FUNCTII LOGICE ELEMENTARE

O functie logica (FL) este de fapt o variabila binara ale carei valori depind de valorile variabilelor logice care intra in componenta ei .Variabila binara este o variabila discreta care poate lua doua valori : 0 si 1;aceste valori se mai numesc constante logice .Principalele functii logice de 2 variabile intalnite in mod frecvent sunt :SI, SAU, NU, NAND, NOR.

FUNCTIA LOGICA "SI" f(x1,x2) =x1*x2, tabelul de adevar al functiei 2 contacte inseriate

X

    f=x *x2

X

FUNCTIA LOGICA "SAU" f(x ,x ) =x +x

X

    F=x +x

X

FUNCTIA LOGICA "NU" f(x)=

"NAND"(SI-NU)

f(x1,x2)=x1*x2

numita FUNCTIA LOGICA "NUMAI"

 

X1

  x1*x2

X2

FUNCTIA LOGICA "NOR" f(x1,x2)=x1+x2

REGULI DE CALCUL IN ALGEBRA BOOLEANA

Pentru transformarea unuor expresii logice in altele echivalente cu cele initiale dar cu o structura mai simpla se folosesc o serie de relatii sau proprietati fundamentale:

Proprietatea constantei logice 0 si 1 :

x+0=x

x+1=1

x*0=0

x*1=1

Proprietatea de idempotenta

x+x=x

x*x=x

Asociativitatea

(x1*x2)*x3=x1*(x2*x3)

(x1+x2)+x3=x1+(x2+x3)

Comutativitatea

X1*x2=x2*x1

X1+x2=x2+x1

Distributivitatea

X1*(x2+x3)=x1*x2+x1*x3

X1+(x2*x3)=(x1+x2)*(x1+x3)

Proprietatea de absorbtie

x1+x1*x2 =x1*(1 +x2) =x1

x1*(x1+x2)=x1

Teoremele lui D'MORGAN

x1+x2 =x1*x2

x1*x2 =x1 +x2

Principiul contradictiei

x*x =o

Principiul tertiului exclus

x+x =1

Principiul dublei negatii

x =x

O multime M de elemente nevida in care au fost definite operatiile SI, SAU, NU formeaza o algebra BOOLEANA fata de operatiile definite daca indeplineste cele 10 proprietati prezentate .

COMPLETUL LOGIC FUNDAMENTAL SI- SAU- NU

Deoarece o functie logica contine in serie numai aceste trei tipuri de operatii.

Completul logic SI-NU

EX :

Y=x1+x2=x1+x2 =x1 *x2

 

  X1

  x1+x2

 

  X2 

COMPLETUL LOGIC SAU-NU

Ex :

Y=x1*x2 =x1 +x2

  X1

X1 

    x1*x2  X1 +x2 

X2  x2 

 

COMPLETUL UNIVERSAL NOR (SAU-NU)

Cu ajutorul lui se pot realiza toate cele trei functii logice adica NU, SI, SAU

--pentru a obtine'' NU ''

 

 

X

  Y=x

 

operatia "SI"

y=x1*x2= x1 *x2=x1 +x2  

X1  x1

    X2 

X2

 

 

Y=x1*x2

"SAU"

 

y=x1+x2=x1 + x2=x1 * x2 

X1

  X1 *X2

X2

 

 

   

Y=x1+x2

 

X1

  X1+X2

X2

Se poate arata ca si functia logica NAND este complet logic universal si sensul ca ea poate substitui functiile logice SI,SAU,NU

FUNCTIA LOGICA "NU"

  x  x

FUNCTIA LOGICA "NAND"

X

  X

"SI"

  x1

x2  X1*X2

 

y=x1*x2=x1*x2

OBSERVATIE:ACESTE NOTIUNI DE CIRCUITE LOGICE STAU LA BAZA CREARII CIRCUITELOR INTEGRATE

Metode de minimalizare a functiilor booleene

1. Metoda diagramelor Veitch

Minimalizarea unei functii booleene scrisa în FCD sau FCC cu ajutorul diagramei Veitch consta în determinarea termenilor elementari posibili pe diagrama Veitch si alegerea acelor termeni elementari care conduc la scheme cu cel mai mic numar posibil de intrari.

Pasii urmariti în minimalizarea functiilor booleene cu ajutorul diagramelor Veitch sunt:

Se reprezinta functia de simplificat cu ajutorul diagramei Veitch , punându-se nu 1 în fiecare patrat elementar ce corespunde mintermenului m_I din functia data în FCD si un 0 în fiecare patrat elementar ce corespunde maxtermenului M_I din functia data în FCC;

Se determina pe diagrama cele mai mari suprafete elementare posibile, formate din multipli de puteri ale lui 2, de patrate elementare, deoarece cu cât suprafata considerata este mai mare, rezulta un numar mai mic de variabile binare;

Se formeaza suprafete asfel încât în final sa fie acoperite toate patratele din diagrama în care erau înscrise 1 puntru cazul FCD si 0 pentru cazul FCC.

Penrtu exemplificare vom considera doua functii scrise în FCD(forma canonica disjunctiva):

 

  F₁(x₁,x₂,x ,x₄,)=m₀Um₁Um₂Um₁₁Um₁₄Um₁₅

F x₁,x₂,x ,x₄,)= m₁Um₅Um₆Um₇Um₈Um₉Um₁₀Um₁₂Um₁₃

Din simplificarea functiei F₁ rezulta:

  _ _ _

F x₁,x₂,x ,x₄,)= x₁x₂x U x₂x x₄Ux₁x₂ \

  _ _ }=>

F x₁,x₂,x ,x₄,)= x₁x₂x Ux₁x x₄U x₁x₂ /

 

termenii x₁x₂x si x₁x₂ sunt comuni celor doua forme minimale; ei sunt numiti termeni elementari esentiali;

F ′ si F au acelasi numar de intrari.

Pentru functia f2 reyulta din diagrama Veitch , în urma simplificarii , o singura forma minima :

f2'=(x1x2x3x4)=x1x3 U x1x2 U x1x2x4

Fie ,de asemenea, douĺ functii scrise în FCC (forma canonica conjuctiva) de forma :

f3 (x1,x2,x3,x4)=M₀ M₄ M₆ M₈ M₁₂ M₁₄

f4((x1,x2,x3,x4)=M M M M M M M M M

X1

X1