CONDUCTORI IN CAMP ELECTRIC. CONDENSATORI

Conductori in camp electric. Condensatori

Un conductor a fost caracterizat prin existenta sarcinilor mobile capabile sa se deplaseze in intreg volumul conductorului. In acest capitol vor fi stabilite proprietatile campului electric creat de catre un ansamblu de conductori omogenisi imobili.

3.1. Campul produs de catre un sistem de conductoare in echilibru

3.1.1. Campul si potentialul in volumul conductorului

Se spune ca un conductor este in echilibru electrostatic daca nu exista in interiorul sau o deplasare macroscopica de sarcini. Cum singura forta ce ar putea determina aceste deplasari in interiorul conductorului este forta electrostatica, rezulta ca valoarea intensitatii campului electric intern trebuie sa verifice relatia:

(3.1)

Aceasta relatie apare ca o ecuatie constitutiva (ecuatie de material) a unui mediu conductor in echilibru electrostatic.

Conductorului in echilibru electrostatic i se aplica teorema Gauss. In acest scop se alege o gaussiana interioara conductorului pentru care se poate scrie:

Cum , se deduce ca si raportul =0 si deci:

(3.2)

Deci pentru un conductor incarcat distributia de sarcina este superficiala.

Tot din relatia (3.1) se poate arata ca in tot volumul conductorului, potentialul este constant. Intr-adevar, considerand doua puncte A si B oarecare in interiorul conductorului putem scrie:

Cum functia potential este continua, potentialul V_in este cel de la suprafata conductorului.

3.1.2. Campul in vecinatata suprafetei conductorului

S-a stabilit anterior ca valorile campului electric de o parte si de alta a unei suprafete incarcate cu sarcina electrica de densitate verifica relatia:

unde este normala la suprafata orientata dinspre mediul 1 spre mediul 2 (Fig. 3.1).

Figura 3.1

Cum campul electric este nul in interiorul conductorului si cum suprafata este echipotentiala, rezulta ca vectorul este normal pe aceasta suprafata. Se obtine expresia teoremei Coulomb:

(3.3)

Valoarea campului produs de catre intreaga distributie de sarcina a conductorului nu depinde decat de densitatea superficiala de sarcina in vecinatatea punctului considerat.

3.1.3. Campul in interiorul unei cavitati din conductor

Se considera un conductor de suprafata externa S₁, care contine o cavitate de suprafata interna S₂ (Fig. 3.2).

Suprafata S₂ a conductorului si volumul pe care aceasta il delimiteaza sunt echipotentiale. Daca nu ar fi asa functia potential ar prezenta maxime sau minime in interiorul cavitatii, in absenta sarcinilor electrice, ceea ce exclus. In vecinatarea suprafetei S₂ se poate scrie:

(3.4)

deci suprafata interioara nu este incarcata electric.

Figura 3.2

Daca in interiorul cavitatii exista sarcina electrica, suprafata interna se incarca electric. Cum in interiorul conductorului campul electric este nul, prin aplicarea teoremei lui Gauss pentru o suprafata interioara conductorului si care sa contina cavitatea, se obtine:

sau

(3.5)

deci sarcina totala ce apare pe suprafata interioara este de semn opus celei continute in cavitate.

Daca un conductor ce contine o cavitate este mentinut la potential zero prin legare la pamant, potentialul in exterior este nul in absenta sarcinilor exterioare. Rezulta deci ca valoarea campului in exterior este nula oricare ar fi valoarea sarcinii continute in cavitate.

3.1.4. Presiunea electrostatica

Se considera un conductor incarcat, densitatea superficiala fiind , aflat in echilibru. Se va evalua forta exercitata asupra sarcinii de catre ansamblul sarcinii repartizate pe conductor.

In orice punct campul electric este suma campului creat de sarcina si cel creat de restul distributiei:

Intr-un punct din interiorul conductorului suma devine:

iar in exterior

Cum

se obtine:

Deci este continuu la traversarea suprafetei si are, pe suprafata, valoarea . De aici rezulta ca forta ce se exercita asupra sarcinii este datorata numai actiunii campului creat de celelalte sarcini ale distributiei:

(3.6)

Astfel, forta este orientata intotdeauna spre exteriorul conductorului. Cantitatea

(3.7)

are dimensiunea unei presiuni si este numita presiune electrostatica. Cum fortele electrostatice se exercita pe suprafata conductorului, suma lor are expresia:

Exemplu: repulsia a doua semisfere incarcate electric

Se considera o coaja sferica conductoare, de raza R si sarcina Q. Coaja sferica este taiata in doua, dupa un plan diametral. Datorita simetriei sferice forta rezultanta ce se exercita asupra unei semisfere mentinute in contact, nu are nenula decat componenta dupa o axa perpendiculara pe planul sectiunii. Acesa axa este notata Oz. Forta va avea expresia:

Cum

(3.8)

unde este versorul directiei Oz.

3.1.5. Repartitia sarcinii pe suprafata conductorilor

Pentru a studia repartitia sarcinii electrice pe suprafata unui conductor care are suprafata formata din regiuni cu raze de curbura diferite, se va considera conductorul din figura 3.3.a. Un astfel de conductor poate fi modelat prin doua sfere cu razele egale cu razele de curbura maxima, a si minima, b si un fir conductor ce le uneste (Fig. 3.3.b).

Figura 3.3.a Figura 3.3.b

Datorita firului conductor de legatura, in conditii de echilibru electrostatic potentialul celor doua sfere este acelasi . Pe de alta parte, daca q_a si q_b sunt sarcinile de echilibru de pe cele doua sfere, se poate scrie:

sau

(3.9)

Deci raportul densitatilor superficiale de sarcina de pe cele doua sfere este invers proportional cu razele lor. In concluzie, pe regiunile conductorului pentru care curbura este mai mare si densitatea superficiala de sarcina este mai mare.

3.2. Echilibrul unui sistem de conductori

3.2.1. Echilibrul unui conductor izolat

O distributie de echilibru a unui conductor singur in vid este o distributie superficiala ce realizeaza in interiorul conductorului. Aceasta distributie are urmatoarele proprietati:

Orice combinatie liniara de distributii de echilibru pentru un conductor este de asemenea o distributie de echilibru pentru acel conductor.

Orice distributie superficiala de echilibru a unui conductor izolat este de semn constant.

Pentru o distributie de echilibru a unui conductor izolat , Q si V au acelasi semn.

Densitatile superficiale ce caracterizeaza doua distributii de echilibru pentru un acelasi conductor izolat sunt proportionale.

Pentru un conductor izolat incarcat cu sarcina Q data exista o singura distributie de echilibru.

Din proprietatile anterioare rezulta ca fiecarei distributii ii corespund o singura sarcina totala Q si un singur potential de echilibru V. Unei noi distributii de echilibru pentru conductorul considerat, caracterizata de , ii vor corespunde sarcina Q'=aQ si potentialul V'=aV. Se constata ca raportul

(3.10)

nu depinde decat de geometria suprafetei. Acest raport poarta numele de capacitatea conductorului izolat. Marimea introdusa prin relatia (3.10) este pozitiva, conform celei de-a treia proprietati enuntate mai sus. Unitatea de masura pentru capacitate este faradul (F).

Conform celor discutate in capitolul precedent, energia electrostatica a unei distributii superficiale de sarcina are expresia:

Pentru un conductor V este acelasi in orice punct al suprafetei, deci relatia anterioara devine:

(3.11)

Folosind relatia (3.10), relatia (3.11) poate fi scrisa si sub formele:

(3.12)

3.2.2. Echilibrul sistemului de doi conductori izolati

Se spune ca o distributie de sarcina electrica pe un sistem format din doi conductori este o distributie de echilibru daca ansamblul al distributiilor superficiale pe cei doi conductori, realizeaza anularea campului electric in interiorul conductorului. Aceasta distributie de echilibru are urmatoarele proprietati:

O combinatie liniara de distributii de echilibru este tot o distributie de echilibru pentru sistemul considerat.

Pentru o distributie de echilibru a unui sistem de doi conductori pentru care sarcina Q₂ pe cel de-al doilea conductor este nula, densitatea este de semn constant.

Remarca:

Cum sarcina Q₂=0 rezulta ca schimba semnul pe suprafata S₂ a celui de-al doilea conductor (Fig. 3.4).

Figura 3.4

Se arata in continuare ca pentru o distributie de echilibru pentru care Q₂ =0, potentialele celor doi conductori sunt proportionale cu Q₁.

Intr-adevar, sarcinile si Q₂ =0 fiind fixate, vom nota distributia de echilibru corespunzatoare. Daca se considera acum o alta stare de echilibru a aceluiasi sistem cu sarcinile , distributia de echilibru va fi , deci cele doua distributii sunt proportionale. Rezulta deci si proportionalitatea potentialelor:

Din relatia precedenta rezulta:

(3.13)

In relatiile (3.13) coefifientii D₁₁ si D₂₁ nu depind decat de geometria sistemului. Se poate arata ca daca Q₁>0.

Similar se pot introduce coeficientii:

(3.14)

pentru care pentru Q₂>0.

3.2.3. Coeficienti de capacitate si de influenta

Orice distributie de echilibru poate fi realizata prin combinatii liniare a doua distributii de echilibru pentru care sarcina totala pe unul dintre conductori este nula.

Pentru a demonstra aceasta afirmatie, se considera doi conductori C₁ si C₂, cu sarcinile Q₁ si Q₂ si se noteaza distributia de echilibru ce corespunde la (Q₁, 0) si distributia ce corespunde la (0, Q₂). Potentialele conductorilor, pentru prima distributie se scriu:

iar pentru a doua distributie:

Distributia este distributia de echilibru ce corespunde la (Q₁,Q₂). Pentru acesta se poate scrie:

(3.15.a)

si

(3.15.b)

Liniaritatea ecuatiilor precedente permite scrierea matriceala:

(3.16)

in care sunt respectiv matricea potentialelor si a sarcinilor electrice.

Relatiile precedente care dau potentialele electrice pornind de la sarcini sunt utile pentru determinarea ceficientilor D_ij. Frecvent insa se folosesc coeficientii de capacitate, C_ij, introdusi prin relatiile inverse:

(3.17)

in care este matricea capacitate a sistemului. Coeficientii C_ij se deduc din D_ij prin relatiile:

(3.18)

unde . Cei doi coeficienti de pe diagonala principala a matricii capacitate sunt numiti coeficienti de capacitate iar ceilalti coeficienti de influenta. Se poate arata ca C₁₂=C₂₁<0.

Conform relatiilor:

(3.19)

C₁₁ este sarcina primului conductor atunci cand al doilea conductor este la potential nul si potentialul primului conductor este de 1V, iar C₂₁ este sarcina celui de-al doilea conductor. Se constata ca primul conductor, care este incarcat pozitiv atrage sarcinile negative la suprafata celui de-al doilea conductor, ceea ce conduce la C₂₁<0.

Scrierea matriceala din relatia (3.17) poate fi usor generalizata pentru un numar oarecare de conductori.

3.2.4. Energia sistemului de doi conductori

Energia electrostatica a sistemului de doi conductori este energia corespunzatoare distributiei de echilibru, deci:

si cum suprafetele sunt echipotentiale, se poate scrie:

(3.20)

Utilizand relatiile dintre sarcini si potentiale relatia anterioara poate fi scrisa sub formele:

(3.21)

3.3. Condensatori. Sarcina si capacitate

Un condensator este un ansamblu de doi conductori in influenta totala, adica construiti astfel incat, toate liniile de camp ce ies dintr-un conductor se termina pe celalalt conductor. O astfel de situatie poate fi realizata daca unul din conductori il inconjoara pe celalalt (Fig. 3.5). Suprafatele conductorilor sunt numite armaturi (interna si externa). Sarcinile si potentialele celor doua armaturi sunt legate prin relatiile (3.19).

Figura 3.5 Figura 3.6

Intre coeficientii C₁₁ si C₁₂ se poate stabili o legatura simpla, tinand seama de influenta totala si analizand situatia particulara in care conductorul C₂ este legat la pamant. In aceste conditii potentialul V₂ al conductorului C₂ este nul si suprafata exterioara a armaturii nu poarta sarcina electrica. Aplicand teorema Gauss pe suprafata S₂ situata in interiorul lui C₂ si tinand seama ca in orice punct al lui S₂ campul electric este nul, se obtine:

Sarcinile de pe cei doi conductori au semne opuse. In acest caz si . Din relatiile anterioare rezulta ca si relatiile (3.19) devin:

Conductorul C₂ are sarcina exterioara . Intr-un condensator sarcina externa a conductorului C₂ nu joaca nici un rol, aceasta subsistand si la conectarea (legarea impreuna) celor doua armaturi. In aceste conditii sarcina unui condensator este Q=Q₁, sarcina armaturii interne, suprafata interna a celeilalte armaturi purtand sarcina opusa -Q.

Intre sarcina Q si diferenta de potential dintre cele doua armaturi exista relatia:

Raportul Q/U este suficient pentru caracterizarea condensatorului din punct de vedere electric. Acest rapor poarta numele de capacitatea electrica a condensatorului si se noteaza C. Deci:

sau (3.22)

3.5. Capacitatea catorva condensatori de forma geometrica simpla

Calculul capacitatii condensatoarelor se bazeaza pe relatia (3.22) in care sarcina si diferenta de potential dintre cele doua armaturi sunt explicitate in functie de campul electrostatic:

si

3.5.1. Condensatorul plan

Armaturile sunt la o distanta d, suficient de mica in comparatie cu raza de curbura pentru ca, local, sa poata fi considerate plane paralele.

Campul electric dintre armaturi este uniform si are valoarea , si =Q/S. Cum vectorul camp electric este paralel cu normala rezulta:

Se obtine deci:

(3.23)

3.5.2. Condensatorul cilindric

Un condensator cilindric este constituit din doi cilindri conductori coaxiali, de raze a si b (Fig. 3.7) si care au pe suprafetele dispuse fata in fata sarcinile Q si -Q. Se presupune ca lungimea cilindrilor este mult mai mare decat raza, astfel ca efectele de margine sa poata fi neglijate.

Figura 3.7

Aplicand teorema Gauss cilindrului de lungime l si raza r, cuprinsa intre a si b se obtine:

unde este versorul directiei radiale. Diferenta de potential este:

Capacitetea este:

(3.24)

Daca a si b sunt apropiati ca valoare se poate scrie:

unde . In acest caz

si

unde S=2 p a l. Se regaseste deci expresia capacitatii condensatorului plan.

3.5.3. Condensatorul sferic

Condensatorul sferic este constituit din doua sfere concentrice de raze R₁ si R₂ (Fig. 3.8).

Figura 3.8

Daca se aplica teorema Gauss unei suprafete sferice concentrica cu cele doua si cu raza intre R₁ si R₂ se obtine:

unde este versorul directiei radiale. Diferenta de potential este:

Capacitetea este:

(3.25)

3.5.4. Gruparea condensatorilor

Grupand n condensatori in paralel si notand C_i si Q_i capacitatea si sarcina condensatorului i se poate scrie:

deoarece diferenta de potential este aceeasi pentru toti condensatorii. Gruparea este deci echivalentacu un condensator de capacitate:

(3.26)

Pentru calculul capacitatii echivalente gruparii a n condensatori in serie, se scrie ca tensiunea la bornele gruparii este egala cu suma tensiunilor la bornele condensatorilor:

La aplicarea unei tensiuni gruparii de condensatori, prima armatura a primului condensator se va incarca cu sarcina Q iar a doua armatura cu sarcina -Q. Cum a doua armatura a primului condensator si prima armatura a celui de-al doilea condensator formeaza un conductor neutru, rezulta ca si prima armatura a celui de-al doilea condensator se incarca tot cu sarcina Q. Din aproape in aproape se constata ca toti condensatorii se incarca cu aceasi sarcina.

Valoarea capacitatii echivalente gruparii de n condensatori in serie este:

(3.27)

3.6. Energia unui condensator

Un condensator este format din doi conductori. Energia sistemului format din doi conductori a fost data de relatia (3.20):

Energia electrostatica a unui condensator este definita ca fiind energia pe care condensatorul o poate furniza mediului exterior prin aducerea in contact a armaturilor sale. Aceasta energie poate fi calculata prin diferenta dintre energiile electrostatice ale condensatorului inainte de a pune in contact armaturile si dupa punerea in contact:

Cum sarcinile conductorilor sunt Q (armatura interna) si -Q + Q_{2 ext} se obtine:

Dupa punerea in contact a armaturilor sarcina Q_{2 ext} si potentialul V₂ sunt neschimbate (sarcina Q₁ + Q₂ = Q_{2 ext} se repartizeaza pe suprafata conductorului nou format), deci:

In final energia electrostatica a condensatorului de capacitate C este:

(3.28)

Pentru un condensator plan, expresia (3.28) poate fi scrisa facand sa apara intensitatea campului electric sub forma:

unde V=Sd este volumul definit de catre armaturisi U/d=E este campul electric uniform. Se poate introduce astfel densitatea de energie electrostatica e_e :

(3.29)

Pentru calculul fortei ce se exercita asupra armaturilor unui condensator plan se poate porni de la integrala:

(3.30)

unde este presiunea electrostatica, sarcina superficiala si este versorul normalei exterioare la suprafata conductorului si .