ARANJAMENTE
Definitie Fie A= si 
. Se numeste aranjament de n elemente luate cāte k orice
multime ordonata alcatuita din k elemente ale multimii A.
Observatii
Doua aranjamente de n luate cāte k difera:
a. prin natura elementelor;
b. prin ordinea de dispunere a elementelor.
Conceptul de aranjament de n elemente luate cāte k se poate prezenta utilizānd functiile injective. Mai precis, are loc urmatoarea:
Definitie O functie injectiva 
, n, k numere naturale cu n nenul se numeste aranjament de n elemente luate cāte k.
Notatii
,
numarul de
aranjamente de n luate cāte k, adica 
.
Teorema Numarul de aranjamente de n luate cāte k, 
, k, n numere naturale, n nenul este egal cu 
.
Demonstratie:
Pentru a verifica rezultatul, vom aplica regula produsului
.
Fie 
structura unui
aranjament de n elemente luate cāte k. Fiecare romb trebuie completat cu
elemente din multimea 
(elemente distincte).
Sub fiecare romb am pus numarul lui de ordine (pozitia fiecarui
element īn aranjament). Primul romb se poate completa cu oricare din elementele
lui A. Acest lucru se poate face īn n moduri. Odata completat primul
romb, cel de-al doilea īl putem completa cu oricare dintre elementele
ramase ale lui A. Avem n-1 modalitati de a completa
acest romb.Al treilea romb se poate completa cu oricare din elementele
ramase ale lui A, dupa ce
s-au completat primele doua pozitii. Numarul de
posibilitati de completare este egal cu n - 2 si corespunde
celor n - 2 elemente ramase
dupa completarea primelor doua pozitii. Īn fine, ultimul romb,
cel cu numarul k, se poate
completa īn n - k + 1 moduri, care
corespund celor n - k + 1
elemente ramase īn A, dupa
ce s-au completat k - 1 pozitii. Acum, numarul total
de aranjamente de n luate cāte k este dat de regula produsului si
este egal cu 
.
Observatii
Sa
observam ca, īn , numarul de factori din produs este egal cu k si sunt numere consecutive
descrescatoare, īncepānd cu n.
Deci 
, 
si asa mai
departe.
Īn
acelasi mod se rezolva urmatoarea problema: se
considera k bile, numerotate de
la 1 la k si n urne,
numerotate de la 1 la n. Se introduce cāte o bila īntr-o
urna. Numarul de posibilitati de a pune bilele īn urne este
egal cu .
Numarul
se poate exprima cu
ajutorul factorialelor, astfel:
Au loc urmatoarele relatii de recurenta:
a. 
b. 
c. 
d. 
.
|
