Aplicatii ale seriilor Taylor la calculul unor limite de functii

Aplicatii ale seriilor Taylor la calculul unor limite de functii

Formula lui Taylor poate fi utilizata la calculul „elegant” al uno 242g68c r limite de functii, in cazurile de nedeterminare de tipul etc..

Exemple:

1). .

2).

3). .

4). Calculati integrala cu o precizie mai mica decat . Avem

. Folosind dezvoltarile in serie de puteri (serie Taylor), calculati limitele:

.

. Fie , definita astfel atunci .

Demonstratie. Aratam ca este functie continua pe . Intr-adevar, prin definitie, functia este continua pentru orice . In punctul putem scrie

si

si deci este continua pe .

Pentru avem .

Daca atunci . Deci

.

Asadar, derivata in exista si este egala cu zero. Rezulta ca este diferentiabila pe si derivata are aceeasi forma cu . Prin recurenta deducem ca este diferentiabila si are aceeasi forma cu , deci .

De exemplu, functia este de clasa pe .