Sisteme dinamice cu timp discret

Sisteme dinamice cu timp discret

1 Sistem dinamic cu timp discret

Prin intermediul SD-D se caracterizeaza comportarea unui sistem la momente de timp bine precizate numite momente discrete. Evolutia in timp a unui SF poate fi urmǎritǎ prin intermediul mǎrimilor sale caracteristice; 717g68h un observator extern poate vedea evolutia acestor mǎrimi in mod continuu sau din cand in cand, la momente discrete de timp, t_k, in care k este contor: k=0,1,2,… sau k=…,-1,0,1,…. Aceste momente de timp pot fi echidistantate la intervalul de timp T_e, numit perioadǎ de esantionare, sau nu. De obicei se considerǎ perioada de esantionare constantǎ.

a) cazul STC b) cazul STD

Figura 3

Prin semnal analogic se intelege un semnal definit in timp continuu, avand variatii continue. Dispozitivele, aparatele si echipamentele care lucreaza cu semnale analogice se numesc analogice.

Prin semnal numeric se intelege o secventa de numere. In mod obisnuit, semnalele numerice sunt asociate semnalelor analogice, prin esantionare. Dispozitivele, aparatele si echipamentele care lucreaza cu semnale numerice se numesc numerice sau digitale.

Astfel, prin esantionare, in locul mǎrimilor de intrare, de iesire sau de stare continue, se lucreazǎ cu secvente de valori u^*(t), y^*(t) si x^*(t). Componentele u^*(t), y^*(t) sunt denumite esantioane ale semnalelor continue u(t) si y(t) si u(t_k)=u_k, y(t_k)=y_k sunt valorile marimilor la momentul de timp t_k=k^.T_e.

Prin analogie cu SD-C, se introduce conceptul de SD-D ca model matematic de forma:

    (1)

in care k reprezintǎ contorul momentelor de timp discrete.

Prima ecuatie este o ecuatie recurentǎ in care orice nouǎ valoare a stǎrii x(k+1), de la momentul t_k+1=(k+1) T_e, se calculeazǎ pe baza valorilor actuale ale stǎrilor si intrǎrilor. Ecuatia iesirii oferǎ apoi valorile actuale ale iesirilor.

Contorul momentelor de timp poate fi notat si cu alte litere, de exemplu chiar cu t insǎ nu trebuie confundat cu timpul curent din cazul sistemelor cu timp continuu.

Comparand relatiile din timp continuu si discret, se observǎ posibilitatea unei reprezentǎri unificate pentru modelul matematic, si anume:

(2)

In care x⁽¹⁾(t) va avea, dupǎ caz, semnificatia:

(3)

2 Alegerea perioadei de esantionare.

A esantiona inseamna ca semnalul continuu este inlocuit cu o secventa de numere care reprezinta valorile semnalului la anumite momente de timp. Aceste momente de timp pot fi echidistantate la intervalul de timp Te numit perioada de esantionare, sau nu. De obicei, Te este constant.

Frecventa corespunzatoare perioadei de esantionare este f_e=1/Te si se numeste frecventa de esantionare. Jumatate din frecventa de esantionare se noteaza cu f_N=1/2Te si se numeste frecventa Nyquist.

O problema importanta este alegerea perioadei de esantionare. O perioada prea lunga ar face semnalul imposibil de reconstruit si una prea scurta ar ingreuna mult calculele. Este util sa caracterizam perioada de esantionare printr-o variabila adimensionala Nr. Pentru sisteme oscilatoare, aceasta variabila este legata de perioada de oscilatie iar pentru sisteme neoscilatoare, este legata de constanta de timp a sistemului, pana sistemul se stabilizeaza la valoarea finala a parametrilor. Introducem Nr=Tc/Te, ca fiind numarul de perioade de esantionare Te cuprinse in constanta de timp Tc. Este rezonabil sa alegem variabila Nr intre 4 si 10.

Prin esantionare se pierde putin din semnalul continuu daca momentele de esantionare sunt suficient de apropiate dar se poate pierde foarte mult in caz contrar. Aceeasi secventa de valori discrete u* poate caracteriza semnale continue diferite prin alegerea gresita a perioadei de esantionare. Deci este esential sa stim precis cand semnalul continuu este unic reprezentat prin secventele discrete.

Teorema de esantionare a lui Shanon ne da conditiile pentru cazul unei esantionari periodice, si anume: un semnal continuu avand transformata Fourier egala cu zero in afara intervalului (-ω₀, ω₀) este unic reprezentat prin valorile lui in puncte echidistante daca pulsatia de esantionare ω_e este mai mare decat dublul pulsatiei naturale a sistemului ( cea mai mare pulsatie semnificativa a sistemului), ω₀.

Semnalul continuu poate fi refacut din secventele sale discrete pe baza formulei:

(4)

3 Schema bloc a unui SRA-D

Schema bloc a unui SRA-D in forma complexa este urmatoarea:

Trecerea de la semnalul cu variatie continua la cel esantionat se face cu ajutorul unui esantionator care il transforma in secvente de valori. Esantionatorul este un convertor analog numeric (CAN).

Schema bloc contine urmatoarele blocuri:

- EP- element de prescriere, prin care se elaboreaza w, compatibila prin natura fizica, nivel energetic si domeniu de valori cu marimea masurata y.

- EC- element de comparatie- compara valoarea dorita pentru marimea de iesire z, reflectata in w, cu valoarea efectiv realizata, reflectata in y, facand comparatia prin diferenta a*=w*-y*. Rezultatul comparatiei este eroarea de reglare (marimea de actionare- in practica reglarii).

- RG- regulatorul, are rolul de a elebora comanda u* in functie de valoarea lui a* dupa un algoritm de reglare numeric propriu

- ES+EC+RG=DA dispozitiv de automatizare.

Orice sistem poate fi vǎzut numai prin intrǎrile si iesirile sale, fǎrǎ a evidentia distinct mǎrimile de stare. In acest caz vorbim de o caracterizare intrare–iesire a sitemului prin intermediul modelului matematic intrare–iesire (MM-II).

In cazul unui sistem dinamic discret monovariabil, liniar si invariant, MM-II este o ecuatie recurentǎ cu coeficienti constanti de forma:

, cu m≤n.    (5)

Ultima conditie este cunoscutǎ sub denumirea de conditia de cauzalitate a sistemului, avand o interpretare deosebit de concludentǎ in timp discret. Presupunand cǎ n=0 si m=1, pentru k=0 (momentul t_o=0), se obtine y(0)=(b₁/a₀)^.u(1), adica iesirea actualǎ y(0) este dependentǎ de intrarea viitoare u(1), ceea ce este imposibil.

Desfǎsurat, ecuatia devine:

(6)

Prin aplicarea transformatei Laplace discrete, in conditii initiale zero, se obtine:

(7)

Se defineste functia de transfer in z a sistemului liniar discret ca fiind raportul:

(8)

raport de doua polinoame, cu m≤n, din conditia de cauzalitate.

Daca m=n, impartind numaratorul si numitorul cu zⁿ, rezulta f.d.t. in z^-1:

(9)

Daca toate ecuatiile MM-II ale unui sistem multivariabil sunt liniare si cu coeficienti constanti se poate utiliza transformata Z pentru a defini matricea de transfer a sistemului respectiv.

Elementele matricii de transfer, H(j,i) se numesc functii de transfer.

- intre fiecare iesire y_j (j=1,…,q) si intrare u_i (i=1,…,r) a sistemului se scrie cate o ecuatie diferentiala de forma (7). In total, sistemul va admite qxr astfel de ecuatii. In matricea de transfer, fiecare element al matricii reprezintǎ cate o functie de transfer intre iesirea j si intrarea i:

in care , pentru y_j (j=1,…,q) si u_i (i=(1,…,r)

Considerand ca sistemul are r intrari si q iesiri, U(z) este un vector de dimensiune (r,1), Y(z) un vector de dimensiune (q,1), iar H(z) o matrice de transfer cu dimensiunea (q,r).

In cazul particular al sistemelor SISO, matricea de transfer se reduce la un singur element, care este functia de transfer (f.d.t.) a sistemului, definitǎ anterior.

O forma speciala a f.d.t. este reprezentarea poli-zerouri, care pune in evidenta polii, zero-urile si amplificarea unei f.d.t. Relatia (10) este valabila atat pentru STC (l = s), cat si pentru STD (l = z)

    (10)

unde: -A(λ) se numeste polinom caracteristic si rǎdǎcinile ecuatiei caracteristice A(λ) =0 se noteazǎ cu p_j , j =1…n si sunt polii f.d.t.;

- z_i , i =1…m sunt zero-urile f.d.t.,rezultate din B(λ) =0

- k este coeficientul de amplificare al f.d.t.

Modele matematice intrare-stare-iesire (MM-ISI)

MM-ISI sunt sisteme de ecuatii care pun in evidenta nu numai caracteristicile intrare-iesire ale unui sistem, ci si comportamentul lui intern, prin asa-numitele variabile de stare. Variabilele de stare sunt in numar egal cu ordinul sistemului (n) si sunt alese astfel incat sa corespunda unor marimi fizice cumulatoare de energie, masa, informatie. Ecuatiile de stare sunt ecuatii cu diferente de ordinul I, care ne dau tendinta de evolutie a sistemului in functie de starea lui actuala si de intrari. Ecuatiile de iesire permit calculul iesirilor pe baza starilor actuale ale sistemului si intrǎrilor.

Se considera un STD dat prin MM-ISI de forma:

, cu    (11)

Se defineste matricea de transfer:

    (12)

Pentru cazul monovariabil, matricea de transfer devine o functie de transfer, de forma:

(13)

7 Calculul MM-ISI discret cand sistemul este cunoscut prin MM-ISI cu timp continuu.

→ (14)

Matricile MM-ISI cu timp discret se vor calcula cu relatiile urmatoare:

(15)

unde s-a introdus relatia:

(16)

Relatiile de calcul prezentate pot fi utilizate si in sens invers, adica din matricile MM discret se pot determina matricile MM cu timp continuu.

Observatie: Matricile C si D raman identice, la trecerea din timp continuu in timp discret si invers.

8 Calculul functiei de transfer discrete cand sistemul este cunoscut prin MM-II

In practica conducerii in timp discret a proceselor continue e frecvent utilizata situatia in care algoritmul de reglare numerica se obtine din algoritmul de reglare continual, prin discretizare. Pentru ca un algoritm de reglare numerica obtinut prin discretizarea unei legi de variatie continua sa aiba proprietatile acesteia din urma, e necesar ca perioada de esantionare sa fie suficient de mica.

Exista trei metode de baza de discretizare, toate bazate pe aproximarea integralei continue, unde suprafata delimitata de curba poate fi aproximata prin :

metoda dreptunghiului intarziata MDI

metoda dreptunghiului avansata MDA

metoda trapezelor MT

In fiecare din cele trei cazuri, H(z) se calculeaza din H(s), unde s este inlocuit cu una din relatiile:

(18)

Metoda trapezelor: s→ (19)

Utilizand aceste corespondente, determinarea MM-II discret presupune parcurgerea urmatoarelor etape:

- se determina functia de transfer in s aferenta procesului continuu,

- se alege o perioada de esantionare adecvata, conform teoremei esantionarii,

- se calculeaza H(z) din H(s), unde se substituie s cu una din relatiile prezentate,

- se aduce H(z) sub forma unui raport de doua polinoame:

H(z)=Q(z)/P(z)= Y(z)/U(z),

de unde se poate calcula Y(z) respectiv y(t) prin transformarea Z inversa.