Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza
upload
Upload






























Modelarea matematica a sistemului mecanic si a starii mecanice a acestuia

tehnica mecanica


Modelarea matematica a sistemului mecanic si a starii mecanice a acestuia




1. Generalitati


Vom modela matematic pentru inceput conceptul de stare mecanica.

Odata fixat un reper, modelul matematic al starii mecanice a unui sistem mecanic, asa cum am definit-o anterior, va fi dat de totalitatea parametrilor necesari localizarii acestuia la un moment dat,, in raport cu reperul stabilit (coordonatele sistemului).

Acesti parametri pot fi, in principiu, oricat de multi; nu insa si oricat de putini. Se impune astfel     urmatoarea definitie:

Def.: numarul gradelor de libertate ale sistemului mecanic reprezinta numarul minim de parametri (de pozitie) necesari determinarii complete a starii mecanice (pozitiei) acestuia in conditiile in care se afla.


Discutie:

Un grad de libertate al unui sistem va corespunde deci unui parametru de stare mecanica (pozitie) al sistemului mecanic respectiv. Fiecare parametru, la randul sau, corespunde unei posibilitati de miscare distincta (unui efect mecanic elementar) a acestuia: variatia sa presupune o miscare elementara a sistemului si reciproc, orice miscare elementara presupune variatia unui parametru de stare mecanica. Ca urmare denumirea de grad de libertate nu este intamplatoare: sistemul are atatea grade de libertate cate posibilitati de miscare elemetara ii sunt permise. (Prin miscare elementara intelegem translatie in jurul axelor de coordonate carteziene sau rotatii in jurul acestora).

Evident, atunci cand sistemul mecanic este izolat (nu interactioneaza mecanic cu alte sisteme) gradele sale de libertate sunt “intacte” fiindu-i permisa oricare dintre miscarile posibile; prin urmare, sistemul mecanic izolat va avea maximum de grade de libertate. De indata ce scoatem sistemul din izolarea mecanica, interactiunea cu mediul exterior poate conduce la limitari, in sensul interzicerii anumitor miscari in anumite domenii spatiale si/sau pe anumite intervale de timp (de exemplu daca asezam o bila pe o suprafata, aceasta neputand strabate suprafata, rezulta ca ii va fi interzisa o posibilitate de miscare: cea in directia suprafetei respective). Ca urmare, in aceste regiuni din spatiu si/sau in intervalele respective de timp, numarul gradelor de libertate ale sistemului mecanic va scadea fata de valoarea maxima.

In cele ce urmeaza, modelarea matematica se va referi exclusiv la sisteme mecanice izolate.

In ceea ce priveste matematizarea notiunii de sistem mecanic, aceasta se face de la simplu la complex in mod logic. In acest sens este de remarcat faptul ca exista 5 modele matematice fundamentale:

punctul material;

sistemul de puncte materiale;

solidul (mediul continuu);

solidul rigid

solidul deformabil (mediu continuu deformabil);

campul.

Fiecare model raspunde la 5 clase de situatii reale concrete in care se pot face aproximatii simplificatoare justificate de datele experimentale.

In continuare, aceste modele matematice vor fi construite in ordinea prezentata mai sus, care este aceea a cresterii gradului de complexitate.


2. Punctul material (p.m.)


2.1. Punctul material ca model de sistem mecanic particular


Def.: punctul material (p. m.) - este modelul mecanic simplificat al unui sistem mecanic a carui miscare se studiaza in conditiile neglijarii deformarilor si rotatiilor proprii (in jurul unor puncte sau axe solidare cu acesta).


Discutii:

Evident, intrucat nu ne intereseaza decat deplasarea “globala” a acestui obiect, nu ne vor interesa nici dimensiunile sale, putandu-l considera oricat de mic sau oricat de mare; la limita, posibil doar in cadrul modelului matematic pe care il construim - unde are sens notiunea de limita (definita riguros; in natura aceasta notiune nu exista cu adevarat – nu exista puncte materiale!) - il vom considera un punct geometric P din spatiul E3 inzestrat cu cateva proprietati mecanice (modele matematice ale caracteristicilor mecanice observabile) care se vor evidentia pe parcurs, din consideratiile experimentale si teoretice de mecanica clasica (masa, viteza, acceleratie etc.).


2.2. Starea mecanica a punctului material


Conform modelului matematic al reperului mecanic (vezi modelul matematic al spatiului fizic) si a celui de punct material, starea mecanica a acestuia va fi descrisa de pozitia punctului P I E3 in care se va afla acesta la momentul t considerat: P = P(t). Ori, conform amplelor discutii anterioare, pentru descrierea completa a acestei pozitii este necesar si suficient sa stabilim coordonatele acestui punct in sistemul de coordonate considerat odata cu modelarea matematica a reperului stabilit la momentul respectiv:




In particular poate fi vorba de coordonatele carteziene sau vectorul de pozitie ale punctului matematic ce modeleaza punctul material la momentul considerat.

Prin urmare modelul matematic al starii mecanice a p.m. la un moment fixat este dat de ansamblul celor trei coordonate ale punctului matematic din E3 ce constituie modelul matematic al acestui sistem mecanic particular la momentul respectiv. Spunem ca punctul material izolat are trei grade de libertate.


3. Sistemul de puncte materiale (s.p.m.)


3.1. Sistemul de puncte materiale ca model de sistem mecanic particular


Def.: sistemul de puncte materiale (s.p.m.) - este modelul mecanic simplificat al unui sistem mecanic alcatuit din mai multe subsisteme mecanice distincte ce interactioneaza mecanic intre ele si a caror miscare individuala si de ansamblu se studiaza in conditiile neglijarii deformarilor si rotatiilor proprii ale acestora (in jurul unor puncte sau axe solidare cu acesta).


Cu aceleasi consideratii ca in cazul punctului material se ajunge la concluzia ca modelul matematic al acestui sistem mecanic particular este sistemul de puncte , unde n este numarul de subsisteme mecanice de tip puncte materiale ce intra in alcatuirea acestuia – fiecare modelat matematic de punctul respectiv.


3.2. Starea mecanica a sistemului de puncte materiale


De asemenea, cu consideratii similare, rezulta ca starea mecanica a acestui tip de sistem mecanic la un moment dat t se poate modela matematic prin ansamblul tuturor celor 3n coordonate ale celor n puncte de mai sus:


Deci sistemul de puncte materiale izolat are 3n grade de libertate.


Solidul (mediul continuu)


1. Solidul (mediul continuu) ca sistem mecanic particular – consideratii generale


Def.: solidul (mediul continuu) - corp material ce umple in mod continuu un anumit domeniu din spatiu, adica astfel incat in fiecare punct geometric al domeniului ocupat de corp sa se gaseasca cate un punct material al corpului.


Discutie:

Dupa cum s-a vazut in ultimele secole, substanta are o strucrura “granulara”. La limita avem electroni, protoni etc. ale caror dimensiuni sunt foarte mici in raport cu distantele dintre ele – spatiul “ocupat” in mod real de un sistem macroscopic este mai mult gol la nivel microscopic. “Ici-colo” cate o mica particula. Prin urmare, notiunea de continuitate definita mai sus trebuie mai bine precizata. Altfel, singurul model “mai general” de sistem mecanic ar ramane sistemul de puncte materiale.


Pentru aceasta consideram o portiune din mediul continuu; volumul acesteia il notam cu , iar numarul de particule (molecule) cuprinse in acesta cu . Pentru ca mediul sa posede proprietatea de continuitate trebuie sa existe limita


adica, oricat de mic ar fi volumul elementar, in el sa existe totusi un numar suficient de particule. Intrucat, asa cum am spus, in mod real o asemenea divizare nu se poate realiza la infinit, pentru ca formula anterioara sa aiba sens se introduc cateva notiuni specifice. Astfel:


- Def.: prin domeniu (volum) infinit mic din punct de vedere fizic, vom intelege acel domeniu (volum) elementar care este mic in comparatie cu domeniul spatial de la care incep sa se manifeste neomogenitatile microscopice, dar suficient de mare pentru a cuprinde un numar apreciabil de particule componente.


- Def.: numarul de particule continut intr-un volum infinit mic din punct de vedere fizic se numeste particula infinit mica din punct de vedere fizic sau simplu, particula (dar numai in acest context). Astfel, in mecanica mediilor continue, prin particula, vom intelege intotdeauna particula infinit mica din punct de vedere fizic.


- Def.: Prin densitate de particule a mediului continuu intr-un punct P vom intelege inversul volumului ocupat de aceasta particula:




In cel mai general caz, densitatea de particule este o functie de pozitie si timp:


unde prin intelegem vectorul de pozitie al particulei. Se poate deci vorbi despre un camp (scalar) al densitatii.

In functie de posibilitatile concrete de miscare ale mediului continuu in raport cu un reper oarecare, detaliate la modelele respective, distingem tipuri si subtipuri de astfel modele matematice de sisteme mecanice (clasificare):


solid rigid: distanta dintre oricare doua particule ale acestuia nu se modifica in timpul miscarii;

solid (mediu continuu) deformabil: cazul contrar; la randul lor pot fi:

fluide: curg; distingem:

fluide incompresibile: densitatea nu variaza cu timpul (lichidele, cu o buna aproximatie);

fluide compresibile: densitatea variaza in timp (ex.: gazele);

solide: nu curg; avem urmatoarele subtipuri:

solide elastice: revin la starea mecanica initiala dupa indepartarea actiunii mecanice;

solide neelastice (plastice) cazul contrar.


Observatii:

Diferenta dintre solidele elastice si cele plastice nu este neta: daca intensitatea actiunii deformatoare depaseste o anumita limita, specifica fiecarui material in parte, orice deformatie elastica este insotita de una plastica.

Un tip special de mediu continuu deformabil il constituie plasma. Acest sistem este alcatuit din atomi neutri si atomi excitati, ioni, electroni, fotoni etc.


Observatie:

Pentru fiecare dintre aceste modele exista cate „o mecanica” separata: mecanica solidului rigid, mecanica mediilor deformabile, mecanica mediilor elastice, mecanica fluidelor etc.

Domeniul care le-ar cuprinde pe toate fiind extrem de vast, in prezenta tratare va fi considerat numai cazul particular al solidului rigid si, eventual, o tratare generala a mediului deformabil.


2. Solidul rigid


2.1. Consideratii generale


Def.: solidul rigid - este modelul mecanic simplificat al unui sistem mecanic ce ocupa un domeniu compact in spatiul mecanic si a carui miscare se studiaza in conditiile neglijarii deformarilor.


Conform acestei definitii si consideratiilor privind modelarea spatiului fizic, rezulta ca acest sistem mecanic particular poate fi modelat matematic ca un domeniu compact din E3: D E3. Neglijarea deformatiilor acestuia se “traduce” in acest model matematic prin conditia ca oricare ar fi pozitia sistemului, domeniul D’ ocupat de acesta in E3 sa fie similar cu cel “initial”, in sensul dat de algebra diferentiala acestei notiuni (D’ sa poata fi suprapus geometric peste D sau, din punct de vedere analitic D’ sa se obtina din D prin rotatii si/sau translatii – punctele din aceste domenii sa se corespunda prin transformari de coordonate de acest tip).




2.2. Starea mecanica a solidului rigid


Daca am considera solidul rigid ca ansamblul de puncte materiale din domeniul ocupat de acesta (solid rigid = „sistem de puncte materiale continuu”), ar rezulta ca este imposibil sa construim un model matematic: pozitia acestui sistem ar fi descrisa de o infinitate de coordonate, anume cele ale tuturor punctelor P I D. Evitarea acestei “nedeterminari” este simpla si se poate face prin urmatorul rationament:

- fie A1, A2, A3 trei puncte oarecare necoliniare din D avand coordonatele:


Dintre cele noua coordonate numai sase sunt independente, deoarece ele sunt legate prin 3 relatii analitice care ne dau distantele dintre cele 3 puncte – aceste distante vor fi cunoscute, deoarece domeniul ocupat de sistemul mecanic considerat este cunoscut odata ce a fost dat rigidul (domeniul insusi, nu pozitia sa in spatiu – de exemplu, in cazul unui elipsoid se cunoaste ecuatia de principiu a acestuia in sistemul de coordonate respectiv, dar nu si ecuatia efectiva in reperul considerat, adica pozitia sa). Prin urmare, pozitia celor trei puncte ale rigidului este complet determinata cu ajutorul a sase coordonate independente.

Odata cunoscuta insa pozitia acestora, atunci va putea fi determinata pozitia oricarui punct din domeniul ocupat de rigid. Intr-adevar, domeniul fiind cunoscut se vor cunoaste distantele de la punctul considerat la cele trei puncte fixate si, pe baza acestora se pot calcula cele trei coordonate ale punctului. Prin urmare, cunoasterea celor 6 coordonate independente este necesara si suficienta pentru cunoasterea pozitiei rigidului considerat, sistemul acestora modeland astfel matematic starea mecanica a sistemului mecanic respectiv.

Asadar, solidul rigid izolat are sase grade de libertate.


Discutie:

Cei sase parametri necesari determinarii starii mecanice a solidului rigid pot fi stabiliti in multe moduri, nu neaparat in cel descris mai sus. Un mod utilizat adesea in practica este urmatorul (descrierea sa conduce la aceasi concluzie ca mai sus):

- Fie S = Oxyz sistemul de referinta fixat in E3 si O’ I D un punct in domeniul compact ocupat de solidul rigid considerat. Daca in O’ construim un nou reper cartezian S’ = O’x’y’z’, domeniul D fiind cunoscut inseamna ca pozitia oricarui punct al sau va fi cunoscuta in acest reper propriu S’. Deci, pentru determinarea pozitiei solidului rigid este suficient sa determinam pozitia lui S’ in S. Consideratii ample anterioare ne spun ca aceasta pozitie poate fi data prin pozitia lui O’ in S, (xo, yo, zo), si prin unghiurile de inclinare a axelor lui S’ fata de cele corespuntatoare din S, respectiv prin cei trei cosinuti directori independenti; in total 6 parametri independenti.

Uzual, din considerente de simplitate a consideratiilor analitice (calculelor), cele trei unghiuri independente ce definesc orientarea (pozitia unghiulara a) solidului rigid se aleg ca fiind unghiurile Euler, definite prin constructia anterioara.


5. Campul


Campul este un alt model mecanic simplificat de sistem mecanic din universul imediat. El a fost creat in stare incipienta de Newton care, in formularea legii atractiei universale, si-a pus problema transmiterii la distanta a interactiunii gravitationale. Ulterior s-a constatat ca exista numeroase interactiuni de tip mecanic care nu au un suport substantial, “palpabil”, cele mai cunoscute fiind interactiunea electromagnetica si cea nucleara. Intrucat mintea umana nu poate concepe ca in universul macroscopic se poate transporta ceva (energie, impuls etc.) fara intermediar substantial, ea a creat un astfel de suport ipotetic, adica un sistem mecanic intermediar, “de transport”, nesubstantial (adica diferit de substanta ce se releva simturilor noastre), caruia i-a studiat proprietatile generale si l-a modelat matematic.


Discutie:

Teoriile microscopice (cuantice) ulterioare au aratat insa ca, intra-devar,     acest transport nu se face fara suport material; este vorba insa de un suport microscopic alcatuit din entitati pe care nu le putem concepe (nu avem modele pentru acestea, intrucat la nivelul de percepere al simturilor noastre – cel macroscopic – nu exista nimic similar). De exemplu, s-a vazut ca interactiunea electromagnetica este “transportata” de fotoni, entitati ce au masa (de repaus) nula si despre care am discutat in primul capitol al acestei lucrari. Care om poate concepe o entitate care te poate lovi (fotonul avand impuls), dar fara a avea masa!? Ceea ce stim despre entitatile microscopice sunt date statistice – medieri macroscopice. Teoriile cuantice au creat modele pur matematice ale acestora – bazate pe intuitie si pe principii de corespondenta - capabile sa prevada la nivelul macroscopic – al ansamblurilor statistice spatiale sau temporale – fenomenele relevate de simturile noastre (cu ajutorul, eventual, al unor dispozitive ce constituie doar o simpla “prelungire” a acestora).

Este vorba deci de un sistem mecanic „de transport” distinct, diferit de substanta, numita radiatie, (de fapt avem: substanta + radiatie = materie). Modelul macroscopic al acesteia a fost numit camp. Ulterior, evidentiindu-se faptul ca elementele constitutive ale acestui sistem mecanic sunt complet diferite de clasicele puncte materiale sau particule infinit mici din punct de vedere fizic din cadrul mediului continuu, constructia si analiza acestuia au devenit apanajul preponderent al teoriilor cuantice, reunite in asa-numita teorie a campului.


Observatie:

A nu se confunda campul ca model mecanic cu un camp vectorial de forte. Acesta din urma, asa cum vom vedea, este modelul unui anumit tip de interactiune mecanica; el poate fi foarte bine de tip substantial cu distributie continua – cum ar fi un camp elastic.






Document Info


Accesari: 1828
Apreciat: hand-up

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site


in pagina web a site-ului tau.




eCoduri.com - coduri postale, contabile, CAEN sau bancare

Politica de confidentialitate | Termenii si conditii de utilizare




Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2024 )