Assiomi per definire l'insieme dei numeri reali
Esiste un insieme, chiamato l'insieme dei numeri reali, che verifica le seguenti proprietà:
Dati a,b,c, numeri reali:
Assiomi che riguardano operazioni.
Sono definite due operazioni, addizione ( +) e moltiplicazione (.) tra coppie di numeri reali, con le seguenti proprietà:
1) Associativa: (a+b)+c=a+(b+c).
2) Commutativa: a + b = b + a.
3) Distributiva: a . (b + c) = a . b + a . c
4) Esistenza degli elementi neutri: esistono in R due numeri distinti 0, 1, tali che a + 0 = a, a .1 = a.
5) Esistenza degli opposti: per ogni numero reale a esiste un numero reale, indicato con - a, tale che a + (- a) = 0.
6) Esistenza degli inversi: per ogni numero reale a diverso da 0 esiste un numero, indicato con a-1, tale che a . a-1 = 1.
Assiomi che riguardano l'ordinamento.
È definita la relazione di minore o uguale ( ) tra coppie di numeri reali con le seguenti proprietà:
7) Dicotomia: per ogni coppia di numeri reali a, b si ha a b oppure b a.
8) Proprietà antisimmetrica: se valgono contemporaneamente le relazioni a b, b a, allora a = b.
9) Se a b allora vale anche a + c b + c.
Se 0 a e 0 b allora valgono anche 0 a + b, 0 a. b.
Assioma di completezza
11) Siano A e B due insiemi non vuoti di numeri reali con 1a proprietà che a b, comunque si scelgano a elemento di A e b elemento di B. Allora esiste almeno un numero reale c tale che a c b, qualunque siano a in A e b in B
(Analogamente: ogni insieme superiormente limitato ammette estremo superiore).
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