Algebra schemelor bloc

Algebra schemelor bloc

Operatii in schemele bloc. Cum si cand?

1.Dupa ce sunt definite blocurile componente,

-Dupa ce sunt identificate variabilele ce descriu comportarea acestuia

-Dupa ce sunt obtinute tr. Laplace ale tuturor variabilelor si f.d.t.

2.Se definesc operatii si reguli de simplificare a schemelor bloc:

-Sumarea variabilelor (in domeniile "t" sau "s");

-Multiplicarea variabilelor

-Obtinerea functiilor de transfer a blocurilor cu diverse comportari:

Obtinerea functiilor de transfer a blocurilor cu diverse comportari:

P₀( amplificator ideal); P₁(amplificator real); I₀(integrator ideal);

I₁(integrator real); Element cu T_m(timp mort=timp de intarzier pura);

PT_m(element proportional cu timp mort); PT₁(proportonal cu intarziere

de ordinul 1, sau, sistem de ordinul 1, sau, sistem aperiodic);

PT₂(proportional cu intarziere de ordinul 2, sau sistem oscilant);

Conectarea in serie (in cascada) a blocurilor;

Conectarea in paralel a blocurilor (subsistemelor);

Conectarea in bucla (sisteme cu reactie)

F.d.t. a sistemului inchis

Sisteme deschise, sisteme inchise .

Mutarea din fata in spatele unui bloc a unui punct de conexiune.

Mutarea din spatele in fata unui bloc 717c21h a unui punct de conexiune.

Mutarea din spatele in fata unui bloc 717c21h a unui element sumator.

Mutarea din fata in spatele unui bloc a unui element sumator.

Rearanjarea SB ale sistemelor pentru a obtine structuri speciale ori

pentru a efectua simplificari, ori f.d.t. echivalente etc., se numeste

algebra schemelor bloc.

Deseori, manipularile furnizeaza intelegerea mai clara, mai adanca, a sistemului fizic si a comportarii acestuia.

Pentru sisteme SISO, reducerea schemei bloc inseamna simplificarea

acestuia la un singur bloc, f.d.t. fiind una echivalenta pentru intregul

sistem. Regulile de simplificare, usor de dedus, sunt:

-Doua sau mai multe blocuri in serie (sau cascada), au f.d.t.(transmitanta) echivalenta egala cu produsul f.d.t. individuale ale blocurilor (Fig. 6-a)

-Doua sau mai multe blocuri in paralel, au functia de transfer

(transmitanta) echivalenta egala cu suma algebrica a f.d.t. individuale ale

blocurilor (Fig. 6-b)

Fig.6: Echivalarea blocurilor conectate in serie (a) si in paralel (b)

La conexiunea (sau conectarea, configuratia) in bucla a doua blocuri

(Fig. 7 de mai jos), sunt posibile doua semne la sumator (semnul reactiei).

G(s) se numeste f.d.t. (transmitanta) de pe calea directa, iar H(s)-f.d.t. (transmitanta) de pe calea de reactie.

Legatura dintre semnalele I/E din Fig.7 se determina astfel:

Y(s) = G(s)E(s)

E(s) = R(s) ± H(s)Y(s)

Eliminand pe E(s) si obtinand pe Y(s) functie de R(s), avem:

Y(s) = G(s)[R(s) ± H(s)Y(s)] = G(s)R(s) ± G(s)H(s)Y(s),

de unde rezulta:

T(s) = Y(s)/R(s) = G(s)/[1 + G(s)H(s)]

Semnele minus ori plus pe reactie (adica reactie negativa ori pozitiva) dau

semnele plus respectiv minus la numitorul f.d.t. a sistemului inchis

Reguli ce trebuie respectate la reducerea schemelor bloc sunt date mai jos:

-Inserarea unei amplificari egale cu valoarea 1 (Fig. 8-a)

-Schimbarea semnului unui semnal la un sumator(Fig. 8-b)

-Mutarea unui punct de conexiune din spatele in fata unui bloc 717c21h - G₁

-Mutarea unui punct de conexiune din fata in spatele unui bloc - G₂

-Combinarea a doua sau mai multe sumatoare (Fig.4-e)

-Combinarea a doua sau mai multe puncte de conexiune (jonctiune,

-Mutarea unui punct de conexiune din fata in spatele unui sumator

-Mutarea unui punct de conexiune din spatele in fata unui sumator

8.Regula lui Mason

Regula lui Mason o regasim in grafurile de trecere/fluenta ale semanlelor in cazul conversiei inverse GS.

Regula lui Mason (RM) permite o cale usoara de determinare a f.d.t. a

unui sistem, direct din graful de semnal al sistemului considerat.

Aplicarea RM necesita definirea catorva termeni pe graful de semnal:

-Cale (C sau P): este succesiunea ramurilor de la intrare la iesire, in

directia sagetilor, dar care nu trece nici printr-un nod mai mult decat o data

-Amplificarea caii: este produsul transmitantelor laturilor care formeaza

calea. In cazul nostru avem:

C_{1 sau P1} = 1*6*1 = 6

C₂ = 1*1*[1/(s+1)]*(-4)*1 = (-4)/(s+1)

C₃ = 1*1*[1/(s+1)]*[s/(s+2)]*(3)*1 = (3s)/[(s+1)(s+2)]

-Bucla (B sau L in LE): este oricare succesiune de laturi/ ramuri in directia

sagetilor, care nu trece, prin oricare nod, mai mult decat o data.

-Amplificarea buclei: este produsul transmitantelor ramurilor ce formeaza

bucla. In exemplul nostru:

B1 = (-3)/(s+1); B2 = (-5s)/(s+2)

-Bucle "in atingere" (touching): se zice ca doua bucle se ating (sunt "in

atingere" = touching) daca acestea au un nod sau mai multe in comun si nu se

ating (nontouching), in caz contrar. Similar, daca o bucla si o cale au vreun

nod in comun, ele sunt in atingere (se ating = touching).

-Determinantul unui graf de semnal este:

= 1-(∑/ suma amplificarilor tuturor buclelor) + (∑/suma tuturor

combinatiilor de produse de cate doua amplificari ale buclelor care nu se

ating) - (∑/suma tuturor combinatiilor de produse de cate trei amplificari

ale buclelor care nu se ating) +...

In exemplul nostru, avem: ∆ = 1 - (B₁+ B₂) + B₁B₂

-Cofactorul unei ramuri i, notat cu ∆_i, este determinantul grafului de

fluenta/ de semnal ce se formeaza dupa stergerea tuturor buclelor care ating

(touching) ramura i. In exemplul nostru, avem trei cai (C_i), i = 1, 2, 3,

deci avem trei cofactori:

= 1 - (B₁ + B₂) + B₁B₂

= 1 - B₂

REGULA LUI MASON (Regula amplificarii, castigului lui Mason),

adica functia de transfer a unui sistem SISO cu un singur graf de semnal

este:

H(s) = (C₁∆₁ + C₂∆₂ + C₃∆₃ + ..)/∆, sau:

H(s) = (P1 1 + P2 2 + P3

Pentru exemplul nostru avem:

H(s) = (C₁∆₁ + C₂∆₂ + C₃∆₃+.)/∆ = =+/ = (36s^2+135s+40)/(6s^2+26s+8)

Elementele standard ale limbajului BG (9: I, C, R, SE, SF, TR, GY, J0, J1)

3.1. Elemente R (rezistive; rezistoare):

-Sunt elemente cu un singur port (uniport), in care variabilele e (efort) si

f (flux) la singurul port care exista au o functie statica. Elementele R disip[a energie. Exemple: rezistoare electrice; amortizoare mecanice;

tampoane poroase (amortizoare) in linii fluidice etc.

-Simbolul BG al elementelor R (Fig.14.6) à

a.Jumatatea sagetii catre litera R (semisageata), arata ca puterea (produsul e*f > 0 sau forta si viteza etc, F*v > 0) este pozitiva, adica puterea intra in R (este consumata de R).

b.Legatura dintre e, f si R este:

e = R * f

Puterea = e * f = R * f²

3.2. Elemente C (capacitive):

-Elemente care stocheaza energie fara pierderi. In terminologia BG, un element C conecteaza variabila e la deplasarea generalizata (sau integrala fluxului in timp) si se numeste element capacitiv (condensator) cu un port.

-Exemple de elemente C: Arcuri ,Bare de torsiune ,Condensatoare electrice

Acumulatoare ,Rezervoare cu umplere gravitationala etc.

-Simbolul BG al elementelor C (Fig. 14.7) à

-Legatura dintre fluxul f si variabilele deformare (Q) si efort (e):

-Din geometria Fig. 14.10 rezulta: V₂ = (b/a)*V₁

-Puterea transmisa implica F₂ = (a/b)*F₁, deci vom avea V₂*F₂ = V₁*F₁

Tot din Fig 14.110-b, adica din bondgraful aferent:

-Factorul "k_TF" din Fig. 14.10-b, reprezinta coeficientul/ modulul/ raportul transformatorului: poate fi o constanta ori o expresie (de ex. b/a)

-Sageata mica de la factorul "k_TF" arata sensul in care este utilizat acest coeficient/ modul/ raport/ factor:

f_j = k_TF*f_i    si e_j = (1/k_TF)*e_j

3.6.2. Gyratorul (GY), este un transformator ce conecteaza variabilele f la

f si e cu e.

-Invers, un GY, stabileste legatura dintre f si e si dintre e si f.

-Puterea este, iarasi, si aici, conservata;

-Proceseaza tot DOUA perechi (e, f);

-Din acest motiv se numeste, la fel, element diport;

3.7. Elemente standard tip J0 sau J1 (uneori denumita si jonctiune ),

sunt jonctiuni care pot conecta doua sau mai multe bonduri (n).

-Proceseaza n perechi (e, f) à sunt numite elemente n-port sau multiport

-In reprezentarea grafica BG, elementelor n-port li se asociaza n-bond-uri

-Conserva puterea si sunt reversibile

-Jonctiunile 0 si 1 reprezinta topologia sistemului modelat

J1 (Jonctiunea 1):Utilizand conventia de semn a puterii interne, relatia

constitutiva (pentru conservarea puterii la jonctiuni), in cazul a doua jonctiuni cu

cate patru bonduri (Fig 14.12-a) poate fi scrisa ca:

e₁*f₁ + e₂*f₂ + e₃*f₃ + e₄*f₄ = 0

Deoarece jonctiunea 1 este o jonctiune de flux (f) egal, avem f₁ = f₂ = f₃ = f₄

Egalitatile de mai sus conduc la relatia: e₁ + e₂ + e₃ + e₄ = 0

Pentru J1 din Fig. 14.12-b, avem: e₁*f₁ - e₂*f₂ + e₃*f₃ - e₄*f₄ = 0 si, deci,

avem f₁ = f₂ = f₃ = f₄;

Astfel, e₁- e₂ + e₃ - e₄ = 0, de unde avem regulile aferente jonctiunilor 1 (J1)

(a): fluxurile prin BG atasate la o J1 sunt egale, iar suma aeforturilor este

zero (0) si

(b): semnele din suma se determina de directiile semisagetilor BG

La o jonctiune 0 (uneori denumita si jonctiune P), eforturile sunt egale iar

suma fluxurilor este zero (0), daca orientarile puterii sunt luate cu directia

pozitiva catre jonctiune.

Jonctiunea J0 poate sa reprezinte: O serie mecanica; Un punct nod electric ;

Punct de distributie hidraulica (punct pascalian)

Deoarece jonctiunea 0 (J0) este una de efort egal (acelasi efort), avem:

e₁ = e₂ = e₃ = e₄, relatie care conduce la f₁ +f₂ + f₃ + f₄ = 0 (Fig. 14.13-a) si la

relatia f₁ - f₂ + f₃ - f₄ = 0 (Fig 14.13-b), respectiv regulile aferente jonctiunilor J0:

(a): eforturile (e) de pe BG atasate la o J0 sunt egale , iar suma algebrica a

fluxurilor (f) este zero; si (b): semnul fluxurilor (f) in suma algebrica este

determinat de catre directiile semisagetilor din BG