IV

Analiza starii de deformatie

Dupa cum s-a aratat, gradul de solicitare al unui corp se evidentiaza prin notiunea de tensiune. Tensiunea nu se poate masura direct. Tensiunile se pot determina cunoscând marimea deformatiilor corpului.

Deoarece experimental masurarea deformatiilor se poate face numai pe suprafata exterioara a solidului, studiul starii plane de deformatie intereseaza în mod deosebit. În ansamblul ei starea de deformatie reda modificarile geometrice ale corpului solicitat si indirect energia inmagazinata în acesta.

Se numeste stare de deformatie într-u 19219v2119t n punct ansamblul marimilor ce permit caracterizarea distributiei deformatiilor în jurul punctului.

IV.1 Deplasari si rotiri. Deformatii

Materialul

Otel carbon

Otel aliat

Fonta cenusie si alba

Bronz fosforos

Alama

Aliaje de aluminiu

Beton (marca 100-300)

Cauciuc

Pentru caracterizarea deformatiilor unghiulare se considera în interiorul corpului un unghi drept, fig. (IV.5), cu laturile având lungimi elementare care, în urma solicitarii, capata valoarea .

Fig. IV.5 Deformatii unghiulare

La limita diferenta dintre unghiuri are valoarea:

, (IV.7)

unde (gama) reprezinta lunecarea specifica (s-a ales ca unitate de masura de referinta unghiul drept); se masoara în radiani si este considerata pozitiva când unghiul drept se micsoreaza. Prin lunecarea specifica g, care are valori foarte mici exprimate în radiani, se reflecta si deplasarea capetelor laturilor unghiului studiat în baza ipotezei deformatiilor mici, fig. (IV.6).

În consecinta, într-o solicitare, unghiurile unui solid definit în sistemul ortogonal Mxyz se vor modifica cu valorile , , . Primul indice reprezinta directia uneia din tensiunile t considerate, directie identica cu latura studiata din planul în care se manifesta tensiunea, iar al doilea indice, defineste directia tangentei la traiectoria rotirii muchiei. Pentru cazul studiat, fig. (IV.5), se poate scrie:

În fig. (IV.6) este prezentata deformatia unghiulara a cubului elementar într-un singur plan yz.

Fig. IV.6 Deformatia unghiulara a cubului elementar

IV.3 Tensorul deformatiilor. Deformatii principale;
directii principale

Ansamblul deformatiilor liniare si unghiulare definite de trei plane ortogonale cu originea în M sunt suficiente pentru a determina starea de deformatie.

La fel ca si starea de tensiune, aceasta este determinata de sase componente distincte , , , , , . Având în vedere relatiile (IV.10) si (IV.14) si tinând seama de matricea deformatiilor din relatia (IV.7), rezulta tensorul deformatiilor specifice ce caracterizeaza complet starea de deformatie din jurul unui punct:

(IV.15)

(IV.16)

. (IV.17)

(IV.18)

(IV.19)

(IV.20)

unde este determinantul matricii asociate tensorului deformatiilor; scris pentru directiile principale 1, 2, 3 are forma:

(IV.21)

Pe directiile principale relatia (IV.16) se scrie:

(IV.22)

(IV.23)

La corpurile omogene si izotrope, directiile tensiunilor principale si ale deformatiilor principale coincid. Lunecarile maxime se dezvolta pe planele bisectoare ale planelor principale de deformatie si au valorile: g e e g e e g e e

Dimensiunile liniare ale paralelipipedului elementar dx, dy, dz variaza în urma deformarii capatând valorile , , . Variatia volumului elementar este:

(IV.24)

Neglijând termenii infinit mici de ordin superior rezulta:

(IV.25)

Variatia specifica a volumului are valoarea:

(IV.26)

Se observa ca nu variaza cu modificarea sistemului de axe, fiind un invariant (J₁) al starii de deformatie.

Notând cu intensitatea medie a deformatiilor specifice principale, adica

, (IV.27)

tensorul deformatiilor specifice scris pe directiile principale se poate descompune în doi tensori de forma:

, (IV.28)

unde:

, (IV.29)

este numit tensor sferic al deformatiilor specifice, iar:

(IV.30)

este numit tensor deviator al deformatiilor specifice.

Notând , si , si facând substitutie în relatia (IV.26), variatia specifica a volumului este:

, (IV.31)

fapt ce conduce la concluzia ca tensorul deviator corespunde deformatiilor specifice ce reflecta numai modificarea formei corpului.

a fata de axa x. Dreptunghiul defineste o fata a paralelipipedului de grosime constanta studiat. Deplasarile si deformatiile punctului M si a vecinatatilor acestuia sunt reprezentate în fig. (IV.10).

Fig. IV.10 Proiectia deplasarilor în planul xy

Se observa ca marimea initiala a diagonalei are valoarea:

(IV.32)

Dupa deformare, diagonala capata valoarea:

(IV.33)

Dupa dezvoltarea parantezelor si neglijarea termenilor infinit mici de ordin superior si împartirea cu , rezulta lungirea specifica a diagonalei:

(IV.34)

Având în vedere relatiile dintre deplasari si deformatii, dupa înlocuire expresia (IV.34) capata forma:

. (IV.35)

Relatia (IV.35) stabileste marimea deformatiei sub un unghi a fata de axa x (). Pentru argumentul 2a relatia capata forma:

(IV.36)

Relatia (IV.36) se poate obtine direct din expresia tensiunii facând substitutia tensiunilor cu deformatiile corespondente. Continuând analogia cu teoria tensiunilor, se poate afirma ca în plan exista doua directii principale în care lungirile au valori extreme si , iar lunecarile din planele ortogonale sunt nule.

(IV.37)

Prin acelasi rationament directiile lungirilor specifice principale se determina cu relatia:

(IV.38)

. (IV.39)

(IV.40)

(IV.41)

(IV.42)