Siruri

Siruri

Marginea superioara si marginea inferioara a unei submultimi a lui R

Majorant , minorant pentru o multime

Fie A o multime nevida a lui R

Def. Fie AR.Un numar aR se numeste majorant pentru multimea A , daca pentru orice xA , x a. Un numar bR se numeste minorant pentru multimea A , daca pentru orice xA , b x.

Def.Fie AR.Multimea A se spune ca este majorata daca are cel putin un majorant.Multimea A se numeste minorata daca are cel putin un minorant.

Def. Fie AR.Multimea A este marginita daca este atat minorata cat si majorata.

Propozitie. Fie AR.Multimea A este marginita , astfel incat .

Def.Numarul MR se numeste margine superioara (supremum) a multimi A daca si numai daca au loc relatiile :

1) M este un majorant pentru A (x M , )

2) M este cel mai mic majorant a lui A , in sensul ca pentru orice exista un astfel incat .

Notam marginea superioara cu sup A = M

Propozitie. Fie AR.Multimea A admite o margine superioara A este majorata.In plus marginea superioara este unica.

Def.Numarul mR se numeste margine inferioara (infimum) a multimi A daca si numai daca au loc relatiile :

1) m este un minorant pentru A (x m , )

2) m este cel mai mare minorant a lui A , in sensul ca pentru orice exista un astfel incat .

Notam marginea inferioara cu inf A = m

Propozitie. Fie AR.Multimea A admite o margine inferioaraA este minorata.In plus marginea inferioara este unica.

Observatii.Daca sup A = M A , atunci M se numeste cel mai mare element a lui A si se noteaza cu M = max A. Daca inf A = m A , atunci m se numeste cel mai mic element a lui A si se noteaza cu m = min A.

Definirea unui sir

Def.Se numeste sir de numere reale orice functie x : N - AR , unde A este o submultime finita a lui N.

Modalitati de definire a unui sir

- Printr-o regula de calcul

- Prin mai multe reguli de calcul

- Printr-o relatie de recurenta

Siruri marginite

Def.Se spune ca sirul (x_n) este marginit superior (majorat) daca exista bR astfel incat x_n b n.

Obs.1)Numarul b din definitie se numeste majorant pentru termenii sirului si orice b' b este de asemenea un majorant pentru termenii sirului.

2)Sirul (x_n) este marginit superior M_x este o multime majorata.

3)Sirul (x_n) nu este marginit superior daca bR , x_n (un termen , cel putin) astfel incat x_n > b.

Def. Se spune ca sirul (x_n) este marginit inferior (minorat) daca exista aR astfel incat a x_n n.

Obs.1)Numarul a din definitie se numeste minorant pentru termenii sirului si orice numar a' a este de asemenea un minorant pentru termenii sirului.

2)Sirul (x_n) este marginit inferior M_x este o multime minorata.

3)Sirul (x_n) nu este marginit inferior dacaaR , x_n (un termen , cel putin) astfel incat x_n < a.

Def.Se spune ca sirul (x_n) este marginit daca exista numerele reale a , bR astfel incat a x_n b n.

Obs.Deci un sir (x_n) este marginit(x_n) este amrginit atat inferior cat si superior.Prin urmare exista un interval inchis [a , b] , a ,bR in care sa se afle toti termenii sirului.

Propozitie.Sirul (x_n) este marginit, astfel incat .

Def.Un sir care nu este marginit se numeste nemarginit.

Siruri monotone

Def.Se spune ca sirul (x_n)_n0 este :

• strict crescator daca < , adica daca x₀ < x₁ < ...< x_n < x_n+1 < ....
• strict descrescator daca > , adica daca x₀ > x₁ > ...> x_n > x_n+1 > ....

Un sir care este strict crescator sau strict descrescator se numeste strict monoton.

Obs.Intr-un sir strict crescator orice termen este strict mai mare decat precedentul , iar intr-un sir descrescator orice termen este strict mai mic decat precedentul.

Def.Se spune ca sirul (x_n)_n0 este :

• crescator daca x_n < x_n+1 adica daca x_o x₁ ...... x_n x_n+1 .....
• descrescator daca x_n > x_n+1 adica daca x_o x₁ ....... x_n x_n+1 .....

Un sir care este crescator sau descrescator se numeste monoton.Intr-un sir crescator orice tremen este mai mare sau egal cu precedentul , iar intr-un sir descrescator orice termen este mai mic sau egal cu precedentul.

Obs.Un sir crescator este marginit inferior de primul termen x₀ iar un sir descrescator este marginit superior de primul termen x₀.

Pentru a stabili monotonia unui sir se face diferenta a doi termeni consecutivi oarecare a_n+1 - a_n , sau in cazul in care termenii sunt pozitivi se face catul a doi termeni consecutivi .Avem rezultatele:

Daca

• a_n+1 - a_n < 0 n , atunci sirul este strict descrescator
• a_n+1 - a_n > 0 n , atunci sirul este strict crescator
• a_n+1 - a_n 0 n , atunci sirul este descrescator
• a_n+1 - a_n 0 n , atunci sirul este crescator

Daca (a_n > 0)

< 1 n , atunci sirul este strict descrescator

> 1 n , atunci sirul este strict crescator

1 n , atunci sirul este descrescator

1 n , atunci sirul este crescator

< 1 n , atunci sirul este strict descrescator

Vecinatati pe axa reala

Notiunea de vecinatate

Fie a R si VR

Def.Multimea V se numeste vecinatate a lui a daca exista , astfel incat a.

Deci pe R orice multime care contine un interval deschis in care se afla punctul a este o vecinatate pentru a.Evident pentru a exista o infinitate de vecinatati.

Se noteaza prin V_a multimea tuturor vecinatatilor punctului a.

Proprietati:

- a V (orice vecinatate isi contine punctul)

- daca V , iar atunci U

- daca V₁ ,V₂ V_a , atunci V₁V₂ V_a (intersectia a doua vecinatati ale lui a este o vecinatate a lui a)

De asemenea daca x₁ , x₂R , x₁x₂ , atunci exista V₁ , V_{2 ,} astfel incat V₁V₂ ⁼ (proprietatea de separare pentru R).

Sistem fundamental de vecinatati

Def.Multimea W_aV_a se numeste sistem fundamental de vecinatati pentru a astfel incat .

Siruri convergente

Definitia limitei unui sir

Def.Se spune ca un numar real x este limita unui sir (x_n) (sau ca sirul (x_n) converge la x) daca orice vecinatate a lui x contine toti termenii sirului , exceptand , eventual un numar finit de termeni , sau echivalent : in afara oricarei vecinatati a lui x se afla (cel mult) un numar finit de termeni ai sirului.

Sirurile care au limita se numesc siruri convergente.Un sir care nu este convergent se numeste divergent (se mai spune ca un astfel de sir diverge)

Teorema de convergenta cu

Th.Sirul x_n este convergent la x daca si numai daca oricare ar fi numarul pozitiv se poate gasi un rang (care depinde de ) , astfel incat pentru orice n , sa avem |x_n - x| < .

Notiunea de subsir al unui sir

Lema.Fie k : N N o functie strict crescatoare.Atunci k_n n , .

Def.Se numeste subsir al sirului x: N R orice compunere xk , a lui x cu un sir strict crescator

k : N N.

Th.Orice subsir al unui sir convergent este de asemenea convergent si are aceeasi limita.

Corolar.Daca sirul (x_n) contine doua subsiruri convergente () , () cu , atunci (x_n ) este divergent.

Th. lui Bolzano - Weierstrass.Din orice sir marginit (x_n) se poate extrage un sir convergent ().

Proprietatile limitei unui sir

P1) Un sir convergent are o singura limita

P2) Prin schimbarea ordinii termenilor unui sir convergent , se obtine tot un sir convergent catre aceeasi limita.

P3) Prin adaugarea sau inlaturarea unui numar finit de termeni , un sir convergent ramane convergent catre aceeasi limita.

P4) Sirul x_n x daca si numai daca exista M > 0 astfel incat si nsa avem

|x_n - x| < M.

P5)Orice sir convergent este marginit.

Corolar.Daca (x_n) este nemarginit , atunci el este divergent.

Siruri convergente la zero

Proprietati

P1)Daca sirul (x_n) de numere strict pozitive este strict crescator si nemarginit , atunci 0.

In general , daca a > 1 , atunci .Punand si deci .

P2)Daca , si * atunci

1) (suma a doua siruri convergente la zero este un sir convergent la zero)

2) (produsul dintre o constanta si un sir convergent la zero este un sir convergent la zero)

3) (produsul a doua siruri convergente la zero este un sir convergent al zero)

P3)Produsul dintre un sir marginit si un sir convergent lazero este un sir convergent la zero.

P4)

Criteriul majorarii

Th.(Criteriul majorarii).Daca , si , atunci .

Corolar 1 .Daca si , atunci .

Corolar 2. Daca si , atunci .

Operatii cu siruri convergente

Def.Se numeste suma , produsul , catul a doua siruri urmatoarele siruri:

Def.Se numeste produsul dintre o constanta si un sir sirul:

iar prin sirul modulelor :

Th.1)Limita sumei este egala cu suma limitelor

2)O constanta iese in afara limitei

3)Limita produsului este egala cu produsul limitelor

4)Limita catului este egala cu catul limitelor

5)Limita modulului este egala cu modulul limitei

6)Limita exponentului se distribuie si bazei si exponentului.

7)Limita radicalului este egala cu radicalul limitei

8)limita logaritmului este egala cu logaritmul limitei

Trecerea la limita in inegalitati

Th.Daca sunt doua siruri convergente si daca (sau dat) , atunci .

Criteriul "clestelui"

Th.Fie trei siruri ce satisfac conditiile:

1) (sau dat)

2)

Atunci sirul este convergent la aceeasi limita a.

Teorema de convergenta a sirurilor monotoane si marginite

Th.(Weierstrass).Orice sir marginit si monoton este convergent.

Definitia numarului irational e