Documente online.
Username / Parola inexistente
  Zona de administrare documente. Fisierele tale  
Am uitat parola x Creaza cont nou
  Home Exploreaza
Upload




























Modelul matematic al problemei brachistochronei

tehnica mecanica




Modelul matematic al problemei brachistochronei

Consideram īn planul (P) un sistem de coordonate cu originea īn punctul A si cu axa ordonatelor īndreptata (orientata) spre centrul Pamāntului si notam cu coordonatele punctului B A.



Notam cu XC(A,B) multimea aplicatiilor de clasa C1, x( ) = (x1( ), x2( : [0,tF(x( R care verifica conditiile

(1)

Daca (C) R2 este o curba care uneste punctul A cu B, cu proprietatile descrise īn problema brachistochronei si daca pentru fiecare t 0 , (x1(t), x2(t)) (C) sunt coordonatele punctului curent la momentul t si daca, asa cum se cere īn mecanica clasica, functiile x1( ), x2( ) sunt cel putin de clasa C1, atunci, evident, x( ) = (x1( ), x2( XC(A,B) si x( ) este o parametrizare de clasa C1 a curbei (C) = x([0,tF(x( si reciproc daca x( ) = (x1( ), x2( XC(A,B), atunci x( ) admite interpretarea fizica de mai sus si deci (C) = x([0,tF(x( )]) este o curba admisa pentru problema brachistochronei (iar x( ) este parametrizarea de catre variabila timp a acestei curbe).

Fie deci x( XC(A,B), astfel īncāt x(t) = (x1(t), x2(t)) sunt coordonatele punctului material (lansat din punctul A la momentul t0 = 0, cu viteza initiala de marime v0,    pe curba (C) = x([0,tF(x( )])) la momentul t din mecanica teoretica clasica stim ca vectorul viteza, (t), la momentul t, are aceeasi directie (este coliniar) cu vectorul tangent la curba, īn punctul x(t) si are marimea

(2)

iar īn baza legii conservarii energiei este verificata relatia

(3)

si din (2) si (3) se obtine

(4)

unde g este acceleratia gravitationala.

Pentru a exprima durata miscarii, tF(x( )), īn functie de x( ) si x ) observam ca deoarece , din (2) si (4) obtinem

dt (5)

si prin urmare problema brachistochronei se reduce la urmatoarea problema de matematica (formularea variationala a problemei brachistochronei)

Fiind data constanta k > 0 (din (4)), pentru fiecare x0 = R2 , īn multimea XC(x0) a tuturor functiilor de clasa C1, x( ) = (x1( ), x2( : [0, tF(x( R2, care verifica conditiile



(6)

sa se determine ( Xc(x0) astfel īncāt

C(( )) = min (7)

unde C Xc(x0) R este data prin

(8)

Ca si īn cazul oricarei probleme de calcul variational, introducānd notatia x' t) = u(t) si definind multimile

(9)

se obtine urmatoarea problema de control optimal

Dat numarul v0 0 care defineste multimile X0, XF si U( ) din (9), pentru fiecare x0 = X0, īn multimea Uc(x0) a tuturor aplicatiilor continue u( ) = (u1( ), u2( : [0,tF(x0, u( R2 pentru care solutia x( ; x0, u( )) a problemei Cauchy

(10)

verifica conditiile

xF(x0, u( )) = x(tF(x0, u( x0, u( XF (11)

x(t x0, u( X0,    (") t [0, tF(x0, u( (12)

u(t) U(x(t x0, u( ") t [0, tF(x0, u( (13)

sa se determine ( Uc(x0) astfel īncāt

C(x0 ( )) = min (14)

unde

(15)






Document Info


Accesari: 1283
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul
in pagina web a site-ului tau.




eCoduri.com - coduri postale, contabile, CAEN sau bancare

Politica de confidentialitate




Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2023 )