NOTIUNI DE TEORIA ERORILOR

INTRODUCERE IN STATISTICA

Concepte de baza

Indiferent de domeniul cunoasterii la care se refera, exista anumite trasaturi ale datelor numerice care īn procesul prelucrarii implica o metoda stiintifica. Aceasta metoda este cunoscuta sub numele de 313c27d metoda statistica sau simplu statistica.

Statistica a aparut din nevoia de a cunoaste o serie de activitati, fenomene si procese social-economice. Cea mai veche aparitie a cuvāntului statistica a fost semnalata īn lucrarea "The elements of Universal Erudition" scrisa de J. F. Bielfed [ ].

O discutie exhaustiva asupra evolutiei statisticii excede sfera de preocupare a acestei carti, motiv pentru care vom prezenta conceptele de baza din statistica folosite pentru prelucrarea datelor.

Colectivitatea statistica (sau populatie statistica) reprezinta totalitatea manifestarilor sau totalitatea elementelor de aceeasi esenta calitativa, ale unui fenomen sau proces economic bine individualizat.

Colectivitatea statistica este alcatuita din unitati statistice (elemente). Fiecare element al colectivitatii este purtatorul unui anumit nivel al fiecarei trasaturi (caracteristici) supuse observarii statistice.

Caracteristica statistica (variabila statistica sau variabila aleatoare) reprezinta acea proprietate care este comuna tuturor unitatilor unei colectivitati statistice.

Datele statistice reprezinta caracterizarea numerica obtinuta de statistica īn legatura cu unitatile, grupele sau colectivitatea studiata. Ele sunt marimi concrete rezultate din studiile efectuate pe baza de numarare, masurare sau calcul statistic.

Datele statistice sunt purtatoare de informatii, informatia reprezentānd continutul specific al datei sau mesajul datelor statistice.

Indicatorii statistici reprezinta expresia numerica a unor fenomene, procese, activitati sau categorii economice si sociale, definite īn timp, spatiu si structura organizatorica.

Metodele statistice sunt metode speciale pentru studierea datelor statistice, iar teoria statisticii reprezinta expunerea sistematica a metodelor statistice.

Cercetarea statistica reprezinta totalitatea operatiilor de culegere si observare, filtrare, acumularea si sistematizare, prelucrare, analiza, interpretare si stocare a informatiilor statistice (datelor statistice) necesare pentru cunoasterea si conducerea proceselor īn domeniul de interes.

Cercetarea statistica presupune parcurgerea a trei etape [Undy, Y.G., Kendall, M.G.], si anume:

(i)     Observarea statistica care cuprinde culegerea si acumularea datelor individuale;

(ii)   Prelucrarea statistica care cuprinde sistematizarea datelor individuale; calculul indicatorilor statistici si prezentarea datelor sub forma de tabele, serii sau grafice statistice;

(iii)  Analiza si interpretarea statistica care cuprinde confruntarea si compararea datelor, verificarea ipotezelor, formularea concluziilor asupra cercetarii si fundamentarea calculelor de prognoza.

Observarea statistica consta īn culegerea de date (informatii) dupa o anumita metodologie pentru toate unitatile colectivitatii cercetate. Īn procesul observarii statistice trebuie sa se tina seama de o serie de principii fundamentale, autonomia metodologica, confidentialitatea, transparenta, specializarea, proportionalitatea si deontologia statistica (culegerea de date trebuie sa se realizeze īn conditii obiective, fara preferinte din partea cercetatorilor).

Metodele si procedeele de observare statistica sunt functie de natura fenomenelor studiate, de modul de organizare a activitatilor, de posibilitatile de īnregistrare a fenomenelor si de mijloacele tehnice de prelucrare disponibile.

Metodele de observarea statistica pot fi clasificate dupa diferite criterii:

a) Dupa tipul observatiei deosebim:

- observari indirecte (documentare), care au loc atunci cānd se preiau date īnregistrate pe baza de documente sau publicatii existente care au consemnat anterior fenomenul studiat. Īn acest caz trebuie sa se verifice consistenta logica si comparabilitatea acestor informatii, verificarea metodologiilor de elaborare a indicatorilor;

- observari directe, care presupun contactul direct cu obiectul observarii si īnregistrarea element cu element a tuturor caracteristicilor cuprinse īn programul observarii.

b) Dupa modul de organizare a activitatii deosebim:

- observari permanente (curente), care constau īn īnregistrarea sistematica, permanenta, pe masura ce se produc caracteristicile fenomenelor analizate la nivelul unitatilor colectivitatii prin intermediul sistemului informational statistic;

- observari periodice (special organizate), care presupun īnregistrarea datelor la intervale de timp bine stabilite;

c) Dupa numarul unitatilor īnregistrate, observarile pot fi:

- observari totale, prin care se īnregistreaza date de la toate unitatile colectivitatii statistice, cum sunt recensamintele si raporturile statistice;

- observari partiale (sondajul), presupun īntegistrari dupa criterii bine stabilite a unui numar redus de date numai de la o parte din unitatile colectivitatii.

Observarea statistica presupune realizarea unui plan de observare statistica. Īn general, planul de observare statistica cuprinde:

- Scopul observarii. Scopul observarii este subordonat scopului general pentru care s-a organizat cercetarea statistica; Scopul observarii trebuie sa fie bine precozat deoarece de īntelegerea lui depinde delimitarea obiectivului observarii, erorile de observare etc;

- Obiectul observarii. Obiectivul observarii trebuie sa fie delimitat ca volum, īn timp, spatiu cāt si din punct de vedere organizatoric;

- Unitatea de observare. Unitatea de observare (īnregistrare) ca element component ale colectivitatii trebuie sa fie clar definita pentru a obtine date complete, exacte si comparabile īn timp si spatiu. Īn functie de scopul cercetarii, unitatile de observare pot fi simple sau complexe;

- Programul observarii consta īn stabilirea tuturor caracteristicilor care trebuie īntregistrate, a modalitatilor concrete de culegere a datelor, īncadrarea īn timp si spatiu a activitatilor de obtinere a informatiilor; Caracteristicile sunt īnregistrate sub forma de raspunsuri la īntrebari fixate īn chestionar īntr-o anumita ordine logica;

- Formulare si instructiuni de īnregistrare. Formularele si instructiunile de īnregistrare se prezinta sub forma de fise (care se completeaza pentru o singura unitate observata) sau liste (care se competeaza pentru mai multe observatii);

- Locul observarii si unitatea care raporteaza;

- Masuri organizatorice. Masurile organizatorice au drept scop asigurarea conditiilor favorabile pentru desfasurarea observarii statistice.

Principalele metode de culegere a datelor sunt:

Recensamāntul. Prin recensamānt se culeg datele de la toate unitatile colectivitatii;

Rapoartele statistice. Prin intermediul lor se culeg date statistice referitoare la diferite fenomene si procese;

Sondaje statistice. Reprezinta observari partiale;

Anchete statistice. Se realizeaza pe baza chestionarului completat direct sau prin posta. Spre deosebire de sondaj, ancheta statistica nu presupune reprezentativitatea esantionului;

Monografia. Este o metoda de observare aprofundata a fenomenelor si proceselor ce au loc īn activitatea unui agent economic sau grup de agenti economici si presupune nu numai culegerea datelor cāt si prelucrarea acestora.

Prelucrarea statistica presupune operatii de sistematizare a datelor primare pe īntreaga colectivitate si pe partile ei componente; calculul indicatorilor absoluti si derivati, precum si prezentarea rezultatelor obtinute.

Sistematizarea datelor statistice se face dupa un algoritm care cuprinde metodologii si procedee de prelucrare specifice proceselor studiate, precum si unele masuri organizatorice.

Etapele sistematizari statistice presupune parcurgerea urmatoarelor etape: centralizarea; gruparea sau clasificarea datelor; calculul indicatorilor statistici absoluti si derivati; prezentarea rezultatelor prelucrarii sub forma de serii, tabele si grafice statistice.

Structurarea unei colectivitati īn grupe omegene dupa variatia uneia sau mai multor caracteristici de grupare se numeste grupare.

Gruparea statistica este cea mai semnificativa modalitate de sistematizare a datelor dupa o caracteristica numerica (cantitativa). Procesul de grupare sacrifica o parte din informatie, īn schimb da claritatea necesara si adaptabilitatea necesara diferitelor operatii de prelucrare.

Notiuni de teoria erorilor

Procedeele de observare statistica pot fi afectate de erori. Mai mult, prelucrarea statistica a datelor, adica ansamblul de operatii matematice care urmeaza a fi efectuate cu datele respective, contribuie cu o anumita cantitate de erori. Prin urmare, atāt erorile de observare statistica cāt si cele de calcul, vor afecta rezultatele obtinute din prelucrarea si interpretarea datelor. De aceea, ne propunem sa examinam īn acest capitol atāt sursele de erori cāt si modul īn care acestea influenteaza rezultatul final.

Erori experimentale

Īn timpul efectuarii masuratorilor se pot produce erori care au aceeasi marime, cānd procesul de masurare se efectueaza īn conditii identice, sau erori care au marimi variabile, variatia acestora fiind supusa unei anumite legi de variatie.

Dupa modul de aparitie, erorile de masurare se clasifica īn:

erori grosolane (greseli);

erori sistematice;

erori aleatoare (accidentale, īntāmplatoare).

Erori grosolane

Constau īn abateri foarte mari, cu probabilitate mica de aparitie si care produc denaturari puternice ale rezultatelor masuratorilor. Ele pot proveni din manipulari gresite īn timpul masuratorilor, din neatentia sau lipsa de instruire a operatorului, din aplicarea unor metode de calcul inexacte, din citiri eronate. Pentru a preveni puternica distorsionare a rezultatului general, aceste erori trebuie eliminate si refacute masuratorile. La o repetare a masurarilor, erorile grosolane (sau valorile aberante) au o probabilitatea foarte mica de a se reproduce, ceea ce permite depistarea lor.

Erori sistematice

Sunt acele erori care nu variaza la repetarea masurarii īn aceleasi conditii sau variaza īn mod determinabil odata cu modificarea conditiilor de masurare. Ele se datoreaza unor cauze bine determinate (reglarea sau etalonarea incorecta a aparatelor de masurare, utilizarea unui aparat la o temperatura diferita de cea la care a fost etalonat sau reglat), se produc īntotdeauna īn acelasi sens, au valoare constanta īn marime si semn sau variabila dupa o lege bine determinata si pot fi eliminate prin aplicarea unor corectii.

Erorile sistematice pot fi:

- erori sistematice obiective;

- erori sistematice subiective.

Erori sistematice obiective

Erorile sistematice obiective pot fi:

Erori de aparat (instrumentale), datorate unor caracteristici constructive ale aparatelor, incorectei etalonari, uzurii. Limitele lor de variatie sunt cunoscute din specificatiile tehnice date de furnizorul aparatului si sunt, prin urmare, cel mai usor de evaluat de catre operator;

Erori de metoda, aparute ca urmare a principiilor pe care se bazeaza metoda de masurare, a introducerii unor simplificari sau utilizarii unor relatii empirice. Ele apar mai ales la metodele indirecte de masurare;

Erori produse de factori externi (erori de influenta), deosebit de greu de evaluat prin calcule, deoarece nu īntotdeauna pot fi cunoscute cauzele si legile de variatie īn timp a conditiilor de mediu (temperatura, presiunea, umiditatea, cāmpuri magnetice, radiatii etc.). Ele se mai numesc si erori de instalare. Pentru eliminarea lor se impune asigurarea conditiilor de mediu (conditii normale) cerute de producator pentru acea instalatie de masurat.

Erori sistematice subiective

Erori sistematice subiective (de operator), provenind din modul subiectiv īn care operatorul apreciaza anumite efecte (coincidente de repere la citirea rezultatelor, intensitati luminoase, nuante) si care tin de gradul sau de oboseala, de starea sa psihica sau de anumite deficiente ale organelor de perceptie.

Erorile sistematice sunt foarte grave deoarece ele nu se elimina cānd se repeta masurarea si cānd se adopta ca valoare a marimii masurate media aritmetica a rezultatelor masuratorilor.

Erori aleatoare

Sunt erorile care au valori si semne diferite īntr-o succesiune de masuratori efectuate īn aceleasi conditii. Ele nu sunt controlabile si pot proveni ca urmare a variabilitatii naturale a proceselor si fenomenelor precum si a interactiunilor experimentului care se intersecteaza cu alte procese si fenomene ce se desfasoara simultan.

Orice proces de masurare este influentat de o multitudine de factori. Influenta individuala a fiecarui dintre acesti factori este neglijabila, din care cauza nu este posibila depistarea si īnlaturarea lor, efectul global fiind producerea unor erori aleatorii inevitabile ce nu pot fi īnlaturate din rezultatele individuale ale masuratorilor.

Efectuānd masurari pentru o marime, a carei valoare adevarata (reala) este , ea va fi afectata de erorile aleatorii , iar rezultatele masuratorilor

(1.1)

vor fi de asemenea aleatorii.

Dupa modul de exprimare, distingem urmtoarele tipuri de erori:

erori

erori relative.

Erorile absolute, pot fi la rāndul lor:

- erori reale;

- erori conventionale.

Erori reale

Erorile reale sunt definite ca diferenta dintre valoarea reala (adevarata) a unei marimi si valoarea masurata (aproximativa) a marimii

. (1.2)

Daca , marimea respectiva este aproximata prin lipsa iar daca , aproximatia este prin exces sau adaos.

Prin incertitudine de masurare () se īntelege intervalul īn care se estimeaza, cu o anumita probabilitate, ca se afla valoarea adevarata a marimii

Fig. 1.1. Erori de masurare

De cele mai multe ori nu se cunoaste semnul erorii , de aceea se foloseste notiunea de eroare absoluta care este definita prin relatia

. (1.3)

Daca valoarea adevarata este cunoscuta, se poate determina cu usurinta, dupa ce se obtine experimental valoarea . Daca nu este cunoscut, relatia (1.3) nu poate fi utilizata pentru determinarea lui . Īn astfel de cazuri este util a se introduce notiunea de eroare absoluta limita .

Se numeste eroare absoluta limita , a numarul aproximativ , cel mai mic numar pozitiv care contine una sau doua cifre semnificative, ales īn asa fel, īncāt sa putem fi siguri ca eroarea absoluta comisa, īn cazul respectiv, nu depaseste acest numar. Prin urmare

. (1.4)

Din relatia (1.4) rezulta

, (1.5)

ceea ce īnseamna ca aproximeaza numarul prin lipsa, iar īl aproximeaza prin adaos.

Erori conventionale

Īn realitate valoarea adevarata a unei marimi nu poate fi cunoscuta si, de aceea, este necesar sa se adopte o valoare de referinta, care are un caracter conventional. Se defineste astfel eroarea conventionala ca diferenta dintre valoarea masurata si valoarea de referinta admisa

. (1.6)

Erori relative (adimensionale)

Eroarea relativa se defineste ca raportul dintre eroarea absoluta si valoarea absoluta a marimii exacte, adica

(1.7)

Eroarea relativa se poate exprima īn procente

. (1.8)

Erori de calcul numeric

Prin interpretarea matematica a datelor se īntelege totalitatea operatiilor matematice pe care trebuie sa le efectuam pentru obtinerea unui anumit rezultat, īn vederea caruia au fost efectuate masurarile respective.

Īn timpul efectuarii acestor calcule, se pot comite anumite erori care se vor adauga la erorile experimentale, obligānd valoarea masurata sa se abata si mai mult fata de marimea adevarata.

Se disting urmatoarele categorii de erori de calcul:

- erori inerente;

- erori de metoda;

- erori de rotunjire.

Erori interne

Erorile inerente sunt erorile legate de cunoastere aproximativa a unor valori provenite din masuratori sau din faptul ca se folosesc numere irationale ( Rezultatul oricaror calcule depinde si de precizia datelor de intrare. Ca erori inerente pot fi considerate si erorile de conversie facute la trecerea īn baza 2 a unor numere care se introduc īn memoria calculatoarelor numerice.

Erori de metoda sau de trunchiere

Tratarea matematica a unor fenomene naturale este supusa unor ipoteze īn legatura cu conditiile īn care se desfasoara fenomenele respective. Aceste ipoteze pot fi mai mult sau mai putin īn conformitate cu realitatea, unele dintre ele fiind facute īn vederea simplificarii tratarii matematice a problemei respective. Neconcordanta dintre natura reala a fenomenului si ipotezele respective, va conduce la asa-numitele erori de punere a problemei sau erori de metoda. Īn timpul tratarii matematice a datelor experimentale se pot īntālni asa numitele procese infinite, specifice analizei matematice. Functiile care figureaza īn anumite formule matematice, se obtin prin trunchierea seriilor la un anumit rang.

Erori de rotunjire

Erorile de rotunjire sunt legate de posibilitatile limitate de reprezentare a numerelor īn calculatoarele numerice. Īn general, orice calculator poate reprezenta numerele cu un numar redus de cifre semnificative, depinzānd de lungimea cuvāntului (numarul de biti) utilizat la stocarea unui numar. Īn mod curent se lucreaza cu un echivalent de circa 7 cifre semnificative īn simpla precizie si de circa 15 cifre semnificative īn dubla precizie.

Īn memoria interna a calculatoarelor se foloseste reprezentarea īn virgula mobila, īn forma normalizata. Astfel, orice numar real se scrie

, , (1.9)

unde este un numar real denumit mantisa, este baza sistemului de numeratie utilizat, iar (īntreg) este exponentul. Īn forma normalizata mantisa este cuprinsa īn intervalul

. (1.10)

Sigura exceptie la aceasta regula de reprezentatie este numarul zero.

Un numar real cu mai multe cifre semnificative este rotunjit la numarul de cifre maxim. Acest lucru se realizeaza prin rotunjirea mantisei. Alte rotunjiri se efectueaza īn decursul operatiilor.

Ipoteze asupra datelor ce se prelucreaza

Datele ce se prelucreaza provin dintr-o observare statistica (experiment, operatie tehnologica etc.) ca urmare a unui proces de masurare, si trebuie sa respecte urmatoarele ipoteze generale:

a)      Datele experimentale sunt siruri statistice de valori ale unor variabile aleatorii care se exprima īntr-o singura dimensiune (o singura caracteristica) sau doua;

b)      sirurile de valori obtinute īn urma masurarilor nu sunt functie de timp, adica toate determinarile experimentale s-au facut īn aceleasi conditii, desi ele sunt decalate īn timp;

c)  Toate datele trebuie sa corespunda valorilor numerice ale unei aceleiasi caracteristici si sa fie omogene, adica sa apartina unei aceleiasi populatii, constituind evenimente independente, produse de experiente repetate, realizate ca urmare a unui complex repetat de conditii pe cāt posibil identice;

d)  Mijloacele de masurare (aparatele) au functionat corect, īn conditii de precizie egale (deci datele au egala pondere), determinarile nefiind afectate de erori sistematice sau grosolane;

e)      Datele supuse prelucrarii apartin unei legi de repartitie normala sau care poate fi considerata, īn mod justificat, ca aproape normala;

f)  Rezultatele masurarilor sunt autentice si reprezentative pentru fenomenul ce se cerceteaza;

g)  Numarul datelor care se prelucreaza este suficient de mare īncāt poate fi considerat un esantion de volum mare al unei selectii dintr-o populatie statistica originara, necunoscuta (se poate considera ca un esantion este de volum mare daca are mai mult de 30 elemente). Īn aceste conditii, valorile tipice ale populatiei de sondaj (adica ale esantionului) sunt aproximativ normale, suficient de apropiate de valorile corespunzatoare ale populatiei originare, pot servi drept indicatori de estimatie si permit evaluarea preciziei estimatiei realizate.

siruri de date

sirurile simple de date experimentale sunt siruri statistice de valori ale unor variabile aleatorii discrete sau continui, care se exprima īntr-o singura dimensiune (o singura caracteristica), ca de exemplu duritatea, continutul īn carbon al unei piese de otel, o dimensiune a unui fabricat etc.

sirurile simple de date pot fi:

a)       sir (sau siruri) de date experimentale, care reprezinta masurari individuale ale unei aceleiasi caracteristici, efectuate īn aceleasi conditii, pe n elemente asemenea ale populatiei statistice. Datele furnizeaza informatii referitoare la repartitia valorilor caracteristicii considerate;

sirul de date reprezinta valorile unei variabile aleatorii, fiind rezultatele masurarii unei marimi. Daca datele provin din masurari efectuate pe n unitati statistice prelevate cāte una sau mai multe la anumite intervale de timp īn decursul desfasurarii unui proces tehnologic, ele furnizeaza informatii asupra reglarii si stabilitatii dinamice a procesului tehnologic;

b)       sir (sau siruri) de date experimentate care reprezinta masurari repetate īn conditii pe cāt posibil identice, ale unei aceleiasi caracteristici numerice, efectuate pe aceeasi unitate statistica.

Datele reprezinta valorile unei variabile aleatorii, avānd caracterul unei erori de masurare, a unei marimi.

Media aritmetica a datelor dintr-un sir de tip a) tinde catre o valoare care este suma algebrica a valorii reale a marimii si a erorii sistematice a rezultatelor masurarii, iar īn cazul unui sir de tip b) tinde catre o valoare care este eroarea sistematica (sau parte din ea) a masurarii marimii.