Metode elementare de rezolvare a ecuatiilor diofantiene

Metode elementare de rezolvare a ecuatiilor diofantiene

1. Metoda descompunerii

Aceasta metoda consta în scrierea ecuatiei sub forma

unde si . Folosind descompunerea în factorii primi ai lui , obtinem un numar finit de descompuneri în factori întregi Fiecare astfel de descompunere conduc 131e43b e la un sistem de ecuatii de forma

Rezolvând aceste sisteme de ecuatii obtinem multimea de solutii pentru ecuatia considerata.

2. Rezolvarea ecuatiilor diofantiene cu ajutorul inegalitatilor.

Aceasta metoda consta în determinarea unor intervale în care se afla necunoscutele, prin utilizarea unor inegalitati adecvate. În general, acest proces conduce la un numar finit de posibilitati pentru toate necunoscutele sau pentru o parte dintre acestea.

3. Metoda parametrica

În multe situatii solutiile întregi ale ecuatiei diofantiene

pot fi reprezentate parametric sub forma

unde sunt functii de l-variabile, cu valori întregi si

Pentru unele ecuatii diofantiene multimea solutiilor poate avea mai multe reprezentari parametrice.

În multe cazuri, nu este posibil sa gasim toate solutiile pentru o ecuatie diofantiana. Metoda parametrica este o cale utila de a pune în evidenta familii infinite de solutii.

4. Metoda aritmeticii modulare

În multe situatii consideratii simple de aritmetica modulara se dovedesc a fi extrem de utile în demonstratia faptului ca anumite ecuatii diofantiene nu sunt solvabile sau în reducerea posibilitatilor de alegere a solutiilor acestora.

5. Metoda inductiei matematice

Inductia matematica este o metoda utila si eleganta în demonstrarea unor afirmatii care depind de multimea numerelor naturale.

Fie un sir de propozitii. Metoda inductiei matematice ne ajuta sa demonstram ca propozitia este adevarata pentru orice , unde este un numar natural fixat.

Am tratat 3 forme ale inductiei matematice, si anume: forma slaba, cu pasul si forma tare

Aceasta metoda de demonstratie este frecvent utilizata în diferite discipline matematice, inclusiv în teoria numerelor. Am dat exemple care ilustreaza utilizarea inductiei matematice în studiul ecuatiilor diofantiene.

6. Metoda descendentei infinite a lui Fermat (MDIF)

Cercetarile lui Fermat au avut un puternic impact in lumea matematicienilor, descoperirile si metodele sale impunându-se cu repeziciune. El a fost unul dintre primii matematicieni care a utilizat o metoda de demonstratie cunoscuta sub numele de "descendenta infinita".

Fie o proprietate referitoare la numerele naturale nenule si sirul de propozitii:

Metoda descendentei infinite a lui Fermat (MDIF) poate fi formulata în modul urmator:

Fie un numar natural. Se presupune ca:

- daca este adevarata pentru un numar , atunci exista un numar mai mic cu proprietatea ca propozitia este adevarata.

Atunci este falsa pentru orice

Acest lucru se întâmpla deoarece daca ar exista pentru care propozitia este adevarata, atunci s-ar putea construi un sir infinit de numere naturale , ceea ce evident nu este posibil.