Principiile mecanicii analitice. Principiul lui Hamilton

Din punct de vedere analitic, principiile mecanicii analitice pot fi grupate în doua categorii:

a)      Principii diferentiale - se refera la comportarea sistemelor când acestea sufera deplasari elementare, reale sau vir 323c24d tuale, si sunt: principiul lui D'Alembert, principiul celei mai mici constrângeri si principiul lucrului mecanic virtual (al deplasarilor virtuale);

b)      Principii integrale - se refera la comportarea sistemului luând în consideratie variatiile sistemului în ansamblu.

Ele se exprima printr-o integrala si studiaza variatia acesteia când se trece de la traiectoria reala la una virtuala, infinit vecina.

Cele mai importante principii integrale sunt principiul lui Hamilton (principiul minimei actiuni) si principiul lui Maupertuis (tot principiul minimei actiuni dar pentru sisteme olonom - scleronome).

Ne vom referi în continuare la principiul lui Hamilton, numit si principiul minimei actiuni sau al actiunii extreme.

Principiul lui Hamilton da criteriul dupa care distingem, din multitudinea de traiectorii compatibile cu legaturile si cu conditiile initiale, traiectoria reala de cele virtuale.

Pentru caracterizarea unui sistem de puncte materiale cu grade de libertate se defineste functia de stare numita functia Lagrange:

(am exprimat sintetic prin toate coordonatele generalizate si prin toate vitezele generalizate).

Presupunând evolutia sistemului între momentele si , se poate defini o functionala, numita integrala de actiune:

Principiul lui Hamilton se enunta în felul urmator: "Valoarea integralei de actiune pe traiectoria reala este un extremum în raport cu valoarea calculata pe orice traiectorie virtuala, învecinata cu cea reala".

Ecuatia traiectoriei reale va fi:

iar a unei traiectorii virtuale:

Din fig.II.2 se observa ca:

iar

pentru ca toate traiectoriile reprezinta procese care se desfasoara între aceleasi stari.

Variatiilor (deplasarilor virtuale) si variatiilor le corespunde o variatie a actiunii .

Conform principiului Hamilton, actiunea pe traiectoria reala este un extremum, deci:

care este expresia matematica a principiului lui Hamilton.