Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza













Inegalitati de baza. Metrici, norme si produse scalare in Rn

Matematica



loading...











ALTE DOCUMENTE

Vectori si operatii
EVALUARE SUMATIVĂ - matematica
Geometrie Analitica
Varianta 81, subiectul III subpunctul g):
Piramida
TEST DE EVALUARE(numere rationale clasa a VI-a)
Analiza si sinteza dispozitivelor numerice - PROIECT
Ecuatii si inecuatii de gradul intai
Siruri
FUNCTII DERIVABILE


                     Inegalitati de baza. Metrici, norme si produse scalare în

 I. Sa se arate ca au loc urmatoarele inegalitati:

1)  (Cauchy - inegalitatea mediilor)    

.

            2)  (Bernoulli)   , cu toti de acelasi semn ,

                                                             .

            Caz particular:   .

            3)  (Hölder)   ,

.

            Caz particular:   (Cauchy - Buniakowski - Schwarz)

.

4)  (Minkowski)   ,

.

II

 II.1)  Sa se verifice ca urmatoarele aplicatii definesc distante (metrici) pe multimile în cauza:

a) 

b) 

c) 

d)  

e) 

f)  .

g) 

h) 

i) 

 II.2)  Fie  o metrica. Sa se arate ca urmatoarele aplicatii sunt de asemenea metrici pe :  ; , cu  (constanta); ; ; . Sunt acestea echivalente cu d ?

 II.3)  Se considera , astfel încât:

                        i)    si

                        ii)  .

            Sa se demonstreze ca d este o metrica pe  (Lindenbaum).

 II.4)  Daca d este o metrica pe , sa se arate ca au loc relatiile:

a)    (inegalitatea triunghiului);

b)    (inegalitatea patrulaterului).

 II.5)  a)  Fie  si  doua metrici pe . Sa se arate ca  si  sunt, de asemenea, metrici pe .

            b)  Fie , metrici pe . Sa se demonstreze ca urmatoarele aplicatii  , definite respectiv prin

                           ,

                          , sunt metrici pe .

c)      Sa se arate ca daca  si  sunt doua metrici, atunci , definita prin

                       

                                         ,

                   este o metrica.

 II.6)  Fie d o metrica pe  si  vectorul nul din . Se considera ,

          definita prin:

                        .

      Sa se arate ca:

a)       este o metrica pe , iar topologia indusa de d este mai putin fina decât cea indusa de ;

b)       ,

unde indicele "0" desemneaza entitatile în cauza ( diametrul multimii si respectiv sfera ) definite prin intermediul metricii .

III

  III.1)  a)  Folosind inegalitatea lui Minkowski , sa se arate ca aplicatia  ,

            definita prin , , unde  este indicat,

             constituie o norma pe .

b)                 Sa se arate ca .

c)                  Sa se verifice ca normele  (norma euclidiana) si  sunt echivalente, demonstrând ca:

.

d)         Sa se arate ca .

e)         Sa se observe ca inegalitatea lui Hölder se poate reda sub forma , unde  înseamna produsul scalar euclidian al elementelor x si y, adica , , . În particular, când , inegalitatea lui Cauchy - Buniakowski - Schwarz se poate scrie în forma:

.

 III.2) Fie  o norma pe . Sa se arate ca:

a)          .

b)          .

c)           .

 III.3) Fie  si  definite prin , respectiv

         ,  , unde  sunt constante. Date fiind

          si , astfel încât , se considera aplicatiile  si

         , definite respectiv prin:

.

a)      Sa se arate ca  si  sunt norme pe .

b)      Sa se demonstreze ca daca exista , astfel încât  si , atunci  este de asemenea o norma pe . Conditia  este si necesara sau

 doar suficienta pentru ca  sa fie o norma pe ?

 III.4) Fie  o norma pe  si , definita prin:

      Sa se arate ca:

a)      d este o metrica pe , iar topologia indusa de d este mai fina decât cea indusa de norma .

b)      , unde  si S semnifica diametrul si respectiv sfera în raport cu d, iar  este notatia pentru norma euclidiana pe .

IV

 IV.1)  Sa se arate ca urmatoarele aplicatii , definite dupa cum urmeaza, sunt produse scalare pe :

            a)  ,

            b)  .

 IV.2)  Fie  un produs scalar pe  si  norma indusa.

            a)  Sa se arate ca au loc relatiile:

                        (i) 

                        (ii) 

b)  Când , sa se arate ca are loc egalitatea  , precum si relatia :       .

c)  Reciproc, sa se arate ca daca , în , are loc egalitatea   sau relatia

     , atunci x si y sunt vectori ortogonali, adica .

 IV.3)  Fie , ,  si , unde  este un produs scalar pe . Sa se arate ca:

            a)  , unde  este norma

                 indusa de  pe .

            b)  pe baza relatiei de la a) si a egalitatii

,

                  unde  si d este metrica indusa de norma , distanta de la  la A are

                  valoarea  si , ori de câte ori .

 IV.4)  Fie W un subspatiu liniar al lui  si  o functie liniara, neidentic nula, pentru care   . Se defineste aplicatia , prin . Sa se arate ca:

             a)   este un spatiu prehilbertian.

             b)  Oricare doua elemente ale lui W, diferite de , sunt liniar dependente.

                                                                                           F. Iacob / 27.09.2005


Document Info


Accesari: 1637
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.

 


Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2014 )