Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza
Upload





loading...
















































Inegalitati de baza. Metrici, norme si produse scalare in Rn

Matematica


                     Inegalitati de baza. Metrici, norme si produse scalare în

 I. Sa se arate ca au loc urmatoarele inegalitati:

1)  (Cauchy - inegalitatea mediilor)    

.

            2)  (Bernoulli)   , cu toti de acelasi semn ,

                                                             .

            Caz particular:   .

            3)  (Hölder)   ,

.

            Caz particular:   (Cauchy - Buniakowski - Schwarz)

.

4)  (Minkowski)   ,

.

II

 II.1)  Sa se verifice ca urmatoarele aplicatii definesc distante (metrici) pe multimile în cauza:

a) 

b) 

c) 

d)  

e) 

f)  .

g) 

h) 

i) 

 II.2)  Fie  o metrica. Sa se arate ca urmatoarele aplicatii sunt de asemenea metrici pe :  ; , cu  (constanta); ; ; . Sunt acestea echivalente cu d ?

 II.3)  Se considera , astfel încât:

                        i)    si

                        ii)  .

            Sa se demonstreze ca d este o metrica pe  (Lindenbaum).

 II.4)  Daca d este o metrica pe , sa se arate ca au loc relatiile:

a)    (inegalitatea triunghiului);

b)    (inegalitatea patrulaterului).

 II.5)  a)  Fie  si  doua metrici pe . Sa se arate ca  si  sunt, de asemenea, metrici pe .

            b)  Fie , metrici pe . Sa se demonstreze ca urmatoarele aplicatii  , definite respectiv prin

                           ,

                          , sunt metrici pe .

c)      Sa se arate ca daca  si  sunt doua metrici, atunci , definita prin

                       

                                         ,

                   este o metrica.

 II.6)  Fie d o metrica pe  si  vectorul nul din . Se considera ,

          definita prin:

                        .

      Sa se arate ca:

a)       este o metrica pe , iar topologia indusa de d este mai putin fina decât cea indusa de ;

b)       ,

unde indicele "0" desemneaza entitatile în cauza ( diametrul multimii si respectiv sfera ) definite prin intermediul metricii .

III

  III.1)  a)  Folosind inegalitatea lui Minkowski , sa se arate ca aplicatia  ,

            definita prin , , unde  este indicat,

             constituie o norma pe .

b)                 Sa se arate ca .

c)                  Sa se verifice ca normele  (norma euclidiana) si  sunt echivalente, demonstrând ca:

.

d)         Sa se arate ca .

e)         Sa se observe ca inegalitatea lui Hölder se poate reda sub forma , unde  înseamna produsul scalar euclidian al elementelor x si y, adica , , . În particular, când , inegalitatea lui Cauchy - Buniakowski - Schwarz se poate scrie în forma:

KKKKK

.

 III.2) Fie  o norma pe . Sa se arate ca:

a)          .

b)          .

c)           .

 III.3) Fie  si  definite prin , respectiv

         ,  , unde  sunt constante. Date fiind

          si , astfel încât , se considera aplicatiile  si

         , definite respectiv prin:

.

a)      Sa se arate ca  si  sunt norme pe .

b)      Sa se demonstreze ca daca exista , astfel încât  si , atunci  este de asemenea o norma pe . Conditia  este si necesara sau

 doar suficienta pentru ca  sa fie o norma pe ?

 III.4) Fie  o norma pe  si , definita prin:

      Sa se arate ca:

a)      d este o metrica pe , iar topologia indusa de d este mai fina decât cea indusa de norma .

b)      , unde  si S semnifica diametrul si respectiv sfera în raport cu d, iar  este notatia pentru norma euclidiana pe .

IV

 IV.1)  Sa se arate ca urmatoarele aplicatii , definite dupa cum urmeaza, sunt produse scalare pe :

            a)  ,

            b)  .

 IV.2)  Fie  un produs scalar pe  si  norma indusa.

            a)  Sa se arate ca au loc relatiile:

                        (i) 

                        (ii) 

b)  Când , sa se arate ca are loc egalitatea  , precum si relatia :       .

c)  Reciproc, sa se arate ca daca , în , are loc egalitatea   sau relatia

     , atunci x si y sunt vectori ortogonali, adica .

 IV.3)  Fie , ,  si , unde  este un produs scalar pe . Sa se arate ca:

            a)  , unde  este norma

                 indusa de  pe .

            b)  pe baza relatiei de la a) si a egalitatii

,

                  unde  si d este metrica indusa de norma , distanta de la  la A are

                  valoarea  si , ori de câte ori .

 IV.4)  Fie W un subspatiu liniar al lui  si  o functie liniara, neidentic nula, pentru care   . Se defineste aplicatia , prin . Sa se arate ca:

             a)   este un spatiu prehilbertian.

             b)  Oricare doua elemente ale lui W, diferite de , sunt liniar dependente.

                                                                                           F. Iacob / 27.09.2005


loading...




Document Info


Accesari: 2149
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.




Coduri - Postale, caen, cor

Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2017 )