INFERENTE DEDUCTIVE MEDIATE CU PROPOZITII CATEGORICE

Matematica

 

Vom caracteriza silogismul pornind de la un exemplu:

Toti īndragostitii sunt visatori

Unii studenti sunt īndragostiti

Unii studenti sunt visatori

Analiza structurii unui silogism īncepe prin identificarea identificarea formulei concluziei, care contine

subiectul si predica 121b14b tul logic; īn cazul nostru:

S= studenti

P= visatori

Formula concluziei este SiP.

Pasul urmator īl constituie identificarea formulei premiselor.

De observat ca pe lānga termenii concluziei, premisele contin un termen comun care nu se regaseste īn concluzie; īl vom numi termen mediu si īl vom nota cu M. Rolul termenului mediu este de a realiza legatura celorlalti doi termeni, numiti si termeni extremi. Premisele silogismului nostru au forma SaP, respectiv SiP. Structura formala a silogismului va fi:

MaP

SiM

SiP

Subiectul concluziei este numit termen minor, iar premisa din care el face parte este numita premisa minora; predicatul este termenul major, iar premisa din care el face parte este numita premisa majora.

Rezumānd, silogismul contine trei propozitii categorice dintre care doua cu rol de premise si una cu rol de concluzie. Propozitiile contin trei termeni diferiti, unul dintre ei este comun premiselor si nu se regaseste īn concluzie, iar termenii concluziei sunt termenii necomuni ai premiselor.

Vom defini silogismul[2]acum ca fiind rationamentul prin care din doua propozitii categorice care au un termen comun se deduce o alta propozitie categorica ce are ca termeni termenii necomuni ai primelor doua.

Structura standard a silogismului este:

premisa majora 

premisa minora

concluzie

Evident, īn argumentarile uzuale ordinea poate fi cu totul alta, putāndu-se īncepe argumentul cu teza de argumentat care este concluzia silogismului. Spre exemplu: Unii politicieni nu sunt onesti dearece nu spun adevarul, iar cei ce nu spun adevarul nu sunt onesti. Īn acest silogism prima dintre propozitii este concluzia, a doua este premisa majora, iar a treia este minora silogismului. Uneori identificarea concluziei este facilitata de prezenta explicita a indicatorilor de concluzie: deci, prin urmare, rezulta, asadar, īn concluzie, iar premisele sunt sugerate explicit de indicatori (de premisa) cum ar fi: deoarece, īntrucāt, fiindca, pentru ca, tinānd seama de faptul ca, avānd īn vedere., s. a. Alteori, indicatori sunt impliciti, fiind necesara o mai mare atentie īn identificarea structurii argumentului. Pentru a putea verifica validitatea unui silogism este necesara mai īntāi aducerea silogismului la forma de exprimare standard, premisa majora, premisa minora, concluzie.

Dupa pozitia relativa pe care o are termenul mediu īn structura silogismului putem distinge patru forme numite figuri silogistice. Īn figura I termenul mediu este pe functie de subiect īn majora si de predicat īn minora; īn figura a doua termenul mediu este pe functie de predicat īn ambele premise; īn figura a treia termenul mediu este pe functie de subiect īn ambele premise, iar īn figura a patra termenul mediu este predicat īn premisa majora si subiect īn minora.

Schemele figurilor silogistice sunt urmatoarele:

Daca introducem propozitiile categorice īn interiorul schemei figurii, obtinem forme silogistice standard numite moduri silogistice. Modul silogistic exemplificat de noi va fi notat aii-1, īnsemnānd figura I cu majora a, minora I si concluzia i.

Prin combinarea celor patru tipuri de propozitii categorice luate cāte trei (doua ca premise si una drept concluzie) vom obtine 4³ moduri silogistice, adica 64 pentru fiecare figura silogistica, 256 de combinatii posibile īn totalul celor patru figuri. Dintre aceste posibilitati de combinare, numai 24, cāte 6 pentru fiecare figura, sunt corecte din punct de vedere logic (valide). Sunt valide doar cele care respecta legile de rationare, īn cazul acesta, legile silogismului.

Pentru a usura retinerea lor, le grupam dupa cum urmeaza:

Legile termenilor:

1. Un silogism are trei termeni. Desi aceasta exigenta este cuprinsa īn definitie, enuntarea ei este utila pentru a evita sofismul īmpatririi termenilor, situatie care apare atunci cānd un termen este utilizat īntr-o propozitie cu un sens, iar īn alta cu alt sens.

2. Termenul mediu este distribuit cel putin īntr-o premis. Ratiunea acestei cerinte este urmatoarea: daca termenul mediu nu ar fi distribuit īn nici o premisa, atunci nu ar putea face legatura dintre termenii extremi caci fiecare dintre extremi ar putea fi legat de termenul mediu printr-o alta parte a sferei sale.

3. Daca un termen este distribuit īn concluzie el este distribuit si īn premisa din care face parte. Este chiar expresia legii distribuirii ce exprima caracterul deductiv al acestor inferente. Abaterile de la aceasta lege sunt erorile minorului ilicit -cānd abaterea este a subiectului - si a majorului ilicit, cānd este extins nepermis predicatul concluziei.

Legile calitatii premiselor:

4. Cel putin o premisa este afirmativa. Se poate arata ca din doua premise negative nu rezulta cu necesitate nici o concluzie, utilizānd diagramele Euler. Detaliati singuri aceasta cerinta.

5. Daca o premisa este negativa, atunci concluzia este negativa. Daca o premisa este negativa, atunci raporturile termenilor extremi cu termenul mediu sunt divergente, iar o concluzie afirmativa ar evidentia convergenta lor.

6. Daca ambele premise sunt afirmative, atunci concluzia este afirmativa. Aplicati modelul demonstratiei de mai sus.

Legile cantitatii premiselor:

7. Cel putin o premisa este universala. Daca din doua premise particulare am deriva concluzie, atunci am īncalca implicit cel putin una din legile anterior enuntate. De demonstrat acest lucru.

8. Daca o premisa este particulara, atunci concluzia este particulara. Cele enuntate la legea precedenta sunt valabile si aici.

De remarcat ca, pentru simetria completa, ar fi fost potrivita īnca o lege, aceea ca din premise universale sa rezulte concluzie universala, īnsa aceasta exigenta nu se impune, īntrucāt ceea ce este valabil pentru toti este valabil si pentru unii dintre acei toti. Prin urmare, din premise universale poate rezulta atāt concluzia universala, cāt si particulara subalterna acesteia. Modurile care deduc o concluzie particulara din ambele premise universale vor fi numite moduri subalterne.

Īnca o remarca: unii autori contopesc legile 5 si 8 īntr-una singura: concluzia urmeaza partea cea mai slaba, fiind considerata slaba propozitia particulara si cea negativa[4].

Aplicarea legilor generale fiecarei figuri silogistice creeaza posibilitatea formularii unor legi sau conditii particulare, specifice figurii respective.

Pentru a nu ne īncarca inutil memoria, propun ca aceste legi sa nu fie memorate, ci sa fie redescoperite posedānd mecanismul deducerii lor prin aplicarea legilor generale.

Sa identificam īmpreuna legile speciale ale figurii I.

M-P

S-M

S-P

Pentru ca termenul mediu sa fie distribuit (L.2), premisa majora ar trebui sa fie universala (termenul cu functie de subiect e distribuit īn universale) sau minora sa fie negativa (termenul pe functie de predicat este distribuit īn negative). Sa vedem daca sunt posibile ambele conditii. Ne intereseaza īn primul rānd a doua conditie, īntrucāt cerinta este ca minora sa fie negativa (stim ca daca una din premise este negativa, atunci concluzia va fi negativa). Daca minora este negativa, concluzia va fi negativa; daca concluzia este negativa, P va fi distribuit īn concluzie si va trebui sa fie distribuit si īn premisa din care face parte (L3); pentru ca P sa fie distribuit īn premisa majora ar trebui ca aceasta sa fie negativa, ceea ce este imposibil. Rezumānd, daca minora este negativa, ar trebui ca si majora sa fie negativa. Rezulta ca minora nu poate fi negativa, va fi deci afirmativa. Iata prima lege. Dar daca minora este afirmativa, atunci M va fi nedistribuit aici si, īn consecinta, va trebui sa fie distribuit īn premisa majora, ceea ce presupune ca aceasta sa fie universala.

Legile figurii I F

Legile figurii I sunt:

majora este universala: a sau e

minora este afirmativa: a sau i

Modurile figurii I E

Realizam combinatiile de premise din care derivam concluziile conform legilor generale:

a a e e

a i a i

a,i i e,o o

Pentru retinerea lor, medievalii au utilizat urmatoarele denumiri mnemotehnice[5]:

Barbara, Barbari, Darii, Celarent, Celaront, Ferio.

Īn practica demonstratiei si argumentarii aceasta figura are un rol decisiv, fiind considerata demonstrativa prin excelenta. Ratiunea acestor consideratii este urmatoarea: majora fiind o propozitie universala, introduce o consideratie valabila pentru toti membrii unei clase - Toti M sunt P (Nici un M nu este P); minora fiind afirmativa, comunica faptul ca o clasa S apartine clasei M (ce are īn īntregime proprietatea P). Decurge necesar ca si membrii clasei M au (nu au) proprietatea respectiva.

Vom parcurge acelasi model pentru a identifica legile si modurile valide ale figurii a II-a:

P-M

S-M

S-P

Legile figurii II F

Pentru ca termenul mediu sa fie distribuit, una dintre premise trebuie sa fie negativa; daca o premisa este negativa, concluzia va fi negativa si predicatul ei va fi distribuit; pentru ca predicatul sa fie distribuit si īn premisa, majora trebuie sa fie universala. Iata legile figurii a II-a:

Modurile figurii II E

premisa majora este universala : a sau e

o premisa este negativa: e sau o

a a e e

e o a i

e,o o e,o o

Denumirile mnemotehnice sunt: Camestres, Camestrop, Baroco, Cesare, Cesaro, Festino.

Figura a doua, avānd concluzie negativa, are rol de respingere a unei sustineri. Rationānd dupa figura a doua, dovedim ca S nu este un caz al lui P, aratānd ca toti P au o proprietate M, pe care S nu o are.

Īn figura a III-a:

M-P

M-S

S-P

Legile figurii III F

Pentru distribuirea termenului mediu nu este nevoie de o lege speciala, īntrucāt aici termenul mediu este pe functie de subiect, iar subiectul este distribuit īn universale; conditia distribuirii lui este ca cel putin o premisa sa fie universala, īnsa aceasta este o lege generala a silogismului. Ne putem īntreba īnsa daca minora poate fi negativa si vom vedea ca nu poate fi astfel, caci ar impune o concluzie negativa cu predicatul distribuit, care , la rāndul ei cere o majora negativa, ceea ce este imposibil. Asadar, minora trebuie sa fie afirmativa, dar īn acest caz subiectul ei fiind nedistribuit nu poate aparea distribuit īn concluzie, ceea ce īnseamna ca aceasta va fi particulara. Īn consecinta, legile figurii a treia sunt:

premisa minora este afirmativa: a sau i

concluzia este particulara: i sau o

Constructia modurilor se va realiza de la concluzie la minora si apoi la identificarea posibilitatilor pentru premisa majora:

Modurile figurii III E

- - -

i o i o

Combinatiile posibile vor fi:

a,i e,o a e

a a i i

i o i o

Denumirile mnemotehnice sunt: Darapti, Disamis, Felapton, Bocardo, Datisi, Ferison. Avānd concluzia particulara, figura a III-a este utilizata īn argumentare, mai ales, cu scopul de a se infirma o propozitie universala.

Legile figurii IV F

O particularitate pentru figura a IV-a este faptul ca nu se impune īn mod categoric nici o restrictie unei premise sau concluziei, legile avānd o forma conditionala, īn functie de calitatea si cantitatea premiselor:

P-M

M-S

S-P

Daca majora este afirmativa, minora este universala (vezi distribuirea termenului mediu)

Daca o premisa este negativa, majora este universala (vezi distribuirea termenului major)

Daca minora este afirmativa, concluzia este particulara (vezi distribuirea termenului minor)

Aceste legi determina urmatoarele moduri valide: Bramantip, Camenes, Fesapo, Fresison, Dimaris, Camenop.

Īn concluzie,

Pentru a proba validitatea unui silogism, trebuie mai īntāi sa-l asezam īn forma standard, prin ordonarea premiselor si concluzie, fiindca īn economia limbajului expresia verbala a silogismului suporta modificari si inversiuni.

Aristotel considera ca figura I este "prefecta"[6], modurile ei aparānd ca un fel de axiome la care pot fi reduse modurile celorlalte figuri "imperfecte". A construit astfel primul sistem axiomatic din logica.

Reducerea figurile "imperfecte" la cele "perfecte" se poate realiza prin doua proceduri: reducere directa si reducere indirecta.

Modurile figurii I joaca rolul

de axiome, sunt asadar date ca fiind valide, iar verificarea validitatii unui mod din celelalte figuri presupune reducerea lui la unul din cele sase moduri valide: Barbara, Barbari, Celarent, Celaront, Darii, Ferio. Operatiile prin care se face reducerea sunt conversiunea si schimbarea locului premiselor.

Denumirile mnemotehnice indica prin consoana initiala modul la care se va face reducerea, prin consoana postvocalica operatia asupra propozitiei indicate de vocala: s reprezinta conversiunea simpla (conversio simplex), p reprezinta conversiunea prin accident (conversio per accidens), iar m indica schimbarea locului premiselor (mutatio).

Pentru ilustrare vom reduce modul Camestres din figura a doua. Consoana initiala ne indica faptul ca reducerea se va face la modul Celarent, m va impune inversarea premiselor, s conversiunea simpla a premisei e, iar ultimul s indica o conversiune simpla a concluziei e:

Camestres Celarent

PaM (m) SeM (s) MeS MeS

SeM PaM PaM PaM

SeP SeP SeP (s) PeS

Aceasta procedura nu este īnsa universala: modurile Baroco (fig. a II-a) si Bocardo (fig. a III-a) nu pot fi reduse, cunoscānd faptul ca particulara negativa, SoP, nu are conversiune, iar, pe de alta parte, conversiunea premisei universal-afirmative SaP, este prin accident, PiS, si ar rezulta ambele premise particulare. Pentru aceste cazuri Aristotel a utilizat reducerea indirecta.

Reducerea indirecta presupune metoda cunoscuta din matematica sub numele de reducere la absurd. Baza demonstratiei o constituie tot modurile perfecte ale figurii I. Iata cum decurge demonstratia:

Se presupune silogismul nevalid. Aceasta īnseamna ca exista cel putin o situatie īn care din premise adevarate decurge o concluzie falsa.

Se presupun premisele adevarate, iar concluzia falsa; daca aceasta este falsa, va fi adevarata contradictoria ei;

Se combina contradictoria concluziei cu una din premisele modului dat, pentru a forma un silogism valid īn figura I.

Se analizeaza concluzia modului astfel obtinut

-daca aceasta poate fi adevarata prin comparatie cu premisele initiale, rezulta ca presupunerea a fost corecta, modul initial nu este valid;

-daca este falsa, īnseamna ca una din premise este falsa, evident, este falsa premisa ce reprezinta contradictoria concluziei modului dat; īn consecinta, nu exista nici o situatie īn care din premise adevarate sa rezulte concluzie falsa, si modul initial este valid.

Sa exemplificam pentru modul Baroco. Consoana c din interiorul denumirii mnemotehnice ne semnaleaza reducerea indirecta, aratāndu-ne ca īn timpul demonstratiei se īnlocuieste premisa anterioara consoanei cu negatia concluziei.

PaM=1

SoM=1

SoP=0 SaP=1; PaM

SaP

SaM (Barbara-valid)

Cum SoM=1 SaM=0 SaP=0 SoP=1

silogismul este valid.

Pe scurt, o contradictie īntre concluzia modului astfel obtinut si una din premisele modului initial certifica validitatea modului. Aceasta metoda poate fi aplicata si celorlalte moduri "imperfecte".

Orice silogism corect trebuie sa respecte toate legile generale ale silogismului, īnsa nu este necesara testarea tuturor legilor, asa cum, de altfel, am constatat īn cazul identificarii legilor speciale ale figurii. Existenta celor trei termeni este de verificat īn forma naturala, verbala de exprimare a rationamentului. O data identificat modul silogistic, aceasta lege nu mai intereseaza. Pe de alta parte, ultimele doua legi, cele dupa cantitatea premiselor, nu sunt independente de celelalte si, de aceea, nu se mai impune verificarea lor expresa. Este motivul pentru care unii autori considera celelalte legi drept axiome, iar ultimele doua drept teoreme ce decurg din celelalte.

Iata cele cinci legi considerate ca axiome:

Termenul mediu trebuie distribuit cel putin o data;

Un termen nu poate fi distribuit īn concluzie daca nu este distribuit si īn premise;

O premisa este afirmativa;

Daca o premisa este negativa, concluzia este negativa;

Daca ambele premise sunt afirmative, concluzia este afirmativa.

Daca un silogism satisface aceste cinci cerinte, le va satisface si pe cele privind cantitatea premiselor si, īn consecinta, este valid.

Cunoscute fiind legile celor patru figuri silogistice, dupa obtinerea modului silogistic, se verifica respectarea fiecarei legi. Ex. modul aoo-3 nu este valid caci īncalca una din legile figurii (minora trebuie sa fie universala); modul iai-2 īncalca cerinta ca majora sa fie universala, etc.

Diagramele Venn pot fi aplicate si īn cazul testarii validitatii silogismului. Sa ne reamintim reprezentarea grafica a celor patru propozitii categorice. Prin hasura se reprezinta regiunea vida, iar prin * cea nevida.

SaP S P SP SP SeP S P SP SP

S P=0  SP=0

SiP S P SP SP SoP S P SP SP

* *

SP S P

Īn cazul silogismului, avānd trei termeni, vom reprezenta trei cercuri intersectate, fiecare sector fiind notat distinct.

SPM

SPM SPM

SPM

SPM SPM

SPM

Daca silogismul este valid, din reprezentarea grafica a premiselor rezulta si reprezentarea concluziei. Daca nu rezulta si concluzia, silogismul este nevalid.

Regulile de reprezentare sunt urmatoarele:

a) Daca regiunea īn care trebuie pus semnul * este īmpartita īn doua sau mai multe sectoare, se pune * īn toate sectoarele si se leaga īntre ele printr-o liniuta pentru a semnifica faptul ca cel putin unul dintre sectoare nu este vid, fara a sti care este acesta.

Exemplu:

S

P M

b) Hasura predomina asupra semnului *. Daca * este hasurat, atunci sectorul respectiv este vid. Pentru a evita aceasta situatie se recomanda reprezentarea mai īntāi a premisei universale.

Pentru a putea verifica si modurile subalterne, plecam de la premisa ca nici un termen nu este vid.

Pentru clarificarea metodei vom exemplifica verificarea urmatoarelor moduri silogistice:

Fie modul silogistic a a a -1

S

P M

Fie modul silogistic aii-2

S

P M

Modul silogistic eia-1

S

P M

Īn practica argumentarii intervin simplificari, prescurtari sau combinari de silogisme.

Entimema este un silogism eliptic, caruia īi lipseste una din propozitii, considerata fiind subīnteleasa ("pastrata īn gānd" se exprima printul moldav). Īntrucāt este foarte utilizata īn argumente, entimema a fost numita si silogism retoric. Silogismul avānd trei propozitii, exista trei tipuri de entimeme:

a)Entimema de ordinul I, care nu are exprimata premisa majora. De exemplu: Aceasta substanta este acid, deoarece īnroseste hārtia de turnesol (subīntelegāndu-se ca toate substantele care īnrosesc hārtia de turnesol sunt acizi)

b)Entimema de ordinul II nu exprima premisa minora: Toti studentii anul I au promovat, deci si Mihai (care este student īn anul I)

c)Entimema de ordinul III nu exprima concluzia: Toti studentii au un comportament decent, iar Mihai este student. Nu exprimam concluzia atunci cānd vrem ca ea sa fie dedusa de interlocutor urmarind un efect retoric.

Pentru verificarea entimemei nu se impun reguli speciale fiind necesara doar reconstituiea silogismului si apoi verificarea lui printr-o metoda cunoscuta.

Polisilogismul este un rationament compus, alcatuit din mai multe silogisme, īn care concluzia primului silogism (prosilogism) este premisa a silogismului urmator (episilogism).

Polisilogismul poate fi construit īn doua moduri:

6.2.1. Polisilogismul progresiv, cānd concluzia prosilogismului devine premisa majora a episilogismului:

Toti A sunt B AaB

Toti C sunt A CaA (prosilogism)

Toti C sunt B CaB

Toti D sunt C DaC (episilogism)

Toti D sunt B DaB

Ex.: Toate elementele chimice sunt substante simple

Toti metaloizii sunt elemente chimice

(deci) Toti metaloizii sunt substante simple

Toti halogenii sunt metaloizi

(deci) Toti halogenii sunt substante simple

Clorul este halogen

(deci) Clorul este substanta simpla

6.2.2. Polisilogismul regresiv, cānd concluzia prosilogismului devine premisa minora a episilogismului (premisele fiind transpuse):

Toti A sunt B AaB

Toti B sunt C BaC (prosilogism)

Toti A sunt C AaC

Toti C sunt D CaD (episilogism)

Toti A sunt D AaD

Verificarea validitatii rationamentelor de tip polisilogistic nu presupune īnsusirea unor metode speciale, ci verificarea succesiva a fiecarui silogism component. Daca toate silogismele componente se dovedesc a fi valide, atunci īntreg argumentul este valid.

Aceasta forma complexa de argumentare se simplifica prin sorit.

Este un polisilogism entimematic (contractat), caruia īi lipsesc concluziile intermediare. si el are doua forme:

Soritul goclenian care deriva din polisilogismul progresiv, enunta primul predicat despre ultimul subiect:

Toti A sunt B AaB

Toti C sunt A CaA

Toti D sunt C DaC

Toti D sunt B DaB

Legile soritului deriva din legile silogismului.

Pentru soritul goclenian:

O singura premisa poate fi negativa si anume cea dintāi;

O singura premisa poate fi particulara si anume cea din urma

. Soritul aristotelic, care deriva din polisilogismul regresiv, enunta ultimul predicat despre primul subiect:

Toti A sunt B AaB

Toti B sunt C BaC

Toti C sunt D CaD

Toti A sunt D AaD

Legile soritului aristotelic:

O singura premisa poate fi negativa si anume ultima

O singura premisa poate fi particulara si anume prima

Verificarea validitatii soritului se poate realiza prin verificarea legilor sale, dar se poate apela si la reconstituirea polisilogismului si verificarea succesiva a silogismelor componente printr-una din metodele cunoscute.

Iata un exemplu de sorit extras dintr-un text filosofic al lui Seneca (Scrisori catre Luciliu):

"Cine este prevazator este si moderat; cine este moderat este si statornic; cine este statornic este si netulburat; cine este netulburat nu este mohorāt, cine nu este mohorāt este fericit; asadar, omul prevazator este fericit".

Prima operatie consta īn identificarea termenilor:

A= prevazator

B= moderat

C= statornic

D= netulburat

E= mohorāt

F= fericit

Pasul urmator consta īn identificarea propozitiilor si realizarea schemei de inferenta:

AaB

AaB

BaC

AaC

CaD

AaD

DeE

AeE

EaF

AaF

Silogismul este partea centrala a logicii aristo-telice fiind dez-voltat īn Anali-tica prima

Silogismul a fost definit de Aristotel īn Analitica prima drept "o vorbire īn care, daca ceva a fost dat, altceva decāt datul urmeaza cu necesitate din ceea ce a fost dat". De remarcat ca astfel definit, silogismul acopera toata gama de inferente deductive, caracterizate īn definitia aristotelica prin caracterul necesar al concluziei, indiferent de numarul propozitiilor componente. Rationamentul deductiv este riguros, cert, premisele constituind conditie suficienta pentru concluzie, iar concluzia este consecinta necesara a premiselor. Este sensul larg al silogisticii. Īn sens restrāns silogistica vizeaza doar silogismul categoric simplu. Silogism categoric deoarece propozitiile componente sunt categorice, logicienii vorbind si de silogisme ipotetice, silogisme disjunctive sau de alte forme mixte. Silogism categoric simplu īntrucāt este vizat doar rationamentul cu doua premise. Acest sems restrāns al silogismului este gāndit chiar de Aristotel, atunci cānd trece la analiza structurii silogismului: Ori de cāte ori trei termeni sunt īn asa fel raportati unul la altul, īncāt cel din urma sa fie continut īn cel mijlociu luat ca un tot, iar mijlociul sa fie continut īn termenul prim sau exclus din el luat ca un tot, termenii extremi trebuie sa fie rapotati īntr-un silogism perfect.

Este relevant, īn acest sens, sofismul cunoscut sub numele de Litigiosul : Protagoras s-a angajat sa-l instruiasca pe Euathlus īn domeniul avocaturii, sub convetia ca tānarul sa-i plateasca atunci cānd va cāstiga primul proces. Cum Euathlus nu practica meseria de avocat, Protagoras este īn situatia de a-si lua adio de la bani. Totusi, sofistul ameninta: "Te voi da īn judecata si, oricare va fi decizia tribunalului, īmi vei plati datoria: daca vei cāstiga procesul, atunci īmi vei plati conform cu īntelegerea noastra, daca vei pierde procesul, īmi vei plati conform hotarārii judecatorilor". Euathlus a replicat: "Daca voi cāstiga procesul, nu-ti voi plati conform cu hotarārea judecatorilor, daca voi pierde procesul, nu-ti voi plati conform cu īntelegerea noastra; oricum, nu-ti voi plati." Sofismul se bazeaza pe dublul īnteles al termenului "a cāstiga procesul" (ca inculpat/ca avocat); aceeasi situatie si cu termenul "a pierde procesul".

Iata formularea lui Dimitrie Cantemir: "concluzia urmeaza īntotdeauna partea cea mai slaba a antecedentului si dupa cantitate si supa calitate. Caci, daca īn premise a fost vreun semn particular sau negativ, concluzia nu va putea fi universala sau afirmativa" (Mic compendiu.,p. 138.

de la grecescul mneme = memorie

numai figura I poate contine īn concluzie toate tipurile de propozitii categorice, numai ea are modul valid aaa; numai aici extremii īndeplinesc īn concluzie aceleasi functii logice ca si īn premise.

Dupa numele lui R. Goclenius din sec. al XVI-lea

Termenul mediu trebuie sa fie acelasi, iar pentru a-l obtine este necesara obversiunea propozitiei