Modelul deplasarii prin pasire
In acest capitol se prezinta un model general al deplasarii prin pasire pe un teren natural, incorporand:
Ø dinamica mecanismelor avand la baza lanturi cinematice inchise;
Ø modul de interactiune;
Ø comportamentul articulatiilor.
Acest model este unic pentru a reprezenta interactiunea neliniara picior-sol si actiunea fortelor exterioare asupra mecanismului.
Modelarea necesita definirea coordonatelor generalizate pentru deplasarea prin pasire si ecuatiile miscarii derivand din dinamica Lagrangeana.
Pe acest model este analizata o reprezentare corespunzatoare a interactiunii picior-sol, amortizarea miscarii si antrenarea.
1. Coordonatele generalizate
Diverse modele de mecanisme necesita selectia variabilelor pentru a descrie miscarea mecanismului. Alegerea variabilelor pentru un model de deplasare prin pasire este dificila, datorita existentei a mai multor lanturi cinematice inchise, cu frecvente instabilitati si ruperi intermitente a unor contacte (legaturi). Unele reprezentari ale lanturilor cinematice inchise, necesita specificarea ecuatiilor de 858c28i legatura, care conduc la sistem de ecuatii avand un set minimal de variabile.
Lanturile cinematice inchise ale unui mecanism pasitor, reprezentate prin coordonate generalizate conduc la un numar minim de ecuatii dinamice, care cresc eficienta calculului automat.
Un set de coordonate generalizate bine ales, trebuie sa fie un set de variabile independente ce reprezinta toate miscarile admise ale mecanismului. Exista multe seturi de coordonate generalizate utilizate pentru modelarea deplasarii prin pasire, fiecare avand avantajele si dezavantajele sale.
Setul de coordonate generalizate continut de sase corpuri este similar cu cel utilizat pentru a modela un robot cu o baza mobila, unde corpul masinii pasitoare corespunde bazei robotului.
Avantajul acestui set de coordonate generalizate este aplicabilitatea sa la toate configuratiile de masini pasitoare si consecventa sa in utilizarea matricelor de transformare omogena (exp. miscarea unui element este exprimata in functie de miscarea din articulatie).
Lanturile cinematice inchise nu necesita consideratii explicite pentru ca, contractul cu terenul nu se analizeaza cu ajutorul coordonatelor generalizate (un model utilizand ecuatiile de legatura va necesita redefinirea ecuatiilor dinamice in fiecare moment in care se stabileste / se intrerupe contactul piciorului cu terenul.
Acest mod este ideal pt. a modela rasturnarea, caderea libera sau coborarea / ridicarea piciorului, deoarece contactele diferite ale piciorului cu terenul se adapteaza fara reformularea modelului.
Utilizarea setului de coordonate prezentat mai sus, se va aplica modelarii interactiunii picior-sol, dar nu va putea prevedea orice miscare la contactul piciorului cu terenul natural.
Din acest motiv este esential ca sa se aloce un sistem compliant la interfata picior-sol.
Miscarile motoare sunt independente cinematic, deoarece este permisa a variatie a oricarui grad de mobilitate, in timp ce celelalte grade de mobilitate sunt fixe, demonstrand independenta acestor coordonate generalizate.
De exemplu, modificarea pozitiei verticale a corpului, are ca efect ori cresterea afundarii picioarelor, ori a ridicarii picioarelor.
Modele de interactiune picior-sol descrise in paragraful , fara a elimina toate miscarile in contactul piciorului cu terenul natural, au la baza setul ales de coordonate generalizate.
2. Formularea dinamica
Sistemul de ecuatii pentru modelarea pasirii pe teren natural a fost formulat prin diverse metode, fiecare metoda cu dezavantajele sale. Programele de simulare dinamica a mecanismelor cunoscute, necesita modificari semnificative pentru a incorpora in model inter-actiunea picior-sol si contactul intermitent a piciorului cu terenul.
Formularea dinamicii Newton-Euler necesita eliminarea fortelor de legatura dintre corpuri si utilizarea unui vector simbolic, ceea ce este imposibil pentru acest gen de probleme.
Dinamica lui Kane are dezavantajul unor operatii simbolice extensive, care necesita a fi formulate si modelul rezultat este specific numai pentru configuratia mecanica luata in considerare.
Din contra, dinamica Lagrangeana utilizata impreuna cu matricele de transformare omogena, este formal identica pentru aplicatii de configuratii complexe.
Astfel si alte configuratii de masini pasitoare pot fi modelate simplu, specificand parametrii geometrici, fara o reformularea a metodologiei ce-i sta la baza.
Aceasta versatilitate este importanta pentru a analiza pasirea intr-un mediu natural, care isi schimba configuratia, prin modificari de tipul alungirii ale picioarelor sau modificari ale articulatiilor.
Atat formularea Lagrangeana recursiva si nerecursiva prezinta avantajul adaptabilitatii si o aplicare sistematica. La formularea deplasarii prin pasire pe teren natural, ecuatiile rezultate pot contribui sau nu la solutii explicite.
Ecuatiile de miscare derivate utilizand dinamica Lagrangeana recursiva nu pot contribui la solutii explicite.
Ecuatiile de miscare derivate utilizand dinamica Lagrangeana nerecursiva sunt mai generale si solutiile pot fi calculate in mod implicit sau explicit prin proceduri numerice reducand efortul de calcul.
Un dezavantaj previzibil al utilizarii formalismul Lagrangean nerecursiv, relativ la metoda Lagrangeana recursiva, il constituie necesitatea evaluarii ecuatiilor de miscare, dar caracterul general al modelului reduce acest dezavantaj.
Pentru un sistemul de referinta definit coordonatele generaliza-te precizate in paragraful 1. reprezinta translatia corpurilor, in lungul axelor sistemului de referinta, prin (x, y, z), respectiv rotatia corpurilor, in jurul axelor sistemului de referinta, prin conventia roll-pitch-yaw (
Urmatoarele ecuatii ale miscarii deriva din modelarea deplasarii prin pasire pe teren natural, avand 3 articulatii pe un picior si un numar variabil de picioare, unde qj si Fj sunt pozitia si forta generalizata pentru coordonata j.
Ecuatiile corpului: n = numarul de picioare
Ecuatiile articulatiilor: si pentru
Aceste ecuatii sau partitionat in termeni ce descriu contributia corpului si contributia picioarelor la gradele de libertate (coeficienti fiind notati cu indicele b, respectiv indicele n), astfel incat schimbarea configuratiei (exp. numar de picioare, articulatiile picior-corp, tipul articulatiei) sunt usor de adaptat in cadrul acestui model.
Ca atare aceste ecuatii pot fi rezolvate in paralel, deoarece contributia fiecarui picior poate fi calculata independent. Forta generalizata, Fj, pt. fiecare ecuatie dinamica este compusa dintr-o forta aplicata (ce actioneaza asupra articulatiilor piciorului), forta de
franare sau de accelerare (ce actioneaza in articulatiile piciorului) si forta ce rezulta ca urmare a interactiunii picior-sol (pentru toate picioarele). Fortele ce actioneaza asupra piciorului se trateaza ca forte externe, ce se transforma prin sistemul de coordonate atasat corpului si articulatiilor in secvente incorporate in ecuatia de miscare.
Figura 1 Efectul fortelor din picioare asupra rotatiilor corpului
Interactiunea picior-sol
Modelarea interactiunii picior-sol, necesita relatiile forta-deplasare pentru diferite sarcini, in cazul deplasarii pe suprafete plane si apoase (noroioase, alunecoase).
Luarea in considerare a sarcinii verticale pe sol este necesara deoarece greutatea unei masini pasitoare este echilibrata de fortele verticale din picioare.
Toate masinile pasitoare sunt propulsate ca urmare a generarii unei forte de tractiune (exp. forta laterala).
Deci, fortele verticale din picior, genereaza rotatii de tip roll si pitch asupra corpului, pe cand fortele laterale din picior creeaza rotatiile pitch si yaw, acestea fiind prezentate in figura 1.
Geometria (designul) picioarelor masinilor pasitoare afecteaza extinderea miscarilor de rotatie, ca urmare a interactiunii picior-sol.
Plasarea piciorului pe suprafata de alunecare este inevitabila, dar nu este previzibila. De aceea unele aproximari in modelarea acestui fenomen sunt necesare. Interactiunea picior-sol poate fi augumentata cu o complianta suplimentara.
1. Sarcina verticala
Sarcina verticala maxima purtata de o masina pasitoare poate fi aproximata la 7.000 N. Admitand un diametru de 30 cm, al suprafetei de contract picior-sol, aceasta incarcare conduce la o afundare de 2-5 cm in cazul pasirii pe un sol tipic. Aceasta afundare este o zona de tranzitie de la un mediu elastic la unul plastic, ca atare modelul de interactiune picior-sol trebuie sa reprezinte cu fidelitate aceasta portiune de curba sarcina-deviatie.
Ecuatia 2.5. este utilizata pentru a modela interactiunea picior-sol analizata pe verticala. Aceasta ecuatie are doi parametrii pentru a defini zona de tranzitie (in comparatie cu un singur parametru in cazul altor ecuatii), cu care se poate obtine o mai mare acuratete in reprezentarea regiunii critice.
unde: Fi - intersectia curbei deformatiei plastice cu axa fortei;
k0, kf - parametrii aferenti solului noroios, respectiv apos;
z - afundarea in sol.
Figura 2 Reincarcarea verticala in cazul a doua tipuri de soluri
Restrictia ca raspunsul in domeniul plastic sa fie liniar este acceptata, deoarece afundarea preliminata este mai redusa, decat in cazul unui raspuns neliniar.
Cazurile extreme corespund pasirii pe o roca sau pe o baza foarte slaba, modelata prin ajustarea parametrului de alunecare.
Un sol slab pe o baza tare (exp. un sol avand doua straturi – figura 2) este reprezentat printr-o alunecare initiala superficiala si o crestere pe partea finala a curbei.
2. Incarcari ce deplaseaza lateral piciorul
unde: T - forta laterala aplicata;
j - deplasarea orizontala;
k - constanta;
Singura alternativa disponibila este analogia cu raspunsul unei vibratii amortizate, care este destinat unui sol fragil.
Dar aici s-a discutat numai despre soluri maleabile (care nu sunt fragile), un procent mare de soluri incadrandu-se in aceasta categorie.
Ecuatiile lui Coulomb definesc forta laterala maxima, pentru o sarcina verticala constanta si o miscare rectilinie.
Fortele verticale din picior variaza continuu in timpul functionarii masinii pasitoare si miscarea piciorului nu este constransa de-a lungul unei linii drepte.
Ca urmare aplicarea ecuatiilor lui Coulomb la modelarea inter-actiunii laterale a piciorului cu solul, trebuie considerata ca o schimbare a sarcinii verticale si fara constrangeri asupra miscarii.
Vectorul de deplasare a piciorului lateral, este proiectia vectorului total al deplasarii piciorului (care leaga punctul de contact initial cu suprafata solului, cu punctul curent al pozitiei curente a piciorului), prezentat in figura
Figura 3 Vectorul de deplasare laterala a piciorului
Pentru aceasta vectorul deplasare laterala este descompus in doua componente a caror orientare ramane constanta in timpul simularii. Amplitudinea acestor componente determina doua deplasari laterale atat a piciorului cat si a solului.
Ca urmare, deplasarea laterala totala a piciorului se descompune in doua, miscarea rectilinie si ecuatiile Coulomb aplicandu-se individual fiecarei deplasari laterale.
Decuplarea miscarii este o reprezentare mai apropiata pentru simularea miscarii mecanismelor, ce genereaza forte de tractiune avand o orientare relativ constanta (deplasarea in linie dreapta a corpului).
In acest caz, se defineste directia vectorilor ce se obtin din vectorul deplasarii totale in doua componente: primar respectiv secundar (paralel si normal pe forta de tractiune).
Forta laterala secundara este de amplitudine mai mica si cuplarea celor doua deplasari laterale pe sol este in consecinta.
Efectul modificarii sarcinii verticale asupra dependentei forta-deplasare este modelat, idealizand tranzitia dintre momentul descarcarii asupra deplasarii laterale corespunzator unei forte laterale zero si reincarcarea corespunzatoare deplasarii curente si forta verticala (figura 4.).
Figura 4 Dependenta forta laterala - deplasare la pseudo - incarcari
Descarcarea urmareste o linie dreapta, cu o alunecare egala cu alunecarea initiala, pe curba sarcina-deplasare se obtine pentru o forta laterala zero.
Reincarcarea urmareste, pe curba sarcina-deplasare, o linie dreapta cu o alunecare egala cu alunecarea initiala, in apropierea deplasarii laterale. In acest din urma caz, curba incarcare - deplasare este cea urmarita in deplasarea curenta.
Diferenta de alunecare in ciclul incarcare-descarcare este ne-semnificativa, deoarece schimburile in incarcarea verticala (sarcina verticala definind prima alunecare) este redusa intre diferiti pasi.
Aplicarea ecuatiilor lui Coulomb cu o tranzitie exponentiala pentru modelare interactiuni laterale picior-sol, au combinatii variate ale sarcinii verticale cum se prezinta in figura 5.
Figura 5 Exemple de dependente forta laterala - deplasare la pseudo - reincarcari
Schimbarea sarcinii verticale intre diferiti pasi a fost exagerata pentru a ilustra efectul.
Aceasta modelare aproximeaza efectul deplasarii laterale a piciorului la pasire. Cercetarile semnificative ale interactiunii picior-sol trebuie completata cu miscarea laterala a piciorului.
Incarcari ce rotesc piciorul
Rotatia piciorului pe sol este influentata de lungimea si unghiul de inclinatie al picioarelor masinii pasitoare.
Deplasarea bipeda are un unghi al articulatiilor, care favorizea-za propulsarea generata de momentul interactiunii picior-teren.
Deplasarea in interior (in casa)
Configuratia masinii pasitoare ce se deplaseaza in interior, pe un teren relativ necompliant, a condus la reducerea dimensiunilor piciorului, deoarece afundarea piciorului este neglijabila si deci constructia piciorului este simplificata.
In consecinta interactiunea picior-teren in interior (parchet, ciment, etc.), poate fi idealizata din punct de vedere al contactului care va produce sarcini ce rotesc piciorul.
Deplasarea pe teren natural (in aer liber)
Cazul masinilor pasitoare ce se deplaseaza pe teren natural necesita o talpa a piciorului mai mare pentru a prevenii afundarea excesiva intr-un teren compliant, cum ar fi pe suprafete ude, pe nisip, pe zapada, pe noroi sau acoperite cu praf meteoritic.
Tipic, o configuratie a piciorului necesita un unghi de rotatie larg astfel ca acest unghi sa asigure minimizarea deformatiei solului. Proiectul tip pantograf al OSU Adaptive Suspension Vehicle (ASV) necesita o rotatie de tip pitch pentru a mentine piciorul la nivelul corpului.
Masina pasitoare AMBLER permite un unghi de torsiune pentru a elimina rotirea piciorului in contact cu solul, dupa ce piciorul realizeaza propulsia.
Rotatia in jurul axei piciorului produce o inclinare a corpului, astfel ca orientarea corpului si a piciorului este echivalenta.
Prototipul AMBLER de masina pasitoare are o inclinatie de 30 grade fata de vectorul gravitatie terestra, care produce un moment al sarcinii la nivelul contactului picior-teren.
Aceasta rotatie a piciorului pe sol este neglijabila, deoarece piciorul modelului AMBLER este astfel conceput ca sa prezinte torsiuni usoare in jurul axei piciorului.
Astfel se pot gasi relatii forta-deplasare apropiate de miscarea bipeda.
4. Conditii impuse de un teren noroios, lunecos
Plasarea piciorului pe un teren noroios este un fenomen complex pentru care nu este disponibil un model cantitativ (empiric sau analitic). Metodele aproximative prezinta plasarea piciorului pe o suprafata noroioasa printr-o descompunere in doua componente: una normala si una tangentiala la suprafata respectiva (figura 6.). Aceste componente ale deplasarii sunt reprezentate in relatiile si curbele forte-deplasare verticala si laterala. Soluri instabile (nisip uscat) nu sunt adecvate pentru modelare.
Figura 6 Plasarea piciorului pe o suprafata noroioasa
5. Analiza structurala aproximativa a compliantei
Complianta solului este dependenta de atat de constructia mecanismului cat si de tipul terenului, toate structurile fiind deformabile intr-o anumita masura.
Modelele mecanismelor curente considera toate elementele si articulatiile ca fiind rigide, dar interactiunea picior-sol poate fi augumentata cu o complianta aditionala care sa aproximeze flexibilitatea structurii.
Incorporarea compliantei structurale este esentiala pentru simulare, deoarece setul de coordonate generalizate specificate in capitolul 1. vor degenera daca miscarea piciorului va fi mod absolut definita.
Tehnicile de analiza structurala standard se utilizeaza pentru a calcula coeficienti de influenta pentru o configuratie a piciorului tipica (exp. articulatia piciorului in cea mai comuna pozitie).
Odata determinata deviatia (verticala si laterala), se combina cu datele interactiunii picior-sol, cum se vede in figura 7.
Figura 7 Dependenta augumentata a interactiunii picior - sol
Ca efect, o complianta compusa este asimilata cu doua arcuri legate in serie (adica complianta structura-teren).
Forta de interactiune laterala picior-sol nu este afectata de complianta structurala adaugata, doar tranzitia spre asimptotic este afectata (parametrul k in ecuatia 2.7.).
4. Actionarea si amortizarea in articulatii
Amortizarea si actionarea articulatiilor depinde de configuratia mecanismului. Experimentele realizate cu masina pasitoare cu un singur picior au condus la modelari ale actionarii si amortizarii in articulatii. Piciorul a fost total extins (articulatia in unghi drept), pentru a maximiza momentul fortei in articulatia umerala (inclusiv frecarea), iar piciorul a fost ridicat de la sol pentru a testa amortizarea. Prescrierea unei viteze mici in articulatia umerala, a permis mentinerea pozitiei orizontale si verticale a elementelor. Un salt al vitezei conduce la cresterea fortelor din articulatii pana la amorsarea miscarii din articulatia umerala.
Rezultatele experimentale pun in evidenta un salt al momentu-lui inaintea miscarii din articulatie (exp. blocaj), dar valoarea momentului necesar inceperii miscarii este mai mic ca amplitudinea necesara pentru a sustine miscarea.
Aici apare efectul de amortizare coulombiana mai mare decat efectul de blocare pentru acest mecanism si articulatiile proiectate. Ca urmare se formuleaza urmatoarea ecuatie pentru modelarea efectului de amortizare pentru toate articulatiile piciorului.
unde: Fd - forta de amortizare din articulatie;
Fcf - valoarea frecarii coulombiene;
cd - coeficient de tranzitie;
- viteza articulatiei.
Aceasta ecuatie ia in considerare orice amortizare din articulatiile masinii pasitoare, datorata vitezei relative si frecarii vascoase.
Valorile multiple ale fortei pentru viteza in articulatii, ceea ce caracterizeaza blocajul, pune in evidenta faptul ca aceasta ecuatie aproximeaza acest fenomen cu o tranzitie exponentiala spre o valoare constanta.
Rata tranzitiei poate varia mai repede pentru pasi mai marunti.
Rampa functiei exponentiale provine de la o tranzitie inceata, deoarece mai multe solutii conduc la o aproximatie liniara.
Actionarea in articulatii a fost investigata aplicand o forta laterala, cand pozitiile din articulatii au fost fixate. Rezultatele au pus in evidenta dependenta in functie de timp a momentului fortei si a rotatiei din articulatii.
Un salt al momentului din oricare din articulatii semnalizeaza o tendinta de blocare. Valoarea de blocare (amplitudinea momentului cand incepe miscarea) este mult inferioara momentului necesar pentru a antrena piciorul in miscare. Se formuleaza urmatoare ecuatie pentru modelarea efectului antrenarii pentru toate articulatiile piciorului:
unde: Fb - forta din articulatie;
Fab - forta de antrenare asimptotica;
cb - coeficient de tranzitie;
- viteza articulatiei;
|
