CAPITOLUL 15

RAMBURSAREA ÎMPRUMUTURILOR

DEFINIŢIE: În sens general, se numeste împrumut, o operatiune financiara prin care un partener (individual sau un grup) plaseaza o suma de bani, pe o perioada de timp data si în anumite conditii, unui alt partener .

DEFINIŢIE: se numeste creditor.

DEFINIŢIE: se numeste debitor.

DEFINIŢIE: Operatiunea prin care restituie partenerului suma de care a beneficiat (suma împrumutata) se numeste rambursarea (sau amortizarea) împrumutului .

Prin urmare, împrumutul este o operatiune ce contine doua parti distincte si anume creditarea si rambursarea.

Fiecare componenta reprezinta o operatiune de plati esalonate.

În general cele doua operatiuni nu au loc simultan si deci valoarea lor finala nu este aceeasi. Ele au în comun valoarea actuala a rambursarii, adica valoarea împrumutat 23523e415x 9;.

Împrumutul se constituie prin anuitati constante formate din:

• rambursarea unei parti a datoriei;
• dobânda asupra partii din datoria ramasa la începutul perioadei în care se efectueaza plata.

Aceste sume rambursate anual si care au rolul de a amortiza treptat suma împrumutata, se numesc amortismente.

15.1. Amortizarea unui împrumut prin anuitati constante posticipate

Fie suma împrumutata la momentul initial.

Fie anuitatile succesive, astfel:

• prima anuitate () se plateste la un an de la acordarea împrumuturilor;
• a doua se plateste un an mai târziu, s.a.m.d.

Fie amortismentele succesive continute în prima, a doua,., a n-a anuitate.

Fie i dobânda unitara nominala a împrumutului.

Fie n numarul de ani în care se face rambursarea.

Deoarece si deci .

a)      Relatia dintre suma împrumutata si amortismente

b)      Relatia între anuitati si amortismente

.

OBSERVAŢIE: Formula (1) este adevarata oricum am alege anuitatile.

Cazuri particulare:

) Anuitatile sunt egale între ele:

Atunci din (1), obtinem: , adica :

si se arata usor prin inductie ca:

Prin urmare, în cazul anuitatilor egale când amortismentele succesive formeaza o progresie geometrica crescatoare cu ratia .

) Amortismentele sunt constante (egale între ele):

Atunci din (1), obtinem: , deci:

Prin urmare, în cazul amortismentelor egale, anuitatile succesive formeaza o progresie aritmetica de ratie , deci o progresie aritmetica descrescatoare.

OBSERVAŢIE: În cazul ) al anuitatilor egale între ele, amortismentele formeaza o progresie geometrica de ratie. Avem:

Notam:

Deci: (6)

Relatiile (5) si (6) pot fi scrise sub forma echivalente, notând .

Relatiile dintre anuitatile constante si suma împrumutata

Ţinând seama de echivalenta dintre suma împrumutata si anuitatile actualizate pe baza dobânzii unitare nominale i, rezulta:

sau:

(8)

Relatia de mai sus evidentiaza legatura dintre anuitatile posticipate constante si suma împrumutata.

Suma rambursata dupa plata a p anuitati

.

În cazul anuitatilor constante:

.

sau:

(9)

Relatia (9) evidentiaza legatura dintre suma rambursata în primii p ani si primul amortisment.

Ţinând cont de (7), obtinem:

(10)

Aceasta relatie evidentiaza legatura dintre suma rambursata în primii p ani si suma împrumutata.

Dupa plata anuitatii de rangul p, ramâne de platit suma :

sau

deoarece

Daca împartim la atât numaratorul cât si numitorul, obtinem:

(11)

Legea urmata de diferente succesive a dobânzilor: în cazul anuitatilor constante.

,

, .

deci:

, .

Prin urmare:

OBSERVAŢIE: Diferentele , , formeaza o progresie geometrica de ratie si cu primul termen .

Tabel de amortizare:

Împrumuturi cu anuitati constante si dobânda platita la începutul anului

La semnarea contractului se plateste dobânda pentru primul an, , deci suma reala ridicata este , iar pentru fiecare din anii urmatori se plateste amortismentul si împreuna cu el dobânda asupra sumei ramase de plata la începutul anului.

Calculând diferenta dintre doua anuitati consecutive, obtinem:

Deci:

(1)

Daca presupunem ca anuitatile sunt egale , vom obtine:

sau, notând

(2)

Prin inductie dupa p rezulta ca în sistemul de împrumut cu dobânzile platite la începutul anului si anuitati constante, amortismentele formeaza o progresie geometrica de ratie .

(3)

Aplicatie

O persoana împrumuta o suma de bani pe care urmeaza sa o ramburseze în 6 ani prin anuitati constante posticipate. Suma primelor doua amortismente este 9226630 lei, iar suma dintre al doilea si al treilea amortisment este 9559690 lei.

Sa se calculeze:

a)      procentul p al împrumutului

b)      primul amortisment ()

c)      ultimul amortisment ()

d)      anuitatea (T)

e)      valoarea împrumutului ()

Solutie:

a)     

b)     

c)     

d)     

e)