POLINOAME

POLINOAME

Sa se determine polinomul cu coeficienti reali care satisfac relatia:

Sa se gaseasca un polinom astfel incat .

Sa se gaseasca un polinom astfel incat .

Sa se determine astfel incat si , .

Fie un polinom de grad doi cu coeficienti rationali. Atunci , este de forma cu .

Sa se gaseasca poli 414b11e noamele astfel incat sa fie indeplinita conditia , .

Sa se determine un polinom de grad cinci stiind ca este divizibil cu ,iar este divizibil cu .

Sa se arate ca polinomul se divide la .

Sa se arate ca polinomul se divide cu .

Fie un polinom cu coeficientii numere intregi:

a)        Sa se arate ca daca , atunci divide numarul

b)       Sa se arate ca un numar astfel incat sa nu fie numar prim.

Fie polinomul , . Sa se arate ca:

a)        se divide cu sau unde ;

b)       Daca se divide cu , atunci se divide si cu .

Se considera polinomul , Sa se gaseasca restul impartirii prin

Sa se arate ca pentru orice numar natural polinomul este divizibil prin .

Sa se arate ca polinomul este divizibil cu si sa se calculeze catul.

Fie , , unde , sa se arate ca se divide prin , daca si numai daca se divide cu 6.

Sa se determine conditia indeplinita de pentru care se divide cu .

Fie polinomul . Sa se demonstreze ca daca ecuatia are radacini reale, atunci exista relatia

Sa se determine astfel incat polinomul sa admita o radacina dubla si .

Fie , . Daca sunt radacini reale ale polinomului de grad , sa se calculeze:

Fie un polinom cu coeficienti reali a carui derivata este Sa se demonstreze ca ecuatia nu poate avea decat cel mult o radacina reala multipla.

Fie , .

a)        Pentru ce valori exista astfel incat sa se divida cu .

b)       Sa se determine astfel incat si sa fie radacina a lui .

Fie . Daca si sa se determine de grad 2 cu coeficienti astfel incat , , .

Fie o radacina a ecuatiei . Sa se gaseasca un polinom nenul, cu coeficienti intregi, care sa admita radacina .

Daca sunt radacini diferite ale ecuatiei . Sa se demonstreze ca: 

Sa se determine stiind ca se divide exact cu derivata sa si ca admite o radacina egala cu 1. Sa se determine celelalte radacini ale ecuatiei .

Se da , unde sunt constante reale diferite, . Sa se arate ca:

a)        este identic cu o constanta, atunci el este identic nul;

b)       Daca parametrii: au valori strict pozitive, polinomul admite o singura radacina reala;

c)       Daca atunci si

Sa se determine de grad astfel incat sa avem .

Sa se determine doua polinoame si de grad 1, astfel incat ,..

Fie , grad . Daca exista trei numere reale diferite astfel incat atunci este egal cu polinomul zero. Generalizare.

Fie , . Descompuneti in factori ireductibili polinomul pentru , si .

Fie un corp comutativ si grad . Aratati ca egalitatea  ) este posibila numai in cazul .Generalizare.

Fie un polinom de grad cu coeficienti reali astfel incat este divizibil cu derivata sa . Sa se arate ca este de forma: .

Sa se studieze natura si semnul radacinilor ecuatiei dupa valorile reale ale parametrului . Exista valori astfel incat produsul a doua radacini sa fie egale cu unitatea.

Fie radacinile polinomului  :

a)        Sa se exprime in functie de determinantul  ;

b)       Sa se determine o relatie intre numerele reale astfel incat cele trei radacini ale lui sa aiba partea reala comuna ;

c)       Sa se arate ca polinomul verifica relatia obtinuta, si sa se calculeze radacinile polinomului.

Se da un polinom avand coeficienti in progresie geometrica cu ratia  :

a)        Sa se arate ca are o singura radacina reala si ca radacinile acestei ecuatii au acelasi modul ;

b)       Notand radacinile sa se arate ca . Suma este reala. In ce caz ?

c)       Pentru , sa se determine astfel incat ecuatia sa admita radacina si apoi sa se rezolve aceasta ecuatie.

Fie

a)        Sa se determine astfel incat  ;

b)       In conditiile de la punctul a) sa se rezolve ecuatia si sa se arate ca patrulaterul ale carui varfuri sunt afixele radacinilor, este un trapez isoscel.

Fie un polinom de gradul al patrulea cu coeficienti reali, avand toate radacinile distincte si situate in planul complex pe o paralela la axa imaginara. Sa se arate ca radacinile derivatei se gasesc pe aceeasi axa imaginara.

Sa se determine parametrii reali stiind ca se divide exact cu derivata sa si ca admite o radacina egala cu 1. Sa se determine apoi celelalte radacini ale ecuatiei .

Sa se arate ca ecuatia: , are cel mult doua radacini egale.

Sa se arate ca ecuatia: , nu poate avea toate radacinile reale, unde .

Se da . Sa se determine si si sa se rezolve ecuatia stiind ca restul impartirii lui la este - 4 si ca radacinile ecuatiei satisfac relatia .

Sa se arate ca radacinile polinomului sunt simple.

Sa se determine astfel incat aceste numere sa fie radacinile ecuatiei .

Fie . Sa se determine astfel incat impartit la sa dea restul - 15, iar ecuatia sa aiba o radacina egala cu .

Sa se arate ca daca sunt numere reale astfel incat atunci radacinile ecuatiei sunt reale.

Sa se rezolve ecuatia , . Discutie.

Determinati astfel incat ecuatia: , sa aiba toate radacinile reale. Rezolvati ecuatia pentru .