Marimi si notiuni fundamentale ale mecanicii analitice

Mecanica analitica este rezultatul îmbinarii conceptelor din mecanica newtoniana (si/sau relativista) cu concepte ale matematicii (calcul diferential, calcul variational, ecuatii diferentiale, etc). Aceasta disciplina a fost întemeiata de Lagrange si Hamilton, contributii importante fiind aduse de catre Poisson, Euler, Jacobi, D'Alembert, Maupertuis, s.a. Mecanica analitica este forma cea mai concisa si mai cuprinzatoare a legilor mecanicii, în care se stabilesc metode foarte generale 727i87h de studiu al evolutiei sistemelor de corpuri, sisteme caracterizate de un numar foarte mare de coordonate.

Ecuatiile de miscare din mecanica analitica se exprima diferit fata de cele ale mecanicii newtoniene dar rezultatul aplicarii lor în studiul unui sistem fizic dat este identic cu cel obtinut când se utilizeaza ecuatiile mecanicii newtoniene.

Principiile mecanicii analitice se exprima într-un mod complex, continutul lor fizic fiind mai putin evident fata de al principiilor mecanicii newtoniene. Marele avantaj al acestor principii este ca pot cuprinde nu numai legile mecanicii newtoniene ci si alte legi din fizica.

a) Legaturi

Daca asupra miscarii unui punct material se impun anumite limitari (de exemplu obligatia unui punct de a se misca pe o anumita suprafata, etc), se spune ca punctul material este supus unor legaturi.

În astfel de cazuri, miscarea punctului material depinde nu numai de fortele care actioneaza asupra lui si de conditiile initiale ci si de aceste legaturi: coordonatele punctului material trebuie sa satisfaca ecuatii specifice legaturilor respective (de exemplu sa satisfaca ecuatia suprafetei pe care i se impune sa se miste).

În general legaturile se exprima prin ecuatii (, fiind numarul de legaturi ireductibile între ele). Vom nota în continuare componentele vitezei prin derivata temporala a coordonatei respective , iar acceleratiile: ; astfel ecuatiile care exprima legaturile se scriu:

Daca functiile din (II.1) nu contin explicit timpul, legaturile se numesc stationare sau scleronome. Daca în functiile timpul apare explicit, legaturile se numesc nestationare sau reonome. Daca legaturile nu impun nici o limitare asupra vitezelor sau acceleratiilor (deci functiile nu contin ), legaturile se numesc olonome. Daca functiile depind de coordonate si de viteze (nu si de acceleratii) legaturile se numesc neolonome de speta întâi, iar daca functiile contin si acceleratii, legaturile sunt neolonome de speta a doua.

În mecanica newtoniana legaturile erau înlocuite prin forte (de reactiune, de tensiune, etc), astfel ca un punct material supus fortelor exterioare si unor legaturi poate fi tratat ca un punct "nelegat", asupra caruia actioneaza rezultanta fortelor si .

b) Coordonate generalizate

Presupunem un sistem de puncte materiale între care nu se exercita interactii si nu sunt supuse unor limitari. Configuratia sistemului - adica pozitia fiecarui punct în spatiu - este data de cele coordonate carteziene - independente.

Daca sistemul este supus unor legaturi, cele coordonate nu vor mai fi independente ci vor verifica atâtea relatii de tip (II.1) câte legaturi ireductibile () exista.

Numarul coordonatelor necesare pentru stabilirea pozitiei în spatiu a punctelor sistemului va fi:

si se numeste numarul gradelor de libertate.

În acest caz este comod sa se recurga la sisteme de coordonate care sa contina un numar de "axe" egal cu numarul gradelor de libertate.

Coordonatele generalizate sunt parametrii fizici ireductibili (independenti) între ei, care determina univoc pozitiile punctelor materiale ale sistemului, adica configuratia acestuia.

Coordonatele generalizate nu au întotdeauna dimensiunile unei lungimi, putând fi si arii, unghiuri, unghiuri solide, etc.

Coordonatele din spatiul fizic vor fi functii finite, univoce si continui de coordonatele generalizate:

Se pot obtine si relatiile inverse:

care evident se bucura de aceleasi proprietati.

c) Spatiul de configuratie

Spatiul de configuratie este spatiul ale carui "axe" sunt coordonatele generalizate. El este un spatiu cu f dimensiuni, un punct din acest spatiu reprezentând configuratia sistemului la un moment dat. Într-adevar, fiind dat un punct de coordonate (), din ecuatiile (II.3) se pot gasi cele coordonate din spatiul fizic, deci pozitiile punctelor sistemului la acel moment.

La trecerea sistemului dintr-o stare initiala (caracterizata prin configuratia ) la o alta stare, caracterizata prin alta configuratie , punctul reprezentativ din spatiul de configuratie va descrie o traiectorie în acest spatiu (traiectorie generalizata). Atunci relatiile:

constituie ecuatiile parametrice ale traiectoriei generalizate în spatiul de configuratie.

d) Viteze generalizate

Vitezele generalizate sunt derivatele în raport cu timpul ale coordonatelor generalizate:

Vitezele din spatiul fizic se pot exprima în functie de coordonatele si de vitezele generalizate folosind relatiile (II.3):

e) Acceleratii generalizate

Acceleratiile generalizate se definesc prin relatiile:

Starea dinamica a unui sistem de puncte materiale cu grade de libertate este complet determinata daca se cunosc coordonatele generalizate si vitezele generalizate ale sistemului, adica parametrii.

f) Deplasari reale

Deplasarile reale sunt elemente ale evolutiei dinamice a sistemului, de la configuratia pe care sistemul o are la momentul , la configuratia pe care sistemul o are la momentul .

Deplasarile reale infinit mici (denumite si deplasari elementare) pe durata sunt:

Trebuie sa întelegem ca deplasarile reale sunt conforme cu legaturile la care este supus sistemul.

g) Deplasari virtuale

Fie doua configuratii ale sistemului si si fie un proces mecanic în care sistemul trece de la o configuratie la alta (fig.II.1):

Procesul real care se desfasoara între aceste stari în conformitate cu legile mecanicii va fi reprezentat în spatiul de configuratie (redus în figura la doua dimensiuni) prin traiectoria reala a punctului reprezentativ.

Orice alta traiectorie trasata între si este virtuala si reprezinta un proces fictiv. Mentionam ca si aceste traiectorii virtuale sunt compatibile cu legaturile si cu conditiile initiale.

Daca reprezentam ansamblul coordonatelor generalizate în functie de timp (fig.II.2), numim deplasari virtuale cantitatile care fac legatura între traiectoria reala si una din traiectoriile virtuale, la acelasi moment .