Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza
Upload



















































Derivate. Functii derivabile

Matematica












ALTE DOCUMENTE

SIMULAREA TEZEI CU SUBIECT UNIC LA MATEMATICĂ
TEST SUMATIV
LUCRARE SCRISA LA CLASA A VIII-A Mate
Testul ANOVA
Test inițial clasa a VII-a
Repartitia chi patrat
Analiza valorii adaugate
FORMULE PENTRU SINUS, COSINUS, TANGENTA SI COTANGENTA
Elemente de combinatorica
Alte formule matematica

CURS 10

Derivate. Functii derivabile



Fie f o functie pe un interval I si  un punct din I.

 

Definitie: Se spune ca functia  este derivabila īn punctual  daca raportul

 are īn punctul  limita finita. Limita īnsasi se numeste derivate functiei f in punctul  si se noteaza :

 se citeste derivata functiei f  īn raport cu x īn punctul .

In loc de  se mai folosesc pentru derivata si notatiile:

Daca limita  exista, insa este infinita (+ ∞ sau - ∞) spunem ca derivata functiei din punctul  este infinita. Īn  aceasta situatie īnsa, functia nu este derivabila īn punctul .

Observatii:

1)      Functia trebuie sa fie definita in punctual . Daca o functie nu este definita īntr-un punct, nu se pune problema derivabilitatii īn acel punct.

2)      Derivata īntr-un punct este un numar.

 

Teorema: Daca functia  este derivabila īn punctual  atunci f este continua īn punctul .

Demonstratie: Pentru ,  avem egalitatea:

si

de unde rezulta ca  are limita īn punctul  pe .

Īntradevar:

deci  este continua īn punctul .

Interpretarea geometrica a derivatei

            Fig.1

Fie  si   graficul functiei  f pentru :   , care este un arc de curba plana. Daca  este un punct īn care functia f este derivabila, iar x un punct oarecare din interval, conform figurii alaturate avem din triunghiul M0MN.:   (1), unde  este coeficientul unghiular al secantei M0M. Daca punctul , secanta M0M se apropie ca pozitie de dreapta M0Q, tangenta la grafic īn punctul M0 (daca graficul are o tangenta unica īn punctul M0), deci: . Deci derivata functiei , īntr-un punct  este egala cu tangenta trigonometrica a unghiului pe care īl face tangenta la grafic īn punctul  cu axa 0X. Daca derivata este infinita (+∞ sau -∞), , dreapta M0Q este paralela cu axa 0Y. Daca raportul (1) nu are limita, graficul  nu are tangenta unica īn punctul M0 (punct unghiular) sau tangenta nu exista.

Interpretarea cinematica a derivatei

            Fie M un punct mobil care descrie axa 0X. La fiecare moment t drumul parcurs pe axa este o functie  care ne da legea de miscare a punctului. Punctul se misca uniform daca legea de miscare este data de relatia liniara īn t:

                        , constante

Spatiul parcurs īntre doua momente oarecare t1 < t2 este

                         si raportul

 se numeste viteza punctului M īn miscare rectilinie si uniforma.  Deci īntr-o miscare rectilinie si uniforma viteza este constanta. Fie acum o miscare oarecare a punctului M pe axa 0X, miscare data de legea x(t), si sa consideram doua momente t1, t2, precum si raportul  (1). Daca substituim miscarile date, īn intervalul (t1, t2) o miscare uniforma a unui alt punct, care coincide cu punctul M la timpul t1 si t2 raportul (1) poate fi considerat ca viteza medie a punctului M īn intervalul de timp (t1, t2) si el ne da o caracterizare a miscarii īntre aceste momente, caracterizare care va fi cu atāt mai buna cu cāt intervalul (t1, t2) este mai mic. Astfel putem considera limita vitezei medii cānd , adica: . Daca aceasta limita exista si este finita, ea este prin definitie viteza punctului M la momentul t1, deci: .

Functii derivabile pe un interval

Definitie

Se spune ca functia  este derivabila pe I daca este derivabila in fiecare punct . Functia  care face ca fiecarui punct   sa-i corespunda derivata functiei īn punctul x,  se numeste functia derivata a functiei f sau, mai simplu, derivata lui f si se noteaza: f',  sau Df. Cu ajutorul acestor relatii, derivata functiei īntr-un punct  se mai scrie: .

Derivata la stānga. Derivata la dreapta.

Definitie

Fie functia  si . Se spune ca functia f este derivabila la dreapta īn punctul x0 daca raportul  are limita la dreapta finita, īn punctul x0. Aceasta limita se numeste derivata la dreapta a functiei f  īn punctul x0 si se noteaza  : .

 

Definitie

Fie functia  si . Se spune ca functia f este derivabila la stānga īn punctul  daca raportul  are limita la stānga finita, īn punctul . Aceasta limita se numeste derivata la stānga a functiei f  īn punctul x0 si se noteaza  : .

Observatii

  1. Din definitie rezulta ca o functie este derivabila īntr-un punct  daca este derivabila la dreapta si la stānga īn punctul  si daca cele doua derivate (numite derivate laterale) sunt egale: .
  2. Pentru o functie definita pe un interval compact (īnchis si marginit [a, b] ) are sens problema derivatei īn orice punct din interval. Īn punctul a are sens problema derivatei la dreapta, iar īn punctul b are sens problema derivatei la stānga.
  3. Daca derivata la dreapta (sau la stānga) a unei functii f  īntr-un punct  este infinita (+ ∞ sau - ∞), functia nu este derivabila la dreapta (sau la stānga) īn punctul .

Interpretarea geometrica a derivatei la dreapta si a derivatei la stānga.

a)      O functie  este derivabila la dreapta īn punctul  daca:

      . Prin urmare, conform figurii urmatoare,

      semidreapta M0M, cānd  (M la dreapta lui M0), se apropie ca pozitie

de semitangenta la dreapta īn punctul M0, M0Q. Coeficientul unghiular al semidreptei M0Q este .

Fig. 1

Daca  = + ∞, semitangenta M0Q este paralela cu axa 0Y si este situata deasupra punctului M0 (conform figurii 2).

Fig. 2

Daca  = - ∞, semidreapta M0Q semitangenta la grafic īn punctul ,  este paralela cu axa 0Y si este situata sub punctul M.

b)      O functie  este derivabila la stānga īn punctul  daca . Prin urmare (conform figurii 3) semidreapta

Fig. 3

M0M cānd  (M la stānga lui M0) se apropie ca pozitie de semitangenta la stānga īn punctul M0, M0Q. Coeficientul unghiular al semidreptei M0Q este . Daca  = + ∞, semitangenta M0Q este paralela cu axa 0Y si este situata sub punctul M0 (conform figurii 4). Daca  = - ∞, semitangenta M0Q este paralela cu axa 0Y si este situata deasupra punctului M0.

Fig. 4

c)      Daca functia  f are īn punctul  derivatele laterale diferite si cel putin una din ele este finita, punctul  se numeste punct unghiular al graficului functiei , iar cele doua semitangente fac īntre ele un unghi  si  (conform figurii 5).

Fig. 5

d)      Daca functia  f are īn punctul  derivatele laterale infinite si egale, cele doua semitangente sunt īn prelungire; punctul x este un punct de inflexiune al graficului functiei  (conform figurii 6).

Fig. 6

e)      Daca functia  f are īn punctul  derivatele laterale infinite si diferite  = ∞,  = - ∞ sau  = - ∞,  = + ∞, cele doua semitangente se suprapun; punctul  se numeste punct de īntoarcere al graficului functiei  (conform figurii 7).

Fig. 7



Reguli de derivare.

Operatii cu functii derivabile.

Teorema 1

Daca functiile  sunt derivabile īntr-un punct , atunci functia  este derivabila īn punctul  si:

.

Demonstratie

 si pentru ca  f si g sunt derivabile īn punctul , avem:

    (1), deci

           (2).

Observatii

  1. Teorema ramāne adevarata pentru suma unui numar finit de functii derivabile f1, f2, ..... fn īntr-un punct , si anume:

  1. Regula (2) ramāne adevarata si īn cazul cānd derivatele  si  sunt infinite, cu conditia ca suma  sa aiba sens.

Consecinta

Daca functiile  si  sunt derivabile pe I, atunci suma  este derivabila pe I si: .

Teorema 2

Daca functiile  sunt derivabile īntr-un punct , atunci functia  este derivabila īn punctul  si:

.

Demonstratie

Avem

si pentru ca  sunt derivabile īn punctul , obtinem:

    (3).

Observatie

  1. Regula (3) ramāne valabila si īn cazul cānd derivatele si  sunt infinite, cu conditia ca diferenta  sa aiba sens.

Consecinta

Daca functiile  si  sunt derivabile pe I, atunci diferenta  este derivabila pe I si: .

Teorema 3

Daca functiile  sunt derivabile īntr-un punct , atunci functia  este derivabila īn punctul  si:

.

Demonstratie

Pentru  din I avem:

Prin ipoteza, functiile f si g sunt derivabile īn punctul , deci

 sunt continue īn punctul ; prin urmare  si , astfel īncāt putem scrie:

 adica         (4).

Daca sunt n functii derivabile īn punctul x0 , produsul lor  este derivabil īn punctul  si:

   (5)

Demonstratie

Pentru n=2 formula este adevarata, deoarece este formula (4). Presupunem ca este adevarata pentru n-1; sa aratam ca este adevarata si pentru n:

care este tocmai formula (5).

Īn particular, daca  atunci .

Consecinta: Daca functiile  sunt derivabile pe intervalul I, atunci functia  este derivabila pe I si:

.

Teorema 4

Daca functiile  sunt derivabile īntr-un punct , atunci functia  este derivabila īn punctul  si:

.

Demonstratie: Functia g(x) ia īn punctul x0 valoare diferita de 0; deoarece este continua in punctul x0, exista o vecinatate V a lui x0 īn care . Pentru  avem:

, īnsa

           

 deci avem la limita:

 adica:

.

Consecinta: Daca functiile  sunt derivabile pe I si , atunci  este derivabila pe I si:

.

Derivabilitatea functiilor compuse.

Sa consideram functia , cu domeniul valorilor I si functia ; pentru functia compusa  avem urmatoarea

Teorema: Daca functia  este derivabila īn punctul  si functia  este derivabila este derivabila īn punctul corespunzator  atunci functia compusa  este derivabila in punctul  si

.

Demonstratie:

Functia u fiind derivabila īn punctul x0, avem:

       (1). Functia f(u) fiind derivabila īn punctul u0, avem: ; īnainte de a trece la limita, putem scrie:

(2)  cu           (3).

Functia  data de (2), cu , este continua īn punctul . Īntradevar,  si pentru , avem  deoarece f(u) este derivabila īn punctul u0. Derivabilitatea functiei F(x) este:

. Deci la limita avem:

 si daca tinem seama de (1) si (3) avem: .

Consecinta: Daca functia  este derivabila pe I si functia f este derivabila pe I atunci functia compusa  este derivabila pe I si: .

Derivabilitatea functiilor inverse

Teorema: Fie functia , care se poate inversa pe I. Daca f(x) este derivabila īn punctul , atunci functia sa inversa  este derivabila īn punctul  si    (1).

Demonstratie:

Am aratat ca functia  este continua pe J; ramāne sa mai aratam ca pentru orice sir (yn) cu  avem: . Functia f fiind biunivoca, la  corespunde un xn astfel īncāt yn=f(xn), deci , astfel īncāt: , si la limita, deoarece sirul (yn) este arbitrar, avem:

.

Consecinta: daca functia , este derivabila pe I si , atunci functia inversa  este derivabila pe  si

Observatii:

  1. Am aratat ca functiile  au graficele simetrice fata de prima bisectoare a axelor. Relatia dintre derivatele lor īn punctele corespunzatoare:  confirma acest fapt, anume ca tangentele la cele doua curbe īn punctele  sunt asimetrice fata de prima bisectoare.
  2. Daca , relatia (1) se mentine, anume derivata functiei inverse este infinita. Mai precis, daca f(x) este strict crescatoare,  deoarece  pentru orice  si daca f(x) este strict descrescatoare  deoarece  pentru orice .




Derivatele functiilor trigonometrice

a)      Functia  este derivabila pe domeniul de definitie R. Avem:

, deci

.

Consecinta: Daca  este derivabila, functia  este derivabila pe I si: .

b)      Functia  este derivabila pe domeniul de definitie R. Deoarece , folosind regula de derivare a functiilor compuse, precum si rezultatul precedent:

c)      Functia  este derivabila pe domeniul  Pentru  avem:

d)      Functia  este derivabila pe domeniul  Pentru ,

Derivata functiei logaritmice

Functia  este derivabila pe tot domeniul de definitie . Avem: , deci , deoarece  Din formula  rezulta ca .

Observatie: Daca .

Derivata functiei exponentiale

 

Functia  este derivabila pe tot domeniul de definitie . Functia  este inversa functiei logaritmice .

 Asadar .

Observatii

1)      Daca .

2)      Daca u(x) definita pe I este derivabila pe I, atunci .

Functii hiperbolice

1)      Functia , numita ,,sinus hiperbolic", se defineste cu ajutorul functiei exponentiale  īn modul urmator: . Domeniul valorilor este . Functia  este o functie impara, deoarece . Graficul este simetric fata de originea axelor (conf. fig. (1)), .

Fig. 1

2)      Functia , numita ,,cosinus hiperbolic", este definita de . Domeniul valorilor este . Functia  este o functie para, deoarece . Graficul este simetric fata de axa 0Y (conf. fig. (2)). Graficul functiei  se numeste si ,,curba lantisor". Curba  da pozitia de echilibru a unui fir omogen, flexibil, inextensibil, supus la actiunea gravitatiei si ale carui capete sunt fixate (A, B), .

Fig. 2

3)      Functia , numita ,,tangenta hiperbolica" (conf. fig. (3)), este definita de .

Fig. 3

4)      Functia , numita ,,cotangenta hiperbolica" (conf. fig. (4)), este definita de .

Fig. 4

Proprietatile functiilor hiperbolice

Functiile hiperbolice au proprietati care le apropie de functiile circulare. Dam cāteva dintre ele:

Toate se dovedesc īnlocuind functiile hiperbolice cu expresiile lor īn functie de exponentiale. Astfel, pentru 1 avem:

Derivatele functiilor hiperbolice

a)      Functia  este derivabila pe domeniul de definitie R. ; .

b)      Functia  este derivabila pe domeniul de definitie R. ; .

c)      Functia  este derivabila pe domeniul de definitie R. ; .

d)      Functia c este derivabila pe domeniul de definitie R-. ; .

Derivatele functiilor circulare inverse

1)      Functia arcsin x, definita pe [-1, +1], este derivabila pe (-1, +1): , deci . Īn punctele +1 sau -1, arcsin x are derivata +.

2)      Functia arccos x, definita pe [-1, +1], este derivabila pe (-1, +1): , deci . Īn punctele +1 sau -1, arcsin x are derivata -.

3)      Functia arctg x, definita pe (-, +), este derivabila pe domeniul de definitie: , deci .

4)      Functia arcctg x, definita pe (-, +), este derivabila pe domeniul de definitie:  , deci .

Functii hiperbolice inverse

a)      Functia  este strict monotona pe tot domeniul sau de definitie R. Avem  sau . Solutia care convine este . Schimbānd pe y īn x dupa logaritmare, obtinem functia inversa a functiei : , numita ,,argument sinus hiperbolic". Functia  este derivabila pe domeniul de definitie

.

b)      Functia  este strict monotona pe intervalele . Avem  sau . Schimbānd pe y cu x, obtinem functia inversa a functiei  numai pentru ramura monotona definita pe : , numita ,,argument cosinus hiperbolic"; pentru ramura din intervalul  avem: .

c)      Functia  este strict monotona pe multimea de definitie. Avem  sau , numita ,,argument tangenta hiperbolica". Functia  este derivabila pe domeniul de definitie: .

d)      Functia , este monotona pe intervalele . Avem: . Schimbānd pe x cu y, obtinem functia inversa a functiei , pentru ramura monotona definita pe  , numita ,,argument cotangenta hiperbolica"; pentru ramura din intervalul  avem .












Document Info


Accesari: 73771
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.




Coduri - Postale, caen, cor

Politica de confidentialitate

Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2019 )