
b) (adica
) : Pentru a obtine un sistem echivalent, dar mai
simplu, se descompune vectorul
īn doua
componente si anume componenta
pe directia
rezultantei si componenta
din planul (P) normal
pe directia rezultantei (figura T 3.14). Vectorii
si
, perpendiculari īntre ei (cazul IV a), pot fi īnlocuiti
cu forta
dirijata pe axa
centrala astfel īncāt sistemul de forte este echivalent cu
torsorul minimal, adica din forta
aplicata pe axa
centrala si un cuplu alcatuit din fortele
si -
din planul (P),
bratul cuplului fiind
iar sensul
fortelor ales astfel īncāt momentul cuplului sa fie egal cu
.
Figura T 3.13 Figura T 3.14
3.8. Reducerea sistemelor particulare de forte
3.8.1. Reducerea fortelor concurente
Definitia 3.6 : O multime de n
forte, ale caror suporturi trec prin acelasi punct O, formeaza un sistem de forte concurente.
Toate fortele pot aluneca pe suporturile
lor astfel īncāt punctele de aplicatie sa ajunga īn O. Momentele
acestor forte fata de punctul O sunt nule iar fortele pot
fi īnlocuite cu rezultanta lor. Īn concluzie, un sistem de forte
concurente este echivalent cu o forta unica, egala cu rezultanta , al carui suport trece prin punctul O sau este
echivalent cu zero daca
.
3.8.2. Reducerea fortelor coplanare
Definitia
3.7 : O multime de n forte, ale caror
suporturi sunt toate continute īntr-un acelasi plan (P) formeaza
un sistem de forte coplanare (figura T 3.15).
Notānd cu Oxyz planul fortelor si observānd ca :
(3.17)
gasim pentru elementele torsorului īn O expresiile analitice:
(3.18)
Deoarece
rezulta ca
sistemul de forte coplanare nu poate fi niciodata echivalent cu
torsorul minimal. Cazurile de reducere pentru sistemul de forte coplanare
rezulta din cazurile de reducere a fortelor oarecare si sunt
urmatoarele:
I) : Sistemul de forte este echivalent cu zero.
II)
: Sistemul de forte este echivalent cu un cuplu de
moment
.
III)
: Sistemul de forte este echivalent cu o forta
unica, egala cu rezultanta
, aplicata īn O.
IV)
: Sistemul de forte este echivalent cu o forta
unica, egala cu
, aplicata īntr-un punct al axei centrale.
Ecuatiile
axei centrale rezulta prin particularizarea ecuatiilor din cazul
general . Se obtine:
(3.19)
adica dreapta de ecuatie din planul fortelor.
Figura T 3.15 Figura T 3.16
3.8.3. Reducerea fortelor paralele
Definitia
3.8 : O multime de n forte, , ale caror suporturi sunt drepte paralele īntre ele
formeaza un sistem de forte paralele.
Fie
versorul directiei comune pentru fortele paralele
(figura T 3.16). Putem
scrie ca
, unde
daca sensul fortei
coincide cu sensul
versorului
si
īn caz contrar.
Elementele torsorului de reducere īn O sunt :
(3.20)
(3.21)
Īn
consecinta, iar cazurile de
reducere ale unui sistem de forte paralele sunt aceleasi cu cele din
cazul fortelor coplanare. Pentru determinarea axei centrale vom folosi
relatia (3.21) si observatia ca īntr-un punct al axei
centrale momentul rezultant este nul. Pentru un punct arbitrar P al axei
centrale putem scrie:
(3.22)
Notānd :
(3.22)
obtinem urmatoarea ecuatie numita ecuatia vectoriala a axei centrale :
(3.23)
Ecuatia (3.23) reprezinta ecuatia unei drepte ce trece prin punctul fix C (numit
de versor
(vezi figura T 3.17).
Figura T 3.17
Īntr-un sistem cartezian Oxyz coordonatele centrului fortelor paralele sunt :
,
,
(3.24)
Centrul fortelor paralele are urmatoarele proprietati (fara demonstratie):
P1) Se poate schimba directia tuturor fortelor cu acelasi unghi si īn acelasi sens si axa centrala va trece tot prin punctul C ;
P2) Se poate multiplica marimea tuturor fortelor cu acelasi scalar si centrul fortelor paralele ramāne nemodificat;
P3) Pozitia centrului fortelor paralele nu depinde de alegerea sistemului de referinta (este o proprietate intrinseca a sistemului de forte).
3.9. Probleme rezolvate
, de modul 100 N. Sa se determine momentul fortei
fata de
punctele A si B (figura R 3.1). Dimensiunile sunt date īn cm.
Figura R 3.1 Figura R 3.2
Rezolvare: Ca un prim pas
sa determinam expresia analitica a fortei :
(N)
Conform definitiei 3.1 avem ca:
(N
)
Īn plus,
sau
(N
)
R 3.2) Pe diagonala AC a
paralelipipedului dreptunghic din figura R 3.2 actioneaza forta , de modul 1000 N. Aflati momentul acestei forte
fata de dreapta orientata DC. Dimensiunile sunt date in cm.
Rezolvare: Folosind definitia 3.2 obtinem ca:
(*)
Dar A(10, 0, 0), B(0, 20, 10), C(0, 20, 0) si D(10, 20, 10), astfel īncāt:
,
Din (*) gasim acum ca:
(N
).
Figura R 3.3.1. Figura R 3.3.2.
R 3.3) Asupra cubului
OABCDEFG de latura a din figura
R 3.3.1. actioneaza un sistem de patru forte, avānd punctele de
aplicatie, directiile si sensurile din figura si
modulele si un cuplu de
moment
pe directia OD.
Se cere:
a) Sa se calculeze si sa se reprezinte torsorul de reducere īn punctul O;
b) Cu ce este echivalent sistemul de forte ?
c) Sa se calculeze, daca este cazul, momentul minim;
d) Sa se determine ecuatiile axei centrale;
e) Sa se determine torsorul de reducere īn punctul E.
Rezolvare: a) Elementele torsorului de reducere īn punctul O sunt:
Se
vor proiecta pe rānd fortele , pe axele sistemului Oxyz si se vor determina apoi
momentele acestor forte īn raport cu punctul O. Rezultatele vor fi trecute
īn tabelul T 3.1.
Forta : Fiind dirijata pe o paralela la axa Oy se
proiecteaza numai pe aceasta axa.
Deci : . Momentul fortei
īn raport cu punctul O
este dat de
relatia:
deoarece A(a, 0, 0).
Forta :
, deoarece D(0,0,a). Īn plus,
.
Forta :
si
.
Forta : Fiind paralela cu axa Ox se proiecteaza īn
adevarata marime pe aceasta axa, adica
. Īn plus,
.
Momentul
.
Forta |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
a P |
|
- P |
|
P |
|
- a P |
|
|
P |
P |
- P |
- a P |
a P |
|
|
2 P |
|
|
|
2 a P |
- 2 a P |
|
|
|
|
|
|
aP |
|
2 P |
2 P |
|
- a P |
2 a P |
|
Tabelul T 3.1
Din tabelul T 3.1 deducem ca:
si . Elementele torsorului de reducere sunt reprezentate īn
figura R 3.3.2.
b)
Deoarece si
, sistemul de forte este echivalent cu un torsor
minimal.
c) .
d) Ecuatiile generale ale axei centrale (3.11) se rescriu pentru aceasta problema sub forma:
.
Observatie: Axa centrala
a fost obtinuta ca intersectie a planelor de ecuatie si
.
e)
Torsorul īn punctul E(a,0,a) este format din vectorul forta
rezultanta si vectorul
moment rezultant:
.
R 3.4) Placa
hexagonala OABCDE de latura a din figura R 3.4.1 este
solicitata de patru forte , situate īn planul sau si un cuplu de forte
de moment
(perpendicular pe
planul placii). Daca
,
, se cere:
a)
Torsorul de reducere īn O (discutie īn
functie de valorile parametrului );
b) Ecuatia axei centrale;
c) Reprezentarea grafica a torsorului īn O si a axei centrale.
|